专题06 函数的基本性质（19个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题06 函数的基本性质 （19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【知识点02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 【知识点03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【知识点04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【知识点05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法 【例1-1】（26-27高一上·云南文山·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及函数的最值利用排除法即可选出正确选项. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为定义在上的奇函数，排除CD选项； 当时，， 由基本不等式可知，当时，函数， 当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立，故A错误，B正确. 【例1-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 【变式1-1】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在和处有两条竖直渐近线，即函数定义域为， 对于A，定义域为，与图相矛盾，故A错误； 对于B， 函数值大于零，故B错误． 对于D，图象关于 轴对称，说明函数是偶函数，而 不是偶函数，故D错误； 故图象对应的解析式可能是C选项. 【变式1-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过化简函数解析式，求出函数的定义域、特殊点（如与坐标轴的交点）以及渐近线，利用排除法即可确定图象． 【详解】由题意，由，所以函数的图象有一条渐近线， 观察选项，A、D选项的竖直渐近线在轴左侧（约为），故排除A、D； 令，则，即函数图象过点， C选项的图象过原点，不符合题意，故排除C； B选项的图象与轴交于，与轴交于，符合题意． 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知定义域为， 令，则，即为偶函数， 又当时，，此时函数单调递减，且过点， 综合上述，符合题意的函数图象只有D. 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 核心方法：证明单调性只能用定义法 判断单调性：①（）；②（）③图象法 【例2-1】（26-27高一上·广西河池·阶段检测）设函数，且． (1)求函数解析式和定义域； (2)用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】(1)，定义域为 (2)设， 则 ，， 在区间上单调递增． 【分析】（1）用条件代入函数表达式求出参数m，再根据分式分母不为 0 写出定义域; （2）用定义证明单调性，在区间内任取两个自变量，作差变形为因式乘积的形式，判断差的符号，得到函数增减性. 【详解】（1）由，得，解得：，故， 的定义域为 （2）略 【例2-2】（26-27高一上·吉林·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明如下： 任取，且，， ， 因为，，所以，即， 所以，即， 故函数在上单调递增． 【分析】由题意得到关于的方程组，解之即可得到的解析式； 任取且，再利用作差法证得，即，由函数单调性的定义即可判断在上的单调性． 【详解】（1）因为，满足， 所以，解得， 所以； （2）略． 【变式2-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 由， 因，则，，则得， 所以函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用函数的单调性定义即可得证； （2）利用（1）的单调性结论，将抽象不等式化成一元二次不等式求解即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知函数在上单调递增， 则，解得或. 故不等式的解集为. 【变式2-2】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【答案】(1)，；. (2)证明：设，， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 【分析】（1）将和代入，解方程组即可求出答案； （2）根据函数的单调性的定义，设，利用作差比较法即可证明. 【详解】（1）把和代入得， 解得，所以. （2）略. 【变式2-3】（26-27高一上·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【答案】(1) (2) 取任意，且， 则. 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增． 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数的解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可． 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则，则， 又，为奇函数，满足题意， 所以； （2）略． 【考点题型三】求函数的单调区间 【例3-1】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知为二次函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为二次函数， 所以，解得. 将代入原函数得：. 该函数图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线. 所以函数的单调递增区间是. 【例3-2】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式3-1】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【详解】函数的定义域为. 又的图象是由向右平移个单位而来，且的单调递减区间为和， 所以的单调递减区间为和. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. 【答案】和 【分析】由反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得定义域为， ，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为. 故答案为：和 【变式3-3】（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】通过分段去绝对值的方式分析该函数的单调性，从而得解. 【详解】当时，，因此，这是斜率为1的一次函数，在该区间上单调递增； 当时，，因此，这是斜率为-1的一次函数，在该区间上单调递减. 因此函数的单调递减区间是. 【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 核心方法：同增异减 【例4-1】（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 【例4-2】（26-27高一上·河南·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得或，即函数定义域为. 令，则，其中. 函数在上为单调递增函数， 要使单调递增，需内层函数在定义域内单调递增. 函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增. 由同增异减法则可知的单调递增区间为. 【变式4-1】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【点睛】判断复合函数单调性，由外层函数的范围确定最终自变量的取值范围. 【变式4-2】（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. 【变式4-3】（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性求解. 【详解】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 【考点题型五】根据函数单调性求参数 【例5-1】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性和分段点函数值大小关系列出不等式即可求解. 【详解】由，可得：在上是单调递减的， 所以①当时，，即：， ②当时，抛物线的对称轴，且 ， 解得：， 综上所述，实数的取值范围是： 【例5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，在上单调递增，由复合函数 “同增异减”，的单调递减区间就是的单调递减区间. 二次函数图象开口向上，对称轴，其递减区间为. 若在上单调递减，则，得，即. 题目要求充分不必要条件，也就是选项集合是的真子集，满足. 【变式5-1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 【变式5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式5-3】（26-27高一上·河北·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】由函数在上单调递减，得函数在上单调递增，由此求得的取值范围. 【详解】函数， 因为函数在上单调递减，且恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，， 即的取值范围是. 【考点题型六】判断函数的奇偶性 核心方法：①定义法 ②图象法 ③性质法 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例6-1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断各项函数的奇偶性，及在上的单调性． 【详解】对于A，由是奇函数，故A错误； 对于B，由满足，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，由是偶函数，但在上单调递减，故C错误； 对于D，由既不是奇函数也不是偶函数，故D错误． 【例6-2】（多选）（25-26高一上·福建三明·期中）下列是偶函数的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以是偶函数，A正确； 对于B，因为的定义域为，且，所以是奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，D正确. 【变式6-1】（多选）（26-27高一上·四川成都·阶段检测）给出下列函数，其中是奇函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇函数的定义依次判断选项即可. 【详解】对于A，的定义域为，由于，所以在上为偶函数；故A不正确； 对于B，的定义域为，由于，所以在上为奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，由于，所以在上为奇函数，故C正确； 对于D，的定义域为，由于，所以在上为偶函数，故D不正确； 【变式6-2】（多选）（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数. 对于B，因为的定义域为， 且不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 对于C，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数. 对于D，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数． 【变式6-3】（多选）（26-27高一上·河北·阶段检测）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】本题考查偶函数的判定，需结合偶函数的判定规则：首先函数定义域关于原点对称，其次对定义域内任意都满足，逐个分析选项即可. 【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足偶函数定义，是偶函数，故A正确； 选项B：函数的定义域为，不关于原点对称， 不满足偶函数的前提条件，不是偶函数，故B错误； 选项C：函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足偶函数定义，是偶函数，故C正确； 选项D：函数的定义域为，关于原点对称， 但，属于奇函数， 不是偶函数，故D错误. 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 核心方法：奇偶性定义 【例7-1】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，且；再按奇函数的性质求值． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以定义域关于原点对称， 即，解得，定义域为 ． 又奇函数的图象过原点，所以，得． 于是，由为奇函数得． 【例7-2】（26-27高一上·甘肃定西·期中）若幂函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【分析】先依据幂函数的定义求出的所有可能取值，再逐一验证函数的偶性，筛选出符合条件的值. 【详解】由幂函数的系数必须为，可得 ，整理得， 即，解得或， 当时，，定义域为，对任意，，该函数为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为， 对任意，，该函数为偶函数，符合题意； 综上，实数. 【变式7-1】（26-27高一上·湖南永州·期中）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，化简得恒成立，得解. 【详解】因为函数为奇函数， 则对于定义域内的任意一个，都有， 即， 化简得恒成立， 所以. 【变式7-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可求出参数的值． 【详解】是定义在上的奇函数，， 即，整理得. ，． 【变式7-3】（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________. 【答案】0 【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义， 可得，得到，解得， 当时，得到，， 可得，此时函数是奇函数，符合题意. 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域） 【例8-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数性质将不等式化为，再结合函数在上单调递减的性质求解. 【详解】由， 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意得在上单调递减，则有在上单调递减， 所以，解得. 【例8-2】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可得到，再利用偶函数的性质即可解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则. 则在上单调递减，所以在上单调递增. 由得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【变式8-1】（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 【变式8-2】（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据其为奇函数变形 ，再根据其单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则等价于． 又在上单调递增，所以，解得或． 则其解集为. 故答案为：. 【变式8-3】（26-27高一上·山东济南·期中）是定义在上的偶函数，且当时，．则时，__________；不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求解时的函数解析式，再结合偶函数在上的单调性将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】当时，，由时，得， 因为是定义在上的偶函数，满足，因此时，； ②当时，在上单调递增，由偶函数性质，，， 因此原不等式等价于， 又在单调递增，所以， 即 或 ， 分别解得或， 故不等式解集为. 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【例9-1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且是以4为周期的周期函数，结合周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又因为，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 当时，， 所以. 【例9-2】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由的图象关于点对称，可得为奇函数;结合可得，从而的周期为,再将化到上求值. 【详解】设，则的图象关于点对称， 故，即，所以. 由，将换成，得， 所以，即是周期为的函数. ，且， 所以. 【变式9-1】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）定义在上的偶函数，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，得出是周期为的周期函数，得到，结合和，即可求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，可得， 又因为，可得， 即，则， 两式相减，可得，即， 所以函数是周期为的周期函数，则， 由，且， 令，可得，即. 【变式9-2】（26-27高三上·江苏·阶段检测）若偶函数满足，当时，，则__________． 【答案】 3 【分析】先由递推关系推导函数周期，结合偶函数性质将所求自变量转换到已知解析式的区间内，代入计算即可. 【详解】 已知，即，所以 ，因此是周期为的周期函数， ，又为偶函数，故， 因为，即，所以 ， 因此. 【变式9-3】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）已知函数为偶函数，且满足，当时，，则实数_________，_________. 【答案】 【分析】由偶函数和等量关系，求函数的周期，然后得到，由二次函数对称轴求得实数，由周期求得. 【详解】由题意可知，因为，所以， 所以，所以函数的周期， 令，则， 又因为， 所以，由二次函数的对称性可知，当时，函数关于对称， 所以，所以，所以当时，， 所以. 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【例10-1】（多选）（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（ ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【答案】ABD 【分析】利用奇函数的性质求出负半轴上相应区间的解析式，再结合已知函数关系求函数值、判断单调性；利用对称中心处的函数值排除C，将函数关系转化为轴对称的判定等式判断D. 【详解】由为奇函数，得. 当时，，于是. 结合已知条件可得，当时，. 对于A，在中令，得. 又，所以，A正确. 对于B，当时，. 由已知关系得，所以函数在上单调递减，B正确. 对于C，若函数的图象关于点成中心对称，则必有，即， 而，C错误. 对于D，由可得对任意均成立， 故函数的图象关于直线成轴对称，D正确. 【变式10-1】（多选）（26-27高三上·河北·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】利用周期性的定义可判断A选项；利用对称性的定义可判断B选项；求出函数在的解析式，结合二次函数的单调性可判断C选项；求出、、、、的值，结合函数的周期性可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，故是函数的一个周期，A对； 对于B选项，因为定义在上的奇函数满足， 所以，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由可得，， 当时，，则， 当时，，则， 所以， 因为是函数的一个周期，且， 故 ，D对. 【变式10-2】（多选）（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．在上单调递减 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由，结合偶函数的定义即可判断；对于C，因为，所以，结合周期性、偶函数性质即可得时的表达式，由此即可得解；对于D，由周期性、偶函数性质即可求解． 【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为，，所以， 且注意到函数的定义域为，所以是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，因为，所以函数的周期是， 而， 所以，故D正确． 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【例11-1】（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 【例11-2】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以当时，. 【变式11-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，，由奇函数性质， 所以时，. 【变式11-2】（2026·河南信阳·一模）已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则时，__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质结合题设先求得，进而求出时函数的解析式． 【详解】由于是偶函数，故， 又，故，解得， 因此当时，， 故当时，，则． 【变式11-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【例12-1】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可． 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减， 当时，，在单调递减，在单调递增， 故的单调减区间为和. 故选：C. 【例12-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 【答案】， 【分析】利用分类讨论法解决含绝对值的二次函数单调性问题. 【详解】当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增； 当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 综上所述，的递增区间为，， 故答案为：，. 【变式12-1】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 【变式12-2】（北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题）函数，则的减区间为_____，的值域是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数各区间上的解析式，结合一次、二次函数性质求减区间和值域. 【详解】由解析式知：时，时， 所以的减区间为，对应值域为， 且在、都递增，对应值域分别为、， 综上，值域为. 故答案为：， 【变式12-3】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数则的单调递增区间为___________；满足的整数解的个数为___________．（参考数据：） 【答案】 215 【分析】第一个空，作出的图象，由图可知的单调递增区间；第二个空，分和两种情况解不等式. 【详解】作出的图象，由图可知，的单调递增区间为， 当时，，解得，即， 所以， 当时，，解得， 故满足的整数解的个数为215. 故答案为：；215. 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【例13-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知得出单调性，再应用分段函数单调性列式求解参数. 【详解】依题意，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则，，所以在上单调递减， 所以，解得． 【例13-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由 对任意 恒成立，可知 在 上单调递减. 当 时， 为一次函数，其在 上单调递减需满足 ，解得 . 当 时， 是开口向下的二次函数，其对称轴为 ；要使该段在 上单调递减，需 ，解得 . 又 在 上单调递减，需满足，化简得 ，解得 . 综上，需同时满足 、、，三式联立得 ，故实数 的取值范围为 . 【变式13-1】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由不等式判断函数在R上单调递减，再分别对指数段、二次段列递减条件，补充分界点处的衔接约束，解不等式取交集得到a的范围． 【详解】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数， 时，单调递减，则，解得； 时，，开口向下，对称轴， 要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得； 时，指数极限值，时，右段的数值为， 是在上的单调递减函数，则，解得， 综上可得实数的取值范围是． 【变式13-2】（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断函数的单调性，再根据函数的解析式，列式求解. 【详解】由，不妨假设， 则，即，即， 则函数单调递增， ，（且）， 则，解得：. 故选：D 【变式13-3】（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数 在定义域上是增函数，所以， 解得. 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 【例14-1】（26-27高一上·全国·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数和的取值情况，从而判断，再结合得到，从而,结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有，且,所以. 又，解得，则. 当时，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 【例14-2】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式14-1】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，对称轴为，则； 当时，， 若，则，符合题意； 若，则，则，得； 若，则，符合题意； 综上，实数的取值范围是. 【变式14-2】（26-27高三上·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域，分段函数特征，及对数函数单调性列式计算即可求出的范围． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得． 【变式14-3】（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 核心方法：配方法 【例15-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又 ，且 . 因为 在 上的值域为 ， 所以区间 必须包含最小值点 ，即 ； 同时 不能大于 ，否则 ，值域会超出 . 所以当 时， 在 上的最大值为 ，最小值为 ，值域为 . 即实数 的取值范围为 . 【例15-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）若，求的最大值是____________. 【答案】 【详解】，该函数是开口向下的二次函数，二次项系数，对称轴为 ， 由于，因此函数在时取得最大值， 故当时得 . 【变式15-1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，，则函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，其图像开口向上，对称轴为 ， 又，则为最小值. 时，两端点，，离对称轴较远，故为最大值， 故函数的值域为 . 【变式15-2】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，对称轴为， 在区间上，为最小值；又，，所以最大值为3. 【变式15-3】（2026高一上·重庆渝北·专题练习）函数的最大值为______． 【答案】 / 【分析】先确定函数的定义域，再求根号内二次函数的最大值，开平方后得到原函数的最大值. 【详解】要使有意义，则 ，整理得， 解得，所以函数定义域为， 令，， 该函数是开口向下的二次函数，其对称轴为 ， 因为，故在处取得最大值为 ， 由于在时单调递增，因此的最大值为. 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 核心方法：分类讨论 【例16-1】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，求函数的最值. 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)最大值为，最小值为； (3)①当时，最大值为，最小值为；②当时，最大值为，最小值为；③当时，最大值为，最小值为；④当时，最大值为，最小值为. 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值. 【详解】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，函数有最小值：， 当时，函数有最大值：； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴函数有最小值为， 当时，在时，函数有最大值为， 当时，在时，函数有最大值为， ③当时，随着的增大而增大， 当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为. 综上：①当时，最大值为，最小值为； ②当时，最大值为，最小值为； ③当时，最大值为，最小值为； ④当时，最大值为，最小值为. 【例16-2】（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次不等式恒成立问题，结合函数图象与判别式即可求解； （2）二次函数“动轴定区间”问题，函数的图象对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增，根据对称轴与区间的关系分类讨论得到在上的最小值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）函数的图象对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则． 【变式16-1】（26-27高一上·云南昆明·期中）设函数，． (1)解关于的不等式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． (2) 【详解】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）函数，则的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 则 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 综上，在区间上的最小值为． 【变式16-2】（26-27高一上·河南周口·期中）已知二次函数满足 (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若时，函数的值域为，求实数的取值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）对分情况讨论，通过分离参数得到，结合换元法及基本不等式求出的最小值，进一步求解即可. （3）根据二次函数的最值及已知值域得到对称轴必在区间内，可求出，再结合二次函数的性质对分情况讨论求解即可. 【详解】（1）等价于 ，整理得，即. 解得或. 故不等式的解集为. （2） 在上，恒成立. 因为，所以. 当时，恒成立，. 当时，分离参数得. 令，则，. 所以 ， 当且仅当，即（）时，等号成立. 要使小于等于该式恒成立，需. 综上，实数的取值范围为. （3） . 该函数开口向上，对称轴为，最小值为. 因为值域为，且最小值为，所以对称轴必须包含在区间内， 即，所以. 又区间的最大值为 2，对于开口向上的二次函数，在闭区间上的最大值必在距离对称轴较远的端点取得. 即. 若，区间为，单调递减，值域为，符合题意. 若，区间为，单调递增，值域为，符合题意. 若，要使最大值为，则必有或. 由，得解得或（均不在内，舍去）. 由，得，解得或（均不在内，舍去）. 所以使得值域为的只能取端点值，即或. 【变式16-3】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数为二次函数，的零点为−1和2，且 (1)求的解析式，并写出的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1)；递减区间 ，递增区间 (2)最大值为、最小值 为. (3)在区间上的最小值. 【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的两根式设出解析式，进而求出解析式及单调区间； （2）利用二次函数的性质求出最值； （3）分，，三种情况讨论，结合二次函数性质求结论. 【详解】（1）由二次函数的零点为和，设， 由，得，解得， 则， 所以的解析式，递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知，，的图象对称轴为，， 当时，；当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为； （3）设区间 上的最小值为 ： 若 （即 ），函数在区间上单调递减， 当时，函数取最小值，最小值； 若 ，函数在区间上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值； 若 ，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值； 综上在区间上的最小值. 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 核心方法：判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例17-1】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设（），由得出系数； （2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式求解； （3）代入函数解析式化简，将问题转化，分离参数利用函数的单调性分析最值即可. 【详解】（1）设（），则， 由得：，解得：或， 因为，所以，所以． （2）由，即， 整理得对任意恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为：. （3）不等式在上有解， 即，在上有解， 由，则 ， 令，所以问题转化为求在上的最大值， 因为，所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的最大值为， 所以又，解得：，即实数的取值范围为：. 【例17-2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)[3，4）. (3). 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将不等式化简并因式分解，根据两根的大小关系分类讨论，结合解集中恰有3个整数列不等式求解； （3）将不等式在给定区间上有解转化为二次函数在区间上的最小值小于等于0，按对称轴与区间的位置关系分类讨论求最小值. 【详解】（1）因为的解集为或， 所以和是方程的两个根. 由韦达定理得，解得. （2）由，得. 因式分解得. ①当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ②当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ③当，即时，不等式无解，不合题意. 综上，实数的取值范围为. （3）由，得. 由题意，该不等式在上有解， 即在上的最小值. 图象的对称轴为. ①当，即时，在上单调递增， ，解得； ②当，即时，， 化简得，解得或. 与取交集，得； ③当，即时，在上单调递减， ，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式17-1】（26-27高一上·天津津南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)； (3) 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合给定区间即可求得最值； （2）先求出函数的单调区间，由题意只需为其子集即可； （3）将函数不等式恒成立问题转化成一元二次不等式的解集为，数形结合即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，， 因，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，函数取得最大值12；当时，函数取得最小值为3. （2），函数的对称轴为， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因在上是单调函数，则有或， 即实数的取值范围为 （3）由，恒成立，即的解集为， 故有，解得， 即实数的取值范围为. 【变式17-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知二次函数的对称轴为直线，设，根据求出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据题意得出，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）分、、三种情况讨论，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为二次函数的最小值为，且，则二次函数的对称轴为直线， 设，其中， 因为，解得，则. （2）因为在区间上单调，则，解得. ①若函数在区间上单调递增，则，解得，此时； ②若函数在区间上单调递减，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）当时，，即，可得， 当时，可得， 因为函数在上单调递减，故， 此时，解得； 当时，则有，符合题意； 当时，可得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 此时，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式17-3】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)当时，对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值； （2）利用分离参数法转化为最值求解参数范围即可. （3）需要满足两个不等式和对都成立.. 【详解】（1）由题意得不等式的解集为， 则方程的根为， 得到，解得，故； （2）存在时，使成立，整理得成立，令，只需，， 此时，当且仅当时取等号 所以，可得. （3）当时 和对 都成立， 令，得在上恒成立， 当时，只需即可，解得； 当时，只需即可，解得（舍）； 综上 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上是单调递增函数，证明如下： 令，得，解得， 任取，且，则， 由题意知，当时，，所以， 则， 因为，所以， 即，所以， 故在上是单调递增函数. (3) 【分析】（1）将代入已知关系式求函数值即可； （2）由已知得，任取，且，则，根据条件及单调性的定义证明即可； （3）问题化为 对恒成立，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】（1）因为对任意，都有，且， 令，得； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 当时，的最大值为， 因为，恒成立， 所以只需 对恒成立， 即，亦即对恒成立， 构造关于的一次函数，， 要使恒成立，只需满足区间两端点的值均大于等于0， 即，即，得或， 所以，实数的取值范围是. 【例18-2】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）设函数是定义在上的减函数，并且满足， (1)求的值， (2)如果，求x的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用赋值法，令，可得；令，可得；令，可得，从而求得； （2）将不等式转化为，再根据单调性求解可得. 【详解】（1）令，则，. ，. 令，则. . （2）， 且， . 是定义在上的减函数， ，即， 解得. 所以x的取值范围是. 【变式18-1】（26-27高一上·吉林四平·期中）已知函数的定义域为R，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)令，则，所以或， 若，对任意，有，即， 与当时，矛盾，故，故. 当时，，所以， 又，所以，所以， (2)在R上单调递减．     证明如下：设，则， ，     又因为，所以，所以， 又因为当时，，当时，，， 所以，即，     所以在R上单调递减； (3) 【分析】（1）令，可得或，当时，再利用反证法即可舍去得到，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 所以，即，     又在R上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 【变式18-2】（26-27高一上·全国·期中）设函数 是定义在 上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数 、，都有 ；②当 时，>；③. (1)求和的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)解不等式 . 【答案】(1)，； (2)单调递减，证明如下： 设<<，则 >， 由， 得 ， 又 ，由②得 ，即， 且， 故 ，即 <，所以在 上单调递减. (3) 【分析】（1）对抽象等式赋值取 得 ，再取特殊值即可求； （2）用定义证明单调递减，结合条件①可得，结合条件②可证明，再结合即可证明结论； （3）把合并为，利用单调性转化解不等式. 【详解】（1）取 ，则 ，得 ， 取 ，得， 取 ，，则 ，即 ， 故 . （2）略. （3），且 ， 故原不等式即 ， 由递减得 ，即， 解得， 又定义域要求且，即，均满足， 故不等式的解集为. 【变式18-3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)设，则，因为当时，，所以，即. 又因为，得， 所以， 因此，即. 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）直接通过赋值求函数值可得； （2）直接用函数的单调性定义证明可得； （3）先令换元得一元二次不等式，再解一元二次不等式并结合函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】（1）令，代入等式，得，解得. 令，代入，且， 得，解得 令，代入，得， 即，解得. 因此，，，. （2）略 （3）令，则由不等式得， 化简整理得，即，解得. 因此，又因为，， 所以，由（2）知函数在上单调递增， 所以，解得. 因此不等式的解集为. 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19-1】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”，则下列结论不正确的是（     ） A．函数存在“同域闭区间” B．若为的“同域闭区间”，则 C．函数存在“同域闭区间” D．存在实数，，使得二次函数定义域为，值域为 【答案】C 【分析】按“闭区间同域函数”的定义，逐项检验函数在区间上的值域是否恰好仍是 ．A、D可举出具体区间验证成立；B 由求出；C需设出区间，由单调性把值域写成并令其等于，得、是方程的两个根，再由两根异号矛盾证明无满足的解． 【详解】对于A，取的定义域为，其值域也是，即是的同域闭区间，故A正确． 对于B，当时，在上单调递增，值域为．由得，又，所以，故B正确． 对于C，假设存在“同域闭区间”. 因为的定义域不含0，所以，即、同号，此时在上单调递减，值域为. 由得且， 即且，可得，与矛盾， 所以不存在满足的“同域闭区间”，C错误． 对于D，，图像开口向下，对称轴为．取，，则在上单调递增，值域为，而，故D正确． 综上，不正确的是C． 【例19-2】（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. (1)判断，是否为非减函数； (2)已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； (3)已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 【答案】(1)不是非减函数. (2). (3)，，. 【分析】（1）化简函数的解析式，结合二次函数单调性可得出结论； （2）任取且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解. 【详解】（1），所以函数在区间上为减函数， 在区间上为增函数，则函数在区间上不是非减函数. （2）任取且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， 因为，所以，所以， 所以，， 则，所以，即，因此的取值范围是. （3）由已知得，，得， 从而，， 所以， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，则，因此. 【变式19-1】（多选）（26-27高一上·云南文山·阶段检测）已知函数定义域为，若存在闭区间，使在内单调，且在上的值域为，则称区间为的和谐区间，下列结论正确的有（    ） A．在上存在和谐区间 B．在上存在和谐区间 C．在上存在和谐区间 D．在上存在和谐区间 【答案】ABC 【分析】逐项假设是和谐区间，先由单调性写出值域，再与对应端点比较，即可判断A、B、C，将D化为方程有解问题，结合推出矛盾即可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，A符合题意. 对于B，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，B符合题意. 对于C，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，C符合题意； 对于D，在上单调递减， 若是和谐区间，则该区间上的值域为， 故、，两式相减化简得. 则，解得，而,矛盾， 故在上不存在和谐区间，D不符合题意. 【变式19-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设函数的定义域为，对于任一给定的正数P，定义函数，则称为的“p界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【详解】由，解得， 对于，对于①，，故①错误， 对于②，当时，，当或时，， 故的值域为，故②正确， 对于③，当时，，图象开口向上，对称轴为， 故在上单调递减，故③正确， 对于④，， 故函数为偶函数，故④正确，故正确的结论为②③④．正确的结论有3个. 一、单选题 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数是定义域为的奇函数.若，则（    ） A．−3 B．−1 C．0 D．3 【答案】D 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且，所以. 2．（四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）设是上的奇函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，结合奇函数性质可得，，由此可得，根据此关系可得结论. 【详解】因为，所以，即， 因为是上的奇函数，所以，， 所以，即， 所以， 所以. 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，先确定函数定义域，又在上单调递减，则函数在上单调递减，再根据奇偶性的定义判断即可；对于BD，易知函数为增函数；对于C，根据定义可知函数为偶函数． 【详解】对于A，函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则函数既是奇函数又在区间上单调递减，故A符合题意； 对于B，在上单调递增， 在上单调递增，故B不符合题意； 对于C，的定义域为，且， 则函数为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数在上单调递增，故D不符合题意． 4．（26-27高一上·河南·阶段检测）函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】已知函数为二次函数，且二次项系数，所以该函数图象开口向上. 其对称轴方程为. 因为函数在区间上具有单调性， 所以对称轴不能在区间的内部， 即需满足或， 解得或. 所以实数的取值范围是或. 5．（26-27高一上·全国·期中）已知偶函数在单调递减，，若 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合偶函数和单调性的性质列出不等式求解. 【详解】因为，所以 ， 又是偶函数，且在单调递减， 则有，即，解得. 6．（26-27高一上·广西河池·阶段检测）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 故当时，，当时，， 由可得：或， 解得或， 因此满足的的取值范围是. 7．（26-27高一上·吉林·期中）已知函数在R上单调递增，则下列a的值可以是（    ） A．2.3 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以需满足以下三个条件： ①当时，函数单调递增，则，解得； ②当时，函数单调递增，则，解得； ③在分段点处，必须保证左侧函数值不大于右侧函数值，即， 解得. 综上所述，实数的取值范围是，即. 观察各选项，只有选项的2.3满足该范围. 8．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干结合函数单调性定义判断出函数在上的单调性，根据函数奇偶性判断函数图象在定义域上的大致形状，结合不等式取负的条件得到关于x的不等式组求解，注意有两种情况. 【详解】由题意得，在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 故有时，，时，， 已知，即或， ，解得， ，解得， 综上所述，. 二、多选题 9．（26-27高一上·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】由题意可得：函数的定义域为， 对于选项A：因为，， 即，函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 对于选项C：函数在上单调递增， 则函数在上是增函数，故C正确； 对于选项D：因为，则，可得， 即，所以的值域为，故D正确. 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A．是奇函数 B． C．关于中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】对A，令，结合利用偶函数定义判断；对B，令得或，令得，结合求得；对C，令得，即可判断；对D，由A、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于B，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故B正确； 对于A，令，得， 由B，可得， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故A错误； 对于C，由选项B知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确 三、填空题 11．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）若奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义得出，并将化简为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，，所以，， 故， 因为在上为增函数，所以在上为增函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原不等式的解集为． 12．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对，都有，当时，，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，通过赋值求出，；再将不等式利用函数运算性质转化为关于自变量的不等式组求解. 【详解】任取，且，则. 由，得，即； 当时，，，即. 在上单调递减. ，，. 令，则，解得； ，. 等价于，即. 在上单调递减， ，解得，则不等式的解集为. 四、解答题 13．（26-27高一上·甘肃·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)若，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式，其中且． 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增.证明如下： 任取，则 因，故，，， 则，即在上单调递增. (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用偶函数的性质得，根据时的函数解析式，即可求得，从而求出； （2）运用函数的单调性定义证明即可； （3）结合函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式，平方后整理为含参数的二次不等式，再根据参数的不同范围分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）由为定义在上的偶函数，，得， 当时，，故，所以， ，得或（舍去），所以； （2）略 （3）因是偶函数，且在上单调递增， 故，即得， 两边平方得，整理得， 分解因式，可得， 当时，，不等式化为， 因，故解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，，且，故解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数（）． (1)求的解析式； (2)求时，函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用定义在上的奇函数满足的性质求解参数，再验证奇函数定义即可得到解析式； （2）先化简的表达式，通过换元将其转化为二次函数在闭区间上的值域问题求解可得. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，得，即，解得. 验证：当时，， 则，满足奇函数定义. 因此函数的解析式为 （2）由（1）知， 所以. 令，因为，且是上的增函数，故. 所以函数转化为函数，， 因此函数在上的值域就等价于函数在上的值域. 因为函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值， 又因为，，且， 所以函数的最大值为. 因此的值域为. 15．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数在区间上单调递增； (2)若，且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取，，且， 则 由于，，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增． (2) 【分析】（1）通过取值、作差变形、定号、下结论的步骤，利用单调性定义证明结论； （2）将条件转化为恒成立，通过分，两种情况讨论求参. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是，恒成立即为恒成立 整理得恒成立 1、当时，，不合题意 2、当时，，解得 综上所述，的取值范围为. 16．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若当时，，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合函数的解析式，分类讨论代入求解即可； （2）由题意知时的值域是时的值域的子集，进而分类讨论求解即可； （3）由题意可得，利用换元法可求得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，由，得，解得（舍去）或； 当时，由，得，无实数解. 故. （2）由题意知时的值域是时的值域的子集. 先求值域：当时， 对称轴，最小值为，值域. 再求值域：时，开口向上，对称轴. 当时，在处取最小值，值域， 要求，结合得； 当时，在上单调递减，值域， 要求，结合得. 综上，的取值范围是. （3）由题意，时. 对任意，恒成立， 代入的表达式得. 因时，不等式可化为. 令，则， 代入得右边为. 当时，，令，则，右边为. 由对勾函数性质，在时取最小值， 且，在定义域内，故右边的最小值为. 因此的取值范围是. 17．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． (1)求 ， 的值； (2)证明：函数 在区间 上单调递增； (3)若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】(1)，； (2)由（1）得 ．设 ，则 ． 因为 ，所以 ，，， 从而 ，即 ． 所以 在 上单调递增． (3) 【分析】（1）由奇函数定义比较系数求 ，再代点求 ； （2）用作差法，分解因式后判断符号； （3）把“恒成立”转化为 的最值比较，注意 的取值范围． 【详解】（1）．因为 为奇函数，所以 ， 即 ，比较得 ，． 又图象过点 ，所以 ，． （2）略 （3）由（2）知 在 上单调递增，所以 ． 又 ，所以 ．命题为真，即对任意 都有 ． 而 等价于 ，即 ，解得 ． 所以 ，即 且 ，故 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的基本性质 （19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【知识点02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 【知识点03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【知识点04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【知识点05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法 【例1-1】（26-27高一上·云南文山·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ） A．B． C．D． 【变式1-1】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的图象大致是（） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 核心方法：证明单调性只能用定义法 判断单调性：①（）；②（）③图象法 【例2-1】（26-27高一上·广西河池·阶段检测）设函数，且． (1)求函数解析式和定义域； (2)用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． 【例2-2】（26-27高一上·吉林·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性. 【变式2-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 【变式2-2】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【变式2-3】（26-27高一上·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【考点题型三】求函数的单调区间 【例3-1】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知为二次函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D．和 【变式3-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. 【变式3-3】（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）函数的单调递减区间是______. 【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 核心方法：同增异减 【例4-1】（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 【例4-2】（26-27高一上·河南·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【变式4-3】（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 【考点题型五】根据函数单调性求参数 【例5-1】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【变式5-3】（26-27高一上·河北·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围是________. 【考点题型六】判断函数的奇偶性 核心方法：①定义法 ②图象法 ③性质法 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例6-1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（多选）（25-26高一上·福建三明·期中）下列是偶函数的有（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（26-27高一上·四川成都·阶段检测）给出下列函数，其中是奇函数的为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（26-27高一上·河北·阶段检测）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 核心方法：奇偶性定义 【例7-1】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（26-27高一上·甘肃定西·期中）若幂函数是偶函数，则实数______． 【变式7-1】（26-27高一上·湖南永州·期中）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-3】（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________. 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域） 【例8-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【变式8-2】（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 【变式8-3】（26-27高一上·山东济南·期中）是定义在上的偶函数，且当时，．则时，__________；不等式的解集是__________． 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【例9-1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【例9-2】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 【变式9-1】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）定义在上的偶函数，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27高三上·江苏·阶段检测）若偶函数满足，当时，，则__________． 【变式9-3】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）已知函数为偶函数，且满足，当时，，则实数_________，_________. 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【例10-1】（多选）（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（ ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【变式10-1】（多选）（26-27高三上·河北·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 【变式10-2】（多选）（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．在上单调递减 D． 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【例11-1】（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 【变式11-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 【变式11-2】（2026·河南信阳·一模）已知函数是定义在上的偶函数，，且当时，，则时，__________． 【变式11-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【例12-1】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【例12-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 【变式12-1】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题）函数，则的减区间为_____，的值域是_____. 【变式12-3】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数则的单调递增区间为___________；满足的整数解的个数为___________．（参考数据：） 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【例13-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例13-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是______. 【变式13-1】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 【例14-1】（26-27高一上·全国·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例14-2】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式14-1】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（26-27高三上·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 核心方法：配方法 【例15-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例15-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）若，求的最大值是____________. 【变式15-1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，，则函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2026高一上·重庆渝北·专题练习）函数的最大值为______． 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 核心方法：分类讨论 【例16-1】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，求函数的最值. 【例16-2】（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值． 【变式16-1】（26-27高一上·云南昆明·期中）设函数，． (1)解关于的不等式； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式16-2】（26-27高一上·河南周口·期中）已知二次函数满足 (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若时，函数的值域为，求实数的取值. 【变式16-3】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数为二次函数，的零点为−1和2，且 (1)求的解析式，并写出的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)求在区间上的最小值. 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 核心方法：判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例17-1】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【例17-2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 【变式17-1】（26-27高一上·天津津南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 【变式17-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【变式17-3】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)当时，对恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18-1】（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【例18-2】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）设函数是定义在上的减函数，并且满足， (1)求的值， (2)如果，求x的取值范围. 【变式18-1】（26-27高一上·吉林四平·期中）已知函数的定义域为R，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【变式18-2】（26-27高一上·全国·期中）设函数 是定义在 上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数 、，都有 ；②当 时，>；③. (1)求和的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)解不等式 . 【变式18-3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19-1】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”，则下列结论不正确的是（     ） A．函数存在“同域闭区间” B．若为的“同域闭区间”，则 C．函数存在“同域闭区间” D．存在实数，，使得二次函数定义域为，值域为 【例19-2】（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. (1)判断，是否为非减函数； (2)已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； (3)已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 【变式19-1】（多选）（26-27高一上·云南文山·阶段检测）已知函数定义域为，若存在闭区间，使在内单调，且在上的值域为，则称区间为的和谐区间，下列结论正确的有（    ） A．在上存在和谐区间 B．在上存在和谐区间 C．在上存在和谐区间 D．在上存在和谐区间 【变式19-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设函数的定义域为，对于任一给定的正数P，定义函数，则称为的“p界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论有______个． 一、单选题 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数是定义域为的奇函数.若，则（    ） A．−3 B．−1 C．0 D．3 2．（四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）设是上的奇函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·河南·阶段检测）函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 5．（26-27高一上·全国·期中）已知偶函数在单调递减，，若 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·广西河池·阶段检测）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·吉林·期中）已知函数在R上单调递增，则下列a的值可以是（    ） A．2.3 B．3 C．3.5 D．4 8．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高一上·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A．是奇函数 B． C．关于中心对称 D． 三、填空题 11．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）若奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______． 12．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对，都有，当时，，且，则不等式的解集为________． 四、解答题 13．（26-27高一上·甘肃·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)若，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式，其中且． 14．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数（）． (1)求的解析式； (2)求时，函数的值域． 15．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数在区间上单调递增； (2)若，且，恒成立，求实数的取值范围． 16．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若当时，，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 17．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． (1)求 ， 的值； (2)证明：函数 在区间 上单调递增； (3)若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $