专题07 指数与指数函数（ 15个高频考点） 期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题07 指数与指数函数 （15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【知识点02】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【知识点03】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【知识点04】有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【知识点05】指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【知识点06】指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【知识点07】指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【知识点08】指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【考点题型一】根式的化简求值 核心方法：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【例1-1】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【例1-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【变式1-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 【变式1-3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知a满足，则的值为______. 【考点题型二】分数指数幂的化简求值 核心方法：根据分数指数幂定义 ①（，，） ②（，，） 【例2-1】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）计算：______． 【例2-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【变式2-1】计算化简： （1）.＝________； （2）.＝________. 【变式2-2】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-3】（25-26高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 【考点题型三】条件求值 核心方法：完全平方公式；立方公式 【例3-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求的值. 【例3-2】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知，求的值 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）化简与求值：已知，求的值． 【变式3-2】（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 已知，求的值. 【变式3-3】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知，求的值． 【考点题型四】指数幂的综合运算 【例4-1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【例4-2】（25-26高一上·山东济宁·期中）化简下列各式： (1)； (2)． (3)已知，求的值 【变式4-1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【变式4-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【变式4-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数） 【例5-1】（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【例5-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知指数函数，则的值为____________. 【变式5-1】（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【变式5-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【变式5-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 【考点题型六】指数函数的图象过定点 核心方法： 【例6-1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【例6-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 【变式6-1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）函数（且）的图象恒过定点，则等于_____ 【变式6-2】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若恒过定点，则的最小值为__________. 【变式6-3】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 【考点题型七】指数（型）函数图象的识别 【例7-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数的图象为（  　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】画指数（型）函数图象 核心方法：根据函数图象变换方法 【例8-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.    (1)求函数的解析式，并画出函数图象； (2)求不等式的解集. 【例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． ． 【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【变式8-2】画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【变式8-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)请完成下表，并在坐标系中画出函数的图像； x －2 －1 0 1 2 (2)根据函数的图象，求不等式的解集； (3)若，，求的取值范围． 【考点题型九】比较指数幂大小 核心方法：根据指数函数的单调性 【例9-1】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2026·江西九江·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27高一上·全国·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：根据指数函数的单调性 【例10-1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）不等式的解集为____________. 【例10-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【变式10-1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【变式10-3】（25-26高一上·天津·期中）若函数为幂函数，且在单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，且， （i）判断函数的单调性，无需证明； （ii）求使不等式成立的实数的取值范围. 【考点题型十一】指数型复合函数的单调性 核心方法：复合函数单调性法则 【例11-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 【变式11-1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 核心方法：换元法 【例12-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【例12-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【变式12-1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则的值域为_______． 【变式12-2】函数的最小值为_____. 【变式12-3】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 核心方法：换元法 【例13-1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为______. 【例13-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________. 【变式13-1】（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是______________. 【变式13-2】（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 【变式13-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 【例14-1】（26-27高一上·河南·期中）已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 【例14-2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【变式14-1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【变式14-2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求； (2)若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【变式14-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【考点题型十五】指数函数中新定义问题 【例15-1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ） A． B． C．0 D． 【例15-2】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (2)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【变式15-1】（25-26高一下·安徽六安·期末）在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【变式15-2】（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【变式15-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”. (1)若函数，试判断是否为倒戈函数，并说明理由. (2)已知. （i）若，试证明: ; （ii）若，且是定义在上的倒戈函数，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高一上·河南南阳·期中）若函数，且)的图象不经过第一象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）若函数 为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知函数（且），则“”是“对任意，都有”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数．若，使得成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 7．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 8．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 10．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 三、填空题 11．（26-27高一上·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 12．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题 13．（26-27高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 14．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 15．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数、的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 17．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 指数与指数函数 （15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【知识点02】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【知识点03】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【知识点04】有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【知识点05】指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【知识点06】指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【知识点07】指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【知识点08】指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【考点题型一】根式的化简求值 核心方法：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【例1-1】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 【例1-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误； 故选：B. 【变式1-2】（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 【答案】/ 【详解】 【变式1-3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 【考点题型二】分数指数幂的化简求值 核心方法：根据分数指数幂定义 ①（，，） ②（，，） 【例2-1】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）计算：______． 【答案】 【分析】直接利用分数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 【例2-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4），即， ，，即， ， . 【变式2-1】计算化简： （1）.＝________； （2）.＝________. 【答案】 0.09 【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案. 【详解】 （1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. （2）＝ ＝ ＝ 故答案为：0.09； 【变式2-2】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【变式2-3】（25-26高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 【答案】(1)112 (2)21 (3)4 (4) 【分析】(1)把根式化成分数指数幂，再利用指数运算法则计算即得. (2)直接利用指数运算法则计算即可. (3)对根式配方变形，再利用指数运算法则计算即得. (4)利用指数运算法则化简计算即得. 【详解】（1）原式=. （2） =21. （3） . （4）. 【考点题型三】条件求值 核心方法：完全平方公式；立方公式 【例3-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 【例3-2】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知，求的值 【答案】4 【详解】 . . . . . 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）化简与求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，结合完全平方公式得到和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】由， 两边取平方得，即 两边再取平方，得， 故． 【变式3-2】（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 已知，求的值. 【答案】. 【详解】， ，则， . 【变式3-3】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知，求的值． 【答案】9 【详解】由，故可得，整理得． ，整理得， 故． 【考点题型四】指数幂的综合运算 【例4-1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 【例4-2】（25-26高一上·山东济宁·期中）化简下列各式： (1)； (2)． (3)已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂运算法则，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算； （2）化根式为分数指数幂，然后进行乘除运算． （3）运用三次方公式进行化简后再代入求值. 【详解】（1）原式 （2）原式． （3） 【变式4-1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 【变式4-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 【变式4-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为，故原式. （3）. 【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数） 【例5-1】（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【例5-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知指数函数，则的值为____________. 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【变式5-1】（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 【变式5-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 【变式5-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 【考点题型六】指数函数的图象过定点 核心方法： 【例6-1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 【例6-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 【答案】8 【分析】根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值，再根据均值不等式即可求出. 【详解】当时，函数， 故函数且）的图象恒过定点， ，， ， 根据均值不等式可得，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）函数（且）的图象恒过定点，则等于_____ 【答案】 【分析】令，即可求出函数的图象恒过的定点，即可得出答案. 【详解】当时，； 所以函数恒过定点， 所以，即. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若恒过定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由恒过定点得到，设，利用基本不等式“”的妙用方法求出的最小值，利用的单调性得到此函数的最小值. 【详解】恒过定点， ，， 设，则， ，，， 当且仅当时，即当时等号成立，， ， 的最小值为， 为单调递增函数， 取最小值时，取最小值为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】先利用指数函数的性质确定指数部分为时的值，再代入函数求出对应的函数值，从而得到定点的坐标. 【详解】因为指数函数(且)，的图象恒过点， 令，即，此时， 所以函数恒过点，即点的坐标是. 故答案为： 【考点题型七】指数（型）函数图象的识别 【例7-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数的图象为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定最终选项. 【详解】由，得，故函数的定义域为 ，关于原点对称，因为 ， 所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项 B、D； 当 时，，，即 ， 所以 ，排除选项 C. 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 【变式7-1】（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 【变式7-2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和值域可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A,C; 时，，排除D. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A， ，排除B，，排除C，故D正确. 故选：D 【考点题型八】画指数（型）函数图象 核心方法：根据函数图象变换方法 【例8-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.    (1)求函数的解析式，并画出函数图象； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)，图象如下： (2) 【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数无限接近直线但又不与该直线相交得到，得到解析式，画出图象即可. （2）根据函数的奇偶函数及单调性列出不等式求解即可. 【详解】（1）过原点，故， 故，， 因为，函数无限接近直线但又不与该直线相交， 故且， 所以，， ，函数图象如图所示： （2）  由（1）知，，关于原点对称，， 所以为偶函数，所以， 又时，，可知函数为增函数， 所以由可得， 由单调性得，平方后得，解得， 故不等式的解集为. 【例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象． ． 【答案】答案见解析 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于轴对称得到， 则图象如图示： 【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式8-2】画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【答案】 函数图象如图， AI由图象可知，，无解； ，有一解； ，有两解． 【分析】作出函数图象，结合图象判断即可得解. 【详解】略 【变式8-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)请完成下表，并在坐标系中画出函数的图像； x －2 －1 0 1 2 (2)根据函数的图象，求不等式的解集； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1) x －2 －1 0 1 2 0 1 3 的图象，如图所示： (2) (3) 【分析】（1）根据列表，结合指数函数的性质作图； （2）在同一坐标系中，作出函数图象求解； （3）根据，，得到，，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解： x －2 －1 0 1 2 0 1 3 的图象，如图所示： （2）如图所示： 由图象知：时，； （3）因为，， 所以， 则，，即， 所以，则， 所以的取值范围是. 【考点题型九】比较指数幂大小 核心方法：根据指数函数的单调性 【例9-1】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数y =在R上单调递增，因为，故. ，而，故，综上可得. 【例9-2】（2026·江西九江·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，， ，故. 【变式9-1】（26-27高一上·全国·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则，即； 由在上递增，则，即. 所以. 【变式9-2】（24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 【变式9-3】（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：根据指数函数的单调性 【例10-1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】， 又在R上单调递增，故， 化简得，解得，故解集为 【例10-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 【变式10-1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． 因为，所以在上单调递增， 由，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 【变式10-2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【变式10-3】（25-26高一上·天津·期中）若函数为幂函数，且在单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，且， （i）判断函数的单调性，无需证明； （ii）求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）函数在区间单调递增；（ii） 【分析】（1）结合幂函数的定义域性质，即可求解； （2）（i）结合函数的单调性的性质，即可求解；（ii）结合的范围，以及函数的单调性，即可求解． 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时在单调递减，符合题意； 当时，，此时在单调递增，不符合题意； 综上，； （2）（i），在区间单调递增， 证明如下： 则在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间单调递增； （ii）由（i）知，在区间单调递增， 若不等式成立， 则，解得， 故实数的取值范围为. 【考点题型十一】指数型复合函数的单调性 核心方法：复合函数单调性法则 【例11-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【例11-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用复合函数“同增异减”的单调性判定规则，将外层指数函数的递增属性作为切入点，把原函数在指定区间的递减要求转化为内层二次函数的对称轴需满足区间边界条件，快速推导出的取值范围. 【详解】外层函数为指数函数，内层二次函数为. 由于外层函数在全体实数域上是单调递增函数， 因此复合函数的单调性完全由内层函数的单调性决定. 在上单调递减，等价于要求内层二次函数在上单调递减. 二次函数的开口向下，它的单调递减区间是对称轴的右侧，即. 要让是单调递减区间的子集，即： ，解得， 即的取值范围为. 【变式11-1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 【变式11-3】（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 由指数函数性质知：在上单调递减． 根据复合函数“同增异减”，在上单调递增， 则在上单调递减． 二次函数的对称轴为， 单调递减区间为， 故，即． 【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 核心方法：换元法 【例12-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 【例12-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【答案】 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式12-1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则的值域为_______． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式12-2】函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 【变式12-3】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 核心方法：换元法 【例13-1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为______. 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 【例13-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数在指定区间上的最大值即可. 【详解】不等式在上恒成立， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 因此函数在R上单调递增，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式13-1】（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是______________. 【答案】 【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可. 【详解】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 【变式13-2】（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由列式求出即得函数解析式. （2）令，求出二次函数在闭区间上的最值即可得值域. 【详解】（1）函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. （2）令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. 【变式13-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 【例14-1】（26-27高一上·河南·期中）已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点和代入求解，即可； （2）画出的图象，将方程的解转化为图象的交点即可； （3）用换元法，令，则转化为的最小值大于等于0，即可解出的范围. 【详解】（1），，解得，， 所以. （2）画出的图象，如图所示， 则关于的方程有2个实数根，可以转化为直线与的图象有两个交点，故， 所以实数的取值范围为. （3）由，，得， 令，因为，所以， 令，的对称轴为， 故， 则，转化为， 故，解得, 所以实数的取值范围为. 【例14-2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称, ，故为奇函数. (2)， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）先求定义域，再代入化简，利用奇函数定义证明； （2）分离常数变形，用定义法作差比较，结合指数函数单调性证明； （3）利用奇函数性质转化不等式，再借助单调性脱去函数符号，解一元二次不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得. 【变式14-1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶. 【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. （3）略 【变式14-2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求； (2)若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)7 (2)最小值为，此时 (3)4 【分析】（1）将的平方展开，建立与的关系． （2）令，把转化为关于的二次式，配方求最小值，再解指数方程确定取等时的． （3）利用分离参数，将恒成立问题转化为求的最小值，并核对取等条件． 【详解】（1）因为，所以． 当时，． （2）由（1）中的恒等式得． 令，因为、，由基本不等式得，当且仅当时等号成立． 于是，当且仅当时等号成立． 此时，令，则，解得或，均满足，故或． 因此的最小值为，在时取得． （3）令，由（2）得，且可在时取得，再由（1）中的恒等式得． 所以原不等式等价于，由于，可化为． 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，对应． 因此，要使原不等式对任意恒成立，必须且只需，故的最大值为4． 【变式14-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . （2）代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 【考点题型十五】指数函数中新定义问题 【例15-1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，求的取值范围. 【详解】由题意得与在区间上单调性相同， 若函数单调递增，则需使，， 即在区间上恒成立，即，， 可得，； 若函数单调递减，则在区间上恒成立，同理可得，，无解. 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 故选：AB 【例15-2】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (2)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （2）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围，再由结合的范围求出的最小值，进而求解即可. 【详解】（1）由题设可得，在上恒成立， 即， 整理得到：在上恒成立， 故，解得， 则实数的取值范围为. （2）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立，且恒成立， 故且，解得， 则实数的取值范围为； 由， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数，即的最小值为1； 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时，即函数的最小值为， 综上所述，. 【变式15-1】（25-26高一下·安徽六安·期末）在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 【变式15-2】（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求得，求得，得到时，，根据题意，转化为在上的值域为值域的子集，得到 ，结合，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式15-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”. (1)若函数，试判断是否为倒戈函数，并说明理由. (2)已知. （i）若，试证明: ; （ii）若，且是定义在上的倒戈函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) 是“倒戈函数”. 理由如下： 函数的定义域为， 由方程， 解得，即在定义域内方程有解 所以为“倒戈函数”. (2) （i）因， 则， 即. （ii） 【分析】（1）根据“倒戈函数”的定义列式计算即可判断； （2）（i）依题意求出和，利用幂的运算即可证得；（ii）依题意可得，方程在上有解，进而推得在上有解，利用基本不等式求出函数的值域，即得参数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）因为是定义在上的“倒戈函数”， 所以在上有解， 即在上有解， 方程可化为，即， 对，，故要使方程有解，需使， 即，又，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为． 一、单选题 1．（26-27高一上·河南南阳·期中）若函数，且)的图象不经过第一象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】按分类讨论，结合指数函数的性质判断. 【详解】时，，此时无论取何值，函数均会经过第一象限； 时，由于经过定点，且时，， 此时函数向下平移至少一个单位可使其不经过第一象限，如图所示，即. 2．（26-27高三上·福建三明·阶段检测）若函数 为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，而 的定义域由分母 的零点确定，故只需让分母的零点集合关于原点对称，求出 后再检验奇偶性. 【详解】因为 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称. 令 ，得零点 或 ，定义域需剔除这两个零点. 定义域关于原点对称，要求每个零点的相反数仍是零点. 若 ，则定义域中含 却不含 ，不对称；若 ，两个零点重合为 ，其相反数 不是零点，也不对称；故只能 ，即 . 检验：当 时，分母 为偶函数，分子 为奇函数，于是 ， 确实为奇函数. 得 . 3．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知函数（且），则“”是“对任意，都有”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“对任意，都有”等价于“函数（且）在上为减函数”，即， 所以“”是“对任意，都有”成立的充分不必要条件. 4．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设条件判断是上的严格减函数，再根据分段函数为减函数的要求，列不等式求解的取值范围. 【详解】已知函数， 对任意，，说明是上的严格减函数，需同时满足以下三点： ①当时，一次函数单调递减，因此一次项系数小于，即，解得； ②当时，指数函数单调递减，因此底数满足，解得； ③在分段点处，左段函数在趋近于左侧处的取值不小于右段函数在处的取值， 由于在趋近于左侧时，，所以， 化简得，移项整理得，解得； 将三个解集取交集，得实数的取值范围为，故A正确. 5．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数．若，使得成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为两个函数值域的包含关系分类讨论计算即可. 【详解】易知时，， 而时，单调递减，即， ①若，则， 要满足题意需，即，所以，可排除A、B、D选项； ②若，此时， 即，要满足题意需，即， ③若，此时， 即，要满足题意需，即， ④若，此时，显然，不能满足题意， 综上所述：，即C项正确. 6．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称， ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 7．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 【答案】A 【详解】令，则，对称轴， 当即时，函数在上单调递增，当时，， 因为，所以，不符合题意； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，函数在对称轴处取得最小值，，即，解得， 因为，所以． 8．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 二、多选题 9．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【分析】由函数解析式求定义域判断选项A；利用奇函数的性质求的值判断选项B；求复合函数单调区间判断选项C；结合函数单调性和奇偶性求出值域判断选项D. 【详解】A选项，由得，所以的定义域为，A选项正确； B选项， 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 则有，函数定义域为， ， 所以函数为奇函数，符合题意，B选项正确； C选项，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，C选项错误； D选项，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，D选项正确. 10．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 三、填空题 11．（26-27高一上·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 【答案】或 【分析】通过换元法令将指数型函数转化为二次函数，结合指数函数的单调性，讨论与两种情况即可求解. 【详解】令，则 当时，在区间上单调递增，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 当时，在区间上单调递减，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 综上，实数的值为或. 12．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题设可得为奇函数，然后判断单调性，据此可得答案. 【详解】， 又定义域为，则为奇函数. 又注意到函数均在上单调递增， 则在上单调递增，结合奇偶性，可得在上单调递增. 则 ， 所以. 四、解答题 13．（26-27高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据奇偶性结合方程组法求解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题可得，利用单调性法及不等式的性质直接求出的最小值，利用换元法求出的最小值，解不等式即可. 【详解】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. （2）略 （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 14．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由奇函数和偶函数的性质解方程组可得； （2）构造函数，利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式可得. 【详解】（1）由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，则，联立， 解得，． （2）令．因为是奇函数，所以是奇函数， 又和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则，则，解得或， 故不等式的解集为． 15．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数、的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数可得，进而计算可求得，再结合求得； （2）由指数函数的性质可得在上单调递增，可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，即 因为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以， 因为对任意的，不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围． 16．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再结合，即可求，的值. （2）结合函数的奇偶性，原不等式可化为，再结合函数的单调性，可把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 则． 因为， 所以． 又，所以， 解得，． （2）由（1）可得， 易得在上单调递增． 因为， 所以等价于， 则，解得或， 故不等式的解集为． 17．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)，． (2)在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． (3)-2． 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）略 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，利用换元法解决函数的值域问题，解决二次函数最小值的经典类型“轴动区间定”，通过分类讨论对称轴的位置确定最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $