专题05 函数的概念及其表示（ 7个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题05 函数的概念及其表示 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【知识点02】函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【知识点03】求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【考点题型一】求常规函数的定义域 核心方法：使得函数有意义的范围，如，，如，则； 【例1-1】（26-27高一上·全国·期中）使有意义的的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．− 【例1-2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）函数的定义域为______． 【变式1-3】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域 核心方法：对应关系“”作用下的整体取值范围相同，另外注意，定义域是指单独一个“”的取值范围 【例2-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知的定义域为，求的定义域（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【变式2-1】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】值域问题 核心方法：图象法，分离常数法，换元法，判别法 【例3-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 【变式3-1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）函数的值域为____________． 【变式3-2】（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【变式3-3】（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）（1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【考点题型四】求函数的解析式（待定系数法） 核心方法：设出函数解析式，对比系数求解 【例4-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（26-27高一上·全国·课后作业）设是二次函数，且，则_____. 【变式4-1】（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足，且，则____. 【变式4-2】（26-27高一上·全国·期中）一次函数满足，则的解析式为____. 【变式4-3】（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 【考点题型五】求函数的解析式（换元法） 核心方法：换元法（注意，换元必换范围；） 【例5-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知 ，则函数 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）若函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 【变式5-2】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则的值域为________. 【考点题型六】求函数的解析式（方程组（消去）法） 核心方法：联立方程组消元 【例6-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知满足，则_______． 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 【变式6-3】已知，求. 【考点题型七】函数概念中新定义题 【例7-1】（多选）（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）定义已知函数，，若在区间上的值域为，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【例7-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． (1)判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 【变式7-1】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 【变式7-2】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． (1)若，求关于x的方程的解； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【变式7-3】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． (1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； (2)若是的“子函数”，求的取值范围． 一、单选题 1．（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（云南省2026年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）设函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．（26-27高一上·甘肃·期中）下列函数与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 二、多选题 7．（26-27高三上·吉林辽源·期中）若函数的定义域为，则实数可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 8．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（     ） A．最小值为 B．的最小值为 C．最大值为 D．无最大值 三、填空题 9．（26-27高一上·吉林四平·期中）已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 10．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足，且，则____. 11．（26-27高一上·全国·期中）一次函数满足，则的解析式为____. 四、解答题 12．（26-27高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，．求的最大值及的最小值； （2）求函数的值域． 13．（26-27高一上·山东潍坊·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 14．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的解析式. （2）已知为二次函数，且，求的解析式，并求当时，函数的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的概念及其表示 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【知识点02】函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【知识点03】求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【考点题型一】求常规函数的定义域 核心方法：使得函数有意义的范围，如，，如，则； 【例1-1】（26-27高一上·全国·期中）使有意义的的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．− 【答案】C 【分析】根据被开方数非负，分母需不为求解即可. 【详解】由题意可得， 解得或. 【例1-2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把“定义域为”的充要条件求出来（按 的正负、零点分类），再利用集合关系求解即可． 【详解】要使函数定义域为，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 的定义域是的充要条件是 ，即 ． .取值范围相同，是充要条件； B.没有交集，既不充分也不必要条件; D.没有交集，既不充分也不必要条件； C.真包含， ，当时，推不出，充分性不成立， 能推出，必要性成立， 故是 的定义域是的必要不充分条件. 【变式1-1】（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出当的定义域为时的取值范围，根据集合间的包含关系及充分条件、必要条件的定义即可得答案. 【详解】当的定义域为时， 则恒成立， 当时，则有恒成立； 当时，恒成立， 所以， 解得， 综上，， 又因为是的真子集， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 【变式1-2】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足，得， 所以，解得， 因此函数的定义域为. 【变式1-3】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】函数 的定义域为，则对恒成立，分当和时两种情况讨论即可. 【详解】函数 的定义域为，则对恒成立，故当时显然成立， 当时，则，解得，综合得实数的取值范围是. 【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域 核心方法：对应关系“”作用下的整体取值范围相同，另外注意，定义域是指单独一个“”的取值范围 【例2-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知的定义域为，求的定义域（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域约束、二次根式与分式有意义的条件列不等式组，求解解集的交集即可得到结果. 【详解】的定义域为，要使函数有意义，需同时满足且，解得 ，故的定义域为. 【例2-2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【答案】 【详解】已知的定义域为，因此，即， 在分母上，则，即， 取交集得：，故的定义域是. 【变式2-1】（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数定义域及抽象函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由的定义域为， 在中，得， 则的定义域为. 【变式2-2】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得，由，解得． 而两条件同时成立，得，即定义域为，故A正确． 【变式2-3】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且. 所以定义域为. 【考点题型三】值域问题 核心方法：图象法，分离常数法，换元法，判别法 【例3-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 【答案】 【分析】先求出函数值为和对应的自变量取值，再根据值域要求确定集合的元素限制，计数符合条件的子集个数. 【详解】令，，， 令，，或， 由的值域为，中一定有，与至少有一个， 满足条件的可能为，，，共个. 【变式3-1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）函数的值域为____________． 【答案】 【分析】利用换元法将问题转化为的值域，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，所以， 则。 所以函数的值域等价于的值域， 因为的对称轴为,所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在上的值域为 【变式3-2】（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】这是一道"任意—存在"型的恒成立问题，核心转化是： 。解题关键在于先对参数 与1的大小关系分类讨论，分别确定两个函数的单调性和区间端点值，再让 的左右端点分别落在 的值域范围内列不等式求解。 【详解】对任意 ，总存在 使 ，即 的值域是 值域的子集。 当 时， 单调递减，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递增，。 ，。 当 时， 单调递增，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递减，（均为负值）。 （1）：需 即 结合 ，得 。 （2）： 值域 ， 值域 ，不满足包含关系，舍去。 （3）： 值域恒为负，而 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 综上，实数 的取值范围是 。 【点睛】"任意 存在 "型问题，翻译成集合语言就是"前一个函数的值域是后一个函数值域的子集"。 【变式3-3】（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）（1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【答案】（1）；（2）；（3） ；（4）最小值是，无最大值 【分析】（1）带两个根号相加求最值，优先平方处理，转化为二次函数求范围，注意定义域约束； （2）含的根式函数，常用换元法把根号换成新变量，转化为二次函数求值域； （3）分式分子分母都是二次多项式，优先分离常数，利用直接分析范围； （4）复杂分式代数式，先拆项化简，构造对勾函数；使用均值不等式时，一定要验证取等条件在定义域内是否可达. 【详解】（1）由得，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为； （2）令，则，则，故即为， 而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，即， 故函数的值域为； （3）， 因为，所以，， 则函数的值域为； （4）由， 因为，由基本不等式，当且仅当取等号， 因为，所以，令，则，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等，所以函数的最小值为， 当时，，故函数无最大值． 【考点题型四】求函数的解析式（待定系数法） 核心方法：设出函数解析式，对比系数求解 【例4-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又由可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 【例4-2】（26-27高一上·全国·课后作业）设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足，且，则____. 【答案】 【分析】设，，根据题目条件得到方程，求出，得到函数方程； 【详解】设二次函数，， 则， 且， 即，解得，所以． 【变式4-2】（26-27高一上·全国·期中）一次函数满足，则的解析式为____. 【答案】或 【详解】设（），代入比较系数， ， 故，解得或 所以 或. 【变式4-3】（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出二次函数一般式，代入展开合并，再利用多项式恒等对应系数相等列方程组即可求解. 【详解】由题意，设， 则， ， 则， 又，则，解得， 所以． 【考点题型五】求函数的解析式（换元法） 核心方法：换元法（注意，换元必换范围；） 【例5-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知 ，则函数 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求解函数解析式，同时注意确定换元后新变量的取值范围，即所求函数的定义域. 【详解】 令，由于，因此， 由可得，所以， 由，可得 ， 即 ， 所以解析式为. 【例5-2】（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，整理得，由原式可知，则，所以. 由移项，得. 对等式右侧配方：，将代入，得. 结合，将换为自变量，得. 【变式5-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】先利用换元法求的解析式，再代入计算即可. 【详解】令，则，， 即， . 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】利用换元法，得，从而求出答案． 【详解】令，得， 且由题意知，则 故， ∴． 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则的值域为________. 【答案】 【分析】利用换元法求得函数的解析式，利用函数的单调性可求值域. 【详解】令，则，且， 所以， 即，又， 所以在上单调递增，所以. 所以的值域为. 故答案为：. 【考点题型六】求函数的解析式（方程组（消去）法） 核心方法：联立方程组消元 【例6-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元，以替换原式中的得到第二个方程，联立两个关于的方程，通过消元法解出的解析式． 【详解】①， 将换成得②， ①得③， ②③得， 即，解得． 【例6-2】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知满足，则_______． 【答案】 / 【分析】令，得到新的方程，联立两个方程消去即可求解. 【详解】已知对任意，有 ①. 令，代入①得： ②； 令，代入①得： ③. 由③整理得，代入②得： ， 即， 解得. 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 【变式6-2】（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 【答案】 【详解】由，① 得，② ②①，得， 所以． 【变式6-3】已知，求. 【答案】 【分析】用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】已知①， 用替换上式中的，得到②， 联立①②组成的方程组， 由①可得，将其代入②可得， 解得，即. 【考点题型七】函数概念中新定义题 【例7-1】（多选）（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）定义已知函数，，若在区间上的值域为，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到函数的表达式，利用函数图像即可判断. 【详解】已知函数，，， 当时，若，即，解得或（舍去）； 因此若，则，此时；若，则，此时； 当时，若，即，解得（舍去）或； 因此若，， 所以，如图所示， 由图可知，当时，在时，即，解得，取， 在时，即，解得， 若在区间上的值域为，则左边界必须在和之间，即， 当时，右边界必须在和之间，即，此时； 当时，右边界只能取，即，此时； 综上所述，的可能取值为，故BCD正确，A错误. 【例7-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． (1)判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是 理由如下：方法一：对于任意的，若，则， 所以，因为不是的子集， 所以不是自身在区间上的“—相伴函数” 方法二：当时，，解得， 所以当时，不存在，使得，即不是自身在区间上的“—相伴函数” (2)． (3)． 【分析】（1）方法一：先根据定义列出等式，算出对应的范围，发现不是的子集，因此不满足相伴函数的要求； 方法二：举特殊值计算说明即可； （2）变形得到，由的值域包含于解不等式锁定的范围，进而求出最大值； （3）转化为，求出的取值区间，结合的一个函数值只能对应唯一的条件，列出不等式求出t的范围. 【详解】（1）略 （2）对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，解得． 因为，， 所以，所以． 解得或，．又因为，所以，且不同时为． 所以当，时，取得最大值，最大值为． （3）对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，即． 因为， 所以． 因为，，所以当时，，当时，， 所以其图象如图． 又因为总存在唯一的，使得成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 【变式7-1】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 【答案】9 【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同，分析得出定义域的所有可能情况，即可得到答案． 【详解】由，解得， 由，解得或， 由，解得或， 即定义域内一定有0，－1和1至少有一个，－2和2至少有一个，则定义域所有可能为， ，，，，，， ，，， 即值域为的“孪生函数”共有9个. 【变式7-2】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． (1)若，求关于x的方程的解； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解方程即可； （2）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解不等式即可； （3）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围. 【详解】（1）已知，分两类讨论： ① 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意； ② 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意. 综上，方程的解为或. （2）分四类讨论： ① 当时，，结合， 得，不等式恒成立； ② 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ③ 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ④ 当时，，，故，不等式无解. 综上，不等式的解集为 . （3）分两类讨论： ①当时，，， 不等式整理为恒成立. 令，，则， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 故右端最小值为，得； ② 当时，，，不等式整理为恒成立. 令，，则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，故，得. 结合，综上，的取值范围为. 【变式7-3】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． (1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； (2)若是的“子函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是的“子函数”：理由： 由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可， 因为开口向上，对称轴为， 所以的值域为， 又因为的值域为， 显然，所以是的“子函数”； (2) 【分析】（1）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质、反比例函数性质、绝对值函数性质进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）因为， 所以当时，，易得； 当时，，由得，即， 综上：的值域为， 因为，开口向上，对称轴为， 所以当时，，即， 根据子函数的定义得，即，故； 当时，，即， 所以，即，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 综上：的取值范围为. 一、单选题 1．（四川成都市2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域的核心规则：同一对应法则下括号内表达式的取值范围相同，列不等式求解的范围即可. 【详解】函数的定义域为，含义是对应法则作用的对象的取值范围为， 对于函数，对应法则作用的对象为， 因此 ，解得， 所以的取值范围为， 即函数的定义域为. 2．（云南省2026年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）设函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求值即可. 【详解】由，所以. 3．（26-27高一上·甘肃·期中）下列函数与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，定义域为，而的定义域为，两者定义域不同，故A错误； 选项B，，定义域为，而的定义域为，两者定义域不同，故B错误； 选项C，，定义域同为，但当时，对应法则不同，故C错误； 选项D，，奇次根式对任意实数有意义，定义域为，对应法则也为，与相同，故D正确. 4．（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据被开方数非负，求解一元二次不等式即可． 【详解】由 得，即，解得 ， 所以函数 的定义域为 ，故 A正确． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又由可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法构造方程组，解方程组即可求解. 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 二、多选题 7．（26-27高三上·吉林辽源·期中）若函数的定义域为，则实数可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AB 【详解】由题意得对于任意恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，由，解得. 综上所述，，结合选项可知实数可能取值为0，. 8．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（     ） A．最小值为 B．的最小值为 C．最大值为 D．无最大值 【答案】AC 【分析】选项AC利用均值不等式可以求解；选项B注意取值范围利用函数性质判断；选项D对根号部分利用均值不等式放缩判断有最大值. 【详解】选项A，由得，，且， 则， 因为，，所以， 故，当且仅当，即，解得时取等号. 所以最小值为，A正确. 选项B，越接近，接近，接近，无最小值，B错误. 选项C，设，则，且， 由均值不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，得，即的最大值为，C正确. 选项D，由得，由（）变形得， 于是, 所以，当且仅当即时取等号. 所以该式有最大值，D错误. 三、填空题 9．（26-27高一上·吉林四平·期中）已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分三种情况，利用函数的单调性及函数的值域，结合基本不等式分析即可得实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以， 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，， 此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，， 故，即， 综上所述，实数的取值范围为． 10．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足，且，则____. 【答案】 【分析】设，，根据题目条件得到方程，求出，得到函数方程； 【详解】设二次函数，， 则， 且， 即，解得，所以． 11．（26-27高一上·全国·期中）一次函数满足，则的解析式为____. 【答案】或 【详解】设（），代入比较系数， ， 故，解得或 所以 或. 四、解答题 12．（26-27高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，．求的最大值及的最小值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）的最大值为；的最小值为16 ；（2） ． 【详解】（1），， 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，时取等号， 所以，所以的最大值为． 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，时取等号．所以的最小值为16． （2）设，则，所以原函数可化为， 函数在上单调递增，所以当时， 所以函数的值域为． 13．（26-27高一上·山东潍坊·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）直接利用代入法进行求解即可； （2）利用换元法进行求解即可； （3）利用待定系数法进行求解即可. 【详解】（1）∵，∴． （2）设，则，，即， ∴，∴． （3）∵是二次函数，∴设．由，得． 由，得，整理得， ∴，∴，∴． 14．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的解析式. （2）已知为二次函数，且，求的解析式，并求当时，函数的值域. 【答案】（1），. （2），值域为. 【详解】（1）设，由得，则，， 代入原式得，故，. （2）设， 代入条件， 展开得， 所以，，，解得，，， 故. 配方得，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时取最小值，当时取最大值，故函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $