专题05 指数函数与函数的应用-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019必修第一册）

专题05 指数函数与函数的应用 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 4 【重点保分一】根式的化简与求值 4 【重点保分二】指数函数的解析式与求值 6 【重点保分三】指数函数的图象与过定点 8 【重点保分四】指数函数的定义域与值域 11 【重点保分五】指数型不等式与指数幂比较大小 16 【重点保分六】零点存在定理及应用 19 【难点增分】 24 【难点增分一】实数指数幂的综合应用 24 【难点增分二】指数型函数的单调性及最值 27 【难点增分三】基本初等函数的零点分布 31 【培优满分】 36 【培优满分一】指数型函数与函数性质的综合应用 36 【培优满分二】函数与方程的综合应用 42 【技巧总结】 48 【单元检测】 51 知识梳理 1.n次方根的概念与性质 (1)n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)0的任何次方根都是0. 2.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 3.分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 (2)分数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 4.无理数指数幂及其运算性质 (1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). ④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). 5.指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 6.两类指数型函数模型 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 7.指数函数的图象和性质1 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 8.指数函数的图象和性质2 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 9.函数零点的概念 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 10.函数零点存在定理 函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 11.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 12.用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 重点保分 【重点保分一】根式的化简与求值 【典例精讲】（多选）（2022