精品解析：广西河池市天峨县高级中学2026-2027学年高二上学期11月阶段检测数学试题

高二诊断测试（数学试卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 四面体ABCD的每条棱长均为2，点E､F､G分别是棱AB､AD､DC中点，则（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 7. 已知直线上有两点，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 10. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 11. 若直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度小于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________. 13. 如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________ . 14. 椭圆与抛物线有共同的焦点，点是椭圆与抛物线其中的一个交点，轴，则椭圆的离心率为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆C：，点，点． （1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程； （2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 16. 已知双曲线，设其实轴端点为，点是双曲线上不同于的一个动点，直线分别与直线交于两点.证明：以线段为直径的圆必经过定点. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由． 19. 已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二诊断测试（数学试卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 2. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量法求线线角即可. 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义以及向量平行的规则求解. 【详解】因为A，B点在直线l上，必有 ， ， ， ，解得： ； 故选：A. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆定义可知，的周长为. 【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为 故选：D 5. 已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解. 【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，又, 与相似（为坐标原点），， ，解得或（舍）， 故选：A． 6. 四面体ABCD的每条棱长均为2，点E､F､G分别是棱AB､AD､DC中点，则（ ） A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】求出EG、EF、GF的长，从而求出，再由，能求出结果． 【详解】∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， ∴， ， ∴，又 ∴， ． 故选：A． 7. 已知直线上有两点，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面平行等价于直线的方向向量与面的法向量垂直，根据数量积运算求出的值. 【详解】因为直线上有两点， 所以直线的一个方向向量为 又因为，平面的一个法向量为， 所以，即， 解得. 故选：D. 8. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误， 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误， 对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确 对于D，向量的模为，故D正确， 故选：CD 10. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为， 而，故B错误； C. 若，则，则， 则， ， 当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误； D.在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 11. 若直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用勾股定理可求弦长，根据数量积的公式和夹角可求的取值范围，利用切割线定理可求，结合线段中点的轨迹方程可求长度. 【详解】由题知，圆心，半径， 对于A，时，圆心到直线的距离为，所以，A正确； 对于B，， 因为两点不重合，所以，所以的取值范围为，B不正确； 对于C，易知圆与坐标轴相切，设圆与轴相切于点， 由切割线定理可得，，C正确； 对于D，设，线段中点为， 联立，，， 所以，消去可得，， 即， 所以线段中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在圆内的部分， 因为为半径的圆的周长为，所以线段中点的轨迹长度小于. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，，三点能构成三角形，可知 ，，三点不共线，利用，即可求得的值. 【详解】因为，，三点能构成三角形，所以，，三点不共线， 所以 即 ， 因此，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由两点坐标求两点所在直线的斜率，属于基础题. 13. 如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________ . 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直. 【详解】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1, 易得,∴BM⊥B1F, 又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1, ∵BM⊂平面BCC1B1,∴EF⊥BM, 又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE, 又∵OP⊂平面A1B1FE, ∴BM⊥OP, ∴BM与OP所成的角为90°, 故答案为：90°. 14. 椭圆与抛物线有共同的焦点，点是椭圆与抛物线其中的一个交点，轴，则椭圆的离心率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题根据椭圆与抛物线的共性用椭圆的半焦距表示点坐标，代入椭圆方程即可得到的齐次方程，解之即得. 【详解】 如图，设点，则，因轴，把代入中， 解得：. 不妨取，再代入中，整理得：， 化简得：，即：， 解得：，因，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知圆C：，点，点． （1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程； （2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可； （2）设，，结合重心的性质可得，进而结合A为圆C上的动点求解即可. 【小问1详解】 由C：， 则圆心，半径， 当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即， 所以，解得， 此时切线l的方程为，即. 综上所述，切线l的方程为或. 【小问2详解】 设，， 因为，，G为三角形APQ的重心， 所以，即， 由A为圆C上的动点，得， 则，整理得， 即动点G的轨迹方程为． 16. 已知双曲线，设其实轴端点为，点是双曲线上不同于的一个动点，直线分别与直线交于两点.证明：以线段为直径的圆必经过定点. 【答案】见解析 【解析】 【详解】由已知可设，双曲线上的动点的坐标为且，则 因为直线的方程为直线的方程为 所以 设以线段为直径的圆上的任意一点，那么由得圆的方程为 令，代入上述圆方程，得 由可得，因此有，解得或. 所以，以线段为直径的圆必经过两定点 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接， 因为分别为的中点，所以且， 在正方形中，是中点，可得且， 所以且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，故直线平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，所以，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为底面四边形为正方形，且底面， 以为坐标原点，以所在的直线分别为为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设，则， 因为，所以，可得，且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角的为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由． 【答案】（1）证明：在中，，，由余弦定理，得 ，所以，即． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，的中点分别为，，连接，， 因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以． 因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，， 设，则，所以． ，，设是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则， 即，解得． 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 19. 已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值． 【答案】（1）； （2）由（1）知，，设，， ① 当的斜率存在时，设的方程为：， 由得：， ，即：， 所以，， 以为直径的圆经过点，， 又，， ， 又， ， 即：， 化简得：，即：， 解得：或，且均满足， 当时，，直线恒过定点， 此时定点与点重合，与已知相矛盾，故舍去； 当时，，直线恒过定点，记为点； ②当的斜率不存在时，设的方程为：， 设，，，则， 此时，， ， 整理得：，解得：或， 或，，此时恒过定点. 综述：恒过定点. 又，即：，（、、三点都在直线上） 点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，即的中心，为该圆的半径，即的一半. 故存在定点，使得为定值6. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于、、的方程组求解即可. （2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到与的关系式，得到直线恒过定点，②斜率不存在时，再由得到直线方程，进而得出此时直线也恒过定点，进而证得存在定点为的中点，为的一半. 【小问1详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 又由题知，解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路： （1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $