2026～2027学年人教版八年级数学上册期中复习专项训练卷

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册 · 期中复习题型专项训练卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【基础概念易错篇】 【考点1   三角形的概念】 1．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 2．下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断． 【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误； 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误； 等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确． 故选：D． 3．如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的分类，根据三角形最大的内角的大小可将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，据此即可解答． 【详解】解：根据题意无法判断被纸遮住的两个角的情况，故无法判断这个三角形是什么类型的三角形． 故选：D 【考点2   三角形的稳定性】 4．同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：A、用到了三角形的稳定性，不符合题意， B、用到了三角形的稳定性，不符合题意， C、用到了三角形的稳定性，不符合题意， D、用到了四边形的不稳定性，符合题意， 故选：D． 5．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上___根木条． 【答案】2 【知识点】三角形的稳定性及应用、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 6．在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（　　） A．3，7，15 B．1，2，4 C．5，5，10 D．2，3，3 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边进行判断． 【详解】A选项：∵ 3+7<15，∴A组线段不能围成三角形； B选项：∵1+2<4，∴B组线段不能围成三角形； C选项：∵5+5=10，∴C组线段不能围成三角形； D选项：∵2+3>3，∴D组线段能围成三角形； 故选D. 【点睛】点睛：三角形三边之间需满足：“三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边”，在实际解题中，只要满足“三条线段中较小的两条线段的和大于最长的线段，则三条线段就能围成三角形，否则就不能”. 【考点3   三角形的三边关系】 7．已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和7， ∴第三边长x的取值范围是：， 即：， 故答案为：． 8．有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，从中任意选出三根，有4种情况，由三角形三边关系定理判定即可． 【详解】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ，能构成三角形， 所以其中能构成三角形的有2种． 故选：B． 9．数学课上，老师要求同学们借助三角板画出的边上的高，下列操作方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高的作法．熟记相关定义即可． 从一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：想画出的边上的高，应该从点A向边所在的直线作垂线， 故选：B． 【考点4   三角形的角平分线、中线和高】 10．如图，在中，，点、是边上的两点，连接、，若，平分，则下列说法中错误的是（   ）    A．线段是的中线 B．线段是的高 C．线段是的角平分线 D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的知识，掌握其定义，图形结合分析是解题的关键． 根据三角形的中线的定义，高的定义，角平分线的定义进行分析判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴线段是的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴线段是的高，故B选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴线段是的角平分线，故C选项正确，不符合题意； 根据题意，线段是的角平分线得到，线段是的中线，无法得到，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 11．如图，在中，点，分别为，的中点，且，则为（   ） A．2 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形的面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解题的关键． 利用三角形中线平分三角形的面积，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点，分别为，的中点，且， ∴， ∴． 故选：C． 12．如图，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠ABC＝40°，∠C＝68°，则∠DAE＝___． 【答案】14°/14度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可． 【详解】解：∵∠ABC＝40°，∠C＝68°， ∴∠BAC＝180°−∠ABC−∠C＝72°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝36°， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝68°， ∴∠DAC＝90°−∠C＝22°， ∴∠DAE＝∠EAC−∠DAC＝36°−22°＝14°， 故答案是：14°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高定义等知识点，能求出∠EAC的度数是解此题的关键． 【考点5   三角形的内角和定理】 13．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为________． 【答案】60° 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而求得∠A的度数． 【详解】解：连接BC． ∵∠BDC=120°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-120°=60°， ∵∠BGC=90°， ∴∠GBC+∠GCB=180°-90°=90°， ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°， ∴∠ABD+∠ACD=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠A=180°-120°=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在三角形中，，点D为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______． 【答案】或 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据题意分在三角形外部和在三角形内部两种情况讨论，分别根据折叠的性质和角的和差求解即可． 【详解】解：当在三角形外部，如图： ∵，， ∴， ∵三角形沿着折叠， ∴ ∴ 当在三角形内部，如图： ∵，， ∴， ∵三角形沿着折叠， ∴， ∵． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．如图所示，在中，，是角平分线，是高，，，求的度数．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：是高， ， 是角平分线，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和垂直定义、角平分线定义等知识点，能根据三角形内角和定理求出各个角的度数是解此题的关键． 【考点6   三角形的外角性质】 16．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后D与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2 = 2∠3；③： ④∠1 +2∠3=180°，其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据平行线的性质和折叠的性质可得∠MEF＝∠3，再根据三角形外角的性质即可判断②；由AD∥BC可得∠1+∠2＝180°，然后结合②的结论即可判断④，进一步即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得∠DEF＝∠MEF，即EF平分∠MED，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠3， ∵∠DEF＝∠MEF， ∴∠3＝∠MEF， ∴∠2＝∠3+∠MEF＝2∠3，故②正确； ∵AD∥BC， ∴∠1+∠2＝180°，即∠1+2∠3＝180°，故④正确； ∴∠1+∠3＝90°，故③错误． 综上，正确的结论是①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、角平分线的定义以及三角形的外角性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 17．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，延长交于点，设，利用三角形外角的性质表示出的度数，结合角平分线的等腰得到度数，根据列出等式，即可求出． 【详解】解：延长交于点，设交于F， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，，，，若，则与间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，等边对等角． 易得，通过证明得出，则，最后根据在中，，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 整理得：， 故选：A． 【考点7   全等三角形的性质】 19．如图，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 20．如图，点 D、E在BC上，ABE≌ACD，BC=10，DE=4，则 BD的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】由ABE≌ACD得到，继而得到，再由，据此解答． 【详解】解：ABE≌ACD， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 21．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事 A．③ B．② C．① D．①② 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：A． 【考点8   全等三角形的判定】 22．下列条件中，可以确定和全等的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．依据上述方法进行判断即可． 【详解】A.，，，不能判定和全等，故不符合题意； B.，，，根据能判定全等，故符合题意； C.，，，不能判定和全等，故不符合题意； D.，，，不能判定和全等，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 23．如图，已知的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和全等的图形是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：因为所对的边是b不是a，故图乙中的三角形和不全等． 如图甲、丙根据全等三角形的判定定理和可以证得它们全等、丙中的三角形和全等． 故选：B． 24．如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处 （2）三个外角两两平分线的交点，共三处， 共四处， 故选：D． ． 【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键． 【考点9   角平分线的性质与判定】 25．如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，是的角平分线，然后根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是内一点，且点到三边，，的距离相等，即， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 26．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 27．如图，，，点P是AD上一点，若，在PC长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】根据AB＝AC， BD＝CD可证AD是BC的垂直平分线，由线段垂直平分线性质可得PC＝PB，即可得出结论． 【详解】解：∵AB＝AC， BD＝CD， ∴点A、D是BC垂直平分线上的点． ∵两点确定一条直线， ∴AD是BC的垂直平分线． ∴PC＝PB． ∵PB＝3， ∴PC＝3． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键。 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 28．五个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数为______． 【答案】4 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形是轴对称图形； 直角三角形不一定是轴对称图形，共4个一定是轴对称图形； 故答案为：4 【点睛】本题考查了轴对称的定义，掌握轴对称图形的概念；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 29．如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【答案】 【知识点】轴对称图形的识别、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可． 【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示， 如图，建立直角坐标系， 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 30．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸；而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于轴对称，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，理解关于轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键．根据轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】A，B两处灯笼的位置关于轴对称，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 故选：D． 【考点11 判断轴对称图形】 31．若点与点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了点的坐标的对称，求代数式的值，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：A． 32．在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与轴对称，由题意可得，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2．设横坐标为，则，解得，即可求出答案． 【详解】解：点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2， 设横坐标为，则， 解得， ∴点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是， 故答案为：． 33．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 34．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝72°，D为BC上一点，在AB上取BF＝CD，AC上取CE＝BD，则∠FDE的度数为（　　） A．54° B．56° C．64° D．66° 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】由“SAS”可证△BDF≌△CED，可得∠BFD＝∠CDE，由外角的性质可求解． 【详解】解答：解：∵AB＝AC，∠A＝72°， ∴∠B＝∠C＝54°， 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠CDE+∠FDE， ∴∠FDE＝∠B＝54°， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． 35．如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个． 【答案】9 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边． 【详解】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个； ②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个． 所以符合条件的点C共有9个． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想． 36．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 【考点13 等腰三角形的判定】 37．如图，已知，，则的度数是____________． 【答案】/80度 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】反复利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次得到，，，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识是解题关键． 38．如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则_________． 【答案】/40度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得是的垂直平分线，故，即，因为，得，即可作答． 【详解】解：连接， ∵，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， 则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角和、含角直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识；过点B作，交延长线于点E，根据三角形外角和等腰直角三角形的性质，得，再根据含角直角三角形、勾股定理的性质列方程计算得，再通过勾股定理计算即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交延长线于点E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 设 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【考点14 等腰三角形的性质】 40．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 点D是的中点， ∴垂直平分， ， ， ， ， 故选：C． 41．如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．5.5 【答案】D 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】过P作于Q，利用三线合一得到Q为中点，求出的长，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由求出的长即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 42．如图，以等边的边AC为腰作等腰，使，连接BD，若∠CBD=40°，则∠BDC的度数为________°． 【答案】30 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， 设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α， ∵∠CBD＝40°， ∴∠ABD＝60°﹣40°＝20°， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣40°﹣（60°+α）＝α﹣20°， 解得：α＝50°， ∴∠BDC＝α﹣20°＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【考点15 含30度角的直角三角形】 43．如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于_______． 【答案】9 【知识点】折叠问题、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得，是解题的关键． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． 阴影部分图形的周长 ， 是边长为3的等边三角形， ， ， 阴影部分图形的周长等于9， 故答案为：9． 44．如图，等边三角形ABC，BC的高AD=4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值_________． 【答案】4cm 【知识点】等边三角形的判定和性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接， 等边中，是边上的高， 是边上的中线，即垂直平分 ， 当、、三点共线时，， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为4， 故答案为：4cm． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质，解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 45．已知的三边a，b，c满足，则是（      ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先提取公因式，得到，进而得出或，即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 的形状为等腰三角形， 故选：B． 【考点16 等边三角形的性质】 46．下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为120°③一边上的高也是这边所对的角的平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法：三个角是60度，三条边相等，有一个角为60度的等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①三个内角都相等的三角形是等边三角形，符合题意； ②两个外角为120°，则有两个内角为60°，第三个角也是60°，是等边三角形，符合题意； ③一边上的高也是这边所对的角的平分线，只能说明是等腰三角形，不符合题意； ④三条边上的高相等，根据三角形的面积为定值，得到三条边也相等，三角形是等边三角形，符合题意； 综上：是等边三角形的有3个． 故选B． 47．如图，，平分，且．若点E，F分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，在、上截取，作，只要证明即可推出是等边三角形，由此即可得结论． 【详解】解：如图，在、上截取，作， 平分， ， ， ，是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， 是等边三角形， 只要，就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 【考点18 规律探索】 48．在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索、点坐标与轴对称变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期， ∵， ∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为， 故选：D． 49．如图是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②'，以此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑧的边长为_________．    【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】根据图形和勾股定理，依次求出前面几个正方形的边长，总结出变化的一般规律，即可解答． 【详解】解：设正方形②的边长为x， ∵图中三角形均为等腰直角三角形， ∴，解得：， 同理可得：正方形③的边长， 正方形④边长， …… 正方形n长， ∴正方形⑧的边长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【考点19 新定义问题】 50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形．若等腰是倍长三角形，腰的长为10，则底边的长为 _____． 【答案】5 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】分两种情况讨论：当底边为腰长的2倍，当腰长为底边长的2倍，再由三角形三边关系验证即可． 【详解】解：是等腰三角形，腰的长为10， ∴， 是倍长三角形， 当时，底边为，此时符合题意； 当时，底边为，此时不符合题意， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 51．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．已知是“准等边三角形”，其中．则______． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了新定义，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度．根据题意得出，则或，进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是“准等边三角形”， ∴或， ①当时，， ∴， ②当时，则， ， 解得： 故答案为：或． 【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】 52．三角形的高线、中线、角平分线都是（　　） A．直线 B．线段 C．射线 D．以上情况都有 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形高线、中线、角平分线的定义作出判断． 【详解】三角形的高线、角平分线和中线都是线段， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 53．如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为． (1)如果，，试求的周长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)的周长为； (2)． 【知识点】折叠问题、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查图形的翻折变换，垂直平分线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． （1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，根据，可证，在中，利用互余关系求，再求． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）解：设，则， ∵， ∴， 在中， ， 即：， ∴， ∴． 54．如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点】折叠问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角与三角形的内角和定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）解：∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）略 【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】 55．如图，是的高，是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识点，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，再根据直角三角形两锐角互余即可； （2）由角的和差可得，再结合角的平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 是的高， ， ． （2）解：∵， ． 平分， ， 在中，， ． 56．如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．    (1)若，则　　（直接写出答案） (2)若，求出的度数（用含的代数式表示并写出理由） (3)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ； (3)， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）， ， ， 由（2）得：． ． 57．在中，平分，，垂足为F，与交于点D． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，在内部作，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的性质，垂直的定义可求，再根据三角形内角和为可求，进一步根据角的和差关系求出的度数； （2）根据角平分线的性质，垂直的定义可求，再根据等量关系即可求解． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴． 又是的外角， ∴ 又， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角的知识，解题的关键是熟练掌握性质和定理． 【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】 58．如图，点A，B，C，D在一条直线上，． (1)求证：． (2)若，判断的形状． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵ ∴即 在与中， ， ∴ (2)是直角三角形 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理的逆定理等相关知识点，解题的关键是熟知相关性质． （1）由平行线的性质推得，由推得，再利用“边角边”定理即可证明两三角形全等． （2）结合三角形全等的性质计算的各边的长，再利用勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， 又 则， 在中， ∵， ∴ ∴， ∴的形状是直角三角形． 59．某建筑测量队为了测量一栋居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使，，在一直线上，测得大树顶端的视线与居民楼顶端的视线的夹角为90°，且大树和居民楼都垂直于地面．若米，米，请计算出该居民楼的高度． 【答案】该居民楼的高度为52米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先得出，再证明，得出，求出米，进而可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， 又米，米， （米）， ∴米， 答：该居民楼的高度为52米． 60．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴    (3)存在， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质确定，，即可求解； （2）根据同角的余角相等得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由等量代换即可证明； （3）连接，由（2）中得出，再由三角形内角和定理确定，得出方程求解即可； 理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】（1）解：连接，在等腰直角中， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；    （2）略 （3）存在点使得与全等，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】 61．已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： 平分 又 (2) 证明：由（1）知 为等腰三角形 又平分 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余，结合角平分线得到，再由对顶角相等证明即可； （2）根据等腰三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 62．如图，中，于D，平分，．      (1)求证：． (2)当时，请写出图中与相等的四个角． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． (2)，，， 【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）要证明，只要证即可，根据题目中条件可得，由平分可知，由即可证明． （2）由（1）可得，当时，可知，为等边三角形，从而得解． 【详解】（1）略． （2）由（1）可知， 在中，， ， ∵， ， ， 又∵， 为等边三角形， ， （对顶角相等）， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的内角和、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 63．如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2) 作于点G，则， 因为， 所以． (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线性质的实际应用 【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则． （2）作于点G，则，所以； （3）由， ，得计算即可． 【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，， 所以， 所以． ∴的值是． （2）略． （3）因为， ， 所以． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】 64．在中，，，点在上，点在上，连接、交于点，过点作交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）先证明是等边三角形，再求解，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先证明，再求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含的直角三角形的性质，证明是解本题的关键． 65．正方形ABCD的边长是10，点E是AB的中点，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F． （1）如图1，连接AB′． ①若△AEB′为等边三角形，则∠BEF等于多少度． ②在运动过程中，线段AB′与EF有何位置关系？请证明你的结论． （2）如图2，连接CB′，求△CB′F周长的最小值． （3）如图3，连接并延长BB′，交AC于点P，当BB′＝6时，求PB′的长度． 【答案】（1）①∠BEF＝60°；②A B'∥EF，证明见解析；（2）△CB′F周长的最小值5+5；（3）PB′＝． 【知识点】正方形折叠问题、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）①当△AEB′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，由折叠可得，∠BEF＝ ∠BE B′＝ ×120°＝60°；②依据AE＝B′E，可得∠EA B′＝∠E B′A，再根据∠BEF＝∠B′EF，即可得到∠BEF＝∠BA B′，进而得出EF∥A B′； （2）由折叠可得，CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，依据B′E+ B′C≥CE，可得B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5，进而得到B′C最小值为5﹣5，故△CB′F周长的最小值＝10+5﹣5＝5+5； （3）将△ABB′和△APB′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，设PB′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．依据∠BQP＝90°，可得方程22+（8﹣x）2＝（6+x）2，即可得出PB′的长度． 【详解】（1）①当△AE B′为等边三角形时，∠AE B′＝60°， 由折叠可得，∠BEF＝∠BE B′＝×120°＝60°， 故答案为60； ②A B′∥EF， 证明：∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， 由折叠可得BE＝B′E， ∴AE＝B′E， ∴∠EA B′＝∠E B′A， 又∵∠BEF＝∠B′EF， ∴∠BEF＝∠BA B′， ∴EF∥A B′； （2）如图，点B′的轨迹为半圆，由折叠可得，BF＝B′F， ∴CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10， ∵B′E+ B′C≥CE， ∴B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5， ∴B′C最小值为5﹣5， ∴△CB′F周长的最小值＝10+5﹣5＝5+5； （3）如图，连接A B′，易得∠A B′B＝90°， 将△AB B′和△AP B′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q， 由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形， 由AB＝10，B B′＝6，可得A B′＝8， ∴QM＝QN＝A B′＝8， 设P B′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x． ∵∠BQP＝90°， ∴22+（8﹣x）2＝（6+x）2， 解得：x＝， ∴P B′＝x＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，正方形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】 66．如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，折痕为；将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)与的关系是___________； (2)若，求的度数； (3)连接，在（2）的前提下，若，求的度数． 【答案】(1)互余 (2) (3) 【知识点】折叠问题、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质以及平角的度数进行求解即可； （2）根据翻折的性质以及互余的角，进行求解即可； （3）根据长方形的性质得出直角，根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：根据翻折的性质得，， 又∵， ∴， ∴与是互余的关系， 故答案为：互余； （2）解：由（1）得，且， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 试卷第2页（共53页） 试卷第1页（共53页） 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光多笔 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册 期中复习题型专项训练卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 【基础概念易错篇】 【考点1三角形的概念】 1.如图，图中三角形的个数为() D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.下列说法正确的是() ①等腰三角形是等边三角形： ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形： ③等腰三角形至少有两条边相等. A.①② B.②③ C.①③ D.③ 3.如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是()三角形 A.钝角 B.锐角 C.直角 D.无法确定 【考点2三角形的稳定性】 4.同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是() 试卷第1页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 5.三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上根木条. 6.在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是() A.3,7,15 B.1,2,4 C.5,5,10 D.2,3,3 【考点3三角形的三边关系】 7.已知三角形的三条边长分别为2,7，x,则x的取值范围是一 8.有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 9.数学课上，老师要求同学们借助三角板画出△ABC的边BC上的高，下列操作方法正确的是() B C 【考点4三角形的角平分线、中线和高】 10.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E是AC边上的两点，连接BD、BE,若CE=DE,BD平分 试卷第2页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 ∠ABE,则下列说法中错误的是（） A.线段BE是△BCD的中线 B.线段AB是△BCE的高 C.线段BD是△ABE的角平分线 D.∠1=∠2=∠3 1.如图，在△MBC中，点D,F分别为BC,AC 的中点，且 S4=16,则Sar为() 则 D A.2 B.8 C.4 D.1 12.如图，AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,若∠ABC=40°，∠C=68,则∠DAE= E D 【考点5三角形的内角和定理】 13.如图，BF平分∠ABD,CE平分∠ACD,BF与CE交于G,若∠BDC=120°，∠BGC=90°，则 ∠A的度数为. 14.如图，在三角形ABC中，∠ACB=86°，点D为AB边上一个动点，连接CD,把三角形ACD沿着 试卷第3页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 CD折叠，当∠ACB=20°时，则∠DCB= A D B A 15.如图所示，在△ABC中，∠B<∠C,AE是角平分线，AD是高，∠BAC=80°，∠EAD=10°，求∠B 的度数. B ED 【考点6三角形的外角性质】 16.如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿F折叠后D与BC的交点为G,D、C分别在M、N的位置 上，有下列结论：①F平分∠MBD,②∠2-243，③1+号3=90：①∠1+2∠3=180，其中-定 正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 17.如图，∠ABD、∠ACD的角平分线相交于点P,若∠A=52°，∠D=16°，则∠P的度数为一。 18.如图，∠ACB=∠AED=90°，∠CAE=∠BAD,BC=DE,若BD∥AC,则∠ABC与∠CAE间的数 试卷第4页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光多笔 量关系为() B A.2∠ABC=∠CAE B.∠ABC=∠CAE C.∠ABC+2∠CAE=90° D.2∠ABC+∠CAE=180° 【考点7全等三角形的性质】 19.如图，△ABC≌aDEF,若∠A=75°，∠B=50°，则∠F的度数是() B A.75° B.50° C.65 D.55 20.如图，点D、E在BC上，△ABE≌△ACD,BC10,DE=4,则BD的长是() A.6 B.5 C.4 D.3 21.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一 块与原来一样的三角形模具，他带()去最省事 ③ ,② A.③ B.② C.① D.①② 【考点8全等三角形的判定】 22.下列条件中，可以确定△ABC和△AB'C'全等的是() 试卷第5页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光多笔 A,BC=BA,B'C'=BA',∠B=∠B B.∠A=∠B,AC=AB',AB=B'C C.∠A=∠A',AB=B'C',AC=C D.BC=B'C',AC='B,∠B=∠C 23.如图，已知△ABC的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和△ABC全等的图形是 () B a49 丙 人59°722 49° ∠49° a b A A.甲和乙 B.甲和丙 C.只有乙 D.只有丙 1,l2,3 24.如图， 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可 能地址有()处， L3 A.1 B.2 C.3 D.4 【考点9角平分线的性质与判定】 25.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,AC,BC的距离相等，即OP=OM=ON,若 ∠ABC=80°，则∠AOC的度数是() A.140° B.130° C.120° D.110° 26.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB 另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，,小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他 这样做的依据是() 试卷第6页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 A 0 1 2 3 9 10 /34568910 B A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条高交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 27.如图，AB=AC,BD=CD,点P是AD上一点，若PB=3,在PC长为() ⊙ B D A.3 B.4 C.5 D.6 【考点10线段垂直平分线的性质与判定】 28.五个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，直角三角形，其中一定是轴对称图形的 个数为 29.如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子.棋盘中心方形棋子的位置用 1,0) 表示， (2,-1) 右下角方形棋子的位置用 表示.嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形. 则嘉嘉放的位置是 试卷第7页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 ◇ O-☐-O □-0-□ 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， A A(1,1) 由图可知点 30.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸：而现在，人们常用贴“福” 字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，在平面直角坐标系中，A,B两处灯笼的位 2 -1,2) 置关于轴对称，若点A的坐标为 ,则点B的坐标为() A.0-2) B.42) C.（-1,-2) D.1,2) 【考点11判断轴对称图形】 3引.者点14叭与点B(a3)关于y轴对称，则m+m A.1 B.-1 C.2024 D.-7 32。在平面直角坐标系中，点P(42 关于直线1(1过点 ，0)且与x轴垂直)的对称点的坐标是 试卷第8页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 33.如图，∠MAW<9O°，B是射线AN上的定点，P是射线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形， 则满足条件的点P共有() M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点12关于坐标轴对称点的坐标】 34.如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A=72°，D为BC上一点，在AB上取BF=CD,AC上取CE= BD,则∠FDE的度数为() D C A.54° B.56 C.64° D.66 35.如图，A.B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且 △ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有个. B 36.己知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于() A.40° B.20 C.40°或140° D.20°或70° 【考点13等腰三角形的判定】 37.如图，已知∠ABC=20°，BD=DE=EF=FG,则∠AFG的度数是 试卷第9页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光多笔 D B 38.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=2,分别以点BC为圆心，大于2BC的长为半径画弧， 两弧相交于点P,作射线AP,若∠BAP=50°，则∠ABC=」 B 39.已知，如图在三角形ABC中，AC=4,∠A=30°，∠ABC=15°，延长AC到点D,使得DC=AC, 则BD的长为() B A.5 B 3V3 C.4v5 D.4V3-2 【考点14等腰三角形的性质】 40.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E, DE=3,则CE的长度为() A.10 B.11 C.12 D.13 41.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=13,点M,N在边OB上，PM=PN,若 MN=2,则OM的长为() 试卷第10页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 0660 B A.4 B.5 C.6 D.5.5 42.如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD,使AC=AD,连接BD,若∠CBD=40°，则∠BDC 的度数为 D B 【考点15含30度角的直角三角形】 43.如图，已知△ABC是等边三角形，且边长为3，点D,E分别在边AC,BC上，将△CDE沿DE所在 的直线折叠.若点C落在点C'处，DC,EC分别交边AB于点F,H,则阴影部分图形的周长等于 44.如图，等边三角形ABC,BC的高AD=4cm,点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的 最小值 试卷第11页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 A B 45.已知△MBC的三边a,b,c满足 b(a-b)+c(b-a)=0 0,则△ABC是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【考点16等边三角形的性质】 46.下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为120°③一边上的高也是这边所对的角的 平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 47.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB,且OP=10.若点E,F分别在OA,OB上，且△PEF为等边 三角形，则满足上述条件的△PEF有() O A B A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 【考点18规律探索】 48.在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2 次关于》轴对称，第3次关于*轴对称，，依次类推，若点4的坐标为32 ,则将△ABC经过第2026 次轴对称变换后所得的点A的对应点坐标是() 第1次 第2次 第3次 关于x轴对称 关于y轴对称 关于x轴对称 试卷第12页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 A.(3,2) B.(32) c.(3-2) D.（3,-2) 49.如图是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三 角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②'，以此类推，若正方形①的边长为64cm,则正方形 ⑧的边长为. cm ③1 ③ ②1 ② ④ ① 【考点19新定义问题】 50.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形.若等腰△ABC是倍长 三角形，腰AB的长为10，则底边BC的长为 51.定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.已知△ABC是 “准等边三角形”，其中∠A=50°，∠C>90°.则∠B= 【考点20与折叠有关的角度的计算问题】 52.三角形的高线、中线、角平分线都是(） A.直线 B.线段 C.射线 D.以上情况都有 53.如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE. B (L)如果AC=7cm,BC=9cm,试求△ACD的周长： (2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的度数 54.如图，在△ABC中，∠B=70°，点D是BC边上的一点，∠BAD=30°，△ABD沿AD折叠得到△AED 试卷第13页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 延长AE交BC于点F. B (①)求∠AFC的度数： (2)连接CE,若∠BAC=70°，∠ACE=20°，请说明CE平分∠ACF】 【考点21三角形的内角和与外角的性质的综合】 55.如图，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC的角平分线，且∠CBF=30°. DE (1)求∠BAD的度数； (2)若∠DAE=10°，求∠C的度数. 56.如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和 ∠AB0的角平分线，BC延长线交OM于点G. N B B G M G 图1 图2 (1)若∠MON=70°，则∠ACG=(直接写出答案) (2)若∠MON=n°，求出∠ACG的度数（用含n的代数式表示并写出理由） (3)如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F,求∠BG0与∠ACF的数量关系. 57.在△ABC中，AF平分∠BAC,CD⊥AF,垂足为F,与AB交于点D. 试卷第14页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 D F B B ① ② (1)如图①，若∠BAC=80°，∠B=30°，求∠BCD的度数： (2)如图②，在△ABC内部作∠ACE=∠B,求证：∠BCD=∠DCE. 【考点22全等三角形的判定与性质的综合应用】 58.如图，点A,B,C,D在一条直线上，AE∥DF,AE=DF,AB=CD D B C (I)求证：△AEC≌△DFB (2)若AE=AB=3,BC=2,BF=4,判断△BDF的形状. 59.某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C, 使B,C,D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角∠ACE为90°， 且大树和居民楼都垂直于地面.若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度. 田 西 B 60.如图1，已知在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=5cm,D是BC的中点，点P从A 点出发，以2Cm/s的速度沿着射线CA方向运动，连接PD交AB于点E,过点D作PD的垂线交直线AC 于点F,交直线AB于点G,若运动时间为 (s) 试卷第15页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 C D D A口 A口 B G E B G 图1 图2 (1)当t=1.5时，求BG的长： (2)在点P的运动过程中，试探究线段PF与EG的数量关系，并说明理由； (3)如图2，连接EF,EF上是否存在点H使得△DCF与△FAH全等，若存在，求出此时t的值；若不存在， 请说明理由， 【考点23角的平分线与线段的垂直平分线】 61.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,BE平分∠ABC交AD于点F,交 AC于点E,AG平分∠CAD交BE于点H,交BC于点G. H B (I)求证：∠AEB=∠AFE: (2)求证：AG⊥BE 62.如图，△ABC中，AD⊥BC于D,BE平分∠ABC,AF=AE E B (I)求证：AB L AC (2)当∠ACD=30°时，请写出图中与∠AFE相等的四个角. 试卷第16页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 63.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8,AC=6,BC=12. B D (1)求 △MBD:S△4CD 的值： AB BD (2)求证：ACCD (3)求BD的长. 【考点26等边三角形的性质与判定的综合】 64.在△ABC中，AB=AC,∠CAB=60°，点E在AB上，点F在AC上，连接BF、CE交于点G,过 点C作CM⊥BF交BF延长线于点M. (L)若∠BCE=2LACE,求∠CEB的度数： ②若AB=CF,求证：MG=2CG 65.正方形ABCD的边长是IO,点E是AB的中点，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF 沿EF折叠，得到△EB'F. (1)如图1，连接AB′. ①若△AEB'为等边三角形，则∠BEF等于多少度. ②在运动过程中，线段AB′与EF有何位置关系？请证明你的结论. 试卷第17页（共53页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 (2)如图2，连接CB',求△CBF周长的最小值. (3)如图3，连接并延长BB′，交AC于点P,当BB'=6时，求PB'的长度. D D 9 图1 图2 图3 【考点27含30°的直角三角形性质的应用】 66.如图，点E、F分别在长方形纸片ABCD的边AB、CD上，连接EF,将LBEF对折，点B落在直线 EF上的点B处，折痕为EM:将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A处，折痕为EN B B E B (I)∠MEB'与∠NEA的关系是 (2)若∠MEB'=2∠NEA,求∠MEB的度数： (3)连接MN,在(2)的前提下，若∠NMB=40°，求∠ENM的度数. 试卷第18页（共53页）