广东东莞市东莞中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

东莞中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学考试答案 一、 选择题： 题号 1 2 5 8 10 11 答案 D C D A D A B B BC ABD ACD 三、填空题 12.3x+y-5=0 13. 14.4,10 四、解答题： 15.(1)AC=CC-CA=CC-(CB+CD)=-a-6+ CB=CB+CC=a+c 2)油(1)得AG-a-i+d=-a-b+}=Va2++2+2a-6-2a-c-2b-e =v2+++-2-2-V2l CB=a+d-/(a+c)=Va'+o+2a.@-Va+a+a-/3a AGcB=(-a-i+c）(a+c)=-a2-a6-6.c+c2=-a-a2-a2+d=- 2 AC·CB, -a26 cos AC,CB 4Cc瓦V6a 6 6 所以异面直线AC与CB夹角的余弦为 6 16.解：(1)由题意知A(-2,2),B(12,0), 设经过O,A,B三点的圆的方程为：x+y2+Dx+y+F=0(D+E2-4F>0) [F=0 D=-12 :4+4-2D+2E+F=0,解得： E=-16 144+12D+F=0 F=0 .所求圆的一般方程为：x2+y2-12x-16y=0. 则经过0，A,B三点的圆的标准方程为：(x-6)'+(y-8)2=100, (2)由题意知：C(0,-10),则轮船航向所在直线方程为：y=x-10,即x-y-10=0, 由(1)知：经过0，A,B三点的圆的圆心为(6,8)，半径r=10, 图心(68)到直线-y-10=0的距度d:6一-810=65<10 2 :.直线x-y-10=0与圆x-6+(y-8)=100相交，即轮船会进入安全预警区： 设直线与圆的交点为E,F,则EF=2W2-d2=2W00-72=47, 4V万1 则轮船在安全预警区内会行驶872小时 B E 17.【详解】(1)如图所示：设△ABC的边AB上的高为CD,边AC上的高为BE, x+y=0 设cDx+y=0:BB:2x-3y+1=0:联立得2x-3y+1=0 1 x=- 5 解得 1， 所以垂心 y=5 1 2- 5 3 (2)由(1)km= 2, 由“三条高线交于一点”可得：H1BC,所以c三-？ 因为AC⊥BE,设AC所在直线方程为3x+2y+m=0,代入A(1,2)解得：m=-7, 所以AC所在直线方程：3x+2y-7=0, 3x+2y-7=0 x=7 联立直线4C与CD的方程，可得x+y=0，解得y=-7:所以C(亿，-7) 所以BC所在直线方程：47=-)，整得后可得：2x+3y+7=0 x+y=0 2x-3y+1=0 B (3)设M(-3,4)关于直线1：x-y+3=0的对称点N(x,%),则有MN11, 6-4=-1 x+3 且 的中点5-3+4在上.所以-3⅓+4+3-0 MN 2,2 22 0+%-1=0 x0=1 整理得 元-为-1=0：解得以=0：所以N(1,0) 则反射光线↓的方程经过N(1,0)和点P(3,6), 所以反射元线的方程为y=合x-).则即3x-y-3=0 18.【详解】(1)证明：连接AC,交BD于点O,连接OE, 点E是PC的中点，点O是AC的中点， 所以PAIlOE,OEC平面EDB,PA平面EDB, 所以PA‖平面EDB; F E (2)以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),则DB=(1,2,0),DE=(0,1,1), y 力 F E D B 设平面EDB的法向量而=(x,y,2), m·DB=x+2y=0 则m:DE=y+2=0,令y=-1则x=2,z=1 所以平面EDB的法向量m=(2,-1,1), 平面PAD的一个法向量为元=(01,0)， 设平面EDB和平面PAD的夹角为B, m列_1-V6 则cos0=水om,-同同店6， 6 所以平面EDB与平面PAD夹角的余弦值为 6 3)D(0,0,0,B(1,2,0),E(0,11),P(0,0,2) EB=(1,1-1),BP=(-1,-2,2),设BF=BP=(-元，-2元，2)(0≤元≤1) EF=EB+BF=(1,1,-1)+(（-元，-2元，22)=(1-元，1-2元，-1+2)， 由(2)知平面EDB的法向量m=(2,-1,), 设直线EF与平面EDB的夹角为a, 则sina=cosEF,m= 2(1-2)-(1-22)+(-1+22 }=6 V1-)2+1-22+(-1+2)2×63, 整理得g-10a+3=0:所以2i-4以-3)=0，解行1=或2- 4 当时.球-当2-时，做 4 39 则BF的长为2或4 19.【详解】(1)由圆心C在x轴上，设圆C的标准方程为(x-a+y2=r2(r>0), 因为圆c过A(2,25)、B3,1⑤)， (2-a2+(25=r2 所以 6-a+5=2,解得a=4, r=4 所以圆C的标准方程为(x-4)+y2=16: (2) D(6,10) 因为直线，被圆c截得的弦长为45，所以圆心C到直线/的距离为16-(23=2， ①当直线1的斜率不存在时，直线1：x=6与圆C的交点为6,25)， 此时，直线1被圆C截得的弦长为4W3,所以直线x=6,满足题意； ②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-10=k(-6),整理得-y+10-6k=0, 所以圆心。到直线，的距离 4k-0+10-6的=2，解得太= Vk2+1 5 则直线，的方程为少-10=号-6)，即12-5y-22=0: 综上，直线l的方程为x=6或12x-5y-22=0 (3) x=8 因为原点O在圆C:(x-4)+y2=16上，直线MN过圆心C,且与x轴所在直线不重合， 所以∠WON=受，设直线OM的斜率为k(k≠0)，则直线OM的方程为y=k:, 8 x= 由y=x 1+k2 ,得x=0或 8k, 所以点 的坐标为 88k） (x-4)2+y2=16 y=0 y=1+k M 1+k21+k2 1 又直线ON的斜率为，则直线ON的方程为y=- , 8k2 X= 1+k2 得〔x=0或 8歇，所以点 的坐标为(8k2 8k (x-4)2+y2=16 y=0 y=1+K2 N 1+k21+k2 由题意可如，P&4小Q8), 所8-2号-oMoN,s=5-lorjbq, OM ON OMON 所以s,oPOO OPoo' 8 8k2 又OM_xM=1+E=1, ON_1+2=K2 OP Xp 81+k2’ oo 81+k2 S=1k2 k2 1 1 1 所以S,1+及1+及0+2K2+1 一≤ 2+22,.1 4 V2+2 当卫仅当=点，即=1时，等号废立， 所以3，的最大值为4： 东莞中学2026-2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟．不准使用计算器． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 2．若四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆上的点到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知直线，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．坐标原点到直线距离的最大值为2 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是 A．曲线所围成图形的周长是 B．直线与曲线一定有两个交点 C．点在曲线上，的最小值是 D．曲线，则存在4条直线与曲线同时相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____． 13．已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则_____． 14．已知向量，.定义.长方体中，，点M满足，平面经过点B，且AM⊥平面.若点N是平面上一点，且点N在长方体内或其表面上，则的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， (1)用向量，，表示与； (2)求异面直线与夹角的余弦． 16．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试求经过三点的圆的标准方程； (2)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 18．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. (1)求垂心H的坐标； (2)求所在的直线的一般式方程； (3)若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 19．已知圆过、，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 试卷第2页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $