精品解析：广东省清远市阳山县南阳中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年秋季学期中段考高二级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为3，则m=（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 3. 已知直线经过点，，且与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 4. 已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 5. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6. 若动点到定点的距离和它到直线的距离之比是1：2，则下列说法不正确的是（ ） A. 点的轨迹是离心率为的椭圆 B. 点的轨迹方程是 C. 点的轨迹是长轴长为8的椭圆 D. 点的轨迹是短轴长为的椭圆 7. 已知四面体各棱长都等于1，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线不可能是圆； B. 若，则曲线为椭圆； C. 若曲线为双曲线，则或； D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知点，向量，且，则点的坐标为__________． 13. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是__________． 14. 设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 16. 已知圆． （1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线被圆所截得的弦长； （3）过点作圆的切线，求切线方程. 17. 已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程． （2）证明：为定值． （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期中段考高二级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可得直线的斜率，然后可得其倾斜角. 【详解】直线的斜率为1，则倾斜角为. 故选：C. 2. 双曲线的离心率为3，则m=（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】从双曲线方程可以看出，，从而利用离心率求出的值. 【详解】由题意得：，，因为C的离心率为3，所以，得. 故选：B 3. 已知直线经过点，，且与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到其斜率，根据可得直线的斜率，由斜率公式解方程即可. 【详解】直线的斜率，由于，则直线的斜率，得. 故选：C. 4. 已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解. 【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2， 故长轴长为2=4． 故选：B. 5. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆的圆心距为．因为圆的半径为，圆的半径为，所以圆心距等于两圆的半径和，故两圆外切． 故选：D. 6. 若动点到定点的距离和它到直线的距离之比是1：2，则下列说法不正确的是（ ） A. 点的轨迹是离心率为的椭圆 B. 点的轨迹方程是 C. 点的轨迹是长轴长为8的椭圆 D. 点的轨迹是短轴长为的椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意和两点间的距离公式可得点M的轨迹方程，即可得出答案. 【详解】设，由题意知， 整理得，即， 所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别是8，的椭圆，其离心率为. 故选：D 7. 已知四面体各棱长都等于1，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，则可得，所以为异面直线与所成角或其补角，然后利用余弦定理求解即可 【详解】连接，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四面体的棱长为1，则，, 所以， 所以在中，由余弦定理得 , 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B 8. 已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先分析出当，分别为圆的切线时，最大，过圆心作直线的垂线，垂足即为取得最大值时的点，可得，在中，可得 ，设可列方程，结合点满足直线的方程，即可求的坐标. 【详解】由圆：可得， 所以圆心为，半径. 因为点到的距离，所以与圆相离， 由图知当，分别为圆的切线时，最大， 若最大，则最大， 因为， 所以最小时，最大， 当时，最小，最大，则最大， 因为此时，所以， 在中，， 设，则①， ②， 由可得代入②可得： 解得：. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出时，且，分别为圆的切线时最大，设列方程，可求点的坐标. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 10. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线不可能是圆； B. 若，则曲线为椭圆； C. 若曲线为双曲线，则或； D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出各点坐标，转化几何问题为向量问题，再通过向量运算解决几何问题，验证选项的正确性. 【详解】 过作，垂足为，则，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则： ，，，，，，即： ，，，，，所以： 选项A：，故，故A正确； 选项B：， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 选项C：设平面的法向量为，则： 令，得：， 设直线与平面所成角，则： ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 选项D：设点到的距离为， 因为， ，， 则：， 即点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知点，向量，且，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算来进行求解． 【详解】设，则， 即， 故答案为：． 13. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为， 所以所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以， 所以所求椭圆的方程为：. 故答案为： 14. 设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出的中点坐标，判断出点与点重合，利用，建立关系，结合，即可求解. 【详解】设点，因为，所以的中点， 即点在轴上，又点在直线上，所以点与点重合， 由，得，即，得， 可得，解得，或舍去， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. 【小问1详解】 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问2详解】 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问3详解】 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 16. 已知圆． （1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线被圆所截得的弦长； （3）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1），圆心坐标为，半径为 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长； （3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程. 【小问1详解】 将进行配方可得，， 所以该圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为． 【小问2详解】 由（1）知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 设弦长为，则， 所以直线被圆所截得的弦长为. 【小问3详解】 因为， 所以点在圆外. 当切线斜率不存在时，过点的方程为，此时圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得圆心到切线的距离 ， 整理得，即， 解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 所以过点与圆相切的直线方程为；. 17. 已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点，列式计算即可求解； （2）①将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式即可求解；②利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆的离心率为，解得． 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，得（*）． ①，解得， 所以的取值范围为． ②设，由（*）式有， 由弦长公式有， 整理得， 解得且满足， 所以. 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 19. 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程． （2）证明：为定值． （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）如图： 由题意，直线不垂直于坐标轴，可设为：，. 联立方程组：，消去并整理得：. 设，，则 ，. 由得：， 而，同理可得：. 因此， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程即可解出，从而得到椭圆的方程； （2）根据题意可设直线的方程为，，，再根据平面向量运算表示出，结合韦达定理即可证出； （3）利用，求出关于的函数关系式，再根据基本不等式即可求得范围. 【小问1详解】 由题意知：，又，解得：，所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为. 又, 因为，所以，则. 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $