专题5.2.3 解一元一次方程——去分母（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题5.2.3 解一元一次方程—去分母 教学目标 1. 掌握去分母的依据（等式的性质2），会找分母的最小公倍数，能按步骤解含有分母的一元一次方程，规范书写解题过程并会检验方程的解。 2. 经历将含分母的方程转化为整数系数方程的过程，进一步体会化归思想，能辨析去分母的典型错误。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 教学重难点 1.重点 去分母的方法；掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的完整解题步骤。 2.难点 （1）去分母时不漏乘不含分母的常数项； （2）分子是多项式时，把分子看成整体，去分母后正确添加括号，准确处理负号； （3）连贯完成多步变形，减少符号、计算类错误。 （4）列一元一次方程解行程问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边 同时乘上各分母的 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。解一元一次方程：去括号： 【即学即练】 1.小颖在解关于的一元一次方程时，方程去分母时，漏乘了不含分母的常数项“”，得到错误方程的解为，求的值． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边 同时乘以各分母的 。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的 ，常数项移到等号的 。注意移动过的项一定要 。 ④合并：按照合并 的方法进行合并。 ⑤系数化为1：方程的左右两边同时 系数或乘上 。 【即学即练】 1．解方程： (1)； (2)； (3)． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 若路程为s，时间为t，速度为v。则： s＝ ；t＝ ；v＝ 。 1. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 2. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 3. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 。 4. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练】 1. 甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 题型01 解一元一次方程 【典例1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 1. 去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数； 不含分母的常数项也要乘，不能漏乘！ 2. 去括号：括号前是负号，括号内各项全部变号，数字分配不漏乘； 3. 移项：含未知数项移左边，常数移右边，移项变号； 4. 合并同类项：化简成 mx=n(m≠0)； 5. 系数化为 1：两边同除以m，得到x=a； 6. 检验：代入原方程，验证左右相等。 【变式1】下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】解方程 ，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【变式4】解方程: (1)； (2)． 题型02 方程的特殊解 【典例1】已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 对于方程ax=b 当a≠0时：方程有唯一解，x= 当 a=0，b≠0时：方程变成0·x = b，也就是0=非0数，矛盾，无解 当 a=0，b=0时：方程变成0·x = 0，无论x取什么数等式都成立，无数个解（任意数都是解） 注：先把含参方程整理成ax=b的标准形式，再判断！ 【变式1】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【变式2】若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 题型03 解一元一次方程中新定义题型 【典例1】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 题目临时规定一个新运算符号（如☆、△、⊕、※等），给出它的运算规则，这个符号课本里没有，只在本题生效。 解题思路：读懂规则，把新运算翻译成普通代数式，再列一元一次方程求解。 【变式1】定义一种新运算：，若，则x的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】定义一种新运算“”：，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3】新趋势·新定义 规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型04 列一元一次方程解行程问题 【典例1】为了打通城市和景区的交通线路，某市新修了高铁线路，使得两地总里程比原来缩短了29千米，高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米/小时？ 【变式1】“大疫”当前，真情弥坚．新冠疫情发生后，全社会积极筹措群众急需的生活用品和防疫物资运往灾区，奉献爱心．已知运输物资的甲车组每天可行420千米，乙车组因故推迟2天出发，为了确保物资按时送达，乙车组以每天行630千米的速度前进，乙车组需要几天可以追上甲车组？ 【变式2】一辆越野车以每小时千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，6秒后经山谷后面的大山反射听到回声．已知声音的速度为每秒米，则听到回声时越野车离大山的距离是多少米？ 【变式3】甲、乙两地是1路公交车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆1路公交车．小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行．每辆1路公交车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车．已知1路公交车行驶全程需要56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了________分钟． 【变式4】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度． 题型05 一元一次方程解的关系 【典例1】如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 四类常考关系 设方程①的解为x1，方程②的解为x2 解互为相反数：x1+x2=0 解相等：x1=x2 解互为倒数：x1×x2=1 一个解比另一个大 / 小多少：如x1=x2+3 【变式1】按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 【变式2】已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【变式3】【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【变式4】阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 2．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 5．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 6．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 7．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 8．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 9．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 10．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 1．一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 2．由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 3．如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 6．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．解方程：． 9．已知关于的方程与的解相同．若，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，求的值． 10．老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2.3 解一元一次方程—去分母 教学目标 1. 掌握去分母的依据（等式的性质2），会找分母的最小公倍数，能按步骤解含有分母的一元一次方程，规范书写解题过程并会检验方程的解。 2. 经历将含分母的方程转化为整数系数方程的过程，进一步体会化归思想，能辨析去分母的典型错误。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 教学重难点 1.重点 去分母的方法；掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的完整解题步骤。 2.难点 （1）去分母时不漏乘不含分母的常数项； （2）分子是多项式时，把分子看成整体，去分母后正确添加括号，准确处理负号； （3）连贯完成多步变形，减少符号、计算类错误。 （4）列一元一次方程解行程问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边每一项同时乘上各分母的最小公倍数，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。解一元一次方程：去括号： 【即学即练】 1.小颖在解关于的一元一次方程时，方程去分母时，漏乘了不含分母的常数项“”，得到错误方程的解为，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意，得是方程的解， 将代入得， 解得． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边每一项同时乘以各分母的最小公倍数。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。注意移动过的项一定要改变符号。 ④合并：按照合并同类项的方法进行合并。 ⑤系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。 【即学即练】 1．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 若路程为s，时间为t，速度为v。则： s＝ vt ；t＝ ；v＝ 。 1. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 2. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 3. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）＋火车长 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）－火车长 。 4. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练】 1. 甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【答案】(1)3小时后相遇 (2)出发小时或小时后两车相距40千米 【详解】（1）解：设两车出发x小时后相遇， 由题意得， 解得， 答：3小时后相遇； （2）解：设两车出发x小时后相距40千米， 由题意得，相遇前： 解得； 相遇后：， 解得． 答：出发小时或小时后两车相距40千米． 题型01 解一元一次方程 【典例1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 1. 去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数； 不含分母的常数项也要乘，不能漏乘！ 2. 去括号：括号前是负号，括号内各项全部变号，数字分配不漏乘； 3. 移项：含未知数项移左边，常数移右边，移项变号； 4. 合并同类项：化简成 mx=n(m≠0)； 5. 系数化为 1：两边同除以m，得到x=a； 6. 检验：代入原方程，验证左右相等。 【变式1】下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． 【变式2】解方程 ，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴方程两边同时乘以6去分母，得：，B选项符合题意． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式4】解方程: (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， . 题型02 方程的特殊解 【典例1】已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 对于方程ax=b 当a≠0时：方程有唯一解，x= 当 a=0，b≠0时：方程变成0·x = b，也就是0=非0数，矛盾，无解 当 a=0，b=0时：方程变成0·x = 0，无论x取什么数等式都成立，无数个解（任意数都是解） 注：先把含参方程整理成ax=b的标准形式，再判断！ 【变式1】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：， 化简得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是整数， ∴是4的因数，即、、， ∵多项式是二次三项式， ∴且， ∴且， ∴满足条件的值为、、、、， ∴这些值之和为． 故选：B． 【变式2】若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶∵方程， 化简得， 两边同乘10得， 即， ∴， ∴． ∵解为整数， ∴是6的因数，且为奇数（因为整数）， 6的奇数因数有、， ∴时， 时， 时， 时． 多项式是三次四项式， ∵系数， ∴需系数，即， ∴满足条件的为，，， 其和为， 故选：B． 【变式3】已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 题型03 解一元一次方程中新定义题型 【典例1】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题目临时规定一个新运算符号（如☆、△、⊕、※等），给出它的运算规则，这个符号课本里没有，只在本题生效。 解题思路：读懂规则，把新运算翻译成普通代数式，再列一元一次方程求解。 【变式1】定义一种新运算：，若，则x的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故选A． 【变式2】定义一种新运算“”：，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故选：D． 【变式3】新趋势·新定义 规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，解得． 故选：C． 题型04 列一元一次方程解行程问题 【典例1】为了打通城市和景区的交通线路，某市新修了高铁线路，使得两地总里程比原来缩短了29千米，高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米/小时？ 【答案】开通后高铁的平均速度是228千米/小时 【详解】解：设原来火车的速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：开通后高铁的平均速度是228千米/小时． 【变式1】“大疫”当前，真情弥坚．新冠疫情发生后，全社会积极筹措群众急需的生活用品和防疫物资运往灾区，奉献爱心．已知运输物资的甲车组每天可行420千米，乙车组因故推迟2天出发，为了确保物资按时送达，乙车组以每天行630千米的速度前进，乙车组需要几天可以追上甲车组？ 【答案】乙车组需要4天追上甲车组 【详解】解：设乙车组需要x天追上甲车组，根据题意得： ， 解得：， 答：乙车组需要4天追上甲车组． 【变式2】一辆越野车以每小时千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，6秒后经山谷后面的大山反射听到回声．已知声音的速度为每秒米，则听到回声时越野车离大山的距离是多少米？ 【答案】听到回声时越野车离大山的距离是975米 【详解】解：（米/秒）， 设听到回声时越野车离大山的距离为米， ∵ 6秒内越野车行驶的路程为米， ∴ 按喇叭时越野车离大山的距离为米， ∵ 声音6秒内传播的路程为米， 且声音传播的路程等于按喇叭时车到大山的距离与听到回声时车到大山的距离之和， ∴ ， 解得 ， 答：听到回声时越野车离大山的距离是975米． 【变式3】甲、乙两地是1路公交车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆1路公交车．小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行．每辆1路公交车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆1路公交车．已知1路公交车行驶全程需要56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了________分钟． 【答案】60 【详解】解：设路公交车的速度为，发车间隔为，则相邻两辆公交车的间距为， ∵两辆迎面行驶的公交车每分钟相遇一次， ∴， 解得， 即相邻公交车的间距为， 设小张的速度为，小王的速度为， ∵小张每隔分钟遇到一辆迎面开来的公交车， ∴， 整理得，即， ∵小王每隔分钟遇到一辆迎面开来的公交车， ∴， 整理得，即， ∴小张与小王的速度和为， ∵公交车行驶全程需要分钟， ∴全程总距离， ∴小张和小王的相遇时间为. 【变式4】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度． 【答案】 【详解】解：设这列火车行驶的平均速度是． 根据题意，得． 解得． 答：这列火车行驶的平均速度是． 题型05 一元一次方程解的关系 【典例1】如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 四类常考关系 设方程①的解为x1，方程②的解为x2 解互为相反数：x1+x2=0 解相等：x1=x2 解互为倒数：x1×x2=1 一个解比另一个大 / 小多少：如x1=x2+3 【变式1】按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解得． 因为两方程的解互为倒数， 所以方程的解为． 将代入，得 ． （2）解：由题意，得． ． 将代入，得 解得． 【变式2】已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 【变式3】【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 【变式4】阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 2．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 3．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 4．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解方程得：， 解方程得，， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴， 解得：， 5．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 6．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：先解方程， 去分母得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， ∵方程的解比方程的解大5， ∴方程的解为 ， 把代入得， 移项合并同类项得， 解得． 7．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 8．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 【答案】 【详解】解：设●表示的数字为，则原方程为， ∵方程的解为， ∴将代入方程得， 两边同乘得， 去括号得， 整理得， 解得． 9．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 10．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 1．一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 2．由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 【答案】B 【详解】解：设此品牌轮胎从安装到报废最多可行驶万公里， ∵ 前轮万公里报废，总磨损量为， ∴ 前轮每公里磨损量为； 同理，后轮万公里报废，可得后轮每公里磨损量为， ∵ 全程中前轮位置总行驶路程为万公里，后轮位置总行驶路程为万公里，两个轮胎同时报废时总磨损量为， ∴ 列方程得： 通分得： 整理得： 解得： 即最多可行驶万公里． 3．如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设王家庄距青山，青山距绿水，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为， ∴A车从王家庄到青山的时间为，B车从王家庄到绿水的时间为， ∵两车同时到达目的地， ∴ ． 4．嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 5．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 6．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．解方程：． 【答案】 【详解】解： 9．已知关于的方程与的解相同．若，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，求的值． 【答案】1 【详解】解：解方程， 解得． 把代入，得 解得． 因为，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， 所以． 因为是最大的负整数， 所以， 所以． 10．老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 【答案】解：设乙出发后能追上甲， 根据题意，得， 解得， 答：乙出发后能追上甲． 追问答案： 返回途中与甲相遇的地点距A地 【详解】详解见答案． 追问： 解：设乙出发小时后在返回途中与甲相遇， 根据题意，得， 解得， ． 答：返回途中与甲相遇的地点距A地． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $