专题5.1.2 等式的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题5.1.2 等式的性质 教学目标 1.理解等式的两条基本性质，能依据等式性质正确进行等式变形，会利用等式的性质解简单的一元一次方程，并检验方程的解。 2.经历天平实验观察、对比、归纳得到等式性质的过程，发展抽象概括能力；通过辨析变形易错点，提升规范变形、严谨推理的能力。 3.感受等式性质在解方程中的作用，体会化归的数学思想，养成步步有据、仔细检验的数学审题与解题习惯。 教学重难点 1.重点 等式的两条性质；能正确运用等式性质进行等式变形、求解简单一元一次方程。 2.难点 （1）使用等式性质2时，注意除数不能为0； （2）区分两条性质的适用场景，变形时保证等式两边同步做相同变化； （3）把一元一次方程逐步转化为x=a的标准形式，变形做到有理有据。 知识点01 等式的性质 等式的基本性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去） ，等式仍然成立 。 性质2：等式左右两边同时乘 或同时除以 ，等式仍然成立 。 性质3：对称性：，则 。 性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。 【即学即练】 1. 下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 知识点02 利用等式的性质解方程 利用等式的性质解方程的步骤： 第一步：利用等式的 ，方程两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使一元一次方程左边只含有未知数的项，右边是常数项。 第二步：利用等式的 ，方程两边同时乘（或除以）同一个数，即未知数的 ，使得未知数的次数化为1，从而得出方程的解。 【即学即练】 1．利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 题型01 利用等式的性质判断式子变形 【典例1】下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4步判断技巧 1.看两边是否同步 两边必须做完全一样的运算：同加、同减、同乘、同除；一边变一边不变，一定错。 2.看加减：加减的是同一个数/式子只能同加、同减同一个，不能一个加a、一个加b。 3.看乘除 ① 同乘任意数都可以； ② 除法强制要求：除数≠0，题目没说除数不为 0，变形就是错的！ 4.看符号、分数、括号，不漏项 两边乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘某一项。 【变式1】下列变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．若，则 D．若，则 【变式2】下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型02 利用等式的性质解决天平问题 【典例1】如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 天平平衡 ⇔ 等式成立 天平左边重量 = 天平右边重量， 对应等式：左=右 天平操作对应等式性质： 性质1（加减）：天平左右两边同时放上 / 拿走相同质量的物品，天平仍然平衡。（同加同减同一个量，等式不变） 性质2（乘除）：天平左右两边物品同时扩大到原来相同倍数，或者同时平均分成相同份数（份数不为 0），天平仍然平衡。（同乘、同除以不为 0 的数，等式不变） 【变式1】如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【变式2】（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A．B． C． 【变式3】如图，其中图中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式4】如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型03 利用等式的性质解方程 【典例1】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 1.消常数（移项本质）：利用性质1，两边同加 / 同减，把含未知数的项留在左边，常数移到右边； 2.化系数为1：利用性质2，两边同乘或同除，让未知数前面的系数变成 1； 3.检验：把算出的解代入原方程，看左右两边是否相等。 【变式1】利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2】利用等式的性质解方程：． 【变式3】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4】利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．下列变形：①如果，则；②如果，则；③如果，则；④如果，则，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则__________． 6．对任意的数a，定义：，已知，则_________． 7．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 8．洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为____________． 9．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 10．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 1．下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 2．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 7．如果x与y互为倒数，且，那么______． 8．已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 9．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 10．已知是方程的一个解，则整式的值为______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1.2 等式的性质 教学目标 1.理解等式的两条基本性质，能依据等式性质正确进行等式变形，会利用等式的性质解简单的一元一次方程，并检验方程的解。 2.经历天平实验观察、对比、归纳得到等式性质的过程，发展抽象概括能力；通过辨析变形易错点，提升规范变形、严谨推理的能力。 3.感受等式性质在解方程中的作用，体会化归的数学思想，养成步步有据、仔细检验的数学审题与解题习惯。 教学重难点 1.重点 等式的两条性质；能正确运用等式性质进行等式变形、求解简单一元一次方程。 2.难点 （1）使用等式性质2时，注意除数不能为0； （2）区分两条性质的适用场景，变形时保证等式两边同步做相同变化； （3）把一元一次方程逐步转化为x=a的标准形式，变形做到有理有据。 知识点01 等式的性质 等式的基本性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去）同一个数（式子），等式仍然成立 。 性质2：等式左右两边同时乘同一个的数（式子）或同时除以同一个不为0的数（式子），等式仍然成立 。 性质3：对称性：，则。 性质4：传递性：，，则。又称等量代换。 【即学即练】 1. 下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：取，，． 此时，但，故A错误． 若，则，，均成立， 故B、C、D正确． 知识点02 利用等式的性质解方程 利用等式的性质解方程的步骤： 第一步：利用等式的性质1，方程两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使一元一次方程左边只含有未知数的项，右边是常数项。 第二步：利用等式的性质2，方程两边同时乘（或除以）同一个数，即未知数的系数，使得未知数的次数化为1，从而得出方程的解。 【即学即练】 1．利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】【小题1详解】 解：方程两边减3，得． 方程两边除以2，得． 【小题2详解】 解：方程两边加1，得． 方程两边乘2，得． 题型01 利用等式的性质判断式子变形 【典例1】下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，A、B选项变形正确，不符合题意． ∵当时，恒成立，此时与不一定相等， ∴由不能直接推出，C选项变形错误，符合题意． ∵， ∴，D选项变形正确，不符合题意． 4步判断技巧 1.看两边是否同步 两边必须做完全一样的运算：同加、同减、同乘、同除；一边变一边不变，一定错。 2.看加减：加减的是同一个数/式子只能同加、同减同一个，不能一个加a、一个加b。 3.看乘除 ① 同乘任意数都可以； ② 除法强制要求：除数≠0，题目没说除数不为 0，变形就是错的！ 4.看符号、分数、括号，不漏项 两边乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘某一项。 【变式1】下列变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项，若，则，变形错误． B选项，当时，与无意义，变形错误． C选项，若，则或，变形错误． D选项，，即，即，时，，变形正确． 【变式2】下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. 【变式3】利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 【变式4】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 题型02 利用等式的性质解决天平问题 【典例1】如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 天平平衡 ⇔ 等式成立 天平左边重量 = 天平右边重量， 对应等式：左=右 天平操作对应等式性质： 性质1（加减）：天平左右两边同时放上 / 拿走相同质量的物品，天平仍然平衡。（同加同减同一个量，等式不变） 性质2（乘除）：天平左右两边物品同时扩大到原来相同倍数，或者同时平均分成相同份数（份数不为 0），天平仍然平衡。（同乘、同除以不为 0 的数，等式不变） 【变式1】如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【答案】D 【详解】解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 【变式2】（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A．B． C． 【答案】AB 【详解】解：设球、圆锥、正方体的质量分别为、、， 由第一个天平可知，， ∴，故A选项天平平衡正确，符合题意， 由第二个天平可知，， ∴，故B选项天平平衡正确，符合题意， ∵， ∴， ∴C选项天平不平衡不正确，不符合题意． 【变式3】如图，其中图中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【详解】合并信息 据图（a），可得：3个三角形+2个圆形=80克． 根据图（b），可得：2个三角形+3个圆形=70克． ∴(3个三角形个圆形）个三角形+3个圆形=80克+70克 即：5个三角形个圆形=150克． ∴1个三角形+1个圆形克克． 又∵2个三角形+3个圆形（2个三角形个圆形）个圆形=克． ∴60克个圆形克， ∴1个圆形的重量是：70克克=10克， 1个三角形的重量是：30克克=20克． 图（C）的左盘中有1个三角形和2个圆形．它们的总重量是：克克=40克． 【变式4】如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 题型03 利用等式的性质解方程 【典例1】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 1.消常数（移项本质）：利用性质1，两边同加 / 同减，把含未知数的项留在左边，常数移到右边； 2.化系数为1：利用性质2，两边同乘或同除，让未知数前面的系数变成 1； 3.检验：把算出的解代入原方程，看左右两边是否相等。 【变式1】利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 【变式2】利用等式的性质解方程：． 【答案】 【详解】解：等式两边同时减得，， 即， 等式两边同时乘以得，， 即． 【变式3】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 【变式4】利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 1．下列变形：①如果，则；②如果，则；③如果，则；④如果，则，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：①等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立．已知，两边同时乘，无论c是否为0，所得等式均成立，因此，①正确． ②等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立．已知，若，此时无论a、b取何值，等式均成立，无法推出，因此②错误． ③等式两边同时乘同一个数，再同时减同一个数，等式仍然成立．已知，两边先同时乘3得，再同时减1得，③正确． ④已知，由分母不为0可知，等式两边同时乘，可得，④正确． 综上，①③④正确． 2．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 4．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 5．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则__________． 【答案】 【详解】解：根据题意可得， 移项得， ∴． 6．对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 7．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 8．洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为____________． 【答案】 【详解】解：通过观察可得幻方的每一行，每一列，每一条对角线的三个数字之和相等． 如图， 由题意得， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 9．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 10．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 1．下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 2．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 3．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 4．下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 5．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴． 7．如果x与y互为倒数，且，那么______． 【答案】8 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 8．已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【详解】解：，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 9．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 10．已知是方程的一个解，则整式的值为______． 【答案】2028 【详解】解：把代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：2028． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $