专题02 解难度较大的方程以及利用方程解决数轴动点问题的五大类型（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 解难度较大的方程以及利用方程解决数轴动点问题 题型一 解分子分母中含有小数或分数的方程 题型二 解多括号的方程 题型三 整体思想解方程 题型四 解含绝对值的方程 题型五 利用方程解决数轴动点问题 题型一：解分子分母中含有小数或分数的方程 1．解方程：． 2．解方程： 3．解方程 ． 4．解方程： 5．解方程： (1) (2)． 题型二：解多括号的方程 6．解方程：． 7．解方程：． 8．计算：． 9．解方程： (1)； (2)； (3)． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型三：整体思想解方程 11．已知方程的解为，则关于的方程的解为_______． 12．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解______． 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 14．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 15．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 16．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 17．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 18．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 19．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 20．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________． 题型四：解含绝对值的方程 21．满足的a的值的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在 22．若，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 23．若，且，则的值是（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．或0 24．已知实数满足，则的最大值是__________． 25．已知有理数，满足，且，则的值为_______． 26．已知m，n互为相反数，，则的值为_______． 27．已知，则的值为_______． 28．按要求解题： (1)已知，，且，，求，的值； (2)若，求． 29．解方程： (1)． (2)． 30．解下列方程： (1)； (2)． 题型五：利用方程解决数轴动点问题 31．点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，若，则等于（     ） A． B． C．或 D． 32．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 33．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 34．如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 35．如图，点，在数轴上表示的数分别为和，，两点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度同时向右运动，当，，三个点中的某个点恰好为另两个点所组成的线段的中点时，点表示的数为________． 36．已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则_________ 37．如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 38．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则____________． 39．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 40．数轴上的点A表示的数如图所示，将点A向右平移2个单位长度，得到点B的相反数，回答下列问题： (1)点B表示的数是_________；A、B两点间的距离是_________； (2)将点A在数轴上向左移动1个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点C，B、C两点间的距离是多少个单位长度？ (3)点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设M、N两点的运动时间为t秒，当t为多少时，M、N两点间的距离是A、B两点间距离的？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解难度较大的方程以及利用方程解决数轴动点问题 题型一 解分子分母中含有小数或分数的方程 题型二 解多括号的方程 题型三 整体思想解方程 题型四 解含绝对值的方程 题型五 利用方程解决数轴动点问题 题型一：解分子分母中含有小数或分数的方程 1．解方程：． 【答案】 【详解】解：， 方程可化为：， 即， 去分母得：． 移项、合并同类项得：． 系数化为1得：． 2．解方程： 【答案】 【详解】解： 整理，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 3．解方程 ． 【答案】 【详解】解： 将方程中各分数分母的小数化为整数，得 方程两边同乘去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 4．解方程： 【答案】 【详解】解： 5．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型二：解多括号的方程 6．解方程：． 【答案】 【详解】解： 7．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号，得， ， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 8．计算：． 【答案】 【详解】解：， ， , , ， ． 9．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 题型三：整体思想解方程 11．已知方程的解为，则关于的方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：依题意得：3（a+2）-3=2（a+2）， 整理得：3a+6-3=2a+4， ∴a=1， 将a=1代入方程3x-2（x-a）=3a 得：3x-2x+2×1=3×1 ∴x=1； 故答案为： 12．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解______． 【答案】 【详解】解：关于y的一元一次方程，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【详解】解：对原方程变形为：， 整理得：， 令，则方程化为 原方程的解为， ∴， 即方程的解为：， 关于的方程与形式完全相同， 方程的解为：． 14．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 15．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 16．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 17．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 18．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 19．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 令，则． ∵的解为， ∴， ∴． 20．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________． 【答案】45 【详解】解： 令，则方程变为 ∵关于的方程的解是， ∴，即， 解得． 题型四：解含绝对值的方程 21．满足的a的值的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在 【答案】C 【详解】解：原方程可写为， 当，即时，有，这是一个恒等式，当a取任何大于等于2值时都成立，这样的值有无数个， 当，即时，有，解得，不符合，舍去， 综上满足条件的的值有无数个， 故C选项符合题意． 22．若，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 或 ． 23．若，且，则的值是（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．或0 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或，解得或， ∵， ∴或，解得或， ∵即， ∴当时，且，均不符合，舍去； 当时，仅满足， ∴，， ∴． 24．已知实数满足，则的最大值是__________． 【答案】19 【详解】解： 或 或， 即或 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较所有结果，可得的最大值是． 25．已知有理数，满足，且，则的值为_______． 【答案】或 【详解】∵，且， ∴分两种情况讨论：①当时，， ∴，移项整理得， ∴； ②当时，， ∴，移项整理得， ∴． 综上所述，的值为或． 26．已知m，n互为相反数，，则的值为_______． 【答案】6或 【详解】解：∵m，n互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为6或． 27．已知，则的值为_______． 【答案】或 【详解】解：当时，原式可变形为，解得，符合题意； 当时，原式可变形为，整理得，不成立，无解； 当时，原式可变形为，解得，符合题意； ∴的值为或． 28．按要求解题： (1)已知，，且，，求，的值； (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：，，且，， ，， ，； （2）解：，，， ，， ，， ． 29．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：， 分两种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合， 原方程的解为：或． （2）解： 分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，不符合，故舍去， 原方程的解为：或． 30．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 题型五：利用方程解决数轴动点问题 31．点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，若，则等于（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：设点表示的数为， ∵点表示的数为，且， ∴． 由绝对值的性质可知， 或， ∴或． ∵点表示的数为， 当时，， 当时，． 综上所述，等于或． 32．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 33．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 34．如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 35．如图，点，在数轴上表示的数分别为和，，两点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度同时向右运动，当，，三个点中的某个点恰好为另两个点所组成的线段的中点时，点表示的数为________． 【答案】 或 或 【详解】 解：设运动时间为 秒 () 点 初始位置为，速度为每秒个单位长度，点初始位置为，速度为每秒个单位长度，且均向右运动 秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 当点 为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 当点为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 当点为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 综上所述，点表示的数为或或 36．已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则_________ 【答案】或 【详解】解：运动秒后，点在数轴上对应的数为，点对应的数为． ∵ A、B两点间的距离为， ∴ ， 化简得， 当时，解得； 当时，解得． 因此的值为或． 37．如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 【答案】 【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得． 38．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则____________． 【答案】或 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则秒后，， ，， 若时， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化． 故答案为：或． 39．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 【答案】(1)，8，16 (2)；；或 (3)可能，相遇点所表示的数为 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵，且点C在点B的右侧， ∴； （2）解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、B之间的距离为2， ∴， 即或， 解得：或； （3）解：（秒），（秒），（秒），（秒）， （秒），（秒），（秒），（秒）， ∴P，Q两点在段相遇， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴P、Q两点在上坡或下坡时相遇，相遇点所表示的数为． 40．数轴上的点A表示的数如图所示，将点A向右平移2个单位长度，得到点B的相反数，回答下列问题： (1)点B表示的数是_________；A、B两点间的距离是_________； (2)将点A在数轴上向左移动1个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点C，B、C两点间的距离是多少个单位长度？ (3)点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设M、N两点的运动时间为t秒，当t为多少时，M、N两点间的距离是A、B两点间距离的？ 【答案】(1)2，6． (2) (3)1或3． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 点向右平移2个单位后：， 是点的相反数，所以点表示的数是． 、两点距离：． （2）解：点表示的数：， 、两点距离：． 答：、两点间的距离是2个单位长度． （3）解：秒后，点表示的数：，点表示的数：， 、距离为，则， 解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $