专题14 一元一次方程的应用2（销售、分段计费与方案选择）（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理销售利润（利润=售价-进价等公式）、分段计费（区间划分与费用求和）、方案选择（代数式对比及临界点分析）三大核心知识点，构建从公式应用到实际问题解决的学习支架。 资料以生活情境为载体，通过典例变式培养数学眼光（抽象经济问题为方程模型）、数学思维（分段计费的逻辑推理）、数学语言（规范代数式表达）。如销售问题中折扣与利润计算，方案选择中购票优惠对比，课中辅助教学，课后助力巩固提升。

专题14 一元一次方程的应用2（销售、分段计费与方案选择） 1. 掌握销售利润、打折问题的核心公式，解决经济类应用题； 2. 读懂分段计费规则，解决阶梯收费问题； 3. 学会通过计算对比，选出最优方案。 一、 销售利润问题（课本重点） 利润=售价-进价； 利润率=利润÷进价×100%； 售价=标价×折扣（折扣为小数）； 售价=进价×(1+利润率)。 二、分段计费问题 根据收费标准划分区间，不同区间单价不同，总费用=各区间费用之和，解题关键是判断用量所在区间。 三、方案选择问题 分别列出两种及以上方案的费用代数式，通过解方程找到费用相等的临界点，再分情况讨论最优方案。 题型01 销售问题 【典例】【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是400元，进价是250元 (2)打七折销售能恰好保证利润率为 【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元， 根据题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：每件服装的标价是400元，进价是250元； （2）解：设打y折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得：． 答：打七折销售能恰好保证利润率为． 【变式】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型02 分段计费问题 【典例】某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【答案】B 【详解】解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 【变式】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型03 方案选择问题 【典例】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式】某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 【巩固训练】 1．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 2．在某市乘坐快车的收费标准是：路程不超过3千米时，按起步价10元计费；路程超过3千米但不超过10千米时，3千米到10千米的部分按每千米1.5元计费；路程超过10千米时，超出10千米的部分按每千米1元计费，乘坐快车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是25千米，如果乘坐快车，费用是__________元；如果乘坐快车，费用是__________元； (2)周末外出李老师乘坐快车和快车各一次，且每次乘车路程大于3千米．如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐快车的路程可能是多少千米？ 【答案】(1)35.5，34 (2)他乘坐快车的路程可能是6或16千米 【详解】（1）解：乘坐快车的费用：（元）， 乘坐快车的费用：（元）， 故答案为：35.5，34； （2）解：设他乘坐A快车的路程是千米，则乘坐快车的路程是千米， 当时，有， 解得：， 当时，有， 解得：， 答：他乘坐快车的路程可能是6或16千米． 3．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 4．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 5．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 6．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 7．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 8．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 9．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 10．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 【强化训练】 1．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【答案】(1)； (2) 解：①选择乙旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择乙旅行社； ②选择甲旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社； (3)当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：（元）； 乙旅行社的费用为：元． 故答案为：； （2）略 （3）解：当两家旅行社费用一样时，可列方程， 解得， 答：当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 2．某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 3．苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2)某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ 【答案】(1)； (2)该家庭的年用气量是 【详解】（1）解：∵人口数（3人）未超过4人， ∴直接按原始阶梯标准计算， ∵用量中，前属于第一阶梯，后属于第二阶梯， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； 解：∵乙家庭户籍人口为5人超过4人，增加了1人， ∴各阶梯气量上限需增加， 调整后的阶梯标准为： 第一阶梯：， 第二阶梯：， 第三阶梯：以上， 乙家庭用气量，落在调整后的第二阶梯内（）， ∴前按第一阶梯气价计算，超出的按第二阶梯气价计算， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； （2）解：设该家庭的年用气量为 x立方米．由于人口为4人，按原始阶梯标准计算． 首先判断 x所在阶梯： 若全部为第一阶梯（），最高费用为元，小于元， 故． 若全部在第二阶梯内（），则费用由第一阶梯部分和第二阶梯部分组成． 若进入第三阶梯（），费用会显著增高．我们可以先按在第二阶梯内计算． 根据​的情况列方程： 第一阶梯费用：元， 第二阶梯费用：元， 则， 解得：， 答：该家庭的年用气量是． 4．探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单独租用甲客车需要4辆，单独租用乙客车需要5辆 (2)租用甲客车2辆，乙客车2辆 (3)（2）条件下总租车费用为1080元，不存在更省钱的租车方案 【详解】（1）解：∵，车辆数为正整数， ∴单独租用甲客车需要辆； ∵，车辆数为正整数， ∴单独租用乙客车需要辆； （2）解：设租用甲客车辆，则租用乙客车辆， 根据恰好坐满140人，列方程得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 则， 即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）解：在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 5．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 6．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)； (2)购进甲种商品件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元， 由题意得， 解得， 甲种商品每件进价为元， 乙种商品每件进价50元，售价80元， ， 即每件乙种商品利润率为。 （2）解：设购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：购进甲种商品件； （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件， ， ①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时， 根据题意得：， 解得； ②当打折前一次性购物总金额超过600元时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 7．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 8．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 9．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 10．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 一元一次方程的应用2（销售、分段计费与方案选择） 1. 掌握销售利润、打折问题的核心公式，解决经济类应用题； 2. 读懂分段计费规则，解决阶梯收费问题； 3. 学会通过计算对比，选出最优方案。 一、 销售利润问题（课本重点） 利润=售价-进价； 利润率=利润÷进价×100%； 售价=标价×折扣（折扣为小数）； 售价=进价×(1+利润率)。 二、分段计费问题 根据收费标准划分区间，不同区间单价不同，总费用=各区间费用之和，解题关键是判断用量所在区间。 三、方案选择问题 分别列出两种及以上方案的费用代数式，通过解方程找到费用相等的临界点，再分情况讨论最优方案。 题型01 销售问题 【典例】【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【变式】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型02 分段计费问题 【典例】某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【变式】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型03 方案选择问题 【典例】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式】某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【巩固训练】 1．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 2．在某市乘坐快车的收费标准是：路程不超过3千米时，按起步价10元计费；路程超过3千米但不超过10千米时，3千米到10千米的部分按每千米1.5元计费；路程超过10千米时，超出10千米的部分按每千米1元计费，乘坐快车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是25千米，如果乘坐快车，费用是__________元；如果乘坐快车，费用是__________元； (2)周末外出李老师乘坐快车和快车各一次，且每次乘车路程大于3千米．如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐快车的路程可能是多少千米？ 3．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 4．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 5．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 6．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 7．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 8．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 9．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 10．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 2．某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 3．苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2)某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ 4．探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 5．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 6．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 7．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 8．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 9．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 10．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $