专题5.3 实际问题与一元一次方程 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“实际问题与一元一次方程”核心知识点，先明确列方程解应用题需检验解的实际合理性，再梳理公式形（如周长面积）、约定型（如利润利息）、基本型（如单价×数量）三类数量关系，最后通过译式法、列表法、图解法构建分析数量关系的学习支架。 资料特色在于14类题型覆盖生活实际（如电费分段计费）、古代问题（如《九章算术》鸡兔同笼）等，通过例题+变式实现举一反三，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的核心素养。课中教师可依托题型分类高效授课，课后学生通过探究式学习与复盘笔记巩固建模能力，查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题5.3 实际问题与一元一次方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 2 3 3 4 5 5 7 8 9 11 12 13 13 14 15 16 16 20 25 知识点一：列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要统一。 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 （1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 （2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 （3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。 知识点三：分析数量关系的常用方法 （1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 （2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 （3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 【题型1 配套问题】 【例1】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 此类题型，总量始终是不变的，类似工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 【变式1-1】某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】为践行垃圾分类与废旧物资回收劳动教育，手工社团收集张白铁皮制作收纳盒，用来分装小区老年驿站回收的可回收杂物．每张白铁皮可做个盒身或做个盒底，个盒身需要搭配个盒底才能组装成完整的收纳盒．设用张白铁皮制作盒身，能使盒身与盒底恰好配套，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【题型2 工程问题】 【例2】一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 【变式2-1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【变式2-2】2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 销售盈亏】 【例3】某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 (1) 利润=售价－进价 (2) 利润率= (3) 售价=标价×销售折扣 【变式3-1】某种商品的进价为元，出售标价为440元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打（   ） A．6折 B．折 C．折 D．折 【变式3-2】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 【题型4 比赛积分】 【例4】某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。 (1) 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 (2) 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 【变式4-1】某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【变式4-2】贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【变式4-3】某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【题型5 方案选择】 【例5】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有2种思路。 思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。 【变式5-1】某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【变式5-2】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【变式5-3】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【题型6 数字问题】 【例6】已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 任何一个正数N=都可以表示为++…+。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。 【变式6-1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式6-2】如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【变式6-3】幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（     ） 2 3 y m y A．0 B．1 C．3 D．5 【题型7 几何问题】 【例7】如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【题型8 动点问题】 【例8】如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【变式8-1】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【变式8-2】点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位，t秒后点A和B之间的距离是5个单位长度，则t的值是（    ） A．2 B．2或12 C．12 D．3 【变式8-3】已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）．下列结论正确的是（    ） A．当时，的值为 B．当的距离为个单位长度时，的值为或 C．运动过程中，线段的中点表示的数为 D．当时，点表示的数为，点表示的数为 【题型9 和差倍分问题】 【例9】“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。 （1） 甲是乙的a倍：甲=乙×a （2） 甲比乙多：甲=乙×（1+） （3） 甲比乙少：甲=乙×（1－） 【变式9-1】数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【变式9-2】现在弟弟的年龄恰是哥哥的，而六年前弟弟年龄只是哥哥的，哥哥现在的年龄是（    ）． A．14岁 B．16岁 C．18岁 D．20岁 【变式9-3】小王前几次数学平均成绩是分，这次要考分才能使平均成绩达到分．这一次是第（     ）次考试． A． B． C． D． 【题型10 电费水费问题】 【例10】收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 【变式10-1】为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【变式10-2】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【变式10-3】某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【题型11 行程问题】 【例11】小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下： （1） 相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速 【变式11-1】一艘轮船从重庆到上海要天，而从上海到重庆要天，那么一只木排从重庆顺流漂到上海要（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 【变式11-2】圆形观景转盘上等间隔安装36个观光舱，观光舱沿顺时针依次编号1号～36号，转盘匀速逆时针转动，完整转一圈用时30分钟．当下21号观光舱恰好位于最高点，经过x分钟后，12号观光舱转到最高点，则x的值为（     ） A．17.5 B．20 C．22.5 D．25 【变式11-3】一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【题型12 比例问题】 【例12】如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【变式12-1】一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【变式12-2】甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【变式12-3】甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【题型13 日历问题】 【例13】如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【变式13-2】将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 【变式13-3】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【题型14 古代问题】 【例14】《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚各几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？下列说法正确的是（   ） A．设大和尚共分个馒头，所列方程为 B．设大和尚人，所列方程为 C．大和尚有24人 D．小和尚有66人 【探究式学习】 1.【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图的年月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图的形框，若形框覆盖的五个数的和为，求这五个数中最小的数． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，，求的值． 【探究三】 （3）第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；型框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 2．【课本延续】 在学习北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》后，我们想进一步探索n边形（）内分割三角形的情况．采用归纳的策略，先从简单情形中寻找相应的规律．以六边形为例：连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 探究一：如图①当六边形内有1个点时，可分得6个三角形． 探究二：当六边形内有2个点时，在探究一的基础上，需要在六边形的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得________个三角形． 探究三：当六边形内有3个点时，请直接在图④中画出一种分割示意图． 探究四：连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得________个三角形． 【问题解决】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2025个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）运用归纳策略寻找规律时，我们先初步发现规律，再考虑一般情况：即连接n边形（）的n个顶点和它内部的m个点，可把n边形区域分割成多少个互不重叠的三角形．请试着用数学语言简洁的归纳规律（写出推理过程）． 3．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【课后检测】 1．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 2．小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂了一个重的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（     ） A． B． C． D． 3．为倡导“光盘行动”健康文明就餐新风，某校食堂统一使用长方形餐桌，单张餐桌四周可坐人，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接，若一次就餐有名师生，则需要拼接餐桌的张数是（     ） A． B． C． D． 4．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　　　　） A．尺 B．尺 C．1 尺 D．尺 7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．1 C．2 D．4 9．如图，用灰白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有4块白色地砖，第②个图案有7块白色地砖，第③个图案有10块白色地砖，…，按此规律，若第个图案中的白色地砖的数量是2026块，则的值为（     ） A．672 B．673 C．674 D．675 10．嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．九州旅行社有550名游客去承德避暑山庄玩，正好坐满了5辆大客车和10辆小客车．其中每辆大客车比每辆小客车多载客20人，每辆大客车能载客________人． 12．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 13．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 14．把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 15．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 16．位师生共植树棵，已知每位老师植树棵，每位学生植树棵，那么参加植树的老师有( )人，学生有( )人． 17．鸡兔同笼，鸡和兔共有30只，它们的腿数相同，那么鸡和兔各有多少只? 18．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 19．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 20．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 21．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题5.3 实际问题与一元一次方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 2 3 3 5 7 9 11 15 18 21 25 26 29 31 33 36 38 45 58 知识点一：列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要统一。 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 （1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 （2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 （3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。 知识点三：分析数量关系的常用方法 （1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 （2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 （3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 【题型1 配套问题】 【例1】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【答案】A 【分析】根据题意将加工大齿轮的工人人数与加工小齿轮的工人人数表示出来，再根据“加工的小齿轮数量是加工的大齿轮数量的2倍”求解即可． 【详解】解：设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 此类题型，总量始终是不变的，类似工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 【变式1-1】某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已设名工人生产口罩面，剩余工人生产耳绳，根据“一个口罩面配两个耳绳”可知耳绳总数量是口罩面总数量的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产口罩面，则生产耳绳的工人有名，可得每天生产口罩面总数量为个，每天生产耳绳总数量为个， ∵一个口罩面需要配两个耳绳，刚好配套时，耳绳总数量等于2倍口罩面总数量， ∴． 【变式1-2】某工厂有工人60名，每人每天可加工20个螺栓或50个螺母，1个螺栓配2个螺母．设安排人加工螺栓，恰好配套，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配套规则确定螺栓和螺母总数的等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意知，加工螺母的人数为人， ∴每天加工螺栓总数为个，每天加工螺母总数为个， 列方程得 ，故选项B符合题意． 【变式1-3】为践行垃圾分类与废旧物资回收劳动教育，手工社团收集张白铁皮制作收纳盒，用来分装小区老年驿站回收的可回收杂物．每张白铁皮可做个盒身或做个盒底，个盒身需要搭配个盒底才能组装成完整的收纳盒．设用张白铁皮制作盒身，能使盒身与盒底恰好配套，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的配套问题实际应用，先分别表示出盒身和盒底的总数量，再根据配套要求列出比例方程即可． 【详解】解：∵用张白铁皮制作盒身，总共有140张白铁皮， ∴用张白铁皮制作盒底， ∵每张白铁皮可做18个盒身或20个盒底， ∴盒身总数量为，盒底总数量为， ∵1个盒身需要搭配2个盒底才能恰好配套， ∴盒身数量盒底数量， 即． 【题型2 工程问题】 【例2】一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 【变式2-1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【变式2-2】2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ． 【变式2-3】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作单位1，根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程，确定甲、乙的工作时间即可得到正确方程． 【详解】解：把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． 【题型3 销售盈亏】 【例3】某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 (1) 利润=售价－进价 (2) 利润率= (3) 售价=标价×销售折扣 【变式3-1】某种商品的进价为元，出售标价为440元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打（   ） A．6折 B．折 C．折 D．折 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题需明确利润率的含义，利用利润=售价-进价=进价×利润率的关系列方程求解即可． 【详解】解：设商店可打折 ∵打折后售价为元，要保证利润率为，即利润为 ∴列方程得： 整理得 解得 因此商店可打折，故选D． 【变式3-2】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 【变式3-3】下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 【答案】A 【分析】先设出果奶单价，根据价格差表示可乐单价，再根据总花费的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设1听果奶的单价为元， ∵1听可乐比1听果奶贵0.5元， ∴1听可乐的单价为元， 小刚付20元，找回3元，因此总花费为元， 根据题意列方程得： 展开得 ， 整理得 ， 解得 ， 因此可乐单价为 元， 即1听果奶3元，1听可乐3.5元． 【题型4 比赛积分】 【例4】某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。 (1) 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 (2) 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 【变式4-1】某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 【变式4-2】贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】根据比赛总场数得到胜场和平场的总场数，再结合得分规则列方程求解即可． 【详解】解：∵ 球队共比赛10场，负了4场 ∴ 胜场和平场的总场数为 场 设该球队胜了场，则平了场 根据得分规则和总得分列方程得 化简得 解得 ∴ 该球队胜了3场． 【变式4-3】某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 【题型5 方案选择】 【例5】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有2种思路。 思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。 【变式5-1】某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【答案】A 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 【详解】解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 【变式5-2】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 【变式5-3】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【题型6 数字问题】 【例6】已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】三个连续自然数的和等于中间自然数的3倍，因此这个三位数是3的倍数，根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断即可． 【详解】设□里的数字为，该三位数各位数字之和为，需要是3的倍数， ∵ 当时，，8不是3的倍数，A不符合； 当时，，9是3的倍数，B符合； 当时，，不是3的倍数，C不符合； 当时，，不是3的倍数，D不符合． 任何一个正数N=都可以表示为++…+。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。 【变式6-1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用三阶幻方中每行、每列、对角线的和相等的性质，通过列方程消元求解的值． 【详解】设幻和为，中心数为，第一行第三列的数为，第三行中间数为 如图所示， ∵ 左上到右下对角线和为， ∴ ① ∵ 右上到左下对角线和为， ∴ ② ∵ 第三列和为， ∴ ③ 由得：， ∴ ； 将和代入③得： ， ∴ ； ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 ． 【变式6-3】幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（     ） 2 3 y m y A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据三阶幻方的性质，各行各列对角线上的三个数之和相等，先利用已知位置的数推出和的值，再计算得到． 【详解】解：如图， 2 3 a y m z y 设第三行中间数为，第一行第三个数为， 根据题意得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴． 【题型7 几何问题】 【例7】如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的边长都相等，，列出，再整理，即可作答． 【详解】解：依题意，得 设去掉的小正方形的边长为， ∵大正方形的边长都相等， 则， 解得：， 【变式7-1】如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】可分别设长方形地砖的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答． 【详解】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得，即长方形地砖的宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得． ∴长方形地砖的长为，宽为． 【变式7-2】如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，根据图形构造方程即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 则第一个长条的长为，第二个长条的长为， 根据题意得：， 解得， ∴长条的面积为：． 【变式7-3】如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 【题型8 动点问题】 【例8】如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 【详解】解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 【变式8-1】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 【变式8-2】点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位，t秒后点A和B之间的距离是5个单位长度，则t的值是（    ） A．2 B．2或12 C．12 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 先表示出t秒后点A、点B在数轴上对应的有理数，再根据两点间距离为5列绝对值方程，分情况求解即可． 【详解】解：∵点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位， ∴t秒后，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为， 又∵t秒后A、B之间的距离是5， ∴， 化简得， 即， ①当时，解得， ②当时，解得， ∴t的值为2或12． 故选：B． 【变式8-3】已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）．下列结论正确的是（    ） A．当时，的值为 B．当的距离为个单位长度时，的值为或 C．运动过程中，线段的中点表示的数为 D．当时，点表示的数为，点表示的数为 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题，由，，可得，即可判断；运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，即得，再解方程即可判断；由中点坐标公式可判断；把代入和计算可判断，综上即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、由题意得，，， ∴， ∴对任意均有，该选项结论不正确； 、由题意得，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当时， 解得或，该选项结论不正确； 、∵运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴线段中点表示的数为，该选项结论不正确； 、当时，点表示的数为，点表示的数为，该选项结论正确； 故选：． 【题型9 和差倍分问题】 【例9】“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已设神舟十二号驻留天数为，所以可根据“航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天”列出符合题意的基础方程，再变形判断即可． 【详解】解：由题可列方程为：， 可变形为或． 此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。 （1） 甲是乙的a倍：甲=乙×a （2） 甲比乙多：甲=乙×（1+） （3） 甲比乙少：甲=乙×（1－） 【变式9-1】数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【答案】C 【分析】根据题意列出对应选项中的方程即可得到答案． 【详解】解：A、根据题意列方程，展开得，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； B、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； C、根据题意列方程，展开得，不符合题干数量关系，故此选项符合题意； D、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； 【变式9-2】现在弟弟的年龄恰是哥哥的，而六年前弟弟年龄只是哥哥的，哥哥现在的年龄是（    ）． A．14岁 B．16岁 C．18岁 D．20岁 【答案】C 【分析】设哥哥今年的年龄是岁，根据现在弟弟的年龄恰是哥哥的，而六年前弟弟年龄只是哥哥的，列出方程求解即可． 【详解】解：设哥哥今年的年龄是岁， 根据题意，得 ， 则哥哥现在的年龄是18岁． 【变式9-3】小王前几次数学平均成绩是分，这次要考分才能使平均成绩达到分．这一次是第（     ）次考试． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据考试总分的等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这一次是第次考试.， 前次考试的平均成绩是分，本次考试成绩为分，总平均成绩要达到分.， 可得总分之和的等式： ， 整理得：， 解得：， 这一次是第次考试． 【题型10 电费水费问题】 【例10】收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 【答案】A 【分析】首先由平均水费高于0.8元/判断用水量超过，再根据总水费的等量关系列方程求解即可． 【详解】， 该用户这个月用水量超过， 设该用户这个月用水量为，根据总水费相等列方程： ， 化简得 ， 移项合并得 ， 解得 ， 这个月应交水费为 元． 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 【变式10-1】为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 【变式10-2】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设停车时间为x小时，根据题意，求出x的值，进行判断即可． 【详解】解：设停车时间为小时，由题意得，， 解得：， ∵不足1小时按1小时计算， ∴停车时间大于4小时，不超过5小时， A、，时间为3小时40分； B、，时间为5小时25分； C、，时间为3小时10分钟； D、，时间为4小时10分钟， 故选：D． 【变式10-3】某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 【题型11 行程问题】 【例11】小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下： （1） 相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速 【变式11-1】一艘轮船从重庆到上海要天，而从上海到重庆要天，那么一只木排从重庆顺流漂到上海要（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【分析】可设总路程为、轮船在静水中的速度为、水流速度为，根据路程公式列等式推导水速和总路程的关系，进而求得漂流时间． 【详解】解：设重庆到上海的总路程为，轮船在静水中的速度为，水流速度为 ∵轮船顺流从重庆到上海要天，逆流从上海到重庆要天， ∴， ∴ ∴， ∵木排从重庆顺流漂到上海， ∴木排漂流速度等于水流速度， ∴漂流时间为（天）． 【变式11-2】圆形观景转盘上等间隔安装36个观光舱，观光舱沿顺时针依次编号1号～36号，转盘匀速逆时针转动，完整转一圈用时30分钟．当下21号观光舱恰好位于最高点，经过x分钟后，12号观光舱转到最高点，则x的值为（     ） A．17.5 B．20 C．22.5 D．25 【答案】C 【分析】本题考查生活中的旋转现象．先求出从21号旋转到12号的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可. 【详解】解：. 【变式11-3】一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 【题型12 比例问题】 【例12】如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据三个村出工人数的比例，对每种设未知数方式分别列方程，再判断正误即可． 【详解】解：①设甲、乙、丙三村分别派，，人，满足，总人数和为，正确； ②设甲村派人，由比例关系可得乙村应出人，丙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误； ③由②的推导可知，所给方程符合题意，正确； ④设丙村派人，由比例关系可得甲村应出人，乙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误． 综上，正确的是①③． 【变式12-1】一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【分析】设最少扔掉升这种绿色颜料，由题意可知，错误的调色中黄色颜料比例降低，则额外添加升黄色颜料，此时颜料总量不变，根据黄色颜料的正确比例列方程求解即可 【详解】解：设最少扔掉升这种绿色颜料，则额外添加升黄色颜料， 则， 解得：， 即最少扔掉升这种绿色颜料． 【变式12-2】甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【答案】D 【分析】本题考查了列方程解应用题，设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨，根据甲卡车比乙卡车多运货12t，列出方程即可. 【详解】解：设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨， 根据题意，得：， 解得：， （吨）， 故选： ． 【变式12-3】甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的应用与一元一次方程的求解，熟练掌握根据比例设未知数并结合数量关系列方程是解题的关键．根据甲、乙、丙三数的比例关系设未知数，再依据甲、乙两数之和与乙、丙两数之和的数量关系列方程求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 【题型13 日历问题】 【例13】如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设框中最小数为，推出其他四个数从小到大依次为，，，，求和得总和，将四个选项数值分别代入总和求出对应的，得出每组五个数中有不在内的就不可能是框架框住的五个数字之和． 【详解】解：设框住的五个数中最小的数为，则其他四个数从小到大依次为，，，， 这五个数字之和为， A、，解得，这五个数分别为，，，，； B、，解得，这五个数分别为，，，，； C、，解得，这五个数分别为，，，，； D、，解得，这五个数分别为，，，，，因为不可能出现在年月份的日历表中，故选D． 【变式13-1】如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【答案】D 【分析】设中间数为，则七个数分别为、，、、、，，其和为，即和一定是的倍数，并结合中间数的位置解答． 【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是． 【变式13-2】将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】设连续的三个数为，，，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， A．，，但21右边没有其它的数，故不符合题意； B．，，，674是97行左起第2个数，符合题意； C．，，故不符合题意； D．，，故不符合题意． 【变式13-3】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【答案】C 【分析】设最小的数为：x，则最大的数为：，根据最大数与最小数的和为40列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的数为：x，则最大的数为：， 根据题意可得出：， 解得， 则最大的数为：． 【题型14 古代问题】 【例14】《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以鸡的价钱为不变量，根据两种出钱情况分别表示鸡价，列方程． 【详解】解：设有人共同买鸡． ∵每人出8文，多出10文， ∴鸡价可表示为， ∵ 每人出6文，还差14文， ∴ 鸡价可表示为， ∴ 可列方程为． 【变式14-1】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设绳长为尺， ∵将绳子折成三等份，每等份井外余绳四尺， ∴井深可表示为尺， ∵将绳子折成四等份，每等份井外余绳一尺， ∴井深可表示为尺， ∵井深长度不变， ∴可得方程． 【变式14-2】清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用读书人携带的总钱数不变作为等量关系，分别用两种购买情况表示总钱数，即可列出方程． 【详解】解：每个瓜售价为文，读书人携带的总钱数固定，则总钱数可表示为文，总钱数可表示为文， ∵总钱数相等， ∴可列方程． 【变式14-3】《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚各几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？下列说法正确的是（   ） A．设大和尚共分个馒头，所列方程为 B．设大和尚人，所列方程为 C．大和尚有24人 D．小和尚有66人 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系，对不同设未知数的方法逐一判断，求解即可得到正确结论． 【详解】解：对选项A：设大和尚共分个馒头，则大和尚人数为，小和尚分个馒头，小和尚人数为， 由总人数为100可得方程为，故A错误； 对选项B：设大和尚人，则小和尚有人，大和尚共分个馒头，小和尚共分个馒头， 由总馒头数为100可得方程，故B正确； 解方程， 两边同乘得， 整理得， 解得， 大和尚有人，小和尚有人，故选项C和D错误． 综上，正确答案为B． 【探究式学习】 1.【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图的年月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图的形框，若形框覆盖的五个数的和为，求这五个数中最小的数． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，，求的值． 【探究三】 （3）第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；型框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 【答案】（1）; （2）； （3）或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据月历表中数字排列的规律列出代数式，再根据相等关系列方程． 设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，，根据这五个数的和为列方程求解； 设，则有这五个数分别为，，，，把这五个数相加即可； 把十字形框中的数用含的代数式表示出来，把形框中的数用含的代数式表示出来，根据可得：，可知一定是的倍数，分情况讨论即可． 【详解】解：设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，， 根据题意得：， 解得：， 这五个数中最小的数为； 解：形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，， 设，则，，，， 可得： ； 解：设十字形框的中心数为，则另外四个数分别为，，，， ， 设型框的中心数为，则另外六个数分别为，，，，，， ， ， ， ，都是正整数， 是的倍数， 若， 在月历表的最左侧一列，不能为形框的中心数，舍去； 若，则，，都符合； 若，则，，都符合； 若，则 在月历表的最下一行，不能为十字形框的中心数，舍去； 同理，若或，都不能为形框的中心数，舍去． 综上所述，的值为或． 2．【课本延续】 在学习北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》后，我们想进一步探索n边形（）内分割三角形的情况．采用归纳的策略，先从简单情形中寻找相应的规律．以六边形为例：连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 探究一：如图①当六边形内有1个点时，可分得6个三角形． 探究二：当六边形内有2个点时，在探究一的基础上，需要在六边形的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得________个三角形． 探究三：当六边形内有3个点时，请直接在图④中画出一种分割示意图． 探究四：连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得________个三角形． 【问题解决】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2025个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）运用归纳策略寻找规律时，我们先初步发现规律，再考虑一般情况：即连接n边形（）的n个顶点和它内部的m个点，可把n边形区域分割成多少个互不重叠的三角形．请试着用数学语言简洁的归纳规律（写出推理过程）． 【答案】[问题探究] 探究二：8； 探究三： 如图④，当六边形内有3个点时，可分得10个三角形． 探究四：， [问题解决] （1）该五边形内部有1011个点； （2）当n边形（）的内部有1个点时，可以分得个三角形， 当n边形（）的内部有2个点时，可以分得个三角形， 当n边形（）的内部有3个点时，可以分得个三角形， ……， 当n边形（）的内部有m个点时，可以分得个三角形． 【分析】本题主要考查图形类的规律探索，一元一次方程的应用，能够根据图形发现数字规律是解题的关键． [问题探究]探究二：根据图形数出三角形个数即可； 探究三：根据图形数出三角形个数即可； 探究四：根据探究二、三可得：由前面的探究可知连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是六边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； [问题解决] （1）根据问题解决得到的规律列方程求解即可； （2）仿照探究画出对应的图形，可得连接n边形的n个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是n边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可． 【详解】解：[问题探究]探究二：如图②③， 当六边形内有2个点时，图中共分得8个三角形， 故答案为：8． 探究三：略 探究四：由探究一知：六边形内有1个点时，图中共分得个三角形； 由探究二知：六边形内有2个点时，图中共分得个三角形； 由探究三知：当六边形内有3个点时，可分得个三角； ； 当六边形的内部有m个点时，可分得三角形的个数为， 故答案为：． [问题解决] （1）设五边形内部有m个点， 同理问题探究：则可分得个三角形， ∴， 解得：， 答：该五边形内部有1011个点． （2）略 3．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60； （2）的度数不会发生变化，始终为，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2） 略 （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 【课后检测】 1．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是梳理调动人员后两个队伍的人数，再根据题目给出的等量关系列方程． 【详解】解：∵把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中 ∴调动后，安全维护志愿者剩余人数为，交通引导志愿者人数变为． 根据题意，调动后安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，可得方程 ． 2．小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂了一个重的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意得：物体的重量与力矩成反比， 设：苹果的重量为， 则：， 解得：． 3．为倡导“光盘行动”健康文明就餐新风，某校食堂统一使用长方形餐桌，单张餐桌四周可坐人，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接，若一次就餐有名师生，则需要拼接餐桌的张数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知，每张餐桌有4个座位，然后再加两端的各一个，于是n张餐桌就有个座位；由此进一步求出问题即可． 【详解】解：1张餐桌的四周可坐人， 2张餐桌的四周可坐人， 3张餐桌的四周可坐人， … n张餐桌的四周可坐人； 设需要拼接餐桌的张数是x张，由题意得：， 解得：， 即需要拼接餐桌的张数是张． 4．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】牧童总人数不变，用杏的总数分别表示两种分法下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数固定不变， ∵第一种分法中，3人分5个杏，多10个杏，分掉的杏数为，每5个杏对应3个牧童， ∴总牧童人数为， ∵第二种分法中，4人分8个杏，多2个杏，分掉的杏数为，每8个杏对应4个牧童， ∴总牧童人数为， ∵总人数相等， ∴． 5．《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设做斗身的人数为，用总人数表示出做斗耳的人数，再根据配套要求列方程即可． 【详解】解：∵设人做斗身，总工匠共人， ∴做斗耳的人数为人，可得每日斗身总产量为个，每日斗耳总产量为个， ∵个斗身配个斗耳，刚好配套时斗耳总数量是斗身总数量的倍， ∴列方程得：． 6．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　　　　） A．尺 B．尺 C．1 尺 D．尺 【答案】A 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚10尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺． ∵从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，三天刚好打通墙， ∴大老鼠三天打洞总距离为，小老鼠三天打洞总距离为 ， ∴， 解得，即小老鼠第一天打洞的距离为尺． 7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 8．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，列出方程求出的值，进而求出的值即可. 【详解】解：由题意，第三行第一列的数字为， ∴， ∴， 第三行第三列的数字为， ∴， ∴， ∴. 9．如图，用灰白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有4块白色地砖，第②个图案有7块白色地砖，第③个图案有10块白色地砖，…，按此规律，若第个图案中的白色地砖的数量是2026块，则的值为（     ） A．672 B．673 C．674 D．675 【答案】D 【分析】根据第①，②，③个图案中白色地砖的个数得出数字变化规律，再根据规律得出方程，求出解． 【详解】解：第①个图案有块白色地砖； 第②个图案有块白色地砖； 第③个图案有块白色地砖， 第n个图案中有块白色地砖，即2026块， ∴， 解得． 10．嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 11．九州旅行社有550名游客去承德避暑山庄玩，正好坐满了5辆大客车和10辆小客车．其中每辆大客车比每辆小客车多载客20人，每辆大客车能载客________人． 【答案】50 【分析】设每辆大客车载客人，则每辆小客车载客人，根据总游客人数建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每辆大客车能载客人，则每辆小客车能载客人， 根据题意列方程得：， 解得． ∴每辆大客车能载客50人． 12．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 【答案】84 【分析】设丢番图寿命为岁，根据各阶段年龄和等于总寿命列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设丢番图的寿命为岁，根据题意列方程得： ， 方程两边同乘去分母，得： ， 合并同类项得： ， 移项得：， 解得：， 即丢番图的寿命是84岁． 13．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 【答案】504 【分析】观察数表，可知，，，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：观察数表，可知：，，， 根据题意得：， 解得：． 14．把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 【答案】 【分析】设一共有名学生，用含x的式子和表示总书本数，根据总书本数相等列出方程，求解即可． 【详解】解：设一共有名学生， 根据题意得，， 解得， ， 则一共有本书． 15．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】 48秒 【分析】将环形跑道一圈长度设为单位1，先求出甲的速度，根据反向跑相遇时两人路程和为1圈列方程求解乙的速度，再计算乙跑一圈的时间． 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． 16．位师生共植树棵，已知每位老师植树棵，每位学生植树棵，那么参加植树的老师有( )人，学生有( )人． 【答案】 【分析】已知总人数、总植树棵数，以及老师和学生的单人植树棵数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设老师有人，则学生有人， 由题意得， 解得， ∴（人）， 答：参加植树的老师有28人，学生有22人． 17．鸡兔同笼，鸡和兔共有30只，它们的腿数相同，那么鸡和兔各有多少只? 【答案】鸡20只，兔10只 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， 由题意知，， 化简得， ， 解得：， （只）， 答：鸡20只，兔10只． 18．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 19．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据路程速度时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的距离． 【详解】解：设甲、乙两地相距米， 千米米， 原来的骑行速度为：（米/分钟）， 列方程：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 米千米， 答：甲、乙两地相距千米． 20．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)26 (2) (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算公式求解即可； （2）求出点P到点O和到点C的时间，求出点Q到点C和点O的时间，从而可确定点P与点Q的相遇点一定在上，据此用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可； （3）分四种情况：、、和，用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数为； （2）解：由题意得，秒，秒，秒，秒， ∴点P运动到点O的时间为5秒，运动到点C的时间为秒， 点Q运动到点C的时间为8秒，运动到点O的时间为秒， ∴点P与点Q的相遇点一定在上， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为； （3）解：由（2）可知，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为0，此时点P与点Q的距离为11， 当时，点Q过点O向数轴负方向运动，此时点P与点Q的距离大于11，故不满足题意； 综上所述，或． 21．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 【复盘笔记】 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $