广东清远市第一中学2026-2027学年第一学期高一年级期中考试数学试卷

★启用前注意保密 2026一2027学年第一学期高一年级期中考试卷 数 学 本试卷共4页，19题，共150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设：实数满足且，：实数满足，则是的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3.已知，则 A． B． C． D． 4．若，则函数的图象必定不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 6．函数的图象大致为 A．   B．    C．   D． 7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．下列结论中，正确的是 A． B．幂函数是奇函数 C． D． 10．下列说法中正确的是 A．函数的最小值为2 B．函数与是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．设正实数，满足，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为 ． 13．已知，则不等式的解集为________． 14．已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16． （本小题满分15分） 已知函数． （1）求 ， 的值 （2）证明 为定值； （3）利用（2）的结论求表达式：的值． 17．（本小题满分15分） 某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理. 问哪种方案更合理？并说明理由. 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）若，求当时的值域； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由. 第 2 页 共 7 页 数学试题 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026一2027学年第一学期高一年级期中考试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C B D B C D ACD CD BCD 1．A 【详解】已知，，两集合的公共元素为和，因此. 2．A【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 3．C【详解】 ，所以 . 4．B【详解】当时，函数图象如下图（1）所示，为得到图象，则需要把图象向下平移个单位，如下图（2）所示，则其图象必定不经过第二象限. 图（1） 图（2） 5．D【详解】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在单调递增； 由于； 由于； 综上： 6.B【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项C，D； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项B正确. 7.C【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．D【详解】由题意，，，则， 由，得， 即[+2] < [+2]， 即， 设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即， 即，即，所以， 又函数为定义在R上的偶函数，所以当时，，又， 所以不等式的解集为.故选：D. 9． 【答案】ACD 【详解】 选项A：，故A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，故B错误； 选项C：由对数恒等式知，故C正确； 选项D：因为，故D正确. 10.CD 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，（换元法）设，则，且，， 由，再结合函数的图象，可得函数的值域为．所以C正确. 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 11．BCD 【详解】对于A，由平均值不等式得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由于，则，则，当且仅当即时，等号成立，此时，最小值取不到1，但不等式正确，故C正确； 对于D，已知，则且，因此当且仅当，即时取等号，符合题意，故D正确； 12． 【详解】函数的定义域需满足，解得：且， 所以函数的定义域是. 13． 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 14． 9 【详解】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 15． 【详解】（1），，……………………………………2分 ，，…………………………………………4分 ；……………………………………………………………………5分 （2），，……………………………………………………………6分 当时，，解得，……………………………………………………8分 当时，， 所以，…………………………………………………………………………10分 解得，……………………………………………………………………………12分 综合以上两种情况，可得实数的取值范围为.………………………………13分 16.【详解】（1）已知函数， ，……………………………………3分 ．……………………………………6分 （2）证明：由，得，…………………………8分 ．……………………………………………………………………10分 （3）由知 ，，…………………………………12分 ………13分 ．……………………………………………………………15分 17．【详解】解：（1）由题意可得 ………………………………………………………2分 由得且.………………………………………………………3分 该企业从第2年开始盈利.………………………………………………………………4分 （2）方案二更合理，理由如下：…………………………………………………………5分 方案一： 当时取到最大值12800，………………………………………………………7分 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元……………………8分 方案二：年平均盈利额 ……………………………10分 万元………………………12分 当且仅当时，年平均盈利额最大，……………………………13分 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元………………14分 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理…15分 18.【详解】（1），又， ，对称轴，开口向上，…………………………………………1分 ，在处，取最小值且最小值为，……………………2分 又，，……………………………………………………3分 ，即的值域为.………………………………………………4分 （2），又， ，，……………………………………6分 当时，不等式化为，解得，不等式解集为； …………7分 当时，方程的根为或，………………………………8分 当时，，不等式解集为； ………………………………………………9分 当时，，不等式解集为；………………………………10分 当时，，不等式解集为；……………………………………………………11分 当时，，不等式解集为.……………………………………12分 （3） 令，则方程有四个不等实根，即关于的方程有两个不相等的正实根,……………………………………………………………………………13分 即即有两个不等正实根，则：，解得：…………………15分 ， ……………………………………………………………………………16分 所以实数的取值范围是:．………………………………………………17分 19．【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，…………………1分 所以，………………………………………………………………2分 所以，…………………………………………………………………………3分 检验：当时，， 因为，故满足题意.………………………………………4分 （2）是上的增函数，证明如下： 设任意，，，………………………………………………………………5分 因为 所以，………7分 ，∴，，，……………………………………………8分 ，…………………………………………………………………………9分 ∴是上的单调增函数．………………………………………………………………10分 （3） ，………………………………………………………………………………11分 令，由于，则， 即在上有最大值1，………………………………………………12分 因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得， 若， 此时有，……………………………………………………13分 但此时，矛盾，不合题意；……………………………………14分 若，此时有，…………………………………………15分 且此时，满足题意.…………………………………………16分 综上，存在，使函数的最大值为1.………………………………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $