精品解析：广东东莞市东莞中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

东莞中学2026-2027学年度第一学期 期中测试 高一数学试卷 全卷共19题．全部题目在答题卡上指定位置作答，收卷只收答答题卡！ 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与，． C. 与 D. 与 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数，a，b均为常数，其函数图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. ：对任意的，都有成立，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数满足：①当时，；②当时，．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：每小题6分（或，错选得0分），共18分． 9. 已知，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 为奇函数 D. 函数在上单调递增 11. 已知函数的定义域为，对任意非零实数x，y都有成立，且当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 的解集为 三、填空题：每小题5分，共15分．把答案填在答卷中相应的横线上． 12. 已知幂函数的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是_______． 13. 函数的定义域为___________ 14. 已知函数、的定义域都为，对任意，，的图象关于点对称，函数与的图象有三个不同的交点、、，则的值为_________________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式（式中字母均为正数）． （1）； （2）化简求值． 16. 设函数，． （1）用单调性定义证明函数在上单调递减； （2）已知对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民一般生活用气价格划分为三档： 第一档：每户每年的用气量不超过，执行a元/的价格； 第二档：每户每年的用气量超过，且不超过的部分，执行b元/的价格； 第三档：每户每年的用气量超过的部分，执行c元/的价格． （1）已知某户居民的用气价格1月—7月按照第一档执行，8月—10月按照第二档执行，11月—12月按照第三档执行，且7月、9月、12月的用气量与缴费情况如下表，求a，b，c的值． 月份 用气量/ 燃气费用/元 7 40 136 9 50 204 12 30 153 （2）请写出普通居民一般生活用气的年度费用y（单位：元）关于年度的用气量x（单位：）的函数解析式． 18. 已知函数，函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值M； （3）已知函数，对任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 19. 设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． （1）当时，请直接写出集合A的孪生集合B； （2）若A是由4个正实数构成的集合，求其孪生集合B的子集个数的最小值； （3）判断是否存在由4个正实数构成的集合A，使其孪生集合，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学2026-2027学年度第一学期 期中测试 高一数学试卷 全卷共19题．全部题目在答题卡上指定位置作答，收卷只收答答题卡！ 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，先将集合用列举法表示，再由交集的定义求解即可. 【详解】若，则， 所以， 所以. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定规则，需通过量词转换、结论否定两步推导匹配正确选项. 【详解】原命题为全称量词命题，其否定是特称命题. 所以命题：，的否定是 将全称量词“”替换为存在量词“”，保持论域不变，结论变为“”. 综上，命题的否定为“”，对应选项A. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与，． C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域、对应法则相同，即为同一函数判断各项即可. 【详解】对于选项A：由定义域为，定义域为， 两函数定义域不相同，函数与函数不是同一函数； 对于选项B：函数定义域为，函数的定义域为， 两函数定义域不相同，函数与函数不是同一函数； 对于选项C：由定义域为，定义域为，且， 两函数定义域相同，对应法则相同，函数与函数是同一函数； 对于选项D：由的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不相同，函数与函数不是同一函数. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为指数函数在上单调递增，且， 所以，即. 因为，且， 所以. 综上所述，. 5. 函数，a，b均为常数，其函数图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数，结合函数的奇偶性逐项判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项D不可能； 当时，是过原点（不含原点）的直线，A可能； 当时，函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，在上单调递增，B可能； 当时，函数的图象关于原点对称，且在上单调递增，C可能. 6. 已知在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】条件可转化为函数分别在区间和上单调递减，且分段点处左段的右极限不小于右段的左端点值列不等式，取所有条件的交集得到的取值范围． 【详解】当时，， 函数是开口向下的二次函数，其对称轴为， 根据二次函数的单调性性质，开口向下的二次函数在对称轴右侧单调递减， 因此要使该函数在上单调递减，需满足区间位于对称轴的右侧，即， 当时，， 由于指数函数的底数满足，所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 最后，根据分段函数单调递减的衔接要求，在分段点处，左段函数的最小值（即从左侧趋近于时的函数极限）需不小于右段函数的最大值（即处的函数值）， 即，解得， 综上，实数的取值范围是． 7. ：对任意的，都有成立，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先将三次因式分解为一次式乘恒正二次式，把原不等式恒成立等价转化为二次不等式恒成立，通过判别式与开口方向求出成立的充要条件，再与对比判断充分性与必要性． 【详解】，其中， 当且仅当时，等号成立， 所以与同号，原不等式对任意成立， 等价于对任意成立， 当时，不等式变为，即，显然不是对任意成立， 当时，是二次函数， 要使，需使，解得， 所以命题成立的充要条件是且， 若成立，则必然满足，即，所以是的充分条件， 若成立，即，但是不一定满足，即，不是的必要条件， 综上是的充分不必要条件． 8. 已知函数满足：①当时，；②当时，．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，依次迭代求解，可得各函数值范围. 【详解】当时，，所以. 时，. 所以；； 所以；， 所以B一定成立， A不一定成立； 又因为； 所以，所以C和D不一定成立. 二、多项选择题：每小题6分（或，错选得0分），共18分． 9. 已知，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知，可通过基本不等式、代数恒等变形逐一验证各选项的正误. 【详解】对于A，因为，，由基本不等式得，， 即，当且仅当时等号成立，A选项正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，B选项正确； 对于C，，所以当时等号成立，C选项错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 为奇函数 D. 函数在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】先对给定函数做代数变形，再结合指数函数的基本性质，依次从定义域、值域、奇偶性、单调性四个维度判断每个选项的正误. 【详解】对于A，因为对任意，，所以， 故函数的定义域为，选项A正确； 对于B，，， 所以的值域为，选项B错误； 对于C，，则， 所以不是奇函数，选项C错误； 对于D，，且， 则， 所以函数在上单调递增，选项D正确. 11. 已知函数的定义域为，对任意非零实数x，y都有成立，且当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法，令即可求解；对于B，通过赋值令，求出，再令，得到与的关系即可求解；对于C，用定义法证明单调性，设，利用条件构造判断符号即可；对于D，通过赋值推导出，将不等式转化为的形式，再利用单调性和奇偶性脱去“”，即可求解不等式． 【详解】对于A，令，则有，即，A对； 对于B，令，则有，得， 令，则有，即，又因的定义域关于原点对称，所以是偶函数，B对； 对于C，任取，且设，则， 根据题意，当时，可知，， 又令，得， 所以，即， 故在上单调递减，C对； 对于D，令，则有，得， 所以， 又因为，则， 所以不等式可转化为， 因为是偶函数，在上单调递减，且定义域为， 所以，解得且， 故不等式的解集为，D错． 三、填空题：每小题5分，共15分．把答案填在答卷中相应的横线上． 12. 已知幂函数的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将点（3,27）代入即可求出 【详解】将点（3,27）代入得：，则 故答案为 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，是基础题 13. 函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得或， 所以函数的定义域为. 14. 已知函数、的定义域都为，对任意，，的图象关于点对称，函数与的图象有三个不同的交点、、，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个函数的对称中心均为，且交点为奇数个，可得有一个坐标交点为，另外两个坐标交点关于对称，结合对称性求解即可. 【详解】因为，所以图象关于对称. 因为交点为奇数个，所以有一个交点坐标为， 另外两个坐标交点关于对称，所以，， 所以. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式（式中字母均为正数）． （1）； （2）化简求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】有根式的将根式转化为指数幂，再利用指数幂的运算法则计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 设函数，． （1）用单调性定义证明函数在上单调递减； （2）已知对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）设，且， 则 ， ，，，，， 故，所以，即， 所以函数在上单调递减. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意的，不等式恒成立，即； 由（1），函数在上单调递减，所以， 即，所以， 所以实数的取值范围为. 17. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民一般生活用气价格划分为三档： 第一档：每户每年的用气量不超过，执行a元/的价格； 第二档：每户每年的用气量超过，且不超过的部分，执行b元/的价格； 第三档：每户每年的用气量超过的部分，执行c元/的价格． （1）已知某户居民的用气价格1月—7月按照第一档执行，8月—10月按照第二档执行，11月—12月按照第三档执行，且7月、9月、12月的用气量与缴费情况如下表，求a，b，c的值． 月份 用气量/ 燃气费用/元 7 40 136 9 50 204 12 30 153 （2）请写出普通居民一般生活用气的年度费用y（单位：元）关于年度的用气量x（单位：）的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表依次列式求出. （2）根据给定条件，分段列式求出函数解析式. 【小问1详解】 依题意，7月份按第一档计价，则，解得； 9月份按第二档计价，则，解得； 12月份按第三档计价，则，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，， 所以所求函数解析式为. 18. 已知函数，函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值M； （3）已知函数，对任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）实数的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，即可求得函数的解析式； （2）由（1）的结论求出，其图像的对称轴方程为，按照对称轴与区间中点的大小依次讨论求解即可； （3）利用指数函数的单调性求得，结合题意可知只需满足即可，再利用（2）中的结论得出相应不等式即可求解． 【小问1详解】 令，则，由， 可得，故函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 对称轴方程为，且开口向上， 当时，，，在区间上函数； 当时，，，在区间上函数； 综上，函数在上的最大值； 【小问3详解】 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此对任意，满足恒成立， 由对任意，总存在，使得， 可得即可，因此， 由（2）可知，当时，，所以只需， 解得，与矛盾，故此时无解； 当时，，所以只需，解得； 综上可知，a的取值范围为． 19. 设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． （1）当时，请直接写出集合A的孪生集合B； （2）若A是由4个正实数构成的集合，求其孪生集合B的子集个数的最小值； （3）判断是否存在由4个正实数构成的集合A，使其孪生集合，并说明理由． 【答案】（1）. （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，令； 则； 则最小乘积，最大乘积；则； 且必有，则，则，矛盾， 故假设不成立； 故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 【解析】 【分析】（1）根据孪生集的概念写出集合B； （2）根据集合元素的互异性判断孪生集B的元素个数的最小值； （3）假设存在，根据所给孪生集合倒推集合A中的元素是否存在． 【小问1详解】 因为，所以，所以. 【小问2详解】 设，令； 则，故中至少有5个元素； 故孪生集B的元素个数的最小值为5； 取，此时共5个元素， 故孪生集B的元素个数的最小值为5，B的子集个数的最小值为. 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $