专题5.4 二项式定理（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题5.4 二项式定理 教学目标 1．会由计数原理推出二项式定理，说清展开式里每一项的来历——n 个因式各出一个字母相乘，选哪几个因式出 b 就决定了这一项； 2．能写出通项并据此定位：第几项、含某个字母几次的项、常数项、有理项，同时分得清“二项式系数”与“项的系数”不是一回事； 3．会用赋值法求各类系数和，会按增减规律找二项式系数与项的系数的最大项，并能用二项式定理处理整除、余数与近似估算。 教学重难点 1.重点 通项公式的使用；二项式系数与项的系数的区分；赋值法中几种典型赋值的对应关系。 2.难点 三项式与两因式相乘时“先分组、再搭配”的思路；系数绝对值最大项的求法；整除问题中余数的确定与调整。 知识点01 二项式定理与展开式的结构 1．展开式怎么来的：把 (a＋b)n 看成 n 个 (a＋b) 相乘，展开时每个因式各出一个字母．若有 k 个因式出的是 b，这一项就是 an−kbk；而“哪 k 个因式出 b”有 Cnk 种选法，所以这一项的系数正是 Cnk． 2．定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an−1b＋…＋Cnkan−kbk＋…＋Cnnbn，右边称为二项展开式，共 n＋1 项． 3．结构三条：项数是 n＋1；每一项里 a 与 b 的指数和都等于 ；a 的指数从 n 逐项减到 0，b 的指数从 0 逐项增到 n． 4．正用与逆用：正用是把幂展开；逆用是把一串形如 Cnkxn−kyk 的式子收拢回 (x＋y)n．逆用时系数的符号要跟着 b 的正负走，不能只认数字． 5．碰到 (a−b)n 就当成 (a＋(−b))n：奇数次项会带负号，写通项时别把负号漏在括号外． 【微例】(x＋2)4 中含 x2 的项是 C42·x2·22＝24x2． 【即学即练】 1．的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 2．代数式可化简为______． 知识点02 通项公式与指定项 1．通项：Tk+1＝Cnkan−kbk，它是展开式的第 k＋1 项，而不是第 k 项——这一步错位，后面全错． 2．定位的流程：先写出通项，把 a、b 换成题给的式子；再算出含 x 的指数（一个关于 k 的式子）；然后按题目要求令指数等于某个值，解出 k；最后把 k 代回系数． 3．三类常见要求：常数项令指数为 0；有理项令指数为整数；第几项直接用项数减 1 得 k． 4．两个“系数”要分清： 就是 Cnk，只与 n、k 有关，恒为正； 还要乘上 a、b 自带的数字因数，可正可负．题目问哪一个，要看清． 5．求系数时把符号与数字一起算进去，尤其是 (a−b)n 型：负号出现在 b 的幂上，也出现在系数里． 【微例】(x−2/x)6 的常数项：通项为 C6kx6−k(−2/x)k，令 6−2k＝0 得 k＝3，常数项为 C63×(−2)³＝−160． 【即学即练】 1．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________. 2．的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 知识点03 二项式系数的性质与最值 1．对称性：Cnk＝Cnn−k，所以展开式里与首末两端“等距离”的两项，二项式系数相等． 2．增减与最大：n 为偶数时，中间一项（第 n/2＋1 项）的二项式系数最大；n 为奇数时，中间两项（第 (n＋1)/2 项与第 (n＋3)/2 项）并列最大． 3．项的系数最大另有一套：它带着符号与数字因数，不能照搬上面的结论．设第 k＋1 项系数为 tk+1，令它同时不小于前后两项，解出 k 的范围再取整数；若系数有正有负，先比 ，再定符号． 4．两个常用的和：Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n；奇数项与偶数项的二项式系数和都等于 2n−1． 5．杨辉三角：第 n 行的第 k 个数就是 Cn−1k−1．行和、斜向求和、局部最大这些结论，都能由组合数的性质解释，不必死记． 【微例】(x＋1)10 的二项式系数最大项是第 6 项，其系数为 C105＝252． 【即学即练】 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 2．的展开式中的系数为___________. 知识点04 赋值法、三项式与整除近似 1．赋值法：在恒等式两边取特殊值．令 x＝1 得各项系数和；令 x＝−1 得奇数项与偶数项系数之差；两式相加、相减再除以 2，就分别得到偶数项与奇数项的系数和；令 x＝0 得常数项． 2．三项式的三条路：一是因式分解成两个二项式之积；二是把其中两项并成一组，用二项式定理展开后再展开一次；三是按组合的观点直接数——(a＋b＋c)n 中 aibjck（i＋j＋k＝n）的系数是 n!÷(i!j!k!)． 3．两个因式相乘求某一项：一个因式取低次、另一个取高次，逐种搭配后相加，别漏掉 的那一种——漏项是这类题最常见的失分点． 4．整除与余数：把底数拆成“除数的倍数＋余数”，展开后只留不含该倍数的那一项；余数要落在 0 到除数−1 之间，算出负数就补一个除数． 5．近似：把底数写成 1＋x（|x| 很小）的形式，展开后按精度要求截断，注意末位要不要进位． 【微例】310 除以 8 的余数：310＝95＝(8＋1)5，展开后只有末项 1 不含 8 的倍数，故余数为 1． 要算的量 怎么赋值 结果 各项系数和 a₀＋a₁＋…＋aₙ 令 x＝1 f(1) 偶数项系数和 a₀＋a₂＋a₄＋… 令 x＝1 与 x＝−1，两式相加再除以 2 [f(1)＋f(−1)]÷2 奇数项系数和 a₁＋a₃＋a₅＋… 令 x＝1 与 x＝−1，两式相减再除以 2 [f(1)−f(−1)]÷2 常数项 a₀ 令 x＝0 f(0) 各项系数的绝对值之和 系数符号一致时令 x＝−1 f(−1) 【即学即练】 1．的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 题型 01 正用与逆用：写展开式与收拢求和式 【典例1】 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．80 C．10 D． 【变式1】 2．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．被9除的余数是___________. 4．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．2 题型 02 通项定位：求指定项与指定项的系数 【典例2】 1．二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 2．的展开式中含项的系数是（    ） A． B．84 C． D．21 【变式2】 3．的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 4．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型 03 三项式与两因式相乘的展开 【典例3】 1．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【变式1】 2．的展开式中的系数是__________. 3．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 4．的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 题型 04 二项式系数与项的系数的最值 【典例4】 1．二项式的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第6项 B．第5、6项 C．第7项 D．第6、7项 【变式1】 2．已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【变式2】 3．的二项展开式中二项式系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 4．在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 题型 05 赋值法：系数和、奇偶项和与系数差 【典例5】 1．若，则______． 【变式1】 2．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 【变式2】 3．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为 A． B． C． D． 4．在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 题型 06 应用：整除、余数与近似计算 【典例6】 1．已知今天是周一，那么天后是______.（填周几） 【变式1】 2．整数除以7，所得余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 4．= ___________ ， 今天星期四，天后星期几？________ 1．若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 4．二项式定理：________________； 5．的二项展开式中，常数项为______． 6．在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为______. 7．已知，则________；________． 8．的展开式中含的项为____. 9．设为偶数，则被整除的余数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 10．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 1．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7． (1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数； (2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01） 2．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 3．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 4．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则________.（用含的式子表示，） 5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 7．在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 8．已知，．记． (1)求的值； (2)化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 二项式定理 教学目标 1．会由计数原理推出二项式定理，说清展开式里每一项的来历——n 个因式各出一个字母相乘，选哪几个因式出 b 就决定了这一项； 2．能写出通项并据此定位：第几项、含某个字母几次的项、常数项、有理项，同时分得清“二项式系数”与“项的系数”不是一回事； 3．会用赋值法求各类系数和，会按增减规律找二项式系数与项的系数的最大项，并能用二项式定理处理整除、余数与近似估算。 教学重难点 1.重点 通项公式的使用；二项式系数与项的系数的区分；赋值法中几种典型赋值的对应关系。 2.难点 三项式与两因式相乘时“先分组、再搭配”的思路；系数绝对值最大项的求法；整除问题中余数的确定与调整。 知识点01 二项式定理与展开式的结构 1．展开式怎么来的：把 (a＋b)n 看成 n 个 (a＋b) 相乘，展开时每个因式各出一个字母．若有 k 个因式出的是 b，这一项就是 an−kbk；而“哪 k 个因式出 b”有 Cnk 种选法，所以这一项的系数正是 Cnk． 2．定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an−1b＋…＋Cnkan−kbk＋…＋Cnnbn，右边称为二项展开式，共 n＋1 项． 3．结构三条：项数是 n＋1；每一项里 a 与 b 的指数和都等于 n；a 的指数从 n 逐项减到 0，b 的指数从 0 逐项增到 n． 4．正用与逆用：正用是把幂展开；逆用是把一串形如 Cnkxn−kyk 的式子收拢回 (x＋y)n．逆用时系数的符号要跟着 b 的正负走，不能只认数字． 5．碰到 (a−b)n 就当成 (a＋(−b))n：奇数次项会带负号，写通项时别把负号漏在括号外． 【微例】(x＋2)4 中含 x2 的项是 C42·x2·22＝24x2． 【即学即练】 1．的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 2．代数式可化简为______． 【答案】 【分析】根据条件，利用二项展开式，即可求出结果. 【详解】因为 ， 故答案为：. 知识点02 通项公式与指定项 1．通项：Tk+1＝Cnkan−kbk，它是展开式的第 k＋1 项，而不是第 k 项——这一步错位，后面全错． 2．定位的流程：先写出通项，把 a、b 换成题给的式子；再算出含 x 的指数（一个关于 k 的式子）；然后按题目要求令指数等于某个值，解出 k；最后把 k 代回系数． 3．三类常见要求：常数项令指数为 0；有理项令指数为整数；第几项直接用项数减 1 得 k． 4．两个“系数”要分清：二项式系数就是 Cnk，只与 n、k 有关，恒为正；项的系数还要乘上 a、b 自带的数字因数，可正可负．题目问哪一个，要看清． 5．求系数时把符号与数字一起算进去，尤其是 (a−b)n 型：负号出现在 b 的幂上，也出现在系数里． 【微例】(x−2/x)6 的常数项：通项为 C6kx6−k(−2/x)k，令 6−2k＝0 得 k＝3，常数项为 C63×(−2)³＝−160． 【即学即练】 1．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________. 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 依题意，所以， 所以二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以展开式中的系数为为. 故答案为： 2．的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 【答案】D 【分析】由二项式展开通式直接计算即可. 【详解】由展开式的通项得， 令，得，常数项为. 知识点03 二项式系数的性质与最值 1．对称性：Cnk＝Cnn−k，所以展开式里与首末两端“等距离”的两项，二项式系数相等． 2．增减与最大：n 为偶数时，中间一项（第 n/2＋1 项）的二项式系数最大；n 为奇数时，中间两项（第 (n＋1)/2 项与第 (n＋3)/2 项）并列最大． 3．项的系数最大另有一套：它带着符号与数字因数，不能照搬上面的结论．设第 k＋1 项系数为 tk+1，令它同时不小于前后两项，解出 k 的范围再取整数；若系数有正有负，先比绝对值，再定符号． 4．两个常用的和：Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n；奇数项与偶数项的二项式系数和都等于 2n−1． 5．杨辉三角：第 n 行的第 k 个数就是 Cn−1k−1．行和、斜向求和、局部最大这些结论，都能由组合数的性质解释，不必死记． 【微例】(x＋1)10 的二项式系数最大项是第 6 项，其系数为 C105＝252． 【即学即练】 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 2．的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时， ， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时， ， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 知识点04 赋值法、三项式与整除近似 1．赋值法：在恒等式两边取特殊值．令 x＝1 得各项系数和；令 x＝−1 得奇数项与偶数项系数之差；两式相加、相减再除以 2，就分别得到偶数项与奇数项的系数和；令 x＝0 得常数项． 2．三项式的三条路：一是因式分解成两个二项式之积；二是把其中两项并成一组，用二项式定理展开后再展开一次；三是按组合的观点直接数——(a＋b＋c)n 中 aibjck（i＋j＋k＝n）的系数是 n!÷(i!j!k!)． 3．两个因式相乘求某一项：一个因式取低次、另一个取高次，逐种搭配后相加，别漏掉搭配的那一种——漏项是这类题最常见的失分点． 4．整除与余数：把底数拆成“除数的倍数＋余数”，展开后只留不含该倍数的那一项；余数要落在 0 到除数−1 之间，算出负数就补一个除数． 5．近似：把底数写成 1＋x（|x| 很小）的形式，展开后按精度要求截断，注意末位要不要进位． 【微例】310 除以 8 的余数：310＝95＝(8＋1)5，展开后只有末项 1 不含 8 的倍数，故余数为 1． 要算的量 怎么赋值 结果 各项系数和 a₀＋a₁＋…＋aₙ 令 x＝1 f(1) 偶数项系数和 a₀＋a₂＋a₄＋… 令 x＝1 与 x＝−1，两式相加再除以 2 [f(1)＋f(−1)]÷2 奇数项系数和 a₁＋a₃＋a₅＋… 令 x＝1 与 x＝−1，两式相减再除以 2 [f(1)−f(−1)]÷2 常数项 a₀ 令 x＝0 f(0) 各项系数的绝对值之和 系数符号一致时令 x＝−1 f(−1) 【即学即练】 1．的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【详解】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 2．多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 【答案】 【分析】利用二项式系数的和的概念可得结果. 【详解】多项式的展开式的各二项式系数的和等于. 题型 01 正用与逆用：写展开式与收拢求和式 【典例1】 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．80 C．10 D． 【答案】B 【分析】利用二项式通项求解即可. 【详解】，令，得， 所以含项的系数为. 故选：B 【变式1】 2．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故为的展开式，化简. 故选：D. 3．被9除的余数是___________. 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 4．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】因为，结合二项展开的通项公式运算求解. 【详解】的展开式的通项公式为，， ∵， ∴，解得， 故选：B. 题型 02 通项定位：求指定项与指定项的系数 【典例2】 1．二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，令，求出第4项. 【详解】因为，所以. 故选：A． 【变式1】 2．的展开式中含项的系数是（    ） A． B．84 C． D．21 【答案】A 【分析】求得的展开式的通项公式为，令，求解即可. 【详解】已知的展开式的通项公式为， 令，解得， 则的展开式中含项的系数是. 故选：A. 【变式2】 3．的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理可求二项展开式中指定项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 令，可得项的系数为. 故选：B. 4．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 题型 03 三项式与两因式相乘的展开 【典例3】 1．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】根据多项式乘法可求展开式中的系数. 【详解】因为 ， 故可以来自5个因式的2个因式提供，余下3个因式提供， 或者5个因式的3个因式提供，余下1个因式提供，一个因式提供， 故的系数为， 故选：B. 【变式1】 2．的展开式中的系数是__________. 【答案】14 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】的展开式的通项为， 令，则， 令，则， 故的系数是. 故答案为：14. 3．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． 4．的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 题型 04 二项式系数与项的系数的最值 【典例4】 1．二项式的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第6项 B．第5、6项 C．第7项 D．第6、7项 【答案】A 【分析】根据二项展开式的二项式系数为，由展开式的项数判断. 【详解】解：设二项式的展开式中二项式系数为， 因为二项式的展开式共有11项， 所以r=6时，二项式系数最大， 故选：A 【变式1】 2．已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为求出的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最大的项对应的项数. 【详解】的展开式中前三项的二项式系数和为， 整理可得，且，解得， 的展开式通项为， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项. 故选：D. 【变式2】 3．的二项展开式中二项式系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据的二项式系数最大为再计算二项系数最大项. 【详解】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 4．在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B 题型 05 赋值法：系数和、奇偶项和与系数差 【典例5】 1．若，则______． 【答案】1023 【分析】根据二项式定理分析的符号，结合赋值法运算求解. 【详解】令，可得； 令，可得； 则， 又因为的展开式的通项为， 即， 可知：当时，；当时，； 所以. 故答案为：1023. 【变式1】 2．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 【答案】AB 【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项. 【详解】设. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以，，C错； 对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错. 故选：AB. 【变式2】 3．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出展开式的各项系数之和和二项式系数之和为，根据求出的值，进而写出通项，求出展开式的系数. 【详解】中，令得展开式的各项系数之和， 根据二项式系数和公式得二项式系数之和， ，所以，解得， 的展开式的通项为：， 令得，故展开式中的系数为， 故选：B. 4．在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【详解】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 题型 06 应用：整除、余数与近似计算 【典例6】 1．已知今天是周一，那么天后是______.（填周几） 【答案】周日 【分析】对给定条件合理转化，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周日. 故答案为：周日 【变式1】 2．整数除以7，所得余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】,然后用二项式定理展开即可得出答案. 【详解】 , 前六项均能被7整除，所以除以7余6. 故选：D. 3．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 【答案】(1), 或 . (2),. (3)1 【分析】（1）根据二项式系数的性质求的值，再利用等差数列的性质求解； （2）根据相邻项系数的关系列不等式可求的展开式中系数最大的项； （3）根据，利用二项展开式求解. 【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . 代入 ,,, 整理得 ,解得 或 . 故 , 或 ； （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 展开式通项为 ,系数为 ,. 设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 . 故 ,解得. 综上 ,即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:,； （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 又 ,则     故 被5除的余数为 . 4．= ___________ ， 今天星期四，天后星期几？________ 【答案】6；星期一 【分析】根据组合数的计算公式，求得的值，再由，结合二项展开式，得到余数，即可求解. 【详解】由组合数的计算公式，可得； 由 ， 今天星期四，所以天后是星期一. 故答案：；星期一. 1．若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案. 【详解】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意. 故选：A 2．展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的增减性即可求解. 【详解】当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，是最大的二项式系数，符合要求， 当时，显然，不满足， 故选：A． 3．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 4．二项式定理：________________； 【答案】（或写为展开形式：）. 【分析】略. 5．的二项展开式中，常数项为______． 【答案】240 【分析】根据二项式定理可得展开式的通项公式，令，可求得常数项. 【详解】的二项展开式的通项为： ，， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 6．在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为______. 【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 7．已知，则________；________． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 8．的展开式中含的项为____. 【答案】 【分析】解法一：将三项展开式变为，根据和展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得. 【详解】方法一:因为， 二项式展开式的通项为， 二项式展开式的通项为， 所以多项式展开式的通项为， 令，得，且， 所以或或或或. ①当时，的展开式中含的项为； ②当时，的展开式中含的项为， ③当时，的展开式中含的项为； ④当时，的展开式中含的项为； ⑤当时，的展开式中含的项为. 综上，得的展开式中含的项为. 方法二：可看成6个相乘， 的展开式中含的项有以下三种情况： ①个多项式取，个多项式取乘积得到，即； ②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； ③个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； 综上所述，的展开式中含的项为. 9．设为偶数，则被整除的余数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解. 【详解】由题意，可得 ， 因为为偶数， 所以原式 因为能被整除， 所以被整除的余数是. 故选：A. 10．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2)-280 (3) 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． （2）二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． （3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 1．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7． (1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数； (2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)m=3，n=4或m=4，n=3，x3的系数为5；(2)2.02 【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求； （2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可 【详解】（1）根据题意得，即．① 的展开式中的系数为． 将①变形为代入上式，得的系数为， 故当，或，时，的系数取得最小值且为9； 此时的系数均为； （2）当，或，时， 2．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，. 所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，， 解得或（舍去）， 所以，. 设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为， 则有，即， 整理可得，所以. 又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项. 故选：B. 3．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 4．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则________.（用含的式子表示，） 【答案】 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据和的展开式的加减得到的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到. 综上所述：. 故答案为：. 5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值． 【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则，即， 求得或6，此时，， ， 故选：A． 6．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 【答案】BCD 【分析】由组合数的性质计算可判断A，由杨辉三角的每行系数和性质可判断B，  将所求和转化为组合数相加，通过在首项加上并在末尾减去1并结合即可求解，求和后转化为，利用二项式定理展开可判断D. 【详解】对于A，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字中最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确， 对于C，由题意可得 ，故C正确， 对于D，由上知第行的所有数字之和为 ， 由于能被7整除， 故第行的所有数字之和被7除的余数为1，故D正确. 7．在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由展开式中只有第五项的二项式系数最大求解即可. （2）根据二项展开式的通项，由为整数求解即可. （3）利用二项式定理求出通项，设第项的系数的绝对值最大求解即可. 【详解】（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以 （2）第项为 若项为有理项，则为整数，则，，，， 所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为 （3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 8．已知，．记． (1)求的值； (2)化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除． 【答案】（1）； （2），证明如下： 因为 ， 所以 ， ， 因为，所以能被整除. 【分析】（1）由二项式定理得，利用公式计算的值； （2）由组合数公式化简，把化为的整数倍即可． 【详解】由二项式定理，得； （1）； （2），证明略. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $