专题3.3.1 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题3.3.1 空间向量基本定理 教学目标 理解空间向量基本定理内容，掌握空间基底、基向量、正交基底、单位正交基底的概念；明确构成空间基底的条件：三个向量不共面，知道同一空间基底之下向量分解系数唯一，基底不唯一。 对比平面向量基本定理，区分平面基底（2 个、不共线）与空间基底（3 个、不共面）；理解单位正交基底是空间直角坐标系建立的理论基础。 掌握四点共面的向量推论，会利用该结论判定四点共面、求解参数。 能够在四面体、平行六面体等几何体中选定合适基底，利用向量加减、数乘把目标向量分解为基向量的线性组合。 会用基底表达向量后，借助数量积公式求解向量模长、夹角、投影向量；能解决共面证明、动点轨迹、范围最值、法向量相关综合题型。 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理，基底的判定条件（三个向量不共面）；正交基底、单位正交基底概念。 四点共面的向量充要条件推论，利用推论判定四点共面、求参数。 在几何体中选取基底，将空间向量用选定基底做线性表示。 借助基底结合数量积求模长、夹角，平行六面体、四面体模型向量运算。 2.难点 理解空间向量基本定理中 “分解系数唯一”；区分共面向量定理与空间向量基本定理，辨别共线、共面、空间基底条件。 复杂几何体中灵活选取合适基底，对中点、等分点条件做向量分解；四点共面推论的灵活运用，容易忽略 “三点不共线” 前提。 基底法结合数量积解决线段长度、垂直证明、动点轨迹与最值问题。 向量综合多选题、立体几何解答题，综合运用共线、共面、数量积进行推理论证。| 知识点 1：空间向量基本定理 定理内容： 如果是空间中三个不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数x,y,z，使得 基底：叫做空间的一个基底； 基向量：叫做基向量； ✅基底必备条件：三个向量不共面； ❌只要三个向量共面，就不能作为空间的基底。 重要解读 ①实数x,y,z是唯一的；同一个基底之下，向量分解形式唯一。 ②空间任意三个不共面向量都可以构成一组基底，基底不唯一。 知识点 2：特殊基底 正交基底：如果基底的三个基向量两两互相垂直，称为正交基底。 单位正交基底：正交基底的每个基向量模长都等于1，记作。 两两垂直， 空间任意向量：，(x,y,z)就是在单位正交基底下的坐标。 👉空间直角坐标系的理论来源就是单位正交基底。 【即学即练】 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 知识点 3：共面向量定理（对比，平面基底） 平面内，两个不共线向量可以作为平面的一组基底，平面任意向量。 对比记忆： 平面基底：2 个、不共线； 空间基底：3 个、不共面。 【即学即练】 已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 知识点 4：四点共面的向量推论（空间向量基本定理衍生结论） 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 ⚠注意条件：A,B,C不能三点共线。 【即学即练】 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 知识点 5：用基底表示空间向量（几何分解） 在几何体（四面体、平行六面体）中，选定一组基底，利用向量加减、数乘，把目标向量拆解成基向量线性组合。 平行六面体模型（经典）： 平行六面体，取作为基底，则体对角线： 题型 1：用基底做向量线性表示 【典例1】如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型 2：空间基底的判定（能否构成一组基底） 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 3：四点共面定理应用（参数求解） 【典例1】已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【变式2】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【变式3】在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 题型 4：数量积求模长、线段长度、夹角、投影向量 【典例1】在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【变式2】如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【变式3】如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 题型 5：向量与动点轨迹、范围、最值 【典例1】如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【变式1】正方体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D．若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 【变式2】如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【变式3】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 题型 6：多选题综合判断（空间向量 + 立体几何） 【典例1】下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【变式3】如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 题型 7：解答大题综合（共线、共面、垂直证明、求法向量） 【典例1】如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【变式1】在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【变式2】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【变式3】如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 1．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 5．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 9．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 10．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 11．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 12．在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 1．在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 2．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 4．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 5．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 6．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 8．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 9．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 10．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 11．在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 12．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    13．正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 14．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 15．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 16．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.1 空间向量基本定理 教学目标 理解空间向量基本定理内容，掌握空间基底、基向量、正交基底、单位正交基底的概念；明确构成空间基底的条件：三个向量不共面，知道同一空间基底之下向量分解系数唯一，基底不唯一。 对比平面向量基本定理，区分平面基底（2 个、不共线）与空间基底（3 个、不共面）；理解单位正交基底是空间直角坐标系建立的理论基础。 掌握四点共面的向量推论，会利用该结论判定四点共面、求解参数。 能够在四面体、平行六面体等几何体中选定合适基底，利用向量加减、数乘把目标向量分解为基向量的线性组合。 会用基底表达向量后，借助数量积公式求解向量模长、夹角、投影向量；能解决共面证明、动点轨迹、范围最值、法向量相关综合题型。 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理，基底的判定条件（三个向量不共面）；正交基底、单位正交基底概念。 四点共面的向量充要条件推论，利用推论判定四点共面、求参数。 在几何体中选取基底，将空间向量用选定基底做线性表示。 借助基底结合数量积求模长、夹角，平行六面体、四面体模型向量运算。 2.难点 理解空间向量基本定理中 “分解系数唯一”；区分共面向量定理与空间向量基本定理，辨别共线、共面、空间基底条件。 复杂几何体中灵活选取合适基底，对中点、等分点条件做向量分解；四点共面推论的灵活运用，容易忽略 “三点不共线” 前提。 基底法结合数量积解决线段长度、垂直证明、动点轨迹与最值问题。 向量综合多选题、立体几何解答题，综合运用共线、共面、数量积进行推理论证。| 知识点 1：空间向量基本定理 定理内容： 如果是空间中三个不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数x,y,z，使得 基底：叫做空间的一个基底； 基向量：叫做基向量； ✅基底必备条件：三个向量不共面； ❌只要三个向量共面，就不能作为空间的基底。 重要解读 ①实数x,y,z是唯一的；同一个基底之下，向量分解形式唯一。 ②空间任意三个不共面向量都可以构成一组基底，基底不唯一。 知识点 2：特殊基底 正交基底：如果基底的三个基向量两两互相垂直，称为正交基底。 单位正交基底：正交基底的每个基向量模长都等于1，记作。 两两垂直， 空间任意向量：，(x,y,z)就是在单位正交基底下的坐标。 👉空间直角坐标系的理论来源就是单位正交基底。 【即学即练】 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 知识点 3：共面向量定理（对比，平面基底） 平面内，两个不共线向量可以作为平面的一组基底，平面任意向量。 对比记忆： 平面基底：2 个、不共线； 空间基底：3 个、不共面。 【即学即练】 已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 知识点 4：四点共面的向量推论（空间向量基本定理衍生结论） 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 ⚠注意条件：A,B,C不能三点共线。 【即学即练】 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 知识点 5：用基底表示空间向量（几何分解） 在几何体（四面体、平行六面体）中，选定一组基底，利用向量加减、数乘，把目标向量拆解成基向量线性组合。 平行六面体模型（经典）： 平行六面体，取作为基底，则体对角线： 题型 1：用基底做向量线性表示 【典例1】如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 【变式1】如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 【变式2】如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 【变式3】已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 题型 2：空间基底的判定（能否构成一组基底） 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 【变式1】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 【变式2】若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 【变式3】在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 题型 3：四点共面定理应用（参数求解） 【典例1】已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 【变式1】已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 【变式2】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【答案】证明：分别连接、、、交对边于、、、点. 因为、、、分别是所在三角形的重心. 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且， 所以，，故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面. 【分析】分别连接、、、交对边于、、、点，可根据重心的已知条件，推导出四边形为平行四边形，进而推导出，即，即可证明结论成立. 【详解】略 【变式3】在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 题型 4：数量积求模长、线段长度、夹角、投影向量 【典例1】在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 【变式2】如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 【变式3】如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 题型 5：向量与动点轨迹、范围、最值 【典例1】如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对①：由题意可得在矩形边界及其内部；对②：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对③：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为的中点，解出即可得；对④：利用椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆与矩形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】   对于①，由于点满足，则点的轨迹在矩形边界及内部，故①正确； 对于②，由，，，平面， 可得平面，又因为的中点在平面内，则平面内任意一点到点和到点的距离相等， 又因为点的轨迹在矩形边界及内部， 则当时，点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段， 又因为，故点的轨迹长度为，故②错误； 对于③，由，，，平面， 可得平面，又因为平面，故， 由②知平面，又因为平面，故， 又因为，平面，故平面， 若，则点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段，其中为的中点， 由于，所以点的轨迹的长度为，故③正确； 对于④，若，因,则点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：    则该椭圆方程为，点的轨迹为该椭圆与矩形边界及内部相交部分， 设，则，则，即的最小值为，故④正确； 综上所述，序号①③④正确. 【变式1】正方体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D．若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【分析】A根据外接球半径计算；B利用基底计算；C设球心为，计算的最值；D利用球的性质，找出截面圆心再计算. 【详解】设外接球半径为，则，则，则，得， 故A错误； 设，则，故B正确； 设球心为，则， 因为， ，等号成立时同向， 故的最大值为，故C正确； 若点在四边形内， 因为平面，平面，所以， 则， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其长度为， 同理可得，当点在四边形、内时，其轨迹长度均为； 因为，所以其在四边形内的轨迹为点， 同理可得，点在四边形、内的轨迹分别为， 故点轨迹的长度为，故D错误. 【变式2】如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 【变式3】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 题型 6：多选题综合判断（空间向量 + 立体几何） 【典例1】下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 【变式3】如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的运算，利用空间中的一组基底表示其他向量，利用向量的线性运算和数量积运算计算结果，判断A，B，C选项；利用棱锥的共斜边特点可以找到球心计算半径，根据等体积法计算球心到平面的距离，得到截面的圆半径，进而计算面积即可判断D选项． 【详解】 由图可知：，故A正确； 因为底面是正方形，且， 所以，， ； 所以 ，故B正确 因为， 故； ， 故，故C错误； 外接圆的圆心为的中点， 因为，， 故，故； 故外接圆的圆心也为的中点， 故外接球的圆心为的中点，半径为； 设圆心到平面的距离为d， 由， ； 设到底面的距离为， ， 如图所示，设在平面中的投影为，则在底面的投影向量为； 因为， 故 ， 故，四棱锥为正四棱锥， 故，， 故； 所以， 故，解得， 故截面半径为：， 故截面面积为，故D正确． 题型 7：解答大题综合（共线、共面、垂直证明、求法向量） 【典例1】如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 【变式1】在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 【变式2】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 【变式3】如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设基向量，利用基底表示，根据三点共线即可求出； （2）根据基底以及得出即可求出. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，得. （2）因为，且， 所以， 得，即， 故，即，所以的最大值为. 1．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 3．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 5．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 6．如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 7．如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】由已知， . 8．如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 9．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 10．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 11．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 12．在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③. 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 1．在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设，，将用，表示，再利用空间向量四点共面的结论可得到，则可转化为一个关于的函数，即可求解. 【详解】设，，，则，， 因为点为侧棱中点，所以，同理. 故； 又因为，所以， 由于，，，四点共面，所以， 则 所以， 而， 令，令， 则，由对勾函数单调性易得 从而 【点睛】本题难度较大，核心在于设，，利用等体积与四点共面等结论将所求量转化为一个关于或的函数表达式，体现了数学抽象与逻辑推理的核心素养. 2．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 4．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 5．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 6．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 7．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 8．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 9．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 10．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 11．在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 12．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 13．正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 14．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 15．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 16．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $