第5章 计数原理 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)48　(3)12　[解析] (1)因为教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,所以从一层到二层,有2种走法.同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法,则从一层到四层共有2×2×2=23(种)走法.故选B. (2)从两个袋中各取一个球,可分为两步完成.第一步,从第一个袋中任取一个球,共有6种取法;第二步,从另一个袋中任取一个球,共有8种取法.由分步乘法计数原理可得共有6×8=48(种)取法. (3)①若分配给甲部门2名电脑编程人员,则有3种方法;2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理可知,分配方案有3×2=6(种).②若分配给甲部门1名电脑编程人员,则有3种方法;2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理可知,分配方案有3×2=6(种).由分类加法计数原理可得,不同的分配方案共有6+6=12(种). 变式　(1)D　(2)180　[解析] (1)5日至9日有3天奇数日,2天偶数日.第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有23=8(种)选择.第二步,安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2×2=4(种)选择;第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,有22=4(种)选择.共有4+4=8(种)选择.根据分步乘法计数原理可得,不同的用车方案种数为8×8=64.故选D. (2)将四个区域进行编号,如图,先在区域1中种植,有5种不同的种植方法,然后在区域2中种植,有4种不同的种植方法,再在区域3中种植,有3种不同的种植方法,最后在区域4中种植,有3种不同的种植方法,所以不同的种植方案共有5×4×3×3=180(种). 题型二 例2　(1)C　(2)1260　[解析] (1)甲场馆有种安排方法,乙场馆有种安排方法,丙场馆有种安排方法,总共有=60(种)安排方法. (2)方法一(直接法):当所选4个数字没有0时,四位数有=720(个);当所选4个数字有0时,四位数有=540(个).故一共可以组成720+540=1260(个)符合条件的四位数. 方法二(间接法):所有“真假”四位数有=1440(个),“假”四位数是0开头的四位数,有=180(个),故符合条件的四位数有1440-180=1260(个). (3)解:①先将五名学生“捆绑”在一起看作一个整体与五名老师全排列,有种排法,再将五名学生全排列,有种排法,故共有·=86 400(种)排法. ②先将五名老师全排列,有种排法,再将五名学生排在五名老师产生的六个空位上,有种排法,故共有·=86 400(种)排法. ③老师和学生相间隔的排法有两类,老师在排头或学生在排头,共有2·=28 800(种)排法. 变式　(1)B　(2)C　(3)D　[解析] (1)由题可知,参加公益活动的志愿者需要3人,先从5人中选出3人有种选法,再从3人中选出1人参加两天公益活动,有种选法,另外2人分别安排在星期六、星期日,有种方法,则共有=60(种)安排方式.故选B. (2)将7个相同的球放入4个不同的盒子中,即把7个相同的球分成4组,因为每个盒子中都有球,所以每个盒子中至少有一个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这 6个空中插入3个隔板将它们隔开,且每个空中最多有1个隔板,即分成4组,则不同的插入方法共有=20(种),所以每个盒子中都有球的放法种数为20.故选C. (3)根据题意可分为两类:个位数字为0和个位数字为2或4.当个位数字为0时,小于50 000的偶数有=4×24=96(个);当个位数字为2或4时,小于50 000的偶数有=144(个).所以小于50 000的偶数共有96+144=240(个).故选D. 题型三 例3　(1)B　(2)ABD　(3)60　[解析] (1)二项展开式的通项为Tr+1=xr(r=0,1,2,3,…,n),所以当r=2时,T3=x2,因为(1+x)n的展开式中x2的系数为15,所以=15,解得n=6.故选B. (2)由2n=32,得n=5,A正确.令x=0,得a0=32,B正确.因为n=5,所以a3=×33×22=1080,C错误.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,D正确.故选ABD. (3)的展开式的通项为Tr+1=(2x3)6-r=(-1)r26-rx18-4r,令18-4r=2,得r=4,∴x2的系数为(-1)4××26-4=60. 变式　(1)A　(2)C　(3)A　[解析] (1)的展开式的通项为Tr+1=x8-r=(-1)rx8-2r.令8-2r=0,解得r=4,则的展开式中的常数项为T5==70;令8-2r=2,解得r=3,则的展开式中含x2的项为T4=-x2=-56x2.所以(1+2x2)的展开式中x2的系数为-56+2×70=84.故选A. (2)令x+1=t,则x=t-1,故(x-1)4+2x5=(t-2)4+2(t-1)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,因为(t-2)4的展开式中t2的系数为(-2)2=24,(t-1)5的展开式中t2的系数为(-1)3=-10,所以a2=24-20=4.故选C. (3)由已知可得n=12,则展开式的通项为Tr+1=(2x)12-r=212-r,显然当r是偶数时,第r+1项为有理项.当r=0时,T1=212x12=4096x12;当r=2时,T3=210x9=67 584x9;当r=4时,T5=28x6=126 720x6;当r=6时,T7=26x3=59 136x3;当r=8时,T9=24=7920;当r=10时,T11=22x-3=264x-3;当r=12时,T13=20x-6=x-6.经比较可得,当r=4,即k=5时系数最大,即展开式的有理项中第5项的系数最大.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 ◆ 题型一　分类加法计数原理和分步乘法计数原理 [类型总述] 利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际的计数问题.　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为 (　 ) A.32 B.23 C.43 D.24 (2)一个袋中放有6个球,另一个袋中放有8个球,每个球各不相同,从这两个袋中各取一个球,共有　　　　种不同的取法.  (3)某公司招聘5名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一部门,另外3名电脑编程人员也不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是　　　　.  变式 (1)甲与四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合限行规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为 (　 ) A.5 B.24 C.32 D.64 (2)某学校有一块绿化用地,其形状如图所示,为了让效果更美观,要求在四个区域内种植花卉,且相邻区域花卉颜色不同.现有五种不同颜色的花卉可供选择,则不同的种植方案共有　　　　种.(用数字作答)  ◆ 题型二　排列、组合应用问题 [类型总述] (1)排列应用问题;(2)组合应用问题;(3)排列、组合的综合应用. 例2 (1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　 ) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 (2)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答)  (3)已知五名老师和五名学生站成一排. ①五名学生必须排在一起,共有多少种不同的排法? ②五名学生不能相邻,共有多少种不同的排法? ③老师和学生相间隔,共有多少种不同的排法? 变式 (1)[2023·全国甲卷] 现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　 ) A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 (2)将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子中都有球的放法种数为 (　 ) A.840 B.35 C.20 D.15 (3)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有 (　 ) A.360个 B.192个 C.312个 D.240个 ◆ 题型三　二项式定理及其应用 [类型总述] (1)利用二项式定理求指定项(或系数);(2)利用赋值法求二项式系数的和. 例3 (1)(1+x)n的展开式中x2的系数为15,则n= (　 ) A.7 B.6 C.5 D.4 (2)(多选题)已知(3x+2)n展开式中的二项式系数和为32,若(3x+2)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 (　 ) A.n=5 B.a0=32 C.a3=270 D.a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=-1 (3)[2023·天津卷] 在的展开式中,x2的系数为　　　　.  变式 (1)在(1+2x2)的展开式中,x2的系数是 (　 ) A.84 B.-84 C.196 D.14 (2)已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a2= (　 ) A.-2 B.2 C.4 D.12 (3)已知(n∈N*)的展开式中只有第7项的二项式系数最大,若展开式的有理项中第k项的系数最大,则k= (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 学科网（北京）股份有限公司 $