精品解析：陕西汉中市南郑区中所中学2026-2027学年 第一学期第一次学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年度汉中市南郑区中所中学第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数最高为2次的整式方程）判断即可． 【详解】解：A. 是一元二次方程； B. ，是二元二次方程，不是一元二次方程； C. 是分式方程，不是一元二次方程； D. 是一元三次方程，不是一元二次方程； 故选：A． 2. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 3. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、中，不是邻边，不能判定是菱形，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为菱形，故本选项正确； C、中，，判定是矩形，故本选项错误； D、中，，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有实数根时判别式，先求出的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵选项中只有， ∴的值不可能是. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，每名运动员都要与其他名运动员握手一次，但每对握手会被重复计算两次，因此总握手次数应为．根据题意，总次数为45次，由此建立方程． 【详解】解：设有名运动员，每名运动员需与其他名运动员握手，共产生次握手．由于每对握手被计算了两次，实际总握手次数为． 根据题意，总次数为45次，因此方程为； 故选C． 8. 如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接过点O作交于点N，若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可以得到，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵四边形的面积是1，四边形的面积的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积的面积， ∴的面积是1， ∴正方形的面积是4， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的二次项系数是____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的二次项系数是a解答即可. 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2. 故答案为：2. 10. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，点C的坐标为，则点B的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．由长方形可知，，，再结合点C的坐标，即可得到点B的坐标． 【详解】解：长方形中，， ，， 点C的坐标为， 点B的坐标为，即， 故答案为： 11. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程解的定义把代入进行求解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 12. 如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形和等腰三角形的性质，先证明，得到，根据求出，再根据求得，即可求得答案. 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 故答案为：． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程：______（化为一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，先求出每椽的价格，再计算出少拿一株椽后的运费，根据少拿一株椽后的运费恰好等于一株椽的价钱建立等式，即可得到答案． 【详解】解：设这批椽的数量为， 则每株椽的价格为：元， 根据题意得：， 整理得：， 故答案为：． 14. 如图，菱形中，．过菱形的中心分别作边、的垂线，交各边于点．则四边形的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质，结合含有的直角三角形三边关系即可得出菱形对角线长，证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ，，即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 同法可证，，，都是等边三角形， ，， 四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式，右边化为常数，再求解． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，． 16. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握是解题的关键．直接根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， ． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键，此题利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法，在上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点D如图所示．   【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形性质，以及三角形外角性质，熟知线段的垂直平分线的作法是解答此题的关键．作的垂直平分线交于点D即可． 【详解】解：由垂直平分线的性质可知，， ， ， ． 19. 如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ，，平分， ， ∵点E在的延长线上， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【详解】略 20. 如图，矩形绿地的长为，宽为．将此绿地的长、宽各增加后，绿地面积增加了，求x的值． 【答案】2 【解析】 【分析】设绿地长、宽各增加了，根据绿地面积增加了列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，得：， 整理，得：， 解这个方程，得：， ，， ∵x表示增加的长度，应为正数， ∴不合题意，舍去． 答：x的值为2． 21. 如图，某中学原有一块菱形劳动实践基地，现将其拓展为矩形劳动实践基地．若该矩形劳动实践基地的长米，且，求原菱形劳动实践基地的周长． 【答案】原菱形劳动实践基地的周长为48米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由矩形的性质得出，再根据直角三角形中含30度角所对的边是斜边的一半，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， ∴原菱形劳动实践基地的周长为米． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于等于，解不等式即可求解； （2）把代入，得到关于x的方程，解关于x的方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：当时，， 或 解得，． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 【答案】（1）月平均增长率为． （2）该泥塑的售价应定为元/件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题的模型为，注意检验根是否符合题意；销售利润问题抓住“总利润=单件利润×销量”，并根据“让顾客得到实惠”对根进行取舍． （1）设月平均增长率为，由7月到9月经过两次增长，可列方程． （2）设售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元，由“总利润=单件利润×月销量”列方程，并结合“尽可能让顾客得到实惠”舍去较大的根． 【小问1详解】 解：设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该泥塑的售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴售价应较低， ∴， ∴， ∴该泥塑的售价应定为元/件． 24. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． （1）若菜地的面积为，求的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】（1）的长为或 （2） 要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由如下： 设，则， 由题意得：， 解得， 当时，， 即当，时，这棵树没有被围在菜地里， 所以要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设的长为，则的长为，根据菜地的面积为建立方程，解方程即可得； （2）设，则，根据该菜地的面积为建立方程，解方程求出的值，从而可得的值，将其与进行比较，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设的长为，则的长为， 由题意得：， 解得或， 答：的长为或． 【小问2详解】 略 26. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． （1）______； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的长为 （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点I，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点N作于点K，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，设与相交于点I， 由折叠可知，，，， 由（1）得， ， ，， 是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，过点N作于点K， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形空地的边长为， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度汉中市南郑区中所中学第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 7. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接过点O作交于点N，若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的二次项系数是____． 10. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，点C的坐标为，则点B的坐标为__________ 11. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为________． 12. 如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是______． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程：______（化为一般式）． 14. 如图，菱形中，．过菱形的中心分别作边、的垂线，交各边于点．则四边形的周长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法，在上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．求证：． 20. 如图，矩形绿地的长为，宽为．将此绿地的长、宽各增加后，绿地面积增加了，求x的值． 21. 如图，某中学原有一块菱形劳动实践基地，现将其拓展为矩形劳动实践基地．若该矩形劳动实践基地的长米，且，求原菱形劳动实践基地的周长． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求此时方程的根． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 24. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 25. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． （1）若菜地的面积为，求的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 26. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． （1）______； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $