精品解析：陕西渭南市临渭区渭南中学2026-2027学年度上学期九年级数学第一阶段教学检测试卷

渭南中学2026-2027学年度上学期 九年级（数学）第一阶段教学检测 （满分：120分；时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 第一部分(选择题　共30分) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每题只有一个选项是符合题意的．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A选项方程、B选项方程的未知数最高次数分别为3、1，均不是一元二次方程； C选项方程是分式方程，不是一元二次方程； D选项方程是一元二次方程． 2. 如图，在菱形中，，点在对角线上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：四边形是菱形，，  平分，  ，  ，  ，  ． 3. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，将给定方程通过展开和移项化为该形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. 在平行四边形中，对角线、交于点．添加一个条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断． 【详解】解：A、，无法判定为矩形，故选项不符合题意； B、，无法判定为矩形，故选项不符合题意； C、，则平行四边形为矩形，故选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，无法判定为矩形，故选项不符合题意． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 如图所示，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，正方形面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出的长，再用勾股定理求出的值． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，点是斜边的中点， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得： ． 7. 某种病毒在体外会逐步衰减，每经过相同时间衰减的比例一样，经过两天，病毒数量变为原来的，则每天衰减的百分比约为（参考：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每天衰减的百分比为，原来的数量为，列出方程为，即可求解． 【详解】解：设每天衰减的百分比为，原来的数量为， 由题意得， ∴ ， ∴或， ∴ ，（舍去）， ∴每天衰减的百分比约为． 8. 如图，正方形的边长为，点是对角线上一动点，过点作于，于，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，利用矩形对角线相等得到，把求最小值转化为求最小值，根据“垂线段最短”，当时最短，再结合正方形对角线的性质算出最小值，即为最小值． 【详解】解：四边形是正方形，点是对角线上一动点， ，，， ， ，， 四边形是矩形， 如图，连接， ， 点是对角线上一动点， 当时，取最小值，此时是的中线，， 的最小值为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的方程根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程后等式成立， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ． 10. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着折叠得到，点落在边上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得到的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴． 11. 一元二次方程的两根是，，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求代数式提取公因式变形，再结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，整体代入计算即可． 【详解】解： 在一元二次方程中，，，， 根据根与系数的关系，可得，， ． 12. 一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好等于这个两位数．设个位数字为，则可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据设出的个位数字，先推导十位数字的表达式，再结合两位数的数值表示规则写出该两位数，依据“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系列方程． 【详解】解：∵ 设个位数字为，十位数字比个位数字小3， ∴ 十位数字为， ∵ 两位数的数值为十位数字的10倍与个位数字的和， ∴ 这个两位数可表示为， ∵ 个位数字的平方刚好等于这个两位数， ∴ 可列方程． 13. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接，．若，点到边，的距离之比为，则的长为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】过点作于，交于，利用矩形性质和距离比求出、，利用勾股定理求，设，在中利用勾股定理列方程求，最后在中利用勾股定理求 ． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 点到边，的距离之比为， ， ，， 由轴对称的性质可得：垂直平分， ，， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得：， 在中，． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键． 将常数项移到方程右边，方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解． 【详解】解： 解得，． 15. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 16. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 即， 或， ． 17. 如图，在正方形中，连接，点P 是边上一点．请用尺规作图法，在上求 作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 ， 则点E即为所求． 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合线段垂直平分线的基本作图解答即可． 本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线基本作图，等边对等角，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据正方形，得到， 作的垂直平分线，交于点E， 则， 故. 18. 如图，在矩形中，点在边上，，垂足为点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】略 19. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈现出替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了3.38万辆．求该品牌汽车销售量的季度平均增长率． 【答案】 【解析】 【详解】解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为， 则， ， 或， 解得或（舍去）， 答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为． 20. 如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和．求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】由菱形性质、等边三角形判定与性质、勾股定理等知识求解即可． 【详解】解：菱形花坛的周长为， 菱形的边长为， 在中，，， 则是等边三角形， ； 在菱形中，，且，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ． 21. 学习了四边形知识后，数学兴趣小组开展检验学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】 数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】 设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边的长度，并测量出点B，D 之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形 【问题解决】 利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ 【答案】四边形是矩形，理由： ∵边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理和矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：略． 22. 已知关于的方程：． （1）求证：方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的一个根是，求的值以及另一根． 【答案】（1）证明：∵方程的二次项系数， ∴该方程是一元二次方程， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为，方程的另一根为 【解析】 【分析】（1）只需要证明即可； （2）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个根是， ∴， 解得，则方程为， ∴， 解得，， ∴方程的另一个根为． 23. 如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． （1）__________（用含的代数式表示）． （2）若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． （3）矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） （2）10 （3）解：矩形鸡舍的面积不可能达到，理由如下： 当矩形鸡舍的面积是时，根据题意得： ， 化简整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形鸡舍的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形，即可得，再根据栅栏的总长度为，，即可求出的长． （2）根据列方程，解出即可得矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长． （3）当矩形鸡舍的面积是时，再根据列方程，计算得此方程的，即可得矩形鸡舍的面积不能达到． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵栅栏的总长度为，， ∴（）， ∴（）． 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 化简整理得：，解得：，， 当时，，符合题意． 当时，，超出了墙长，不符合题意，故舍去． ∴矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长为． 【小问3详解】 略 24. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】 （1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 25. 宾隆超市经销一种销售成本为每千克6元的苹果，据市场分析．若按每千克10元销售，一个月能售出800kg，调查发现，这种苹果的销售单价每涨价1元，月销售量就减少50kg．针对这种苹果的销售情况，请回答以下问题： （1）当销售单价定为每千克15元时，计算月销售量和销售利润； （2）商店想要使月销售利润达到4200元且保证月销售量不低于400kg，那么每千克苹果应涨价多少元？ 【答案】（1）550；4950 （2）每千克苹果应涨价6元． 【解析】 【分析】（1）根据月销售量为=800-（销售单价-10）×50，即可得出结论，再根据月销售利润=销售每千克的利润×销售数量，代入数据即可得出结论； （2）设销售单价为每千克x元，根据题意得到方程-50x2+1600x-7800=4200，解一元二次方程即可得出x的值，再根据月销售量不低于400kg，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由此即可确定x的值． 【小问1详解】 解：当销售单价定为每千克15元时，月销售量为800-（15-10）×50=550（千克）， 月销售利润为（15-6）×550=4950（元）． 【小问2详解】 解：设销售单价为每千克x元， 根据题意得：（x-6）[800-（x-10）×50]=4200． 整理得x2-32x+240=0， 解得：x1=20，x2=12． ∵800-（x-10）×50≥400， 解得：x≤18， ∴x=12．即销售单价定为12元， 12-6=6(元)， 答：每千克苹果应涨价6元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式，根据数量关系列出一元二次方程（或列式计算）是解题的关键． 26. 数学活动课上，同学们用小木条做了一个 的框架，这个框架可以自由拉伸，各小组利用这个框架探究四边形的性质．他们先在中，作的平分线交于点，交的延长线于点， 连接，以，为邻边作． （1）小组1：如图①，若，直接写出________，和的数量关系为________． （2）小组2：如图②，当，连接，，，，求的度数； （3）小组3：如图③，当，，，点是线段的中点，求线段的长度． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质证明，，根据等角对等边可得，再由四边形是平行四边形，可得四边形是菱形，即可解决； （）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再根据性质证明为等边三角形，通过等边三角形的性质即可求解； （）首先由（）可知四边形是正方形，再证明可得，，再根据，可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（）知，四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，，， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，平分， ∴四边形为正方形，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南中学2026-2027学年度上学期 九年级（数学）第一阶段教学检测 （满分：120分；时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 第一部分(选择题　共30分) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每题只有一个选项是符合题意的．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，点在对角线上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，对角线、交于点．添加一个条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 如图所示，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，正方形面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某种病毒在体外会逐步衰减，每经过相同时间衰减的比例一样，经过两天，病毒数量变为原来的，则每天衰减的百分比约为（参考：）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为，点是对角线上一动点，过点作于，于，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则实数________． 10. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着折叠得到，点落在边上，若，则________． 11. 一元二次方程的两根是，，则代数式________． 12. 一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好等于这个两位数．设个位数字为，则可列方程：________． 13. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接，．若，点到边，的距离之比为，则的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用配方法解方程： 15. 用公式法解方程：． 16. 用因式分解法解方程：． 17. 如图，在正方形中，连接，点P 是边上一点．请用尺规作图法，在上求 作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在矩形中，点在边上，，垂足为点．求证：． 19. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈现出替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了3.38万辆．求该品牌汽车销售量的季度平均增长率． 20. 如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和．求和的长． 21. 学习了四边形知识后，数学兴趣小组开展检验学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】 数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】 设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边的长度，并测量出点B，D 之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形 【问题解决】 利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ 22. 已知关于的方程：． （1）求证：方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的一个根是，求的值以及另一根． 23. 如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． （1）__________（用含的代数式表示）． （2）若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． （3）矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 24. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 25. 宾隆超市经销一种销售成本为每千克6元的苹果，据市场分析．若按每千克10元销售，一个月能售出800kg，调查发现，这种苹果的销售单价每涨价1元，月销售量就减少50kg．针对这种苹果的销售情况，请回答以下问题： （1）当销售单价定为每千克15元时，计算月销售量和销售利润； （2）商店想要使月销售利润达到4200元且保证月销售量不低于400kg，那么每千克苹果应涨价多少元？ 26. 数学活动课上，同学们用小木条做了一个 的框架，这个框架可以自由拉伸，各小组利用这个框架探究四边形的性质．他们先在中，作的平分线交于点，交的延长线于点， 连接，以，为邻边作． （1）小组1：如图①，若，直接写出________，和的数量关系为________． （2）小组2：如图②，当，连接，，，，求的度数； （3）小组3：如图③，当，，，点是线段的中点，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $