第四章 对数运算与对数函数（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 教学目标 1. 理解对数的概念，能熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的基本性质与对数恒等式；掌握对数的运算性质和换底公式，能正确进行对数式的化简、求值。 2. 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、过定点、单调性），会求对数型函数的定义域，能比较对数值大小，能解简单的对数不等式。 3. 了解指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，理解“指数爆炸”，能根据实际问题选择合适的函数模型。 教学重难点 重点：对数的概念与运算性质、换底公式；对数函数的图象与性质。 难点：对数式的化简与换底；对数型函数定义域；利用单调性比较大小、解对数不等式；三种函数增长差异。 知识点 01 对数的概念 定义：如果=N（a>0，且a≠1），那么数b叫作以a为底N的对数，记作。其中a叫底数，N叫真数。 指数式与对数式的互化：=N ⇔ 。 对数的基本性质： ① 零和负数没有对数（真数 N>0）； ② = 0（1的对数为0）； ③ = 1（底数的对数为1）； ④ 对数恒等式：= N； ⑤ 常用对数 lg N = log₁₀ N；自然对数 ln N =N（e≈2.718）。 知识点 02 对数的运算性质 若 a>0，a≠1，M>0，N>0，则： ① (M·N) =M + N； ② (M/N) =M − N； ③ = n·M（n∈R）。 注意：公式可正用（化简）可逆用（合并）；但 (M±N) 不能拆成 M ± N。 知识点 03 换底公式 换底公式：log_a b = (log_c b)/(log_c a)（c>0，c≠1）。 常用推论： ① b · a = 1； ② = (n/m)·b； ③ 特别地 lg2+lg5=1。 知识点 04 对数函数的概念与图象 定义：函数 y=x（a>0，且a≠1）叫作对数函数，x是自变量，定义域是(0,+∞)。 图象特征： ① 图象都在y轴右侧（定义域x>0）； ② 恒过定点(1,0)； ③ 以y轴（直线x=0）为渐近线，向上、向下无限延伸，值域为R。 知识点 05 对数函数的性质 ① a>1 时：在(0,+∞)上单调递增；x>1时y>0，0<x<1时y<0； ② 0<a<1 时：在(0,+∞)上单调递减；x>1时y<0，0<x<1时y>0； ③ y=x 与 y=互为反函数，图象关于直线 y=x 对称； ④ 底数a越大（a>1），在x>1部分图象越靠近x轴。 知识点 06 对数函数性质的应用 ① 求对数型函数定义域：真数>0，底数>0且≠1； ② 比较对数值大小：同底用单调性；同真数用图象或换底；不同底不同真数借中间量0、1； ③ 解对数不等式：利用单调性，同时不要忘记真数>0。 知识点 07 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 当自变量x充分大时（a,b>1，c>0），增长速度： ＞ ＞ x。 ① 指数函数 (a>1) 增长越来越快，称为“指数爆炸”； ② 幂函数 (c>0) 居中； ③ 对数函数x(b>1) 增长越来越慢，最后趋于平缓； ④ 小区间内三者大小关系可能反复、图象可有交点，“谁更快”只在x充分大时成立。 模型选择：翻番/复利/繁殖选指数；几何幂次选幂函数；匀速选一次；震级、分贝、pH等增幅减缓选对数。 题型01 指数式与对数式的互化 【典例1】已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【变式1】若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【变式2】若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 题型 02 对数的运算性质化简求值 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】___________． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 题型 03 对数型函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式2】已知集合，则AB=（    ） A．[－2,3][4,＋） B．（－,3][4,＋） C．（－,4） D．（4,＋） 【变式3】函数的定义域为________． 题型 04 对数函数的图象与性质 【典例1】已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知偶函数满足，当时，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，当点在函数的图象上运动时，点在函数的图象上运动. (1)写出的解析式； (2)求出使的的取值范围； (3)在（2）所得的的范围内，求的最大值. 【变式3】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 题型 05 对数值的大小比较 【典例1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，设，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型 06 对数函数的综合应用 【典例1】设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式1】若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【变式3】已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 题型 07 函数增长的比较与模型选择 【典例1】（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【变式1】下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是______． ①；②；③；④． 【变式2】（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是______.（参考数据：，） 【变式3】已知函数，其中. (1)若恒成立，求； (2)若，试比较与的大小，并证明. 一、单选题 1．环保部门要求排放的废水pH值不低于6，其中，表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．某工厂产生的废水pH值为3.7，若处理过程中废水体积不变，加入碱性物质后，废水中的变为原来的，则实数的最小值约为（     ） 参考数据： A．200 B．400 C．500 D．1000 2．下列函数中，满足性质的是（     ） A． B． C． D． 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．下列命题中，正确的是（     ） A． B． C．函数在上单调递减 D．已知，，，则的最小值为 6．函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．函数的单调递减区间为_________ 三、解答题 8．已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． (1)判断的奇偶性； (2)求证：； (3)求不等式的解集． 9．（1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 10．已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．设，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知函数，（，且，），若存在，对，，则的取值范围是__________. 3．设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_______. 4．设分别是与的零点，则的取值范围是______. 三、解答题 5．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 6．设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． (1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“集中函数”，求证：． 7．设函数在非空数集上的取值集合为，即，如果，那么称函数为上的“子集函数”． (1)分别判断函数，是否为上的“子集函数”，并说明理由； (2)若存在实数，使得函数为上的“子集函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为上的“子集函数”，求证：． 8．已知函数，其中且，曲线经过，两点． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，若，且，求的取值范围． 9．已知函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”. (1)根据你对“函数”定义的理解完成下列两个小题： （i）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （ii）在幂函数､指数函数和对数函数中各写出一个“函数”（不需要证明）； (2)若定义在上的函数是“函数”，求的取值范围； (3)若是定义域为的“函数”，证明：“，”是“，且，”的充要条件. 10．已知函数的图象关于点对称． (1)求的值； (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数运算与对数函数 教学目标 1. 理解对数的概念，能熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数的基本性质与对数恒等式；掌握对数的运算性质和换底公式，能正确进行对数式的化简、求值。 2. 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象与性质（定义域、值域、过定点、单调性），会求对数型函数的定义域，能比较对数值大小，能解简单的对数不等式。 3. 了解指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，理解“指数爆炸”，能根据实际问题选择合适的函数模型。 教学重难点 重点：对数的概念与运算性质、换底公式；对数函数的图象与性质。 难点：对数式的化简与换底；对数型函数定义域；利用单调性比较大小、解对数不等式；三种函数增长差异。 知识点 01 对数的概念 定义：如果=N（a>0，且a≠1），那么数b叫作以a为底N的对数，记作。其中a叫底数，N叫真数。 指数式与对数式的互化：=N ⇔ 。 对数的基本性质： ① 零和负数没有对数（真数 N>0）； ② = 0（1的对数为0）； ③ = 1（底数的对数为1）； ④ 对数恒等式：= N； ⑤ 常用对数 lg N = log₁₀ N；自然对数 ln N =N（e≈2.718）。 知识点 02 对数的运算性质 若 a>0，a≠1，M>0，N>0，则： ① (M·N) =M + N； ② (M/N) =M − N； ③ = n·M（n∈R）。 注意：公式可正用（化简）可逆用（合并）；但 (M±N) 不能拆成 M ± N。 知识点 03 换底公式 换底公式：log_a b = (log_c b)/(log_c a)（c>0，c≠1）。 常用推论： ① b · a = 1； ② = (n/m)·b； ③ 特别地 lg2+lg5=1。 知识点 04 对数函数的概念与图象 定义：函数 y=x（a>0，且a≠1）叫作对数函数，x是自变量，定义域是(0,+∞)。 图象特征： ① 图象都在y轴右侧（定义域x>0）； ② 恒过定点(1,0)； ③ 以y轴（直线x=0）为渐近线，向上、向下无限延伸，值域为R。 知识点 05 对数函数的性质 ① a>1 时：在(0,+∞)上单调递增；x>1时y>0，0<x<1时y<0； ② 0<a<1 时：在(0,+∞)上单调递减；x>1时y<0，0<x<1时y>0； ③ y=x 与 y=互为反函数，图象关于直线 y=x 对称； ④ 底数a越大（a>1），在x>1部分图象越靠近x轴。 知识点 06 对数函数性质的应用 ① 求对数型函数定义域：真数>0，底数>0且≠1； ② 比较对数值大小：同底用单调性；同真数用图象或换底；不同底不同真数借中间量0、1； ③ 解对数不等式：利用单调性，同时不要忘记真数>0。 知识点 07 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 当自变量x充分大时（a,b>1，c>0），增长速度： ＞ ＞ x。 ① 指数函数 (a>1) 增长越来越快，称为“指数爆炸”； ② 幂函数 (c>0) 居中； ③ 对数函数x(b>1) 增长越来越慢，最后趋于平缓； ④ 小区间内三者大小关系可能反复、图象可有交点，“谁更快”只在x充分大时成立。 模型选择：翻番/复利/繁殖选指数；几何幂次选幂函数；匀速选一次；震级、分贝、pH等增幅减缓选对数。 题型01 指数式与对数式的互化 【典例1】已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 【变式1】若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 【变式2】若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合对数，指数，根式的运算得到，再赋值逐一分析可得. 【详解】设，则. 当时，，此时A成立. 当时，，此时成立. 当时，，此时，D成立. (事实上，当时，显然；当时，显然，故B不可能成立.) 故选：B. 【变式3】已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 【答案】 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为：. 题型 02 对数的运算性质化简求值 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【变式1】___________． 【答案】/ 【详解】. 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 【变式3】（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 题型 03 对数型函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数真数大于0的性质列不等式求解定义域 【详解】函数的定义域需要满足，解得，定义域为. 【变式1】已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】先确定定义域是否关于原点对称，再由奇函数定义进行判断 【详解】由题意得，函数的定义域需满足，解得或. 令，其定义域满足或，解得， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得， 关于原点对称，又， ， 所以是奇函数，C正确，D错误. 【变式2】已知集合，则AB=（    ） A．[－2,3][4,＋） B．（－,3][4,＋） C．（－,4） D．（4,＋） 【答案】D 【分析】分别求集合，再求交集. 【详解】，得或，即， 的定义域为，即， 所以 【变式3】函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则， 解得 即，所以函数的定义域为. 题型 04 对数函数的图象与性质 【典例1】已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义求出，根据给定条件，列出不等式并分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得恒成立， 即恒成立， 而不恒为0，则，由时，函数的图象恒在图象的上方， 得，恒成立，即， 则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式1】已知偶函数满足，当时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，偶函数对满足， 所以，即， 所以函数是周期为的周期函数， 所以， 当时，所以， 即. 【变式2】已知，当点在函数的图象上运动时，点在函数的图象上运动. (1)写出的解析式； (2)求出使的的取值范围； (3)在（2）所得的的范围内，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相关点法代入计算可得结果； （2）将式子转化为，根据对数函数的单调性进行判断即可； （3）利用换元，结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）令，由点在函数的图象上， 所以，所以 所以. （2）由题可知：，则， 所以，即 所以.. （3）， 设，令，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为. 【变式3】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 题型 05 对数值的大小比较 【典例1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与对数函数的增减性判断出与和的大小关系即可求解. 【详解】，即， ，即， ，即， 综上，. 【变式1】已知函数，设，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，判断的奇偶性和单调性，结合对数运算和对数函数的性质，进而可得大小关系. 【详解】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上单调递增， ， ， 因为，， 所以， 所以, 所以 即. 【变式2】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求解判断即可. 【详解】根据指数函数的性质知，，即； ，即. 根据对数函数的性质知，，即. 所以，. 【变式3】已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 题型 06 对数函数的综合应用 【典例1】设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，可作出其图象： 由，得，即， 得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为. 故选：B. 【变式1】若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由对称性知函数定义域关于点对称，即可得解. 【详解】设， 因为函数， 所以，解得，即函数定义域为， 因为函数 的图象关于直线对称， 所以，解得， 此时，, 的图象关于直线对称，故符合. 故选：C 【变式2】已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，定义域为， (2)或4 【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可； （2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 【变式3】已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，定义域为， (2)或4 【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可； （2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 题型 07 函数增长的比较与模型选择 【典例1】（多选题）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【答案】BC 【分析】赋特殊值可判断A，由对数函数的单调性可判断B，由幂函数的图象特征可判断C，由指数、对数、幂函数图象的增长趋势可判断D. 【详解】当时，则，故A错误； 由，得，所以，故B正确； 当时，得，故C正确； 由幂函数、指数函数、对数函数的性质可知，当足够大时，指数函数的增长速度最快，所以更有前途的投资方案是①，故D错误． 故选：BC． 【变式1】下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是______． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】结合四种函数的增长差异即可判断． 【详解】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 【变式2】（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是______.（参考数据：，） 【答案】 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 【变式3】已知函数，其中. (1)若恒成立，求； (2)若，试比较与的大小，并证明. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数带入式子，计算即可； （2）利用，求出对应的，用表示出、的值，再根据对数的降幂功能，得到与，从而得到其大小关系. 【详解】（1）因为恒成立， 得 所以， 即. （2）因为，所以， ，得 得 因为； 所以. 一、单选题 1．环保部门要求排放的废水pH值不低于6，其中，表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．某工厂产生的废水pH值为3.7，若处理过程中废水体积不变，加入碱性物质后，废水中的变为原来的，则实数的最小值约为（     ） 参考数据： A．200 B．400 C．500 D．1000 【答案】A 【详解】设原废水中氢离子浓度为，处理后氢离子浓度为， 由，已知原废水，则，， 环保要求，取临界值，而，， 由题意得，得， 而，因为，所以， 可得，故的最小值约为. 2．下列函数中，满足性质的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，，所以不成立； 对于，，所以不成立； 对于，，所以不成立； 对于，，所以成立. 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，， 因为，. 4．设全集，集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解集合、集合的取值范围，再根据的条件建立关于的不等式，求解即可. 【详解】令，则. 又在上单调递减，所以，因此. 函数在上单调递增，值域为. 当时，，不等式无解，故，此时，不满足题设条件； 当时，令，则，即，因此. 又，则 . 因为在单调递增，所以不等式等价于， 故的取值范围为. 5．下列命题中，正确的是（     ） A． B． C．函数在上单调递减 D．已知，，，则的最小值为 【答案】D 【分析】根据对数函数定义域判断A，应用分数指数幂化简判断B，应用对数函数定义域结合一元二次不等式判断C，应用基本不等式计算判断D. 【详解】A选项：当时无意义，故A错误； B选项：当时等于，故B错误； C选项：函数满足， 所以函数的定义域为，在上无定义，故C错误； D选项：由得，化简得， 当且仅当时取等号，最小值为，故D正确； 6．函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，根据定义域关于直线对称，猜测的对称中心横坐标为1，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】要使得有意义，则，解得， 则的定义域关于直线对称． 又 ， 所以的图象的对称中心为． 二、填空题 7．函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 三、解答题 8．已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． (1)判断的奇偶性； (2)求证：； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)是奇函数 (2)由题意知， 所以，所以. (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义求证； （2）利用对数的运算法则化简； （3）先说明函数的单调性，再利用即可求解. 【详解】（1）由得，的定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数； （2）略 （3）由得，则的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 由得， 则不等式可化为， 所以，得. 所以，不等式的解集为. 9．（1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 【答案】（1），；（2），，， 【分析】（1）利用平方法和换元法，结合完全平方公式进行求解即可； （2）利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）； 令， 所以； （2）； ； ； . 10．已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在和上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在和上单调递减， 所以在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．设，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到两个因式的零点，要使乘积恒小于等于，两个零点必须相同，得到约束关系；将二元表达式转化为单变量二次函数，求二次函数最小值. 【详解】由题意得，恒成立， ①分析： 当时，， 当时，， 当时，， ②分析： 当时，， 当时，， 当时，， 要使乘积对恒成立， 两个因式的变号点必须重合，即， 将代入， ， 该式为关于b的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，，取得最小值： ， 故的最小值为. 二、填空题 2．已知函数，（，且，），若存在，对，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过对的取值进行分类讨论，结合对数函数的定义域及单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意，对，，即对，， 当时，函数单调递增， 所以对，由，可得且， 即， 所以且对恒成立， 令，则， 令，所以在上单调递增， 所以，， 即，， 又，所以且，无解； 当时，单调递减， 所以对，由，可得，且， 即， 所以且对恒成立， 又，且， 所以，即的取值范围是. 3．设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_______. 【答案】4 【分析】求出函数的定义域并确定奇偶性，再作出它们的图象，结合已知确定集合即可得解. 【详解】函数的定义域为，，即函数是偶函数， 函数的定义域为，是非奇非偶函数， 在同一坐标系内作出函数，的图象，如图， 观察图象知，函数与的图象有三个交点，其横坐标依次为， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 所以集合的元素个数最大可能值为4. 4．设分别是与的零点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是对数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减，在时，单调递增 即时， 所以的取值范围是. 三、解答题 5．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 【答案】(1) (2)由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． (3)由是上的“好函数”可知， 当时，， 令，，，则， 即， 故， 化简可得． 【分析】（1）参变分离得到，求出，从而得到答案； （2）取，，得到，再取，，得，证明出结论； （3）令，，，则，求和即可. 【详解】（1）由题可知任意，，且，， 即， 解得，因为，所以， 故，即的取值范围为． （2）略 （3）略 6．设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． (1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“集中函数”，求证：． 【答案】(1)由题意，，故是上的“集中函数”； 不是的子集，故不是上的“集中函数”． (2) (3) 要使函数有意义，须使，解得， 所以函数的定义域为. 设，是内任意两个实数，且，则有， ，， 故， 由，得，，， 故， 故即， 故在上单调递减，且， 故值域． 由“集中函数”定义可得，得：， ， 故， 令，， 由得，故， 故， 所以． 【分析】（1）根据集中函数的定义判断即可； （2）讨论，和三种情况下，函数在上的单调性，得到其值域，由，求得的取值范围； （3）根据定义判断函数的单调性，并求出在上的值域，再根据集中函数的定义，结合基本不等式证明. 【详解】（1）略 （2）由在上的值域，对称轴为，分类讨论： ①当时，在上单调递增，， 由，需满足：. 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以． ②当，在递减、递增，设表示，中最大的数， 值域． 由，故，故， 故存在使得为上的“集中函数”， 因此均成立． ③当，此时在上单调递减，值域． 由，故， 故，解得． 由，得． 当时，，， 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以. 综上所述，实数的取值范围是． （3）略 7．设函数在非空数集上的取值集合为，即，如果，那么称函数为上的“子集函数”． (1)分别判断函数，是否为上的“子集函数”，并说明理由； (2)若存在实数，使得函数为上的“子集函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为上的“子集函数”，求证：． 【答案】(1)不是上的“子集函数”， 是上的“子集函数”． 因为是上的增函数， 所以有，即，即， 因为不是的子集，所以不是上的“子集函数”． 因为是上的增函数， 所以有，即，即， 因为，所以是上的“子集函数”． (2) (3)由，则，解得，所以的定义域为， 设，是内任意两个实数，且，则有， 因为，则，且，， 所以，即， 所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以的值域为， 由“子集函数”定义可得， 则，即，即，即， 所以， 令，，由，所以， 则，由，即取不到等号， 所以，解得， 又，所以，则， 即，即，，证毕． 【分析】（1）根据“子集函数”的定义，结合函数单调性进行判断即可； （2）根据二次函数开口向上，对称轴为，分三段讨论对称轴位置，即可得出实数的取值范围； （3）先根据定义法证明的单调性，从而列出边界不等式，整理得到，再通过换元法，结合基本不等式得到，再转化成指数式，并结合指数函数单调性即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）由函数为上的“子集函数”， 令在上的值域为，则， 又是开口向上的二次函数，且对称轴为，则分种情况讨论： ①当时，在上单调递增，则， 由，则需满足，即， 两个不等式相加消去得，解得，结合，得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 记表示中最大的数， 则， 由，则需满足， 因为，，所以， 故存在满足条件，因此均成立； ③当时，在上单调递减，则， 由，则需满足，即， 两个不等式相加消去得，解得，结合，得， 综上所述，实数的取值范围是． （3）略 8．已知函数，其中且，曲线经过，两点． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，即可求解； （2）设，转化为，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解； （3）设，，得到，画出的图象，结合图象，得到和的根，求得的表达式，由，得到，，，，结合指数幂的运算性质和的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为函数，且曲线经过点和， 可得，解得. （2）解：当时，可得， 设，则， 则当时，单调递减；当时，单调递增． 则当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为， 即函数在区间上的值域为． （3）解：不妨设，令，则， 画出函数的图象，如图所示， 由图可得，所以方程和各有两个不同的根， 其中方程的两根为， 方程的两根为， 所以，，，，且 ， 由，则对应的，则，，，， 所以， ， 令，其中，则， 设函数，令，所以 在上单调递增， 所以函数 在上单调递增，故， 则， 即的取值范围是 . 9．已知函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”. (1)根据你对“函数”定义的理解完成下列两个小题： （i）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （ii）在幂函数､指数函数和对数函数中各写出一个“函数”（不需要证明）； (2)若定义在上的函数是“函数”，求的取值范围； (3)若是定义域为的“函数”，证明：“，”是“，且，”的充要条件. 【答案】(1)（i）不是“函数”. 理由如下：记，若取， 则，而， 即，故不是“函数”. （ii）幂函数中的，指数函数中的，对数函数中的均为“函数”. 下面验证答案中所列三个函数均为“T函数”． 设，且． 对于幂函数，对任意，有，所以，故是“T函数”． 对于指数函数，令． 由，得． 因此，故是“T函数”． 对于对数函数，任取，记． 由得，所以． 因为，两边同除以后不等号方向改变，从而，故是“T函数”． (2) (3)证明：若存在实数，使得，显然是“函数”，且， 所以， 即存在，使得，所以充分性成立. 再证必要性. 若，且. 令，有，所以， 令，得，即， 令，得， 所以对任意整数. 记，则，所以对任意整数， 假设存在实数，使得，显然， 则存在整数，使得， 取， 则， 所以 取，则， 所以， 所以， 所以与假设矛盾， 所以不存在，使得，即对，所以必要性成立. 所以“”是“，且”的充要条件. 【分析】（1）（i）按“T函数”的定义选取具体的 构造反例；（ii）分别代入所给幂函数、指数函数和对数函数，直接验证定义中的不等式． （2）按 与 分类．当 时化去绝对值并验证“T函数”定义；当 时选取特殊的 构造反例． （3）充分性直接代入验证；必要性先由函数等式得到 及整数倍点处的函数值，再结合“T函数”不等式对任意实数处的函数值进行夹逼，证明 ． 【详解】（1）略； （2）解：， 当时，， 对，则， 所以 ， 所以，所以是“函数”； 当时，取， ， 所以，所以不是“函数”. 综上所述，的取值范围为. （3）略 10．已知函数的图象关于点对称． (1)求的值； (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对称性的定义得出，结合对数的运算可得出的值，检验即可； （2）使用对数型复合函数单调性的性质求解； （3）假设存在，使得在上的值域为，因为在上单调递增，所以，将问题转化为一元二次方程根求解． 【详解】（1）因为的图象关于点对称，所以， 即，即，即， 所以，解得， 当时，，此时函数的定义域为，不符合题意. 经检验，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得． 由可得或，即函数的定义域为， 因为函数在和上单调递增，在上单调递增， 所以在和上单调递增． 若在上单调递增，则或， 解得或或； 若在上单调递减，则或， 解得． 故的取值范围为． （3）假设存在，使得在上的值域为． 因为在上单调递增，所以，即， 所以， 即、是关于的方程的两个不相等的实数根． 由，，，得，，所以， 所以关于的方程有两个大于的不等实根， 所以，解得． 故存在符合题意的，且的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $