第四章 对数运算与对数函数全章复习（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

第4章 对数运算与对数函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点：重点是对数运算性质应用、对数函数性质及图像； 2.难点：对数概念理解，运算性质推导，对数函数与指数函数关系及综合应用。 一、构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01对数的基本概念 1.对数的定义 一般地，如果ax＝N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.几种特殊的对数 (1)常用对数：以10为底，记作lg_N； (2)自然对数：以e为底，记作ln_N． 3.指数与对数的互化 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x． 用图表示为： 【知识剖析】 为什么规定底数a>0,且 a≠1? (1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要． (2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充． (3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要． 知识点02 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)； (3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1). (4)对数恒等式:＝ N ＝ x . (a>0，且a≠1，N>0). 知识点03对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 (n∈R) 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 知识点04换底公式【记忆口诀】 (1)积的对数等于对数的和． (2)商的对数等于对数的差． (3)(n∈R)真数的幂指数可变积 1.换底公式 (1)一般形式：＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝，logab＝. 2.换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 知识点05 对数函数的概念 1.函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2.两种特殊的对数函数特别说明： 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点06 反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 知识点07 对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 知识点08 底数a对对数函数图象的影响　　 1.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 知识点09 y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点10 对数及对数型函数解不等式 1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2.形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点11 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象(随x的增大) 趋向于和x轴垂直 趋向于和x轴平行 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y的增长速度不变 归纳总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 题型01 对数概念的理解 【典例1-1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 【典例1-2】（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将 的对数叫做常用对数，并把记为. 【答案】以10为底 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【解析】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 【变式1-2】（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】由对数式可知：,解之得：且. 题型02　指数式与对数式的互化 【典例2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化公式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 故选：A 【典例2-2】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 指数式、对数式互化的技巧 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解. 【典例2-3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为 . 【答案】2 【分析】由指对数的互换及对数运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：2 利用指数、对数式互化求值 利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值. 【变式2-1】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果. 【详解】由对数的概念可知：可转化为，故A正确； 由对数的概念可知：可转化为，故B错误； 由对数的概念可知：可转化为，故C正确； 由对数的概念可知：可转化为，故D正确； 故选：ACD. 【变式2-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【变式2-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答） 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 题型03　利用指数、对数式互化与求值 【典例3-1】若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可. 【详解】因为，所以， 故得，化简得， 所以，故，故D正确. 故选：D. 【典例3-2】已知，，则 ． 【分析】利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知； 故答案为： 用已知对数表示其他对数式或指数式 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想． 【变式3-1】已知，，则用，表示 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）若，，则 . 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，， 因此，. 故答案为：. 题型04　 利用对数的运算性质及换底公式进行运算 【典例4-1】（多选）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以 ，所以B错误， 对于C，因为，所以 ，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：ACD 利用对数的运算性质进行对数运算 即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种 ： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 【典例4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求（用表示）. 【分析】利用换底公式以及对数运算性质计算出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）法一  因为，所以， 于是. 法二  因为，所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【变式4-1】若，则（    ）利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）化简求值： (1) (2)． 【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【分析】利用对数运算性质和换底公式即可求得所给各对数式的值. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 . 题型05　利用换底公式证明 【典例5-1】（24-25高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 【典例5-2】 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 换底公式之用已知量表示 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决. 【变式5-1】 设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 【变式5-2】 已知a，b，c满足. （1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系； （2）当a，b，c均为正数，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析 【解析】（1）设，得到，在同一坐标系中，分别作出和的图象，结合图象，即可求解； （2）由（1）得到，结合对数的运算公式和换底公式，即可求解. 【详解】（1）设，可得，其中， 在同一坐标系中，分别作出和的图象， 当时，如图图（1）所示，可得； 当时，如图图（2）所示，可得； 当时，如图图（3）所示，可得. （2）设，可得，其中， 可得，， 所以. 题型06 　对数运算的实际应用 【典例6-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）我们已经知道物质的原子个数为，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为.下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取对数后，根据对数的运算化简，再转化为指数式得解. 【详解】因为 所以，与最接近的是， 故选：C 【典例6-2】“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：A． 对数运算的实际应用求解策略 在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解. 【变式6-1】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 【变式6-2】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 题型07　 对数函数的判断 【典例7-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【典例7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ）判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式7-2】函数是对数函数，则实数a＝ . 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 题型08　求对数函数解析式 【典例8】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式8-1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D. 【变式8-2】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 【变式8-3】已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【变式8-4】函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 【变式8-5】已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【详解】（1）由题知，解得，； 故. （2）由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 题型09　反函数的理解与简单应用 【典例9-1】 函数的反函数为 ，它们的图象关于直线 对称． 【解析】函数和函数互为反函数，和图象关于对称， 故答案为：； 【典例9-2】 已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 【解析】因为（且）过定点 且函数和函数（且）互为反函数， 所以恒过定点的坐标为. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ）反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 【变式9-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 【变式9-3】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 题型10 　对数型函数定义域问题 【典例10-1】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域为 . 【分析】求使式子有意义的实数的集合即可. 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【典例10-2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【详解】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 【变式10-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，要使有意义， 只需要，解得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式10-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 【变式10-3】若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. 【变式10-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域. 【详解】由题设有，故，故函数的定义域为， 故答案为：. 【变式10-5】（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为 . 【分析】根据对数函数的性质及分式的意义求解． 【详解】由题意，解得且， 所以定义域为． 故答案为：． 题型11　对数型函数过定点问题 【典例11-1】函数(且)的图象经过定点 . 【解析】因为， 令，即，则， 所以的图象经过定点. 故答案为：. 【典例11-2】（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图象恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 【变式11-1】 函数（且）的图象所过的定点为（　　）关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质即可得解. 【详解】因为函数（且）， 令，解得，则， 所以的图象所过的定点为. 故选：A. 【变式11-2】函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数经过的定点，再带入直线可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数且的图象恒过定点， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 故选：B. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ． 【分析】利用对数函数恒过定点，即可求得这个对数型函数的恒过定点. 【详解】因为的图象恒过定点, 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 题型12　对数型函数单调性问题 【典例12】函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据题意，利用对数函数的性质以及复合函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，则函数的递增区间满足，解得， 所以函数的递增区间为. 【变式12-1】已知函数，则函数的减区间是（    ）求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性的规则来解答. 【详解】因为函数在定义域上单调递减， 故函数的减区间即为函数的增区间， 所以，解得， 即函数的减区间是. 故选：D. 【变式12-2】 函数的单调递减区间是 ． 【解析】令，解得， 令，对称轴为， 则在上单调递增，则在上单调递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减. 故答案为：. 【变式12-3】求函数的单调区间. 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 题型13 利用对数型函数单调性求参数范围 【典例13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 【典例13-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ．　与对数相关的复合函数单调性 (1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间； (2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 【变式13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 【变式13-3】已知函数，，其中且，在上为减函数，则的取值范围为 . 【分析】要使对数函数有意义，只要当时，的最小值，又函数在上为减函数，根据复合函数的单调性可得，综合可得答案． 【详解】因为且， 所以当时，，即. 这说明，当时，的最小值为， 要使对数函数有意义，只要，可得且. 又函数在上为减函数， 函数在上为减函数，所以. 综上得的取值范围是. 故答案为：. 【变式13-4】若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 【分析】该题需分两步分析：首先确定复合函数单调性的条件，其次保证对数函数的定义域成立.复合函数外层为对数函数，内层为二次函数，根据“同增异减”原则，分析外层的数函数和内层的二次函数的单调性的关系，并确保内层函数在区间内恒正. 【详解】由题可知在区间上恒成立. 令，，则原函数可写为，且. 当时，在区间上为增函数， 则在区间上为减函数，则有，解得； 当时，在区间上为减函数， 则需满足在区间上为增函数， 又二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递增，故满足题意. 综上所述，的取值范围为. 题型14 　对数型函数比较大小问题 【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，， 所以. 故选：B. 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【变式14-1】已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建函数，，利用两函数的单调性进行比较. 【详解】由是减函数，所以有，则； 函数为上的减函数，所以有， 所以，故. 故选：D 【变式14-2】已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中间值法，根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 所以，即. 故选：D. 【变式14-3】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的单调性即可判断A，由的单调性即可判断B，由对数函数的单调性以及换底公式代入计算，即可判断C，由作商法代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，因为，且在上单调递增， 则，故A正确； 对于B，由在单调递减可得，故B错误； 对于C，由在上单调递增， 则，所以， 即，故C正确； 对于D，由可得， 由可得，故D正确； 故选：ACD 【变式14-4】比较大小： (1)与； (2)与． 【分析】（1）引入中间量或，利用对数函数的单调性比较大小. （2）引入中间量，利用对数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）因为和在上单调递增， 所以，或， 又因为在上单调递增，且， 所以或， 所以． （2）因为在上单调递增， 所以， 又因为在上单调递增，且， 所以， 所以． 题型15 解对数不等式 【典例15-1】求不等式的解集． 【分析】利用对数函数单调性和一元二次不等式的解法求解不等式. 【解析】因为在定义域上是减函数， 所以，原不等式等价于， 解之得：或， 所以，原不等式的解集为． 【典例15-2】 已知函数，若，求实数的取值范围． 【解析】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 【变式15-1】已知全集为，且集合，，则等于（    ）两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解对数不等式和分数不等式，得出集合，再根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】，所以， 或，所以，. 故选：C 【变式15-2】设集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解对数不等式和分式不等式得到集合和，再分、和对含参一元二次不等式的解集进行讨论可得结果. 【详解】， ． 当时，，由得； 当时，，由得； 当时，，与不符． 综上，. 故选：D． 【变式15-3】 若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数和对数函数的图像和性质，由已知中当时，通过讨论的范围，结合函数的取值情况，可求解出参数. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以当时， ①当时，函数为增函数， 要使不等式在恒成立， 则须满足，即，解得； ②当时，函数为减函数，当时值域为负数，不满足题意， 综上，的取值范围是. 故选：C． 【变式15-4】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得，由不等式性质判断A，由指数函数性质判断BD，由对数函数性质判断C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，故B正确；，故D正确； 对于C，当时，此时，故C错误. 故选：BD. 【变式15-5】若，则的取值范围为 ． 【分析】先将不等式左式分解因式，可得，利用对数函数的单调性即可求得答案. 【详解】由可得， 则， 所以，即. 故答案为：. 【变式15-6】解不等式． 【解析】因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 【变式15-7】若恒存在解集，求实数a的取值范围． 【分析】将问题化为在恒成立，研究右侧的区间单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】由题设,，原不等式化为，从而，即， 令，在上单调递减，故， 所以，从而得a的取值范围为. 【变式15-8】若，求的取值范围． 【分析】不等式可化为，分类讨论即可求解. 【详解】. 解法1： 当时，，则，所以； 当时，，则，所以． 综上，或. 解法2：因为， 故， 则，所以或． 题型16 　对数型函数图像问题 【典例16-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即，所以函数的零点为， 结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误，故选：C. 【典例16-2】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b. 【变式16-1】（多选）函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：BCD. 【变式16-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足，试画出函数的图象． 【分析】先根据得到，作出的图象，利用左加右减进行平移得到的图象. 【详解】由题意得，解得， 故，将函数的图象向左平移1个单位， 即可得函数的图象，如图所示．    题型17　　对数型函数的值域 【典例17-1】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 【典例17-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 关于值域问题 1.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 2． 对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 【典例17-3】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，故， 又因为的值域为， 则的值域包含， 所以，解得. 故选：D. 【变式17-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ）关于利用对数函数的单调性求值域 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质，先分析出对数的真数部分能取得所有的正数，然后根据二次函数与其对应二次方程的关系，求出的范围即可求解. 【详解】因为函数的值域为， 设，则二次函数需要取到一切正数， 对应于方程中，，即， 解得或， 从而是“函数的值域为”的充分不必要条件. 故选：D 【变式17-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，确定一次函数在区间上的单调性及其值域与关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，且， 在区间上的值域为. ∵函数的值域为， 是在区间上的值域的子集. 当时，， 当时，，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在区间上的值域为，不满足题意； 当时，在上单调递增，故在区间上的值域为， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式17-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 【变式17-4】已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可. 【详解】当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 【变式17-5】已知函数，，则函数的值域为 ． 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式17-6】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 题型18　对数函数模型在实际问题中的应用 【典例18-1】已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得. 【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则． 由题意得，即，两边取常用对数，可得． ∵，∴． 又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸． 故选：C. 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【典例18-2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算的值，即可得解. 【详解】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 解题锦囊 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. (2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 【变式18-1】（24-25高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 【变式18-2】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值. 【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 题型19　　对数函数性质的综合应用 【典例19-1】若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可. 【详解】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，， 则， 由零点存在性定理知， 在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或， 故选：C. 【典例19-2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过点，求的最大值. 【分析】(1)根据题意求出，解对数不等式即可； (2)代入，计算得出，即，根据对数函数的性质求解最大值. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得，即， 因为，函数是增函数， 所以，即的最大值为(或). 解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 【变式19-1】 已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【分析】分和进行讨论求解. 【详解】令，由，得， 当时，由，得， 由，得， 即，得，而，得，得， 得， 当时，由，得， 由，得， 即-，得，而，得，得， 得， 综上知，实数的取值范围是. 故答案为: 【变式19-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； （2）令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 【变式19-3】（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 【变式19-4】已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【详解】（1）当时，， 令，则, 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 【变式19-5】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式； （2）求出的值，然后直接解方程即可. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或. 【变式19-6】已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 题型20 　三种函数的性质及增长速度比较 【典例20-1】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 【典例20-2】三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ）常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C.    【变式20-1】下列函数中，增长速度最慢的是（    ）由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 【变式20-2】卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 【变式20-3】对于任意，不等式都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度，结合特殊函数值及函数图象进行求解即可. 【详解】当时，令，解得，结合函数和的增长速度可知：当时，恒成立； 又的图象恒在图象的上方，即恒成立，则的最小值为1． 故选：A. 【变式20-4】（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【答案】BC 【分析】赋特殊值可判断A，由对数函数的单调性可判断B，由幂函数的图象特征可判断C，由指数、对数、幂函数图象的增长趋势可判断D. 【详解】当时，则，故A错误； 由，得，所以，故B正确； 当时，得，故C正确； 由幂函数、指数函数、对数函数的性质可知，当足够大时，指数函数的增长速度最快，所以更有前途的投资方案是①，故D错误． 故选：BC． 【变式20-5】（多选）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 【变式20-6】（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 【变式20-7】某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【详解】（1）选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 2． 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意知，且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 4．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 5．已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 6． 设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 7． 定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 8．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，转化为二次函数求最小值判断；对于B，利用“1”的代换变形，结合基本不等式求解判断；对于C，直接由基本不等式以及指数的运算性质即可判断；对于D，先由基本不等式得到的最大值为，进一步结合对数的运算性质即可判断； 【详解】因为，，， 对于A：∵，，∴，当时，取最小值，故A不正确； 对于B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C：，当且仅当，即时等号成立. 故C正确； 对于D： ，当且仅当，即时等号成立. ，故D不正确. 故选：BC. 10．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象不过定点 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A，由对数的性质确定函数图象所过定点；对于B、C，写出函数的分段形式，结合对数函数性质判断区间单调性，进而确定区间最小值；对于D，根据对数函数性质有，即可求参数范围. 【详解】对于A，对任意都有，所以的图象过定点，错误； 对于B，时，在上单调递增，错误； 对于C，由上知在上单调递减，在上单调递增，在区间上的最小值为，正确； 对于D，对任意，恒成立，则，解得，正确． 故选：CD. 三、填空题 12．若，，则 ． 【分析】将转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得. 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：1 13．已知，设，则函数的最大值为 . 【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值. 【详解】， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 14．已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为 . 【分析】由题意可求得，从而变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数的反函数为， ∵，∴，即，则， 又，，则， ∴ , 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． 【详解】（1）要使函数有意义,则， 解得，故所求函数的定义域为； （2）证明：由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数； （3）因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 16．已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根； （2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域. 【详解】（1），故，， 所以，解得； （2）令，当时，， 故，由于在上单调递增， 故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 17．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 18．已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【详解】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型； （2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释. 【详解】（1）模型A．，因为，所以匀速增长， 模型B．，因为，先慢后快增长， 模型C．，因为，先快后慢增长， 所以模型C最符合题意. （2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以，即， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元， 所以，即， 由解得，所以， ①如果总奖金不少于9万元，即， 即，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. ②设，即， 因为与有交点， 且增长速度比慢， 所以当时，恒在的下方， 所以无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 对数运算与对数函数全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点：重点是对数运算性质应用、对数函数性质及图像； 2.难点：对数概念理解，运算性质推导，对数函数与指数函数关系及综合应用。 1、 构建知识网络 二、 回顾重点知识 知识点01对数的基本概念 1.对数的定义 一般地，如果ax＝N，那么数x叫做 ，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.几种特殊的对数 (1)常用对数：以10为底，记作 ； (2)自然对数：以e为底，记作 ． 3.指数与对数的互化 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔ ． 用图表示为： 【知识剖析】 为什么规定底数a>0,且 a≠1? (1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要． (2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充． (3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要． 知识点02 对数的性质 (1)零和负数 ； (2)1的对数为 ，即loga1＝ (a>0且a≠1)； (3)底数的对数为 ，即logaa＝ (a>0且a≠1). (4)对数恒等式:＝ ＝ . (a>0，且a≠1，N>0). 知识点03对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么 运算 数学表达式 自然语言描述 的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 的对数 (n∈R) 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 知识点04换底公式【记忆口诀】 (1)积的对数等于对数的和． (2)商的对数等于对数的差． (3)(n∈R)真数的幂指数可变积 1.换底公式 (1)一般形式：＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝，logab＝. 2.换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 知识点05 对数函数的概念 1.函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2.两种特殊的对数函数特别说明： 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为 ； （2）底数为 的常数； （3）对数的真数仅有 ． （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点06 反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 知识点07 对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点( )，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ ； x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ . 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于 对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 知识点08 底数a对对数函数图象的影响　　 1.底数a与1的 决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“ ; 当0<a<1时,对数函数的图象“ ”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴 . 3.底数的大小决定了图象相对位置的 ： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 知识点09 y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据 法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点10 对数及对数型函数解不等式 1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2.形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点11 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象(随x的增大) 趋向于和x轴 趋向于和x轴 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越 y的增长速度越来越 y的增长速度 归纳总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 题型01 对数概念的理解 【典例1-1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将 的对数叫做常用对数，并把记为. 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是 ． 题型02　指数式与对数式的互化 【典例2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 指数式、对数式互化的技巧 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解. 【典例2-3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为 . 利用指数、对数式互化求值 利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值. 【变式2-1】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答） 题型03　利用指数、对数式互化与求值 【典例3-1】若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 【典例3-2】已知，，则 ． 用已知对数表示其他对数式或指数式 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想． 【变式3-1】已知，，则用，表示 . 【变式3-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）若，，则 . 题型04　 利用对数的运算性质及换底公式进行运算 【典例4-1】（多选）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 利用对数的运算性质进行对数运算 即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种 ： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 【典例4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求（用表示）. 【变式4-1】若，则（    ）利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）化简求值： (1) (2)． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型05　利用换底公式证明 【典例5-1】（24-25高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【典例5-2】 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 换底公式之用已知量表示 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决. 【变式5-1】 设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【变式5-2】 已知a，b，c满足. （1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系； （2）当a，b，c均为正数，求证：. 题型06 　对数运算的实际应用 【典例6-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）我们已经知道物质的原子个数为，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为.下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【典例6-2】“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 对数运算的实际应用求解策略 在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解. 【变式6-1】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【变式6-2】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 题型07　 对数函数的判断 【典例7-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【典例7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ）判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. A．（且） B． C． D．（且） 【变式7-2】函数是对数函数，则实数a＝ . 题型08　求对数函数解析式 【典例8】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【变式8-3】已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式8-4】函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 【变式8-5】已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 题型09　反函数的理解与简单应用 【典例9-1】 函数的反函数为 ，它们的图象关于直线 对称． 【典例9-2】 已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 【变式9-1】（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ）反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型10 　对数型函数定义域问题 【典例10-1】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域为 . 【典例10-2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. A． B． C． D． 【变式10-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式10-3】若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【变式10-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 . 【变式10-5】（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为 . 题型11　对数型函数过定点问题 【典例11-1】函数(且)的图象经过定点 . 【典例11-2】（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式11-1】 函数（且）的图象所过的定点为（　　）关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). A． B． C． D． 【变式11-2】函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ． 题型12　对数型函数单调性问题 【典例12】函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知函数，则函数的减区间是（    ）求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． A． B． C． D． 【变式12-2】 函数的单调递减区间是 ． 【变式12-3】求函数的单调区间. 题型13 利用对数型函数单调性求参数范围 【典例13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例13-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ．　与对数相关的复合函数单调性 (1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间； (2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． 【变式13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【变式13-3】已知函数，，其中且，在上为减函数，则的取值范围为 . 【变式13-4】若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 题型14 　对数型函数比较大小问题 【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】已知，则的大小关系是（   ）比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． A． B． C． D． 【变式14-2】已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-4】比较大小： (1)与； (2)与． 题型15 解对数不等式 【典例15-1】求不等式的解集． 【典例15-2】已知函数，若，求实数的取值范围． 【变式15-1】已知全集为，且集合，，则等于（    ）两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. A． B． C． D． 【变式15-2】设集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】 若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-4】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-5】若，则的取值范围为 ． 【变式15-6】解不等式． 【变式15-7】若恒存在解集，求实数a的取值范围． 【变式15-8】若，求的取值范围． 题型16 　对数型函数图象问题 【典例16-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例16-2】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b. 【变式16-1】（多选）函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足，试画出函数的图象． 题型17　　对数型函数的值域问题 【典例17-1】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例17-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 关于值域问题 1.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 2． 对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 【典例17-3】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（    ）关于利用对数函数的单调性求值域 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【变式17-4】已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【变式17-5】已知函数，，则函数的值域为 ． 【变式17-6】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 题型18　对数函数模型在实际问题中的应用 【典例18-1】已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【典例18-2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 解题锦囊 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. (2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 【变式18-1】（24-25高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【变式18-2】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 题型19　　对数函数性质的综合应用 【典例19-1】若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【典例19-2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过点，求的最大值. 解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 【变式19-1】 已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式19-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【变式19-3】（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【变式19-4】已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【变式19-5】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【变式19-6】已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 题型20 　三种函数的性质及增长速度比较 【典例20-1】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【典例20-2】三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ）常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【变式20-1】下列函数中，增长速度最慢的是（    ）由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． A． B． C． D． 【变式20-2】卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【变式20-3】对于任意，不等式都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式20-4】下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【变式20-5】（多选）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【变式20-6】设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【变式20-7】某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 6． 设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 7． 定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 11．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象不过定点 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．若，，则 ． 13．已知，设，则函数的最大值为 . 14．已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 16．已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 17．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 18．已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$