第五章 第一节 培优微课7 函数零点问题的再探究-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

　　函数的零点问题主要涉及到一元二次函数中根的分布的问题以及利用函数的零点求参数的范围(值)的问题． 类型一　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题 (1)已知关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2，0)，x2∈(1，3)，求实数a的取值范围； (2)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. ①若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值； ②若f(x)有两个零点，且均比－1大，求实数m的取值范围． 解析：(1)因为关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2，0)，x2∈(1，3)， 所以由二次函数f(x)＝3x2－5x＋a的图象，可得即 解得－12＜a＜0.所以实数a的取值范围是(－12，0)． (2)①由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根， 所以Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，所以m＝－1或m＝4. ②由题意得解得－5＜m＜－1. 所以实数m的取值范围是(－5，－1)． 　　方法技巧 　　关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想；一般情况下需要从以下4个方面考虑： (1)开口方向； (2)判别式； (3)对称轴x＝－与区间端点的关系； (4)区间端点函数值的正负． 即时练1．(2023·江苏期中)已知函数f＝x2－mx＋m＋3，若f在上单调递增，且f有两个零点，则满足题意的一个实数m的值可以为 ． 解析：由于函数f＝x2－mx＋m＋3＝2－＋m＋3，若f在上单调递增，则≤1，故m≤2，由于Δ＝m2－4＞0，整理得m2－4m－12＞0，解得m＜－2或m＞6，故满足条件的m的取值范围为m＜－2，故m的值可以为：m＝－3(答案不唯一)． 答案：－3(答案不唯一) 类型二　f(g(x))型函数的零点问题 已知函数f(x)＝2x－4x－m，x∈[－1，1]． (1)当m＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围． 解析：(1)当m＝－2时，f(x)＝2x－4x＋2，令2x－4x＋2＝0. 所以2x＝2或2x＝－1(舍去)，解得x＝1.所以函数的零点为x＝1. (2)f(x)＝2x－4x－m＝0⇔2x－4x＝m，令g(x)＝2x－4x， 函数f(x)有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g(x)的值域内，设t＝2x， 因为x∈[－1，1]，所以t∈，则t－t2＝－＋，当t＝时，g(x)max＝， 当t＝2时，g(x)min＝－2.所以g(x)的值域为.所以m的取值范围为. 　　方法技巧 　　f(g(x))型函数的零点即关于x的方程f(g(x))＝0的根，解决此问题时，通常采用换元法，即令g(x)＝t，则f(t)＝0，先解f(t)＝0，再解g(x)＝t中的x即可． 即时练2．已知f＝22x＋2x＋1－a2x＋1(其中a∈R且a为常数)有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 解析：设t＝2x∈，由f＝22x＋2x＋1－a2x＋1有两个零点，即方程t2＋t＋1＝0有两个正解，所以解得a＞4，即a∈， 答案： 即时练3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的不同零点的个数为 ． 解析：设t＝f(x)，由f(t)＝0可得或解得t＝2或t＝－2， 同理，由f(x)＝2可解得x＝－或x＝5，由f(x)＝－2可解得x＝－或x＝， 所以函数y＝f(f(x))的不同零点的个数为4. 答案：4 类型三　与函数零点有关的综合问题 已知函数f＝. (1)探究f在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)判断方程log2f＝2是否存在实根？若存在，设此根为x0，请求出一个长度为的区间，使x0∈；若不存在，请说明理由．(注：区间的长度为b－a) 解析：(1)f＝＝＝－1，则函数f在上为减函数，证明如下：任取x1，x2∈且x1＞x2，则f－f＝－＝，因为x1＞x2＞－1，则f－f＝＜0，即f＜f，故函数f在上为减函数． (2)由log2f＝2，可知＞0，即＜0，解得－1＜x＜1， 即log2＝2，可得log2＝x＋1，构造函数g＝x＋1－log2， 由(1)可知，函数u＝在上为减函数， 而函数y＝log2u为定义域上的增函数，则函数y＝－log2在上为增函数， 又因为函数y＝x＋1在上也为增函数，故函数g＝x＋1－log2在上为增函数，因为g＝1＞0，g＝－log23＜－1＜0， 由零点存在定理可知，函数g在区间上存在零点，且零点记为x0， 因为4－4＝8－＝＞0，即2＞， 因为g＝－lo