第25章 二次函数（单元分层测试·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版九年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章二次函数培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 3 6 9 10 D A B A A B D B C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.-1,4或-1，-4+25咸-1，-1.5 12.②③④⑤ 13.3 14.±4 ,9 15.6 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：将A(3,0),B(0,6)代入y=x2+bx+c,得乙解得 b=-5, c=6, .二次函数的解析式为y=x2-5x+6 .A(3,0),B(0,6) ∴.A0=3,0B=6. 设pm,m2-5m+6 PD⊥y轴， ∴点D的坐标为0，m2-5m+6/ .PDm,0D=m2-5m+6(4分) ①当△PD0-△B0A时，D-0D,即m=m-5m6, BO AO 63 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m= 或m=4, P的际为列号引4四 (6分) ②当△PD0-△A0B时，D-0D,即ml=m2-5m+6, AO BO 3 6 解得m=1或m=6, 点P的坐标为(1,2)或(6,12) 统上述，符合条的点P生标侣4212G)8分 17.(8分) 【详解】(1)解：整理y1=aX2-2ax+3' 可得：y1=aX2-2ax+3=ax-1+3-a .抛物线的顶点E的纵坐标为4， ∴.3-a=4, ∴.a=-1, :抛物线的解析式为y1=-X2+2x+3 解方程-x2+2x+3=0, 整理可得：x2-2x-3=0, 解得：X1=3,X2=-1, ∴.点A的坐标为-1.0，点B的坐标为3,0， .A0=1, .直线y2=kx+b经过点A-1,0, ∴.-k+b=0, ∴.b=k, ∴.直线的表达式为y2=kx+k,(2分) 如下图所示，过点D作DF⊥x轴， 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△ACO一△ADF, .AO AC AF AD .∵CD=4AC, ∴.AD=5AC, 0S号 ·1=1 ·AF5, ∴.AF=5, ∴.OF=4, .∴.点D的横坐标是4， ∴.y1=-X2+2X+3=-42+2×4+3=-5 ∴.点D的坐标是4，-5， 把点D4,-5的坐标代入y2=kx+k, 可得：4k+k=-5. 解得：k=-1, .∴.直线的解析式为y=-x-1: E (4分) (2)解：如下图所示，连接AE、DE, 由(1)可知点A的坐标为-1,0，点D的坐标为4，-5，点B的坐标为3,0， :“敬物线的对称轴为×1+31， 当x=1时，可得：y=-x-1=-1-1=-2, ∴.点M的坐标为1，-2， 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EM=4--2=6, SAADE=SAAEM+SADEM=2 1x6x1+x6x4x6×14+1=15. B M D (8分) 18.(8分) 【答案】（①）直线x=1(1分) (2)解：①设直线OA的解析式为y=kxk≠0， A2,2, 2=2k k=1, .直线OA的解析式为y=x: 在y=x中，当x=-1时，y=-1, .D-1,-1g 由(1)得b=-2a, ∴.抛物线的解析式为y=ax2-2ax+2, ,点B-1,m在抛物线上， ,m=a+2a+2=3a+2, BD=3a+2--1=3a+3 a>0, :BD=3a+3;(4分) ②，点E在线段AC上， .设En,n, ,过点E作x轴的垂线交该抛物线于点F, 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Fn,an2-2an+2) ,点E在线段AC上， 点E在点F的上方， EF=n-an2-2an+2=-an2+2a+1n-2' '.EF=LBD, 3 .-an2+2a+1n-2=3a+3. 3 .an2-2a+1n+a+3=0 有且只有一个点E满足EF=BD, .△=0， △=-2a+1-4a×a+3=-8a+1 .-8a+1=0, 1 ..a= 8 (8分) 19.(9分) 【答案】(1)1,0(1分) (2)解：，点E,F在抛物线上， 设点Ee,e2-2e-6,Ff,-2f-6 ,点D在抛物线y=x2-2x-6上，且点D的横坐标为-2， .D-2,2, 由(1)知C1,0, ,四边形CDEF是平行四边形， 2e+1号-2+f.20*e-2e-622+f-2f-6 6 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 即点P的横坐标为后：(5分) (3)解：把x=-2代入y=x2-2x-6得： y=-22-2×-2-6=2' 点D-2,2, 设直线CD的解析式为y=kx+bk0, 把点C1,0,D-2,2代入得： k+b=0 -2k+b=2' k=-2 解得： 2 直线CD的解析武为y=-2x .2 3 如图，过点E作EG⊥X轴交直线CD于点G,连接CE, y DG A B主 E 设Ela子-2a-6则ca,号a+号 …EG= 号+号 20 + 3 -a2-2a-6=-a2+4a 3 3 ,平行四边形CDEF的面积是13， 13 .SACDE-2 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .SACDE-EG Xc-XD) 3 解得：a-1或子 (舍去)， .点E-1,-3, ,D-2,2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点C1,0, 点E-1,-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点F2,-51.(9分) 20.(10分) 【答案】(1)解：~抛物线C:y=aX2+bx+aa0的对称轴为直线x=1 .b=-2a, ∴.2a+b=0. ∴.代数式2a+b的值为0：(2分) (2)解：，抛物线C经过点2,1， .4a+2b+a=1, 由(1)可得b=-2a, ∴.4a+2×-2a+a=1, .a=1, ∴.抛物线C的解析式为y=x2-2x+1,(4分) ,点A0,t水平向右平移2nn>0个单位长度得到点A1,将点A0,t水平向左平移nn>0个单位长度得 到点A2, A(2n,t A2-n,t' ,点A1,A2恰好都落在抛物线C上， 2n2-2×2n+1=t -n2-2×-nl+1=t 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2n2-2x2n+1=-n2-2×-n+1' 整理得3n2-6n=0, 解得n1=0,n2=2, .n>0, .n=2, t=-nP-2x-n+1=-2-2x-2+1=g(8分) 4(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：将A1,0与C0,-3代入y=x2+bx+c得， 1+b+c=0 c=-3 b=2 解得 c=-3P ∴.二次函数的解析式为y=x+2x-3;(3分) (2)解：如图所示， 对称轴为直线x= 21, .∴假设Q-1,y, PQ‖OC, .∠PQC=∠OCQ, QC平分∠PQ0, 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PQC=∠OQC, ∴.∠OQC=∠OCQ, ∴0Q=0C, ∴.由勾股定理得/-1+y2=0--3' 解得y=22或y=-22, Q点坐标为-1,22或-1，-22(6分) (3)解：由y=x2+2x-3=x+1P-4得，顶点坐标为-1，-4 y的取值范围是-4≤y≤2m, .m≤-1≤m+1, 解得-2≤m≤-1， m+m+1 1 =m+ 2 :当m+片<-1时，即-2sm<-3 , 此时，当x=m时，距离对称轴的距离比x=m+1要远，且抛物线开口向上， .x=m时的函数值较大， .,m2+2m-3=2m, 解得m=-3或m=3(舍去)： 当m+宁之1时，即多sm1 此时，当x=m+1时，距离对称轴的距离比x=m要远，且抛物线开口向上， .x=m+1时的函数值较大， 六m+1P+2m+1-3=2m 解得m=0(舍去)或m=-2(舍去)： 综上，m的值为-3.(10分) 22.(11分) 【详解】(1)解：点B的坐标为1,0， ∴.0B=1, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,OC=3OB=3,点C在x轴下方， .C0,-3, 将B1,0,C0,-3代入y=ax2+3ax+c(a>0)得到 c=-3 a+3a+c=0 /c=-3 解得 3 a=- 4 “抛物线的解析式是y=3x2+9x-3(3分) 4 4 (2)解：如图所示，连接AC与抛物线的对称轴交于点Q,则BQ=AQ, .BQ+CQ+BC=AQ+CQ+BC=AC+BC. ∴此时△QBC的周长最小， B 此 9 b 4 3 ,X= B1,0 2a 3 2× 3 3 1 =-4 2 .A-4,0, 设直线AC的解析式为y=mx+nm≠0，把A-4,0,C0,-3代入， -4m+n=0 n=-3 解得 3 4 n=-3 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 ·直线AC的解析式为y= 4 x-3, y子+3销对将鞋是直线 4 2 当x=-3时，y= 3x- 2 42 -3=-15, 8 (7分) (3)解：如图，过点D作DE‖y轴，交AC于点E, B 图1 y号 4X3的对称轴是直线x三一号，BL,O ∴.A-4,0 .AB=5, 5g号AB0C-x5x3-5, 2 由(2)可知直线AC的解析式为y= 4x3, 3 4 .A-4,0,C0,-3, .-4<m<0, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4 <0, 抛物线开口向下， .当m=-2时，DE有最大值，最大值为3， :△ACD的最大面积号DEA0号×3x46, ∴.S口m助彩A8m=S0△Ac+S▣△Aam=7.5+6=13.5, ∴.四边形ABCD的面积的最大值为13.5.(11分) 23.(11分) 【详解】(1)①解：由题意可知，抛物线的顶点C的坐标为6,11，点A的坐标为0,2， 设抛物线的解析式为y=ax6+11' 可得：a0-62+11=2 1 解得：a=- ,.水柱离地面的高度为ym与到0点的水平距离为xm之间的函数表达式为y=-】x-6P+11:(3 分) ②解：当x=8时， 可得：y=-8-6+11=10, 4 ∴.大树着火点的高度为10米；(5分) (2)解：当y=5.6时， 可得：-0.1x2+2x+2=5.6, 解得：X1=2,X2=18, 当y=8.4时， 可得：-0.1x2+2x+2=8.4, 解得：X1=4,X2=16, y-0122到济南为=台。一a1n .∴.当x<10时，水柱是上升趋势，当x>10时，水柱是降落趋势， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.16<d<18.(11分) 13/13 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（     ） A．0或3 B．0或 C．0或或3 D．或3 【答案】D 【分析】先确定二次函数的对称轴与最大值，再根据给定范围的两个端点到对称轴的距离分情况求最小值，结合已知等式列方程，即可求解． 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的最大值， ∵， ∴，即对称轴在范围内， ∴在时，函数的最大值， ①当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵， ∴处函数值更小，即最小值， ∵， ∴，即， 解得，符合； ②当时，到对称轴的距离，大于等于到对称轴的距离， ∴处函数值更小，即最小值， ∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去，取； 综上所述，的值为或． 2．已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线与x轴的两交点确定对称轴，结合开口向上的性质，将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，化简得， 两边平方得， 展开得， 整理得，解得． 3．如图1为生活中常见的一个大瓷碗截面图，碗体外轮廓呈抛物线状（碗体、底部厚度均不计），碗口直径为，碗底最大深度为，现在若在碗中放置一个正方体的大豆腐块（豆腐块不露出碗口），如图2为侧面图，则可放置的豆腐块最大的边长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设以碗底为顶点建立平面直角坐标系，正方形的边长为，当正方体上边刚好对齐碗口（临界最大），，代入解析式即可求解． 【详解】解：如图，设以碗底为顶点建立平面直角坐标系，正方形的边长为， 设，由题意得经过， ， 解得， ， 当正方体上边刚好对齐碗口（临界最大）， ， ， 解得：，（舍去）， 故可放置的豆腐块最大的边长为 . 4．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是(     ) A．18 B．16 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出原抛物线与轴交点坐标，根据平移性质及等距条件确定新交点坐标，代入平移后的解析式求解． 【详解】解：令，得， 解得，即， ． 图象竖直向上平移个单位长度 新图象与轴的交点在线段上 四个交点中，每相邻两点间的距离都相等 相邻两点间距离为 新图象与轴交点的横坐标为和 平移后的解析式为 当时，，即 解得． 5．抛物线（为常数）的顶点为．给出下面三个结论： ①点始终在直线上； ②若抛物线与轴有两交点和，则存在一个的值，使得为等腰直角三角形； ③点和点均在抛物线上，若，且，则．上述结论中，所有正确结论的序号为（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标与对称轴，再逐一判断三个结论． 【详解】解：将抛物线解析式配方，得，故顶点． ①将代入直线，得，与点纵坐标相等，故点始终在直线上，①正确． ②令，则，即． ∵抛物线与轴有两交点， ∴，即． 解得，故． ∵在的垂直平分线上， ∴，若为等腰直角三角形，则直角顶点为，此时到的距离等于． ∵到轴的距离为， ∴，即． 设（），则，解得（舍去）， 故， 此时，即存在这样的，②正确． ③ ． ∵， ∴， 又， ∴， 故，即，③错误． 6．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 7．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据桥下水面宽度为米，拱顶距水面米，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求出第个灯笼和第个灯笼的纵坐标即为的取值范围． 【详解】解：桥下水面宽度为米，拱顶距水面米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 拱顶到的距离是米， 悬挂了个灯笼， 拱顶的左、右各悬挂个灯笼， 设每个灯笼之间的水平距离为， 最左侧灯笼的坐标为， 则有，， ， 若在左侧再加一个灯笼，则这个灯笼的横坐标为， 第个灯笼的纵坐标为， 拱顶到的距离是米， 点的纵坐标为， 又灯笼的长度为米， 悬挂点的纵坐标最低为， 由题意可知， 整理可得：， 解得：或， 解得：或， ， ， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数与四边形的交点为各端点，求得对应h的值，根据抛物线开口向上可知y最小值不应大于所在的直线，得到，进而根据各个解的大小作答即可． 【详解】解：当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∵， ∴抛物线开口向上，y最小值为， ∵在直线上， ∴， 即， ∵， ∴． 9．对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】将抛物线配方为顶点式，消去参数可得顶点横纵坐标的关系． 【详解】解：， ∴ 抛物线顶点坐标为 由，得， 即顶点在直线上． 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值即可解决问题． 【详解】解：由题意得，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，且经过点， ∴根据对称性可得，与x轴的另一交点为， ∴，故②不正确； ∵， ∴，即，故⑤正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时， 又∵当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方，当是等腰三角形时，点坐标为__________． 【答案】或或 【分析】根据抛物线的图象和性质，求出顶点的坐标，点；设点，根据等腰三角形的性质，分类讨论，进行解答，即可． 【详解】解：抛物线转换为顶点式为：， ∴顶点的坐标为， 当时，解得，， ∴点，即， ∵点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方， ∴设点 ①当时，是等腰三角形， ∵，点， ∴； ∵，点， ∴， ∴， 解得：， ∴点； ②当时，是等腰三角形， 此时点和点关于轴对称， ∴点； ③当时，是等腰三角形， ∵，点， ∴； ∵点，点， ∴， ∴， 解得：， ∴点， 综上所述：是等腰三角形时，点坐标为；；． 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是________． 【答案】②③④⑤ 【分析】根据图象判断系数的符号，判断①，与轴的交点的个数判断②，特殊点结合对称轴判断③，平方差公式法进行因式分解，结合特殊点判断④，最值判断⑤. 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，图象与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴；故②正确； 由图象可知，当时，；故③正确； 又∵当时，函数有最小值为，且， ∴，，故④正确； ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤． 13．如图，二次函数的图象与二次函数的图象关于轴对称，一条平行于轴的直线与，的图象共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，那么___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，分别表示出的长度，根据求出的值，进而求出的长． 【详解】解：设平行于轴的直线解析式为， 令，即， 解得， 点在轴左侧，且点在点左侧， ， ， 与关于轴对称， 点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ， ， ， ， 解得：， ∴． 14．若抛物线（其中是常数）的对称轴是直线，当时，函数的最大值与最小值的差为9，则__________． 【答案】 【分析】先根据对称轴公式确定抛物线的一次项系数，将解析式化为顶点式，结合开口方向，按区间与对称轴的位置关系分三类讨论，利用函数增减性和顶点性质表示出最大值与最小值的差，列方程求解并验证取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴由对称轴公式，得， ∴抛物线解析式，抛物线开口向上，顶点坐标为，即时函数取得最小值， 当区间在对称轴左侧，即，即时， 此时区间上的最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， ∴最大值与最小值的差为， 令，解得，符合该情况的取值范围； 当区间在对称轴右侧，即时， 此时区间上的最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， ∴最大值与最小值的差为， 令，解得，符合该情况的取值范围； 当区间跨对称轴，即，即时， ∵顶点在区间内部， ∴区间上的最小值为顶点处的函数值为， 最大值为区间端点中离对称轴更远的点的函数值，两个端点到对称轴的距离分别为，， 当，即时，，解得或，均不满足，舍去； 当，即时，，解得或，均不满足，舍去； 综上，的值为或． 15．一块三角形铁皮材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在边，，上．当剪出的矩形的面积最大时，的长为__________． 【答案】 6 【分析】设，分别表示出，，得到矩形的面积表达式，配方后即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 设， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴矩形的面积， ∵，， ∴当时，矩形面积最大， 即的长为6时，矩形的面积最大． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标． 【答案】或或或 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再根据三角形相似的判定和性质，结合距离的绝对值表示，列比例式解答即可． 【详解】解：将代入，得解得 ∴二次函数的解析式为 ， ． 设 轴， ∴点D的坐标为， ． ①当时，，即， 解得或， 此时点P的坐标为或． ②当时，，即， 解得或， 点P的坐标为或． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，顶点纵坐标为，经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)分别求抛物线和直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，根据抛物线的顶点的纵坐标为，求出的值；解方程求出点、的坐标，根据求出点的横坐标，代入抛物线的解析式再求出点的纵坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点、的坐标求出抛物线的对称轴，再求出对称轴与直线的交点的坐标，从而可知的长度，再根据点、的坐标求出的面积． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 抛物线的顶点的纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为； 解方程， 整理可得：， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， ， 直线经过点， ， ， 直线的表达式为， 如下图所示，过点作轴， 则， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标是， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：如下图所示，连接、， 由（1）可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的对称轴为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， ． 18．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，点． (1)直接写出该抛物线的对称轴：__________； (2)设抛物线与直线的另一个交点为，经过点作轴的垂线交直线于点，点在线段上，过点作轴的垂线交该抛物线于点． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②若有且只有一个点满足，求的值． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式得到a与b的关系式即可得到答案； （2）①求出直线的解析式，进而求出点D的坐标，再把点B的坐标代入抛物线的解析式中表示出m即可得到答案；②设出点E的坐标，则可得到点F的坐标，表示出的长，根据得到对应的方程，根据有且只有一个点满足，则对应的方程有两个相等的实数根，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 在中，当时，， ∴； 由（1）得， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵点在线段上， ∴设， ∵过点作轴的垂线交该抛物线于点， ∴ ∵点在线段上， ∴点E在点F的上方， ∴， ， ． ， 有且只有一个点满足， ， ∵ ∴， ． 19．（9分）如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标； (3)如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点，即可求解； （2）设出点E，F的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可求出答案； （3）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵C是的中点， ∴； （2）解：∵点E，F在抛物线上， ∴设点， ∵点D在抛物线上，且点D的横坐标为， ∴， 由（1）知， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 即点F的横坐标为； （3）解：把代入得： ， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点E作轴交直线于点G，连接， 设点，则点， ∴， ∵平行四边形的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点， ∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点． 20．（10分）已知抛物线：的对称轴为直线． (1)求代数式的值； (2)若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值； (3)将抛物线：在间的图象记为，如果图象与直线始终有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)代数式的值为 (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线计算即可得出结果； （2）先求出抛物线的解析式为，由坐标的平移法则可得，，再将点，的坐标代入抛物线，计算即可得出结果； （3）由（1）可得，则抛物线的解析式为，联立可得，由题意可得，求得，令，则该二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标在第四象限，由题意可得方程的两个根在内，从而可得当时，，当时，，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线：的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点， ∴，， ∵点，恰好都落在抛物线上， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得， ∴抛物线的解析式为， 联立可得， ∴， ∵将抛物线：在间的图象记为，图象与直线始终有2个交点， ∴， 整理可得， ∵， ∴， ∴， 令， ∵， ∴该二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标在第四象限， 由题意可得方程的两个根在内， ∴当时，，当时，， 解得， 解得， 综上所述，的取值范围为． 21．（10分）已知二次函数 (b、c为常数) 的图象经过点与点,其顶点为P． (1)求二次函数的解析式； (2)若Q为对称轴上的一点，且平分，求Q点坐标； (3)当时, y的取值范围是,求m的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)点坐标为或 (3)的值为 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）先根据对称轴公式得出对称轴，根据平行线的性质和角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边得出相等的边，假设，最后借助勾股定理列出方程求解； （3）根据解析式得出顶点坐标，确定顶点横坐标在给出的区间内，然后结合抛物线的性质分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：将与代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图所示， 对称轴为直线， ∴假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 解得或， ∴点坐标为或； （3）解：由得，顶点坐标为， ∵y的取值范围是， ∴， 解得， ∵， ∴当时，即， 此时，当时，距离对称轴的距离比要远，且抛物线开口向上， ∴时的函数值较大， ∴， 解得或（舍去）； 当时，即， 此时，当时，距离对称轴的距离比要远，且抛物线开口向上， ∴时的函数值较大， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 综上，的值为． 22．（11分）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）求出，利用待定系数法求出解析式即可； （2），连接与抛物线的对称轴交于点，此时的周长最小，求出，进一步求出直线的解析式为，由的对称轴是直线，即可得到； （3）过点作，交于点，求出，得到，设，则，得到，当时，有最大值，最大值为，得到的最大面积为， 即可得到，得到四边形的面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， 将，代入得到 解得 ∴抛物线的解析式是 （2）解：如图所示，连接与抛物线的对称轴交于点，则， ∵， ∴此时的周长最小， 此 ∵，， ∴ ∴， 设直线的解析式为，把，代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的对称轴是直线， 当时，， ∴ （3）解：如图，过点作轴，交于点， ∵的对称轴是直线，， ∴ ∴， ∴， 由（2）可知直线的解析式为， 设，则， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为． 23．（11分）如图1，消防员使用消防水枪灭火．忽略空气阻力，把水柱顶端看作一个运动的点（以下“水柱”均指该点），其运动路线近似是抛物线的一部分．如图2，水枪喷水口离地面，水柱射到处达到最高，以水枪喷水口点正下方的地面处为原点，建立平面直角坐标系． (1)如果一棵大树着火，消防员站在处使用消防水枪灭火，已知最高点离地面，与点的水平距离为． ①求水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式； ②点与这棵大树的水平距离为米时，水柱在下落过程中恰好射中这棵大树的着火点，求大树着火点的高度． (2)在给一栋着火的楼房灭火时，消防员调整了水枪的喷射角度，此时水柱的运动路线满足，水柱下落过程中，其中一扇窗户的窗台离地面、窗顶离地面，楼房与点的水平距离为，若水柱恰好能射入这扇窗户，求的取值范围． 【答案】(1)① ②大树着火点的高度为米 (2) 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式； ②把代入解析式即可求出大树着火点的高度； （2）解方程分别求出当和时对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）①解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 可得：， 解得：， 水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式为； ②解：当时， 可得：， 大树着火点的高度为米； （2）解：当时， 可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线的对称轴为， 当时，水柱是上升趋势，当时，水柱是降落趋势， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（     ） A．0或3 B．0或 C．0或或3 D．或3 2．已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 3．如图1为生活中常见的一个大瓷碗截面图，碗体外轮廓呈抛物线状（碗体、底部厚度均不计），碗口直径为，碗底最大深度为，现在若在碗中放置一个正方体的大豆腐块（豆腐块不露出碗口），如图2为侧面图，则可放置的豆腐块最大的边长为（     ）． A． B． C． D． 4．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是(     ) A．18 B．16 C．2 D． 5．抛物线（为常数）的顶点为．给出下面三个结论： ①点始终在直线上； ②若抛物线与轴有两交点和，则存在一个的值，使得为等腰直角三角形； ③点和点均在抛物线上，若，且，则．上述结论中，所有正确结论的序号为（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方，当是等腰三角形时，点坐标为__________． 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是________． 13．如图，二次函数的图象与二次函数的图象关于轴对称，一条平行于轴的直线与，的图象共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，那么___________． 14．若抛物线（其中是常数）的对称轴是直线，当时，函数的最大值与最小值的差为9，则__________． 15．一块三角形铁皮材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在边，，上．当剪出的矩形的面积最大时，的长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，顶点纵坐标为，经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)分别求抛物线和直线的表达式； (2)求的面积． 18．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，点． (1)直接写出该抛物线的对称轴：__________； (2)设抛物线与直线的另一个交点为，经过点作轴的垂线交直线于点，点在线段上，过点作轴的垂线交该抛物线于点． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②若有且只有一个点满足，求的值． 19．（9分）如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标； (3)如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标． 20．（10分）已知抛物线：的对称轴为直线． (1)求代数式的值； (2)若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值； (3)将抛物线：在间的图象记为，如果图象与直线始终有2个交点，请直接写出的取值范围． 21．（10分）已知二次函数 (b、c为常数) 的图象经过点与点,其顶点为P． (1)求二次函数的解析式； (2)若Q为对称轴上的一点，且平分，求Q点坐标； (3)当时, y的取值范围是,求m的值． 22．（11分）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 23．（11分）如图1，消防员使用消防水枪灭火．忽略空气阻力，把水柱顶端看作一个运动的点（以下“水柱”均指该点），其运动路线近似是抛物线的一部分．如图2，水枪喷水口离地面，水柱射到处达到最高，以水枪喷水口点正下方的地面处为原点，建立平面直角坐标系． (1)如果一棵大树着火，消防员站在处使用消防水枪灭火，已知最高点离地面，与点的水平距离为． ①求水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式； ②点与这棵大树的水平距离为米时，水柱在下落过程中恰好射中这棵大树的着火点，求大树着火点的高度． (2)在给一栋着火的楼房灭火时，消防员调整了水枪的喷射角度，此时水柱的运动路线满足，水柱下落过程中，其中一扇窗户的窗台离地面、窗顶离地面，楼房与点的水平距离为，若水柱恰好能射入这扇窗户，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知关于x的二次函数y=-x2+2mx(m为常数).若m-1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p, 最小值为q,且p-q=3k,则k的值为() A.0或3 B0或时 c.0或或3 2.已知抛物 y=aX2+bx+c(a>0经过点P-1,0rQ13,0如果点A1-m,yB到3-m,y在该 抛物线上，其中是正数，且 m 1>y2 始终成立，那么的取值范围是() A.m>1 B.m>2 c.0<m<2 D.1<m<2 3.如图1为生活中常见的一个大瓷碗截面图，碗体外轮廓呈抛物线状（碗体、底部厚度均不计），碗口直 径为2dm,碗底最大深度为ldm,现在若在碗中放置一个正方体的大豆腐块（豆腐块不露出碗口)，如 图2为侧面图，则可放置的豆腐块最大的边长为()dm. 图1 图2 A.2-1 B.2V2-2 c.2-2 D.4-2V2 4.如图，二次函数y=xX-3的图象与X轴交于O、A两点，将二次函数y=xx-3的图象竖直向上平移 mm>0个单位长度后所得的图象与x轴有两个交点，且这两个图象与x轴的四个交点中，每相邻两点间的 距离都相等，那么m的值是() 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.18 B.16 C.2 D.-2 5.抛物线y=-x2+2mx-m2-m+1(m为常数)的顶点为P.给出下面三个结论： ①点P始终在直线y=-X+1上： ②若抛物线与x轴有两交点A和B,则存在一个m的值，使得△PAB为等腰直角三角形： ®点Mx1,y,和点Nx,y,均在抛物线上，若x<X'且x+X,>2m则y<y,上述结论中，所有正 确结论的序号为() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6.若反比例函数y=b的图象如图所示，则一次函数y=cX-Q和二次函数y=aX2+bx+c在同一平面直角 X 坐标系中的图象可能是() 7.有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米.拱桥的截面如图，平 面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，X轴在水面截线上；AB是警戒线，拱顶 到AB的距离是1.3米.为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度， 灯笼的宽度不超过02米)，灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相 等，且灯笼的最底端不低于AB.设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为P,q,如果能且最多只能悬 218 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 挂7个灯笼，q的取值范围为() /米 砧 5米 米 20米 A.3.8<q≤4.2 B.4.2≤q<4.55 c.4.55≤q<4.8 D.4.8≤q<5.05 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A-1,0B-1,1,C0,1当抛物线y=2x-h2+2h与四边 形OABC的边有交点时，h的取值范围是() B A.1,3≤hs1+3 B.-5-3≤h≤1+5 2 2 2 2 c.-3,7≤hs-3+7 D.3-/7 h≤-1+5 2 2 2 2 9.对于任意实数m,抛物线y=x-2mx+m2+2m+1的顶点一定在() A.直线y=2x上 B.直线y=2x+1上 C.直线y=-2x-1上 D.抛物线y=x2-2x+4上 1 10.二次函数y=aX+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=2且图象经过点(2,0.下列说法：① 5,y是抛物线上的两点，则y,<y,④ 是b+c>am2+bm+c(其中m3；⑤c-2b=0.其中正确的结论是（） 318 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②⑤ B.①②④ C.①④⑤ D.①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，抛物线y=x+2X-3与X轴交于A,B两点，顶点为C,点P是该抛物线对称轴上一动点，且位 于点C上方，当△PAC是等腰三角形时，点P坐标为 B C 12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1,有下列结论：①abc<0:② b2-4ac>0:③3a+c>0:④a+c-b2<0:⑤a+b<mam+bm≠1正确的是 13.如图，二次函数y,=x+1x≤0的图象与二次函数y,的图象关于y轴对称，一条平行于x轴的直线与 y1,y2的图象共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D,当AB=BC=CD时，那么AD= 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.若抛物线y=x2+bx+c(其中b、c是常数)的对称轴是直线x=1,当m≤x≤m+2时，函数y的最大 值与最小值的差为9，则m= 15.一块三角形铁皮材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12cm.用这块材料剪出一个矩形 CDEF,其中，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上.当剪出的矩形CDEF的面积最大时，AE的长为 cm E D 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(0,6).若有一 点P在这个二次函数的图象上，过点P作PD⊥y轴，垂足为D,连接AB,OP.若△POD与△AOB相似， 求符合条件的点P的坐标. VA 17.(8分)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y,=aX-2ax+3(a<0)卢x轴交于AB两点，顶 点E纵坐标为4，经过点A的直线y2=x+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且 518 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=4AC. (1)分别求抛物线和直线的表达式； (2)求△ADE的面积. 18.(8分)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=aX2+bx+2a>0经过A'B两点.点A2,2 (1)直接写出该抛物线的对称轴： (2)设抛物线与直线OA的另一个交点为C,经过点B|-1,m作x轴的垂线交直线OA于点D,点E在线段 AC上，过点E作X轴的垂线交该抛物线于点F. ①求线段BD的长（用含a的代数式表示）； ②若有且只有一个点E满足EP=号BD,求a的值. 3 19.(9分)如图，抛物线y=x2-2X-6与x轴分别相交于A,B两点（点A在点B的左侧），C是AB的 中点，平行四边形CDEF的顶点D,E均在抛物线上 A A (1) (2) (1)直接写出点c的坐标： (2)如图(1)，若点F在抛物线上，当点D横坐标为一2时，求点F的横坐标： (3)如图(2)，若点D的横坐标是-2，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标. 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(10分)已知抛物线C:y=aX+bx+ala≠0的对称轴为直线x=1 4 3 2 1 432-10 1234 3 -3 4 备用图 (1)求代数式2a+b的值： (2)若抛物线C经过点2,1，将点A0,t水平向右平移2nn>0个单位长度得到点A1,将点A0,t水平向 左平移nn>0个单位长度得到点A2,如果点A1,A2恰好都落在抛物线C上，求t的值： ③)将抛物线C:y=aX+bx+ala>0在-1≤x≤3间的图象记为M:如果图象M与直线y=-ax+1始终 有2个交点，请直接写出a的取值范围. 21.(10分)已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点A1,0与点C0,-3,其顶点为 P. (1)求二次函数的解析式： (2)若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO,求Q点坐标： (3)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m,求m的值. 22.（11分)已知，如图抛物线 y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，点A在 点B左侧，点B的坐标为1,0，OC=3OB. V 备用图 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标：若不存在， 请说明理由； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值. 23.(11分)如图1，消防员使用消防水枪灭火.忽略空气阻力，把水柱顶端看作一个运动的点（以下 “水柱”均指该点)，其运动路线近似是抛物线的一部分.如图2，水枪喷水口A离地面2，水柱射到C 处达到最高，以水枪喷水口A点正下方的地面O处为原点，建立平面直角坐标系. ◆离地面高度ym 水平距离x/m 图1 图2 (1)如果一棵大树着火，消防员站在O处使用消防水枪灭火，已知最高点C离地面11m,与O点的水平距离 为6m. ①求水柱离地面的高度为ym与到O点的水平距离为xm之间的函数表达式： ②O点与这棵大树的水平距离为8米时，水柱在下落过程中恰好射中这棵大树的着火点，求大树着火点的 高度 (2)在给一栋着火的楼房灭火时，消防员调整了水枪的喷射角度，此时水柱的运动路线满足 y=-0.1x2+2x+2,水柱下落过程中，其中一扇窗户的窗台离地面5.6m、窗顶离地面8.4m,楼房与0 点的水平距离为dm,若水柱恰好能射入这扇窗户，求d的取值范围. 8/8