第25章 二次函数（单元自测）数学新教材华东师大版九年级下册

第25章 二次函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．当时， 4．如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（ ） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 5．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 6．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．抛物线上有两点和，若且，则． 8．已知抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．若二次函数的图象与轴交于点，则图象与轴的另一个交点为________． 12．关于抛物线（是常数），下列结论正确的是________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 13．实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是________（填写序号）． 14．某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有________个． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米． 素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点． （1）如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由． （3）身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？ 17．（9分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（ ）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； （2）应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 18．（9分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． 20．（9分）如图，已知抛物线经过点和点，P为x轴上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，当时，直接写出点P的坐标． 21．（10分）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线________得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为________ （3）求解[问题背景] 22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 23．（10分）已知抛物线的图象过点． （1）求b与a的关系式； （2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值； （3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 二次函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【解析】点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选． 2．函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况分析：当时；当时；再综合选项判断即可解答． 【解析】当时，二次函数的图象开口向上，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选B． 3．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【解析】∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选C． 4．如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（ ） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，最值等知识判断解答即可． 【解析】二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， 故A错误． 对称轴是直线， ， ． 由图象，得， ， ， 故Ｂ错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， 故C正确． 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ， 故Ｄ错误． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，最值，系数符号得确定，熟练掌握抛物线性质是解题的关键． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【解析】 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选A． 6．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④． 【解析】①∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与轴交于点，， ∴对称轴为直线，则， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故①不正确； ②∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，抛物线与轴交于点，且， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故③正确； ④∵，， ∴方程可化为， ∴， 解得，；故④不正确． 故选B． 7．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．抛物线上有两点和，若且，则． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，抛物线与轴交点位置判断A；由二次函数的对称轴为可判断B；由抛物线的对称性可判断C；由二次函数的性质可判断D．解题关键是掌握二次函数的图像与性质． 【解析】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴，故A正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，，则时，， 即，故C正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵且，则点和关于对称， ∴， ∵时，，时，， ∴， 当时，与矛盾，故D错误； 故选D． 8．已知抛物线经过第一、第二、第三、第四象限，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向上的抛物线要经过四个象限，需与轴有两个不同交点且交点分别位于原点两侧，据此列不等式求解即可． 【解析】抛物线的二次项系数为，，开口向上， ∵抛物线经过第一、第二、第三、第四象限， ∴抛物线与轴有两个不同交点，且交点分别在原点两侧，且当时，抛物线与轴交点的纵坐标小于， ∵当时，， ∴， 解得， ∵两根之积为，说明两根异号，一定存在两个不相等的实数根，满足条件， ∴的取值范围是．故选D． 9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【解析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置及的符号判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，再根据当时，，判断的符号即可． 【解析】由图象可知，抛物线开口向上， ，故A选项错误； 对称轴为直线， ， ， ，故B选项错误； 图象过点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为， ，故C选项正确； 当时，，即，故D选项错误．故选C． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．若二次函数的图象与轴交于点，则图象与轴的另一个交点为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性进行解题．先确定二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性，结合已知交点坐标求出另一个交点坐标． 【解析】∵二次函数的表达式为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， 设图象与轴的另一个交点坐标为， 根据二次函数图象的对称性，对称轴是与轴两个交点横坐标的中点，可得， 解得， 则图象与轴的另一个交点为． 故答案为． 12．关于抛物线（是常数），下列结论正确的是________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④（或④①） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【解析】当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为①④ 13．实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，解题的关键在于正确理解新定义若，我们定义．根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【解析】①当时，，，即， 函数图象经过原点，故①正确； ②若， 时， 有或， 解得或， 则方程有个实根， 故②错误； ③若， 则， 当时，解得，， 当时，则， 当时，则， ，随增大而增大，，离对称轴越近函数值越大， 则时，有最小值或， 故③正确； ④时，的值随的值增大而增大， 又时，解得，， ， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④， 故答案为①③④． 14．某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【答案】 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【解析】整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来．故答案为$20$． 15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有________个． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，画二次函数图象，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意画出二次函数的图象，结合坐标系，写出整点个数，即可求解． 【解析】， 令得 解得：或5， 如图所示， ∴在红色区域内部及其边界上的整点为，共15个． 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米． 素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点． （1）如图3，以点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由． （3）身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？ 【答案】（1） （2）能．理由如下： 由任务1知，该抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.9米， 绳子能顺利从每位跳绳成员头顶越过； （3）身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过． 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的极值，求自变量， 对于（1），根据待定系数法求出直线解析式即可； 对于（2），将关系式配成顶点式，再求出最大值，即可得出答案； 对于（3），将代入关系式求出答案即可. 【解析】（1）由题意可知，． 设函数的解析式为， 把代入， 得， 解得： 函数的解析式为； （2）略 （3）把代入得： ，解得：， 身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学米的地方，才能让绳子顺利从头上越过． 17．（9分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（ ）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； （2）应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 【答案】（1） ③根据题意连线如下： ④二次； ⑤ （2）列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米 【分析】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图象，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）③根据题意连线即可求解； ④根据曲线判断函数图象为二次函数图象； ⑤待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得当，时的函数值，即可求解． 【解析】（1）解：③略 ④根据曲线的形状，可判断函数图象为二次函数图象， 故答案为二次； ⑤设抛物线的解析式为，根据题意，得： ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：当，得， 解得． 当时， ； 当时，， 故（米）， 答：列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米． 18．（9分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【解析】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． 【答案】（1） （2） （3）点P与点Q的纵坐标的差为1或8 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线顶点坐标为，根据点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为，则，即可求出m的值； （3）分轴和轴两种情况分别求出点P与点Q的坐标，即可得到答案． 此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入得，， ∴； （2）， 顶点坐标为， 点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为， ， 解得：； （3）①轴时，点A，Q关于对称轴对称， ， 解得，， 则，， ，， 点P与点Q的纵坐标的差为； ②当轴时，则A，P关于直线对称， 则，， 则，， ，； 点P与点Q的纵坐标的差为； 综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8． 20．（9分）如图，已知抛物线经过点和点，P为x轴上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，当时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出或，进而求解即可． 【解析】（1）解：将点和点代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∴点P的坐标为或． 21．（10分）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线________得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为________ （3）求解[问题背景] 【答案】(1)，，，顶点坐标 （2）x轴下部分沿x轴翻折，4 （3）当时，方程无实数根；当时或时，方程有2个实数根；当，方程有3个实数根，当时，方程有4个实数根． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图像和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与y轴的交点坐标，令，可求出函数与x轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解． （3）根据函数图像可求解． 【解析】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， ∴该函数与y轴的交点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线 x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，如下图： 由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，4个不同根的和为4． （3）由（2）可知，顶点坐标变成， 令，根据函数与x坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图像可知： 当时，方程无实数根； 当时或时，方程有2个实数根； 当，方程有3个实数根． 当时，方程有4个实数根． 22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 23．（10分）已知抛物线的图象过点． （1）求b与a的关系式； （2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值； （3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案； （2）根据和该抛物线的顶点到x轴的距离是1得到，解方程后根据即可得到答案； （3）根据题意可知抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．则平移后的抛物线解析式为．把代入解得．当时，；当时，（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为．即顶点为，设，即．根据二次函数的性质即可得到答案． 【解析】（1）解：∵抛物线的图象过点． ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1， ∴， 解得或或， ∵ ∴或 （3）由平移前的抛物线， 即， 因为平移后的对应点为 可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度． 则平移后的抛物线解析式为． 把代入，得． ． ， 所以． 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 因为，所以． 所以平移后的抛物线解析式为． 即顶点为， 设，即． 因为，所以当时，随a的增大而减小， 所以当时，取最大值为， 此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $