第4章 二次函数（单元自测）2026-2027学年数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【解析】 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 2．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的综合，根据函数图象得出当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，即可得出当时，的取值范围． 【解析】根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，， 当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或． 故选A． 3．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中函数值相等的两点确定二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性判断m与n的关系． 【解析】∵二次函数图象过点和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴． 故选C． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【解析】由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意.故选D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的图象可知，关于x的一元二次方程的解为，．故选D． 6．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 【解析】A、的对称轴是直线，不符合题意； B、的对称轴是直线，不符合题意； C、， 的对称轴是直线，符合题意； D、， 的对称轴是直线，不符合题意； 故选C． 7．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【解析】由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤．故选A． 8．二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（ ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【解析】∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为直线，故B正确； ∵当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A正确； 当时，，即，故C正确； 由表格可知，当时，随增大而减小，故D错误， 故选D． 9．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【解析】∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选B． 10．抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【解析】A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．二次函数的二次项系数是 ________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 【解析】变形为， 二次项系数为． 故答案为． 12．函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值________． 【答案】 直线 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，即可得到对应结果． 【解析】∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为； ∵抛物线，开口向下， ∴抛物线的最大值为顶点的纵坐标， ∴抛物线的最大值为．故答案为直线． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________． 【答案】， 【分析】求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数和一元二次方程的关系求解． 【解析】∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，．故答案为，． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【解析】 ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或；故答案为或． 15．如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴、轴的交点问题，函数最值并综合运用是解决本题的关键．由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置，可判断结论；由二次函数与有两个不同的交点，可判断结论；根据对称性可得当时，，可判断结论；根据当时，二次函数取得最小值，可判断结论． 【解析】由图可知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ，， ． 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴， ， ，故错误； 由图可知，二次函数与有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，，即，故错误； 当取任意实数时，， 当时，， 由图象可知，当时，二次函数取得最小值， ，即，故正确． 综上，正确的结论有． 故答案为． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有________． 【答案】②③ 【分析】根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断①②；根据函数与x轴有两个交点可判断③；根据时，可判断④． 【解析】∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③．故答案为②③． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． 【解析】（1）解：将点和点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 18．（6分）已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为或 （2） 列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴以及顶点坐标；令，解方程即可得出与x轴交点坐标； （2）列表，描点，连线，即可； （3）根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【解析】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； （2）略 （3）解：观察图象得：时的取值范围为． 19．（6分）已知二次函数． （1）完成下表： … 0 1 2 3 … … 0 ________ ________ ________ 0 … （2）根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象； （3）结合函数图象，当时，的取值范围是________ 【答案】（1） （2） 如图所示． （3） 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，根据函数值求自变量的取值范围， 对于（1），将x的值分别代入关系式，可得答案； 对于（2），根据描点，连线，可得图象； 对于（3），当时，即图象在x轴下方，即可得出x的取值范围． 【解析】（1）当时，； 当时，； 当时，． x 0 1 2 3 0 0 故答案为； （2）略 （3）当时，． 故答案为． 20．（8分）如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， （2）解：存在， 如图，连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为直线， 当时，， ∴点Q的坐标为． 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【解析】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； （2）略 21．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【解析】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称性，两点关于对称轴对称，连接交于点，则的周长的最小值为，据此求解即可． 【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点， ， 解得， ． （2）连接，交于点，连接，,如图， 两点关于对称轴对称， 的周长为 的周长最小值为 由，令，解得， 即 在中 即的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（9分）已知抛物线． （1）补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 （2）结合图象回答： ①当________时，随的增大而减小； ②当满足________时，； ③当时，的取值范围是________． 【答案】（1）顶点坐标；  与轴交点：；  与轴交点： ； 图象： （2）① ② ③ 【分析】（1）利用配方法求解；令求即得与轴交点；令求即得与轴交点；根据二次函数的性质补全表格，然后画出图象即可； （2）根据图象求解即可． 【解析】（1）解： ． ∴抛物线顶点坐标为， 令，则 解得， ∴抛物线与轴交点：； 令，则， ∴抛物线与轴交点： ； 图象见答案； （2）略 【点睛】本题考查了二次函数一般式配方化为顶点式，二次函数的图象和性质，利用二次函数图象求函数值或是自变量的取值范围，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 24．（10分）已知二次函数． （1）将其化为的形式为________； （2）在直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （3）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出、和时的函数值即可得到答案． 【解析】（1）解：； （2）解：列表如下： 函数图象见答案； （3）解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 在中，当时，， 当时，， 当时，； ∵， ∴当时，的取值范围是． 25．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为和 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）抛物线的动点M在的范围中包含顶点，则可知n的最小值，再根据抛物线的轴对称性，可求得n的最大值，即得答案； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【解析】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 把代入，得， 解得， 该抛物线的函数关系式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 二次函数的最小值为， ， 当时，二次函数取得最大值， ． （3）解：当时，， 由y的最大值与最小值的差为3，可得 解得，不合题意，舍去； 当时，， 若，即时， 解得 结合，可得； 若，即时， 解得 结合，可得； 当时， 解得，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的t的值为和． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A．或 B． C． D．或 3．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 6．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A． B． C． D． 7．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 8．二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（ ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 9．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．二次函数的二次项系数是 ________． 12．函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值________． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 15．如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有________（填序号）． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 18．（6分）已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 19．（6分）已知二次函数． （1）完成下表： … 0 1 2 3 … … 0 ________ ________ ________ 0 … （2）根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象； （3）结合函数图象，当时，的取值范围是________ 20．（8分）如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 22．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 23．（9分）已知抛物线． （1）补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 （2）结合图象回答： ①当________时，随的增大而减小； ②当满足________时，； ③当时，的取值范围是________． 24．（10分）已知二次函数． （1）将其化为的形式为________； （2）在直角坐标系中画出它的图象； （3）当时，的取值范围是________． 25．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $