专题01 平面向量及其线性运算（专项训练）数学人教B版高一必修第二册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面向量及其线性运算 内容概览 目常考题型精准突破 题型01向量的有关概念 题型02平面向量的加法运算 题型03平面向量的减法运算（重） 题型04平面向量的数乘运算 题型05平面向量的线性运算（高频） 题型06平面向量共线定理证明点共线、线平行 题型07已知向量共线求参数（重） 题型08平面向量共线定理的推论 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 题型01向量的有关概念 1.(25-26高一下贵州遵义期中)下列说法：①若=，则石=6：②两个向量相等的充要条件是它们 的起点相同，终点相同；③若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形：④若四边形ABCD是平行四边形， 则AB=DC;⑤若a=b,b=c,则a=c;⑥若a11b,611c,则a11c其中正确的是() A.①④⑤ B.①⑤⑥ c.④⑤ D.④⑥ 2.(25-26高一下四川绵阳期末)下列命题正确的是() A.|aHbl,ab,则a=b B.0没有方向 c.若alb,b1le,则a11c D.若a=b,则a/1b 3.(25-26高一下·天津红桥·期末)下列各量属于向量的是() A.速度 B.质量 C.距离 D.电流 4.(25-26高一下河南周口期末)下列说法正确的是（) A.向量AB与向量BA是相等向量. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.向量的模是一个正实数 C.与实数类似，对于向量a,b有d=b,a>b,a<b三种关系. D.若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合， 二、多选题 5.(25-26高一下陕西汉中期中)下列各物理量中，可以用向量表示的有() A.某运动员投掷铅球出手一瞬间铅球的速度B.小明从家到学校的位移 C.电梯静止时对乘客的支持力 D.夏天站在太阳下小李感受到的热量 6.(25-26高一下·贵州遵义·阶段检测)下列说法中错误的是() A.平行向量一定是共线向量 B.单位向量都相等 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量都是在同一条直线上的向量 7.(25-26高一下湖北黄冈阶段检测)关于平面向量，下列说法正确的() A.若>， 则a>b B.若a=b,则a11b c.若a11b,b11e,则a/1 D.若a=b,b=c,则a=c 题型02平面向量的加法运算 1.(25-26高一下四川乐山期末)已知点0，A,C，,下列向量运算结果为0C的是() A.OA-AO B.OC+40 C.AC-04 D.04+AC 2.(25-26高一下安徽马鞍山期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是AB和CD的中点，则 AD+EB=() E B A.AF B.DE C.CE D.BF 3.(25-26高一下河南焦作期末)在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足CF=2FD,则 AE+BF=() -14B+34D 21 C.-34 2 。.+0 2 4.(25-26高一下·上海期中)在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,则AB+AD 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.化简：OA+0C+B0+C0=() A.BA B.AB C.AC D.CA 6.已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，则 PA+PB+PC+PD=( A.PO B.2P0 C.3PO D.4P0 题型03平面向量的减法运算 1,(25-26高一下北京期末)在平面四边形ABCD中，AB-AD=() A.CA B.DB C.BD D.AC 2.(25-26高一下陕西汉中期中)AC-AB+CF=() A.BE B.FB C.AF D.CA 3.(25-26高一下·山西大同阶段检测)化简ME+EN-P=() A.MP B.MN C.EM D.PM 4.(25-26高一下·天津红桥期末)OA-OB+AB化简的结果是() A.AO B.BO C.BA D.0 5.(25-26高一下广东阶段检测)AB-2CB+CD=() A.AC-BD B.AD+BC C.-AC+BD D.-AD+BC 6.(25-26高一下·天津滨海新区·期末)化简AC-BD+CD-AB= 题型04平面向量的数乘运算 1.在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则AB-2AO=() A.BD B.DB C.BC D.CB 2.(多选)((25-26高一下陕西西安·期末)下列各式计算正确的有() A.（-7）6a=-42a B.7(a+b-86=7a+156 C.a-2b+a+2b=2a D.42a+6)=8a+46 3.（多选)(25-26高一下·新疆喀什·阶段检测)下列运算正确的是() A.（-3)2a=6a B.2(a+b)-(25-d=3a c.(a+2b)-(26+ad)=0 D.23a-b）=6a-26 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.若非要向是4C-号和，且设C=AD:则实数天= 5.(25-26高-下全国课后作业)若|d上3,6与a反向，1b2,则a= 6.(25-26高一下江西赣州阶段检测)化简： (1)BA+OD-OA-BC: 25a-26)43a-26）2a-b列 题型05平面向量的线性运算 1,(25-26高一下四川绵阳期末)在口ABCD中，M为CD的中点，则BM=() A.AD-AB c.0-4 0.+ 2.(25-26高一下山东滨州期末)在△ABC中，设AB=ā，AC=b,若AE=2EC,则BE=() A.a- B.-a+26 c.-a+-b .a6 3.(25-26高一下·广东江门期末)如图，在正六边形ABCDEF中，AB+DE+EF=() B E D A.AE B.0 C.EF D.AD 4.(25-26高一下江西九江期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点， 则下列说法错误的是() D A.EF=1AB 3 B.DF-CE=4EF C.CB-CE=BE D.AD+DC=AB+BC 5.(25-26高一下河北沧州期末)在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F为线段DE的中点，则 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () 2 B.AF-148+24D c4F-4B+40 2 。.F-B+0 4 6.(2526商一下河北雄安期末)在。1BC中，D-号，令aAC=6·用a6表示cD 3 () A.号0+6 8.6-9 C.-d .a-6 题型06平面向量共线定理证明点共线、线平行 1.(25-26高一下山东济宁期中)已知m,i是不共线的向量，且AB=3m-2i,BC=2m+i,CD=m-3n, 则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 2.(25-26高一下山东济南阶段检测)已知à，b是不共线的向量，且 AB=a-46,BC=-2a+3b,CD=3a+3b,则() A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 3.(25-26高一下山西晋中·期中)已知%，%2是两个不共线的向量，若 AC=g+2e,CB=-5g+76,BD=7%-38,则A,B,C,D四点中共线的三点是() A.A,B,C B.B,C,D C.A,C,D D.A,B,D 4.(25-26高一下四川乐山期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且 BF=3FC.设AB=a,AD=b. (1)用基底{a,b}分别表示向量DB,A正，EF; (2)若EG=4EF,用平面向量证明A,B,G三点共线. 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高一下·贵州遵义期中)在△ABC中，点D,E分别在边BC和边AB上，且3BD=DC, 2AE=BE,AD交CE于点P,设BC=a,BA=b. B D (1)试用a,b表示AD: (2)试用a,b表示BP: (3)在边AC上有点F,使得AC=7AF,求证：B,P,F三点共线. 题型07已知向量共线求参数 1.(25-26高一下全国期末)已知向量ā，6不共线，且c=1a+b,d=+(21+1)b,若c与d共线， 则实数九的值为() A.1 B,2 c.1或2 0.-1或 2.(25-26高一下河北保定期中)已知ā，b是同一平面内的两个不共线的向量，若c=3a+xb,d=a-45 且cld,则() A.xy+12=0」 B.Xy-12=0 C.4x+3y=0 D.4x-3y=0 3.(25-26高一下广东茂名期中)已知向量AB=(2,-1),BC=(m,-2),CD=(1,4),若A,B,D三点 共线，则m=一 4.(25-26高一下江西上饶阶段检测)设名，6是两个不共线的向量，已知AB=26-83,CB=6+36, CD=2e-e2. (1)若BF=-2g+k0与B互为相反向量，求实数k的值： (2)用%，e表示CB-CD,并证明A,B,D三点共线： 5.(25-26高一下福建三明期中)已知之产是平面内两个不共线的向量， AB=m-2i,BE=3m+i,CE=2m+(2∈R),且A,C,E三点共线. (1)求1的值： 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)m=(1,1),i=(4,0),已知点D的坐标为(2,3)，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标。 7.(25-26高一下广东广州期中)设9,6是两个不共线的向量，己知AB=38-2E,BC=4+6, CD=8e-9e2 (1)求证：A,B,D三点共线： (2)若6+元e2与e+e不共线，试求的取值范围. 题型08平面向量共线定理的推论 1.(256商-下云南昭通期未)如图。在AMBC中，N-兮C,P是BN上的一点，若 3 P=}B+m4C,则实数m的省为〔) B 1 A.3 B.3 2 C.1i D.Ii 2,(2526高-下北京期中)已知在。MBC中，BD-)DC, AE=2EC,P是线段AD与BE的交点.若 AP=mAB+nAC,则mn的值是() 8 12 6 A.49 B.49 c.7 0.1 3.(25-26高一下重庆九龙坡期末)如图，在△ABC中，点0为BC边上靠近B的三等分点，过点O的直 线分别交直线AB,AC于M,N两点.若AB=mAM,AC=nA，且M、N不与端点重合，则m,n满足的关 系式为() B M A.2m+n=2 B.2m+n=3 C.m+2n=3 D.m+2n=2 4.(25-26高一下山东淄博期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,1 点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点，若AM=xABN=yAC,则+y () A.1 B.2 C.4 D.8 5.(多选)(25-26高一下·贵州遵义期中)己知△ABC中，0是BC边上靠近B的三等分点，Q为A0的 中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0, 则下列结论正确的是() A.40=B-1AC 31 31 6 C.2m+n=3 0女十材的录小询为写0+2间，当贺当=2生 m n 3 二取等号 6。(226高一下重庆期末)在。MBC中D为边4AC上一点，且D-4C,若点P在线段BD上，设 5 D-+mC,则m三 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26高一下河北邯郸阶段检测)下列物理量中不是向量的是() A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移 2.(25-26高一下四川达州阶段检测)下面命题中，正确的是() A.零向量没有方向 B.若d>6,则a>6 C.若al/b,b/c,则a/c D.若a=b,则a/b 3.(25-26高一下山东潍坊期末)已知向量a=(x4),b=(山，-2)，若a∥6，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 8/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一下江西赣州阶段检测)已知平面向量ā，万不共线，且3+yb=xa-2b,则() A.x=3,y=-2 B.x=-3,y=2 C.x=3,y=2 D.x=-3,y=-2 5.(2526有一下湖北武汉期未)在C中，0=，点B是CD的中点设C=aB-6:则 4 CE=() 8 B.8 C.d 6 D.6 3 6.(2526高一下河南南阳期末)图。在。ABC中，D-号4C,F为线段BC上的一点。 CF AFOBD=E”若B为AF的中点，则FB=() A.3 7.(25-26高一下山东泰安期末)已知点P是△ABC所在平面内一点，3PA+4PB+AC=0,延长AP交 BC于D,则△ABP与aPDC的面积之比为() A.5:2 B.1:4 C.5:8 D.4:1 二、多选题 8.(25-26高一下湖北黄冈阶段检测)关于平面向量，下列说法正确的() A.若>5， 则a>b B.若a=b,则a/16 c.若a/1b,b11e,则a11d D.若a=i,i=-c,则a=c 9.(25-26高一下广东梅州期末)如图，在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=2CD,EB=2CE,则 () D E 8 A.CD=1AB B.BD=AD-AB 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.CB=1AB-AD 。.正=孤+号而 3 10,(2526高一下垂庆期末)如图，在ABC中BD-DC,点B是线段AD上一点，直线E交线段 AC于点F下列选项中正确的有() A而-4+号4C B.若E是线段AD的中点，则3EA+2EB+EC=O C.若E是线段BF的中点，那么F是线段AC的中点 11 D.若BE=1BA+uBC,则元+u的最小值为4+25 三、填空题 11.(25-26高一下·广东中山阶段检测)如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O,则 AD-BD+BC-AO+CO= 0 12. (25-26高一下·湖南娄底·期末)在△ABC中，D为BC边上的中点，则AD=_(用AB,AC表 示) 13.(25-26高一下·云南昭通期末)如图，在△0AB中，P为线段AB上的一点，OP=x0A+y0B,且 BP=3PA,则x+y= B 四、解答题 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14(2520而一下山东那坊粉段检测)如图新示，在C中，压-C,F-号队，GF与4c相 31 交于点M. B EH (1)用BA,BC表示BM: CM AM 2)求MF,ME的值： (3)过点M作直线GH分别交线段AB,BC于点G,H,记BG=BA,BH=uBC,当G,H在线段BA,BC上 移动时，求4+3“的最小值 11/11 专题01 平面向量及其线性运算 常考题型·精准突破 题型01 向量的有关概念 题型02 平面向量的加法运算 题型03 平面向量的减法运算（重） 题型04 平面向量的数乘运算 题型05 平面向量的线性运算（高频） 题型06 平面向量共线定理证明点共线、线平行 题型07 已知向量共线求参数（重） 题型08 平面向量共线定理的推论 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 向量的有关概念 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 【答案】C 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 2．（25-26高一下·四川绵阳·期末）下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A：因为，则的方向可能相反， 所以不一定相等，故A错误； 对于选项B：的方向是任意的，故B错误； 对于选项C：若，对任意向量，均有， 此时不一定共线，故C错误； 对于选项D：若，则； 若，则的方向相同，可得； 综上所述：若，则，故D正确. 3．（25-26高一下·天津红桥·期末）下列各量属于向量的是（    ） A．速度 B．质量 C．距离 D．电流 【答案】A 【分析】由向量的概念进行判断． 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量， 速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确． 4．（25-26高一下·河南周口·期末）下列说法正确的是（     ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 【答案】D 【详解】对于A，因为向量与向量是相反向量，不是相等向量，故A错误； 对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 二、多选题 5．（25-26高一下·陕西汉中·期中）下列各物理量中，可以用向量表示的有（   ） A．某运动员投掷铅球出手一瞬间铅球的速度 B．小明从家到学校的位移 C．电梯静止时对乘客的支持力 D．夏天站在太阳下小李感受到的热量 【答案】ABC 【详解】向量既有大小又有方向，速度有大小也有方向，是向量，A正确； 位移有大小也有方向，是向量，B正确； 力有大小也有方向，是向量，C正确； 热量有大小但没有方向，不是向量，D错误. 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】BCD 【分析】由向量的概念进行求解． 【详解】对于A项，显然正确； 对于B项，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故B项错误； 对于C项，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C项错误； 对于D项，共线向量都是平行向量，则都可以平移在同一条直线上，故D项错误． 7．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 题型02 平面向量的加法运算 1．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知点，，，下列向量运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量加减的定义得， ； ； ； . 2．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相等向量，向量的加法运算即可求解. 【详解】在矩形中，因为点分别是和的中点， 故，则， 由图可知和，，都不是相等向量， 所以A正确，BCD错误. 3．（25-26高一下·河南焦作·期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以、为基底，将和分别线性表示后求和即可. 【详解】在平行四边形中，，， 因为为的中点，故，由向量加法的三角形法则得： ，由可得， 由向量加法的三角形法则得： ， 所以. 4．（25-26高一下·上海·期中）在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【详解】因为四边形为矩形，所以. 5.化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 6.已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以既是的中点，又是的中点， 所以， 故选：D 题型03 平面向量的减法运算 1．（25-26高一下·北京·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平面四边形中， . 2．（25-26高一下·陕西汉中·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 3．（25-26高一下·山西大同·阶段检测）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的三角形法则，将首尾相接的向量先合并，再进行向量减法． 【详解】由向量加法的三角形法则， 又 ，所以 4．（25-26高一下·天津红桥·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 5．（25-26高一下·广东·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用向量的线性运算求解. 【详解】得． 6．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）化简________． 【答案】 【详解】 题型04 平面向量的数乘运算 1．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 2．（多选）（（25-26高一下·陕西西安·期末）下列各式计算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 3．（多选）（25-26高一下·新疆喀什·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A．· B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：因，是零向量，而不是，C错误； 选项D：，D正确. 4．若非零向量，且设，则实数__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，即可求解. 【详解】由向量，可得，所以， 因为，所以. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）若，与反向，，则_____________． 【答案】 【分析】根据数乘的定义即可求解. 【详解】由于， ，且与反向，故， 故答案为： 6．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法和减法法则化简即可； （2）利用平面向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 题型05 平面向量的线性运算 1．（25-26高一下·四川绵阳·期末）在中，M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： 可得. 2．（25-26高一下·山东滨州·期末）在中，设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 3．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正六边形 中，边 与边 平行且长度相等. 由图可知，向量 的方向水平向左，向量 的方向水平向右， 所以 与 方向相反，即 ，故 . 则 . 4．（25-26高一下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 5．（25-26高一下·河北沧州·期末）在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平行四边形中，，为边的中点， 则, 因为为线段的中点， 所以．    6．（25-26高一下·河北雄安·期末）在中，，令，，用、表示（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，， 根据向量线性运算的三角形法则可得， 所以. 题型06 平面向量共线定理证明点共线、线平行 1．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此， 又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确； 对于C，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误； 对于D，， 若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 2．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 3．（25-26高一下·山西晋中·期中）已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 与共线，三点共线. 4．（25-26高一下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量，，； (2)若，用平面向量证明，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)因为，所以点在的延长线上，如图： 又因为，， 所以. ，. 由向量共线定理得，与共线，又与公共点为， ，，三点共线． 【分析】（1）直接根据向量的线性运算可得； （2）由条件可得，再由向量的加法可得，从而可证明三点共线. 【详解】（1）因为，，所以． 是中点．且在平行四边形中，， 所以． ．，所以． 因此，，. （2）略 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)由，得， 所以， 所以，所以， 因为与有公共点， 所以三点共线． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）设，，分别用参数和，表示，再根据平面向量基本定理求出即可； （3）用，表示，根据平面向量共线定理证明即可. 【详解】（1）由题意，； （2）设，由题意， 所以， ①， 设，则， 则②， 由①②得，， 所以，解得， 所以； （3）略 题型07 已知向量共线求参数 1．（25-26高一下·全国·期末）已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，即， 因为向量，不共线，所以，解得或. 2．（25-26高一下·河北保定·期中）已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（    ） A．. B． C． D． 【答案】A 【详解】由，设，则， 故，消去得. 3．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 4．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据相反向量及相等向量的定义即可求解； （2）根据平面向量线性运算求解，再根据向量共线证明三点共线即可． 【详解】（1），则． （2）， 证法一：因为，， 所以，又为公共点， 所以三点共线； 证法二：由已知，得， 因为，所以，又与有公共点， 所以三点共线． 5．（25-26高一下·福建三明·期中）已知是平面内两个不共线的向量，， 且A，C，E三点共线． (1)求λ的值； (2)，已知点D的坐标为，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）由（1）以及向量的加减法求出，设点，可求出，再根据平行四边形的性质得到，最后列出方程组求解点的坐标. 【详解】（1）因为 且， 又因为A，E，C三点共线，所以， 所以， 即， 所以，解得 ， 所以； （2）由（1）得 所以， 由四边形ABCD为平行四边形得， 设，且点D的坐标为，则， 所以， 解得， 即． 7．（25-26高一下·广东广州·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【答案】(1) 因为 ， 所以与共线． 因为与有公共点， 所以三点共线． (2)． 【分析】（1）先通过向量加法求出，证明其与共线且有公共点，从而证得三点共线； （2）先假设两向量共线，利用不共线向量的系数对应相等，求出共线时的值，再取其补集得到不共线时的取值范围． 【详解】（1）略 （2）假设与共线， 则存在实数，使． 因为不共线，所以,所以． 因为与不共线，所以． 题型08 平面向量共线定理的推论 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 2．（25-26高一下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 3．（25-26高一下·重庆九龙坡·期末）如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将用表示，建立的方程. 【详解】由题意，点为边上靠近的三等分点，则， 所以 ， 已知，，所以 ， 因为三点共线，且不在直线上， 所以与的系数之和为，即，整理得：. 4．（25-26高一下·山东淄博·期末）如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】首先结合分别为中点的条件，通过向量中点公式将用、线性表示，再结合、的已知条件，将转化为以、为基底的线性形式，最后利用三点共线时向量系数和为的性质即可求解目标式. 【详解】∵ 为的中点，根据向量中点公式，可得. 又∵ 为的中点，∴ . 由题知，，变形得，，代入上式可得 . ∵三点共线，根据共线向量的系数性质，可得. 等式两边同乘，得. 5．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 6．（25-26高一下·重庆·期末）在中D为边AC上一点，且，若点P在线段BD上，设，则________． 【答案】 / 【详解】由，得，则， 因为点在线段上，即三点共线，则， 所以. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）下列物理量中不是向量的是（    ） A．重力 B．时间 C．加速度 D．位移 【答案】B 【详解】向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B. 2．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）下面命题中，正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若//，//，则// D．若，则// 【答案】D 【分析】通过平面向量的基础概念，选出正确的选项. 【详解】A选项，我们规定零向量的方向是任意的，A错误； B选项，向量不能比较大小，B错误； C选项，时得不到，C错误； D选项，时，两者方向相同，大小相等，//，D正确. 3．（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由向量平行可知对应坐标成比例，故可由求得. 【详解】因为，，且，所以对应坐标成比例，得。解得，所以应选A. 4．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知平面向量，不共线，且，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为，则， 且平面向量，不共线，则，解得. 5．（25-26高一下·湖北武汉·期末）在中，，点是的中点.设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示：    因为点是的中点， 所以 . 6．（25-26高一下·河南南阳·期末）如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减运算与平面向量基本定理，找定一组基底，通过向量的转化计算比值． 【详解】设，因为E为的中点，则， 根据向量加法运算可知， 所以； 由B，D，E三点共线，则， 因为，故； 故，整理得，解得； 故． 7．（25-26高一下·山东泰安·期末）已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 解得 因为共线，所以设 ， 因为共线，所以设，且， 因为，即， 所以， 因为 共线，所以系数和为 1，即， 解得，即， 即，所以， 因为，， 所以， 解得， 即，即， 所以， 设， 因为，所以 ， 因为，所以 ， 因此， 则选项C正确. 二、多选题 8．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 9．（25-26高一下·广东梅州·期末）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出来. 【详解】 ，，所以，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C正确； ，， 选项D错误. 10．（25-26高一下·重庆·期末）如图，在中，点是线段上一点，直线交线段于点下列选项中正确的有（    ） A． B．若是线段的中点，则 C．若是线段的中点，那么是线段的中点 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A利用向量的加减运算；B设，利用基底表示向量即可；C设，利用基底表示；D利用共线，以及基本不等式可求. 【详解】因为， 所以，故A错误； 设，则， 因为是线段的中点，所以， ，， 则，故B正确； 设， 若是线段的中点，则， 则，得，则，故是线段的中点，故C正确； 由，以及共线， 则，则， 等号成立时，即， 则的最小值为，故D正确. 三、填空题 11．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，在梯形中与交于点则__________．    【答案】 【详解】因为，，， 所以. 12．（25-26高一下·湖南娄底·期末）在中，D为边上的中点，则________（用表示） 【答案】 【分析】通过向量线性运算法则和中点性质进行推导. 【详解】因为D是BC边的中点，所以， 所以. 13．（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，在中，P为线段上的一点，，且，则________. 【答案】1 【分析】利用向量减法将线段比例转化为含,,的等式，整理得到的线性分解式，对比系数求出、后相加得结果. 【详解】如图，∵，∴，化为. 又，∴，，故. 四、解答题 14．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）如图所示，在中，，，与相交于点． (1)用，表示； (2)求，的值； (3)过点作直线分别交线段于点，记，，当在线段上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）设，利用，表示，结合平面向量基本定理可得； （2）由（1）求出即可； （3）利用表示，再利用三点共线，可得，结合基本不等式可求. 【详解】（1）设， 因为，， 所以，， 则， 则，， 则由平面向量基本定理可知，，解得， 故； （2）由（1）知，故，； （3）因为点分别位于线段上，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 则，当且仅当等号成立， 故的最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面向量及其线性运算 常考题型精准突破 题型01向量的有关概念 1. 【答案】C 【详解】对于O,d=表示ā，6的模长相等，但方向不一定相同，故①错误： 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误： 对于③，如果A,B,C,D四点共线，则4，B,C,D不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误： 对④，因为四边形ABCD是平行四边形，则AB/1DC,且AB=DC, 而AB,DC方向也相同，故AB=DC,故④正确： 对于⑤，若d=b,b=c,故d,c为相等向量，故a=c,故⑤正确： 对于⑥，若b=0,则a/1b,b/1c都成立，但a,c不一定为共线向量，故⑥错误 2. 【答案】D 【详解】对于选项A:因为a仍，则ā，b的方向可能相反， 所以ā，b不一定相等，故A错误； 对于选项B:0的方向是任意的，故B错误； 对于选项C:若b=0,对任意向量a,c,均有ab,b1lc, 此时ā，c不一定共线，故C错误； 对于选项D:若d=b=0,则a/b: 若d=b≠0，则a,b的方向相同，可得al仍； 综上所述：若d=b,则11b,故D正确 3. 【答案】A 【分析】由向量的概念进行判断， 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量， 速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确 4. 【答案】D 【详解】对于A,因为向量AB与向量BA是相反向量，不是相等向量，故A错误： 对于B,因为向量的模是一个非负实数，故B错误： 对于C,与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误： 对于D,若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 二、多选题 5. 【答案】ABC 【详解】向量既有大小又有方向，速度有大小也有方向，是向量，A正确： 位移有大小也有方向，是向量，B正确： 力有大小也有方向，是向量，C正确： 热量有大小但没有方向，不是向量，D错误。 6. 【答案】BCD 【分析】由向量的概念进行求解. 【详解】对于A项，显然正确： 对于B项，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故B项错误： 对于C项，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C项错误： 对于D项，共线向量都是平行向量，则都可以平移在同一条直线上，故D项错误. 7. 【答案】BD 【详解】对于A,向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B,相等向量是共线向量，B正确： 对于C,当b=0时，ā，c可以是任意向量，因此ā，c不一定共线，C错误： 对于D,由a=b,b=c,得a=c,D正确， 题型02平面向量的加法运算 2/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. 【答案】D 【详解】由向量加减的定义得， 0A-A0=20A: OC+40=AC: AC-OA≠OC: OA+AC=OC. 2. 【答案】A 【分析】由相等向量，向量的加法运算即可求解。 【详解】在矩形ABCD中，因为点E,F分别是AB和CD的中点， 故EB=DF,则AD+EB=AD+DF=AF, 由图可知AF和DE，,CE,BF都不是相等向量， 所以A正确，BCD错误， 3. 【答案】D 【分析】以AB、AD为基底，将AE和BF分别线性表示后求和即可. 【详解】在平行四边形ABCD中，BC=AD,CD=-AB」 因为B为C的中点，放BE=)BC=4D,由向量加法的三角形法则得： 2 正=+能=+号0，由不-2D则得F-号D=号6， 3 由向量加法的三角形法则得： BF=BC+CF=AD-2 AB 所以4E+际-(6+号D(号4B+0)6+?而 【答案】25 【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以AB+ADAC=V4+2=2√5 5. 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】OA+OC+BO+CO=CO+OC+BO+OA=0+BA=BA】 故选：A 6 【答案】D 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以O既是AC的中点，又是BD的中点， 所以PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PO+2PO=4PO】 故选：D 题型03平面向量的减法运算 1. 【答案】B 【详解】在平面四边形ABCD中， AB-AD=DB. 2. 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】AC-AB+CF=BC+CF=BF】 3. 【答案】A 【分析】利用平面向量的三角形法则，将首尾相接的向量先合并，再进行向量减法. 【详解】由向量加法的三角形法则，ME+EN=M 又-PN=NP,所以ME+EN-PN=MN+NP=MP 4. 【答案】D 【详解】OA-OB+AB=BA+AB=0 5. 【答案】B 【分析】使用向量的线性运算求解. 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】得AB-2CB+CD=AB+BC+CD+BC=AD+BC. 6. 【答案】0 【详解】AC-BD+CD-AB=AC+CD+DB+BA=0 题型04平面向量的数乘运算 1. 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解。 【详解】如图， D B 则AB-2AO=AB-AC=CB, 故选：D 2. 【答案】ACD 【详解】（-7)6a=-7×6a=42a,故A正确： 7a+)-85=7a+76-86=7a-b,故B错误： a-2b+a+2b=2a,故C正确： 42a+b)=8a+46,故D正确 3. 【答案】ABD 【详解】选项A:（-32ā=-6ā，A正确： 选项B:2(a+b)-(26-d=2a+2b-2b+a=3a,B正确： 选项c:因(a+25)-(26+d=a+26-26-a-0,是零向量，而不是0，c错误； 选项D:23a-b)=6a-2b,D正确， 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. 1 【答案】3 【分析】根据思意，利用向量的线性运算法则，化简得到BC=?AB,即可求解 3 【详解】由向量4C-子仍，可得BC-M-号，所以BC-名B+BA-名B-=-亚， 3 31 1 因为BC=AB:所以元=-3 5. 【答案】2 【分析】根据数乘的定义即可求解。 【详解】由于1a非3， =2,且6与a反向，故0=6 3 故答案为：一 6. 【答案】(1)CD aa+5 【分析】(1)利用平面向量的加法和减法法则化简即可： (2)利用平面向量的线性运算化简即可· 【详解】(1)原式=(BA-BC+(OD-OA=CA+AD=CD 2原=目}+号++-+8 题型05平面向量的线性运算 1. 【答案】C 【详解】如图所示： 6123 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得BM=BC+CM=AD-1B 2 2. 【答案】B 【详解】因为AE=2EC, A E 所以BE=E--名4C-B=-a+6」 3 3. 【答案】C 【详解】在正六边形ABCDEF中，边AB与边DE平行且长度相等. 由图可知，向量AB的方向水平向左，向量DE的方向水平向右，所以AB与DE方向相反，即 AB=-DE,故AB+DE=0. 则AB+DE+EF=(AB+DE)+EF=0+EF=EF】 4. 【答案】C 【详解】因为在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点， 对于选项A,F-,赦A正确： 对于选项B:DF-CE=2EF-(2EF)=4EF,故B正确： 对于选项C:CB-C匣=EB,故C错误； 对于选项D:因为AD+DC=AC,AB+BC=AC,所以AD+DC=AB+BC,故D正确. 5. 【答案】D 7123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】平行四边形ABCD中，BC=AD,E为边BC的中点， 则DE=Dc-BC=G-4D, 因为F为线段DE的中点， 所以-而+)-而++)-0++0+子而. B E 6. 【答案】D 【详解】由题意可得：D=4B-4,AC-6 3 根据向量线性运算的三角形法则可得CD=AD-AC, 所以CD=a-6. 31 题型06平面向量共线定理证明点共线、线平行 1. 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A,若A,B,C共线，则存在实数入使得AB=1BC,所以3m-2n=元(2m+), 由于m,i是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即3=21且-2=九，矛盾，因此A,B,C不共线，故A 错误： 对于B,BD=BC+CD=(2m+)+(m-3m)=3m-2i,因此AB=BD, 又因为向量AB与BD有一个公共点B,因此4，B,D三点共线，故B正确： 对于C,若B,C,D共线，则存在实数使得BC=1CD,所以2m+i=2(m-3m), 由于m,i是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即2=元且1=-3兄，矛盾，因此B,C,D不共线，故C 错误： 对于D,AC=AB+BC=(3m-2m)+(2m+)=5m-n, 8/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若A,C,D共线，则存在实数1使得AC=CD,所以5m-i=(m-3), 由于m,是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即5=九且-1=-32，矛盾，因此A,C,D不共线，故D 错误； 2. 【答案】D 【分析】利用向量加法求出AC,BD,再观察AC与CD的线性关系，得出CD=-3AC,两向量成倍数关系 即共线，又有公共点C,即可判定A,C,D三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件。 【详解】BD=Bc+CD=(-2a+36)+(3à+36)=a+6币】 选项A:AB=ā-46，BD=a+65,不存在实数2使等式AB=BD成立，不共线， 选项B:AB=ā-46，BC=-2ā+36，不存在实数元使等式AB=1BC成立，不共线 选项：BC=-2a+3b,CD=3a+36,不存在实数使等式BC=CD成立，不共线. 选项D:计算AC=AB+BC=(a-46)+(-2a+36)=-a-b】 CD=3ā+36=-3(-ā-b)=-3AC,存在元=-3，故AC与CD共线， 又两向量有公共点C,因此A,C,D三点共线。 3. 【答案】C 【详解】AC=g+2E,CB=-5g+7g,BD=7g-36, ..CD=CB+BD=2e +4e,=2AC. ∴CD与AC共线，A,C,D三点共线 4. 【答案1p8=a-6G=a+6,F-0 (2)因为EG=4EF,所以G点在EF的延长线上，如图： G 又因为46-+6，-0-.BG=传-5） 9123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AG=AE+EG2 ~B=a,4G=B 2 ∴.由向量共线定理得，AG与AB共线，又AG与AB公共点为A, A,B,G三点共线 【分析】(1)直接根据向量的线性运算可得： （2)白条样可相G=4a- 再白向量的加法可得4G:历，从而可证明三点共线 【详解】(1)因为AB=ā，AD=b,所以DB=AB-AD=ā-b. :E是DC中点.且在平行四边形ABCD中，：DE= 所以AE=AD+DE='a a+b 2 ~际=3元、亚=6，所以F=-正=a-五 2 4 因此8a-6,正=+6，F0-6 2a-4 (2)略 5. 【谷】0--6 5 抽C=a-6相F=4c-a-). 所f=BM+F-a+95。 7 所以F-9D,所以BF/BP 7 因为BF与BP有公共点B, 所以B,P,F三点共线 【分析】(1)根据平面向量的线性运算计算即可； (2)设EP=tEC,DP=kDA,分别用参数4，k和a,b表示BP,再根据平面向量基本定理求出4，k即可： 10123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)用a,b表示BF,根据平面向量共线定理证明BF∥BP即可 【详解】(1)由腿意，AD=AB+BD=-BA+BC=a-6, 4 4 (2)设印=BC,由题意BE-子刷=6， 3 3 所以BC=丽+BC=a-子五， 3 E+EFBEEC-6()D. 31 3 设DP=kD则DP=k5-ka, 4 则B即=BD+DP--k)a+贴@， 02得，a+-6=0-利a+6, -0- = 10 所以 30-小-e 解得 所以B即=a+36】 3 10 5 (3)略 题型07已知向量共线求参数 1. 【答案】D 【详解】因为c与d共线，所以存在实数x使得c=xd,即a+b=xa+(2元+l)xb, 因为向量石，6不共线，所以1=x(2几+1)x=1,解得元=或2=2 2. 【答案】A 【详解】由clld,设c=md,则3a+xb=myd-4mb, (3=my 故1x=-4m,消去m得gy+12=0 3. 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-5 【分析】首先表示出BD,依题意根据AB/IBD,根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为AB=(2,-),BC=(m,-2),CD=(,4). 所以BD=BC+CD=(m,-2)+(1,4)=(m+1,2), 因为A,B,D三点共线，所以AB/1BD, 所以2×2-(m+1)×(-)=0,解得m=-5. 4. 【答案】(1)k=8 (2)-6+4e2,证明见解析 【分析】(1)根据相反向量及相等向量的定义即可求解； (2)根据平面向量线性运算求解CB-CD,再根据向量共线证明三点共线即可. 【详解】(1)BF=-2G+k6=-AB=-(2g-88)=-26+86,则k=8. (2)CB-CD=(6+38-(2g-6)=-g+48, 证法一：因为DB=CB-CD=-名+46，AB=2g-8%, 所以AB=-2DB,又B为公共点， 所以A,B,D三点共线： 证法二：由己知，得BD=CD-CB=g-4g, 因为AB=26-8E,所以AB=2BD,又AB与BD有公共点B, 所以A,B,D三点共线. 5. 【答案】(1)2 (2(7,2) 【分析】(1)先根据向量的加减法求出AE,再利用向量共线的性质列出方程，进而求出入的值： (2)由(1)以及向量的加减法求出BC,设点A(x,),可求出AD,再根据平行四边形的性质得到 AD=BC,最后列出方程组求解点的坐标 【详解】(1)因为AE=AB+BE=(m-2)+(3m+)=4m-元 12/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且CE=2m+i, 又因为A,E,C三点共线，所以AE=1CE, 所以4m-i=1(2m+2m）,即4m-万=2m+1几防， t=2 所以4=21，解得=- -1=tλ 2 防似分 2)由(1)得1=- 21 所以Bc=BE-E=(6m+)-2n4 =m+=+-40)=(50, 由四边形ABCD为平行四边形得AD=BC, 设A(x,),且点D的坐标为(2,3)，则AD=(2-x,3-y), 2-x=-5 x=7 所以{3-y=1，解得{y=2, 即A(7,2)」 7. 【答案】(1) 因为BD=BC+CD=(4g+e)+(8e-9g,) =12g-86=43g-26）)=4AB 所以AB与BD共线 因为AB与BD有公共点B, 所以A,B,D三点共线 (2)2≠±1 【分析】(1)先通过向量加法求出BD,证明其与AB共线且有公共点B,从而证得三点共线： (2)先假设两向量共线，利用不共线向量的系数对应相等，求出共线时的九值，再取其补集得到不共线时 九的取值范围。 【详解】(1)略 13/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)假设e+元e与%+6共线， 则存在实数m, 使8+g=m(g+8). 1=m 因为G,5不共线，所以a=m所以2=士1 因为9+6与g+6,不共线，所以元≠±1. 题型08平面向量共线定理的推论 1. 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将AC转化为AN,利用B,P,V三点 共线建立关于m的方程求解即可. 【详解】由N=号C,得C-3,则AC=+C=A+3孤=4N: 所以4-+m4C-品B+4m。 因为P是BN上的一点，即B,P,N三点共线， 根据共线向圣定理的推论则有子+4m=山，即m-8 3 、11,解得2= 2. 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比 较系数列方程组求解即可 【详解】因为BD-Dc,所以4D=B+BD=B+BC=+4C-)-子+4C, 因为E-2BC·所正-号C, 由题意得A,P,D三点共线，B,P,E三点共线， 所以有在实数代得-0=居B+C-号西+号C 存在实数山使得AP=(1-四)AB+uAE=(-)AB+2头AC 14123 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 2=1-4 6 1 所以有12_24 解得 3· 33 μ7 4 37 37 7 42 428 所以m=7,n=7,mm=7×7=49 B 3. 【答案】B 【分析】利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将AO用AM,AN表示，建立m,n的方程 【详解】由题意，点0为BC边上靠近g的三等分点，则B0-=?BC, 3 所以40=B+0=B+aC--号+}c 3 已知B=mM:AC=mN,所以40-号4M+nN 因为M,O,N三点共线，且A不在直线MN上， 所以与孙的系最之和为南智+背1，整星得：2m+n= 4. 【答案】C 【分析】首先结合D,G分别为BC,AD中点的条件，通过向量中点公式将AG用AB、AC线性表示，再结 合AM=xAB、AN=yAC的已知条件，将AG转化为以AM、AN为基底的线性形式，最后利用M,G,N 三点共线时向量系数和为的性质即可求解目标式 【详解】：D为BC的中点，根据向量中点公式，可得D=)(AB+4G。 2 15/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：6为D的钟点，：4G=4D=+40, 4 由要知-·衣=yAC,变形得孤-！仙，C=N,代入上式可得 6=仙+ 1+=1 “M,G,N三点共线，根据共线向量的系数性质，可得4x+4y 11 +二=4 等式两边同乘4：得x+y 5. 【答案】BC 【详解】0=B+B0=丽+(aC-)-号+写4C,放A错误： 0=0-而-0-瓜-号+若c-而=号+C,故8正： 因为0-号6+兮C=W+号N,且M,0N三点共线， 3 3 所以号+号1，即2m十=3”放c正确： 0m-. 等号成立时m= 6-3√2 2,1=3W2-3,放D销误 B M 6. 【答案】 3 100.3 16/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由0-号4C,得4C-D,则护-6+m4C-B+50, 3 3 15m=1, 因为点p在线段BD上，即B,P,D三点共线，则2十3 5m_1m= 3 所以32 10 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1. 【答案】B 【详解】向量既有大小又有方向时间只有大小，没有方向故选B. 2. 【答案】D 【分析】通过平面向量的基础概念，选出正确的选项 【详解】A选项，我们规定零向量的方向是任意的，A错误； B选项，向量不能比较大小，B错误； C选项，b=0时得不到d/1E,C错误： D选项，ā=b时，两者方向相同，大小相等，ā/b,D正确， 3. 【答案】A 【分析】由向量平行可知对应坐标成比例，故可由1=2求得x 【详解】因为ā=(，4)，b=(1,-2),且āb,所以对应坐标成比例，得i=2。解得x=-2,所以应选 A. 4. 【答案】A 【详解】因为3a+y6=xā-2b,则(x-3)a=(y+2)6, x-3=0 x=3 且平面向量a'方不共线，则y+2=0,解得y=-2 17/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【分析】作出图形，结合向量的线性运算求解即可 【详解】如图所示： B 因为点E是CD的中点， 所以cE=D-Ci+aD=Ca+440=M+64B=Ca+6n-C团 -3cA+CB-3d+16 3 8 8 8 6. 【答案】C 【分析】根据向量的加减运算与平面向量基本定理，找定一组基底，通过向量的转化计算比值， 【详解】设=A8际，因为E为A尔的中点，则正=)征， 银据向量加法运第可知=AC+F=C+团=C+产历-CB+中4C, 所以AE= AB+-1 、AC 22(1+)21+): 由B,D,E三点共线，则AE=xAB+(1-x)AD」 因为40-号4C,放4正=xB+号-刘4C: x= 2(1+) 故 ，解得 92C,1秘理相7 5 =1 21+2)41+2) 元=2 CF 1 故FB2 1. 【答案】C 【详解】因为3PA+4PB+AC=0,AC=PC-PA, 18/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以3PA+4PB+PC-PA=0, 解得2PA+4PB+PC=0 因为A,P,D共线，所以设PD=PA, 因为B,D,C共线，所以设PD=xPB+yPC,且x+y=1, 因为2PA=4P6-pC,即PA=2PB-Pc, 所以PD=PA=-2PB-PC, 因为B,D,C共线，所以系数和为1，即-21-号-1， 2 解得子1，即A=子 即Pm=-子PA,所以AP:PD=5:2 因为2PA+4P5+PC-0PA=PD, 所以2(PD4Pa+Pe-0, 解得-5PD+4PB+PC=0, 即5pn=4PB+pc,即PD=PB+Pc, 所以BD:DC=1:4, 设SMP=S, 因为AP,Pm=5:2·所以Sm号9、 因为BD:DC=1:4所以Sc=45am=4×2S=8S. 5 S.ABP= 因此Sc8s8, 5 则选项C正确. 19/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 二、多选题 8. 【答案】BD 【详解】对于A,向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B,相等向量是共线向量，B正确： 对于C,当b=0时，a,c可以是任意向量，因此a,c不一定共线，C错误； 对于D,由a=b,i=c,得a=c,D正确 9. 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出 来 【详解】 D E ，所以 ，选项A错误： B AB//CD AB=2CD CD=-1 BD=AD-AB,选项B正确； 西=+D=号孤-而+孤=而-而，选项C正确： EB=2CE 正=店+8E=店-号西=6-}46-而号6+号40 选项D错误， 10. 【答案】BCD 【分析】A利用向量的加减运算，B设AB=44C=6,利用基底表示向量即可，C设正=xD=2a+方】 3 3 20/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利用基底表示AF;D利用A,E,D共线，以及基本不等式可求 【详解】因为BD=)DC, 2 所以D=B+BD=B+}BC=+}4C-}B-号+C,故A错误 3 3 3 3 设-ac-6则0-r, 3 因为E是线段4加的中点所以历=服-号0=a06-号8-3， 3a-6-346 -a- 质=-0=0，Bc=团+ac=-a-6+6=-a+23. 36 36 3 6 则3EA+2EB+EC=-a-6+ 4-16-a+56=0,故B正确； 2b+3a-3b-3 6 设正=xD=2a+6. 3 古g8线数r的中点：则-+所-0+2E-+25-2石0+答0+号5-2- 3 售-+6， 则行-1=0，得行分，则F-五，数p是线段4C的中点，放C正瑞： 2x1 由BE=ABA+uBC=BA+3uBD,以及A,E,D共线， 则+时女层+*-+受会43042， Vμ 等9龙对A=5即2.53。 6 11 则元十的最小值为4+23，故D正确 三、填空题 11 【答案】0 【详解】因为AD=OD-OA,BD=OD-OB，,BC=OC-OB, 所以AD-BD+BC-A0+CO=0. 12. 【答案14+号4C 2 21/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】通过向量线性运算法则和中点性质进行推导. 【详解】因为D是BC边的中点，所以BD=BC, 所以D=+D=+号Bc=+aC-)号4+号4C 13. 【答案】1 【分析】利用向量减法将线段比例BP=3PA转化为含OP,OA,OB的等式，整理得到OP的线性分解式，对 比系数求出x、y后相加得结果。 【详解】如图，“BP=3P4∴0p-0B=3o1-0P）,化为0P=o1+oB 又0m=0i+0m:=枚y 四、解答题 14. 【答案】)BM=BA+BC 2 6 CM=5, 2)M AM=1 ME 9 312 【分析】(1)设AM=xAE,CM=yCF,利用BA,BC表示BM,结合平面向量基本定理可得： (2)由(1)求出x,y即可； +=1,结合基本不等式可求 (3)利用BG,B丽表示BM,再利用G,H,M三点共线，可得276 【详解】(1)设AM=xAE,CM=yCF, 因为E=BC,F-M, 5 所以AE=AB+BE=-BA+BC,CF=BF-BC=3BA-BC, AM--xBA+BC.CM-3 BA-yBC, 3 5 则BM=BA+AM=0-A+Bc,BM=BC+CM=3yBM+1-列BC, 22/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3y,=1-y,解得x=2y= 1 5 则由平面向量基本定理可知，1-x 53 61 故BM=)BA+BC, 6 ②白知-正aw-,妆=5， 6 =1 (3)因为点G,H分别位于线段AB,BC上，所以元，μ∈(O,, 因为G-AB丽=hC,所以BM-+C=克G+所. 6 2元 64 11 因为G,H,M三点共线，所以2元+6 -=1， +号≥2 342.5_9 则4+3业=4+3加226尸发++223422当且仅当元=)等号成立， 9 故4+3u的最小值为2 23/23