专题17 抛物线的标准方程与几何性质六种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题17 抛物线的标准方程与几何性质六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抛物线的定义及其应用 题型二、抛物线标准方程的求法 题型三、抛物线的几何性质 题型四、抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五、抛物线的实际应用 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抛物线的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抛物线的定义及其应用、抛物线标准方程的求法、抛物线的几何性质、抛物线中三角形，四边形的面积问题、抛物线的实际应用、与其他章节融合质六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抛物线的定义；二是端点必须验证，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抛物线的定义及其应用 典例1（1）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【解析】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 （2）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，则PE的中点坐标为，代入，可得， 故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线， 由于，故在抛物线内部， 过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义）， 故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小， 最小值为点M到直线l的距离，所以， 故选：B． 题型模版 1.特征：(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 注意：　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 2.方法：利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解 变式1-1已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（  ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【解析】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 变式1-2若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（  ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】由题可知抛物线的准线方程为，所以，即，所以，∴ ，所以. 故选：D. 变式1-3已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】2 【分析】根据条件推得，利用抛物线的定义可得点在准线上，求得点的横坐标，再利用对称性即得答案. 【解析】 如图，因为， 所以，故 于是点在准线上， 由，关于轴对称，得. 故答案为：2. 类型二、抛物线标准方程的求法 典例2已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果. 【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，又， 所以为正三角形，所以， 记准线与轴交于点，则， 所以， 所以该抛物线方程为：. 故答案为：. 题型模版 1.特征：（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解 2.方法：求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 变式2-1已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 变式2-2点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 变式2-3已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程． 【解析】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限）， 可知，， ，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为， 所以，则三角形是正三角形， 因为是的中点，，所以是的中点， 所以，， ，所以，则， 由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点， 所以，则， 可得， 所以抛物线方程为：． 故选：． 题型三、抛物线的几何性质 典例3已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出，再求出准线即可. 【解析】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 题型模版 1.特征：利用抛物线的简单几何性质求抛物线标准方程应把握三个要点: (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 2.方法：抛物线的焦点坐标及准线方程的求解方法: 将所给抛物线方程化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标。 变式3-1已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（  ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【解析】如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 变式3-2（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 变式3-3在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为__________ 【答案】3 【解析】设准线与轴交于点，则，，∴， 连接，则，又，所以是正三角形， ∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3. 故答案为：3 题型四、抛物线中三角形，四边形的面积问题 典例4（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（  ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【解析】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 题型模版 1.特征：利用抛物线方程确定抛物线关于哪个坐标轴对称,从而解决问题,抛物线的的对称性主要用于解决抛物线的内接三角形问题。 2.方法：三角形用铅垂，四边形先拆分；不好算就割补，有最值就运用函数、基本不等式等求解 变式4-1在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【解析】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 变式4-2（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（  ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【解析】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，    由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 变式4-3（多选）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（  ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【解析】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 题型五、抛物线的实际应用 典例5彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（  ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【解析】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 题型模版 1.特征：抛物线的实际应用问题常主要涉及拱桥、隧道的问题； 2.方法：通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 处理抛物线的实际应用问题的五个步骤: 。 变式5-1世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（  ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【解析】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 变式5-2（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（  ）    A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【答案】AD 【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确. 【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确； 由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0， 设直线，联立方程组，整理得， 可得，所以，所以B错误； 若点，则，所以，所以，， 所以，所以C错误； 又由直线，联立方程组，解得， 由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确. 故选：AD. 变式5-3如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（  ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【解析】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 题型六、与其他章节融合 典例6是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 抛物线的焦点， 因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为， 所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小， 连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即， 所以的最小值为， 故答案为： 题型模版 1.特征：抛物线常常与函数、方程、不等式、圆等融合，处理面积、线段最值等问题 2.方法：抓住抛物线定义进行转化，利用常见求最值的方法求解. 变式6-1已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（  ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离. 【解析】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，， 所以. 故选：B. 变式6-2已知点P为抛物线上的动点，A，B为圆上的两个动点，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】因为，要使最小， 则当最大时，此时与圆相切，则， 所以， 要求的最小值，则需最大，即需最小． 设，则， 所以当时，，此时， 即的最小值为. 故答案为： 变式6-3已知抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为）且交轴于点，过点作圆的另一条（切点为）交轴于点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 由题：设，， 所以，， 设，，， 抛物线第一象限的函数解析式为， 所以， 中，由正弦定理： ，令， 当时，取得等号. 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为 2．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此 3．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（  ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【解析】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故选：A． 4．随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（  ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【答案】A 【分析】先设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出.根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【解析】如图， 设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点， 所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米. 故选：A 5．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【解析】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，，分、，结合基本不等式求解即可. 【解析】由题意可知， 设， 所以， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即； 综上，或. 故选：B. 7．（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（  ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【解析】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 8．（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【解析】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（  ） A．的最小值为 B．最大值为45° C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用几何关系可得的最小值即为的最小值；建立的三角函数值与之间的关系，讨论范围即可确定的最大角；利用基本不等式讨论的最值；根据四边形的面积等于讨论解最大值. 【解析】对于A, 的最小值为的最小值, 因为的最小值为,所以的最小值为,故A正确； 对于B，设是圆的切线，切点为，则, 所以 因为，所以， 所以，所以，所以最大值为， 故B错误； 对于C，设，， 所以 ， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故C正确； 对于D，当在轴异侧，且与抛物线相切于点,与圆相切于点, 取得最大值， 不妨设在第一象限，则点在第四象限， 设直线代入整理得， 所以，则，因为，所以. 所以，解得，所以，即, 此时 当与圆相切于点时，, , 所以当最大时，四边形APFQ的面积为，故D正确. 故选:ACD. 10．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线方程为． 过点作抛物线准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果. 【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，又， 所以为正三角形，所以， 记准线与轴交于点，则， 所以， 所以该抛物线方程为：. 故答案为：. 12．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为， 则 ,当A,F,C三点共线时取等号， 而，故的最小值为， 故答案为：3 13.曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值； （2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可. 【解析】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    14．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程； （2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【解析】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线. （2）（i）设，，直线， 与抛物线联立，得，因此，. 设直线，与抛物线联立，得， 因此，，则.同理可得. 所以. 因此直线，由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以直线过定点. （ii）因为， ， 所以， 当且仅当时取到最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 抛物线的标准方程与几何性质六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抛物线的定义及其应用 题型二、抛物线标准方程的求法 题型三、抛物线的几何性质 题型四、抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五、抛物线的实际应用 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抛物线的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抛物线的定义及其应用、抛物线标准方程的求法、抛物线的几何性质、抛物线中三角形，四边形的面积问题、抛物线的实际应用、与其他章节融合质六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抛物线的定义；二是端点必须验证，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抛物线的定义及其应用 典例1（1）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型模版 1.特征：(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 注意：　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 2.方法：利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解 变式1-1已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（  ） A．1 B．2 C． D． 变式1-2若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（  ） A． B． C．6 D． 变式1-3已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 类型二、抛物线标准方程的求法 典例2已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 题型模版 1.特征：（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解 2.方法：求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 变式2-1已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式2-2点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 变式2-3已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（  ） A． B． C． D． 题型三、抛物线的几何性质 典例3已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用抛物线的简单几何性质求抛物线标准方程应把握三个要点: (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 2.方法：抛物线的焦点坐标及准线方程的求解方法: 将所给抛物线方程化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标。 变式3-1已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（  ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 变式3-2（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 变式3-3在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为__________ 题型四、抛物线中三角形，四边形的面积问题 典例4（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（  ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 题型模版 1.特征：利用抛物线方程确定抛物线关于哪个坐标轴对称,从而解决问题,抛物线的的对称性主要用于解决抛物线的内接三角形问题。 2.方法：三角形用铅垂，四边形先拆分；不好算就割补，有最值就运用函数、基本不等式等求解 变式4-1在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 变式4-2（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（  ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 变式4-3（多选）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（  ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 题型五、抛物线的实际应用 典例5彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（  ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 题型模版 1.特征：抛物线的实际应用问题常主要涉及拱桥、隧道的问题； 2.方法：通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 处理抛物线的实际应用问题的五个步骤: 。 变式5-1世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（  ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 变式5-2（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（  ）    A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 变式5-3如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（  ）    A．50m B． C．55m D． 题型六、与其他章节融合 典例6是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 题型模版 1.特征：抛物线常常与函数、方程、不等式、圆等融合，处理面积、线段最值等问题 2.方法：抓住抛物线定义进行转化，利用常见求最值的方法求解. 变式6-1已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（  ） A．5 B． C．2 D．3 变式6-2已知点P为抛物线上的动点，A，B为圆上的两个动点，则的最小值为____________. 变式6-3已知抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为）且交轴于点，过点作圆的另一条（切点为）交轴于点，若，则的最小值为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（  ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（  ） A． B．2 C． D．3 3．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（  ） A． B．3 C． D．4 4．随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（  ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 5．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 6．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（  ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 8．（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知抛物线C：与圆F：，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点，则（  ） A．的最小值为 B．最大值为45° C．的最小值是 D．当最大时，四边形的面积为 10．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为 . 12．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________. 13.曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 14．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $