3.3.2抛物线的简单几何性质（分层作业，8大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抛物线的开口方向与大小 题型02 抛物线的范围与最值 题型03 抛物线的对称性及其应用 B组 能力进阶 题型01 抛物线与圆的综合应用 题型02 焦半径与焦点弦 题型03 抛物线几何性质的实际应用 C组 思维拔高 题型01 抛物线与其他圆锥曲线的综合 题型02 新定义问题 抛物线的开口方向与大小题型01 1．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点. 【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. 【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题. 2．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 3．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题. 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 5．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案. 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 6．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________. 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的对称性知：在上， ∴，可得，即抛物线的方程为. 故答案为：. 7．抛物线的准线方程是，则实数___________. 【答案】## 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 8．（24-25高三上·北京·期中）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是_______，得到的一个抛物线标准方程是_______. 【答案】 ② 【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可. 【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选， 选择条件②， 设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得， 所以所求抛物线标准方程是. 故答案为：②； 抛物线的范围与最值题型02 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 3．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【答案】A 【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【详解】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又，    则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以四边形的周长为. 故选：A. 4．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 5．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，设，显然当时，，当时，， 要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．    设，，，则，即， 解得． ，故，即， ，故， 当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为． 故选：B. 6．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 7．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】设，用向量的数量积的坐标表示得到，根据消去，得到关于的一元二次函数，即可求出． 【详解】设，则，， 从而． 因为点在抛物线上，所以， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，以及抛物线的简单几何性质的应用，属于较易题． 8．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 抛物线的对称性及其应用题型03 1．下列曲线中，不可能存在内接正方形的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】利用曲线的图形特征进行分析判断. 【详解】 如图，根据定义，圆、椭圆、双曲线都是轴对称和中心对称图形，在曲线上可以找到4个点作为正方形的4个顶点. 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不可能存在内接正方形. 故选：D. 2．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可. 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 4．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 5．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 6．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，已知点，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立两抛物线方程求出抛物线交点的横坐标为，再根据题意知在某一支抛物线必存在一对点满足题意，故必定还存在两支曲线上的不同点关于对称，设抛物线上的点，则关于的对称点在上，从而可得关于的方程：在上有解，最后参变分离转化为函数的值域，即可求解. 【详解】联立，可得，所以， 故两抛物线交点的横坐标为，显然在某一支抛物线上必存在一对点满足题意， 故必定还存在两支曲线上的不同点关于对称， 不妨设抛物线上的点， 则关于的对称点在上， 所以关于的方程：在上有解， 即在上有解， 因为，所以， 所以，即. 故选：B 7．已知点A的坐标为，点P是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点P的个数是________． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①；②；③；分三种情况进行讨论求解． 【详解】①，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、； ②，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、； ③，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、． 故答案为6 【点睛】本题考查抛物线的对称性运用，考查学生分析问题的能力，注意分情况讨论． 8．（25-26高二上·江苏·月考）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 抛物线与圆的综合应用题型01 1．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 2．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 3．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    4．已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据圆和抛物线的对称性可知公共点为原点，利用抛物线焦半径公式求解即可. 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点. 设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个， 由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得. 5．已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以. 故选：B.    6．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 8．设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为_________． 【答案】 【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案. 【详解】令圆为且，抛物线， 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有1个公共点，    若，它们没有公共点，    若，它们恒有2个公共点，    所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设； 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有3个公共点，    若，它们恒有2个公共点，    若，它们可能0个或2个或4个公共点，    所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：讨论，，结合的取值、数形结合判断圆与抛物线交点个数. 焦半径与焦点弦题型02 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 2．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 3．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 4．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 5．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 6．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 7．（24-25高二下·上海·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 8．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 抛物线几何性质的实际应用题型03 1．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 2．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点， ， 若的最小值不在处取得，则圆不过原点， 所以，即，此时圆半径为． 因此当时，圆无法触及抛物线的顶点． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为，抛物线上点的坐标为，求出，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论． 3．（25-26高二上·重庆·月考）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 4．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析轴截面，当小球圆心和点距离最小时，即点为时，分析圆心坐标符合的二次函数对称轴在轴左侧位置时的半径范围. 【详解】设小球的圆心为，抛物线上任意一点 满足.圆心到点的距离的平方 . 若的最小值在点为即时取到，则小球触及杯底， 所以此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧即，， . 故答案为： 5．如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______  . 【答案】 【分析】根据题意分析可得：圆与只有一个交点，圆与只有两个交点，分别联立方程分析运算. 【详解】如图，由题意可得： 圆与只有一个交点， 联立方程，消去x得，解得或， 故，则， 圆与只有两个交点， 联立方程，消去x得， ∵，可得若有根，则两根同号， 根据题意可知：有且仅有一个正根， 故，则可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解. 6．某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 【答案】(1)； (2)米. 【分析】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，分析抛物线所过点的坐标即可代入求解； （2）过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点，求出点的纵坐标，然后可得，结合实际意义可得. 【详解】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知，抛物线的标准方程为，且过点， 则，解得，由实际意义可知，， 所以该抛物线形拱门的方程为. （2）由对称性可知，当货车的左右两侧的车厢距离抛物线的对称轴米时，可通过的车辆高度最大. 过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点， 令，代入得， 所以，由实际意义可知货车车厢的最大允许高度为米. 7．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)8米 (2)13.9米. 【分析】（1）合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，根据题意求出参数，令即可求出水面宽度； （2）当时，求出拱顶与船顶的最近距离，加上船在水面以上的高度即令，从而求出水面的宽度. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 8．（25-26高二·上海·质检）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【答案】(1) (2)车辆的限制高度为3.8米． 【分析】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 抛物线与其他圆锥曲线的综合题型01 1．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答. 【详解】依题意，，则由解得， 所以点的横坐标为3. 故选：A 2．（24-25高二下·广西桂林·月考）双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 3．以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．或4 B． C．或4 D．4 【答案】A 【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解. 【详解】双曲线的右顶点坐标为，焦点为， 渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离为， 所以题中圆的方程为， 因为圆和抛物线的图象都关于轴对称， 所以两点关于轴对称， 不妨设点在第一象限，设，则， 则，所以， 因为点在圆上， 所以，解得或， 所以或， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.    故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于轴对称，得出两点关于轴对称，求得点的坐标，是解决本题的关键. 4．（24-25高二上·重庆·联考）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，则都是等腰直角三角形. 可求出.M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：C. 5．已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程求出作和的坐标，由对称性设出的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出的纵坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率的方程，即可得到该椭圆的离心率. 【详解】解：由题意得，椭圆，为半焦距）， 的左焦点为，右顶点为，则， 抛物线与椭圆交于两点， 两点关于轴对称，可设， 四边形是菱形， ，则， 将代入抛物线方程得，， ，则不妨设， 再代入椭圆方程，化简得， 由，即有， 解得或（舍去）， 故选：D 6．有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知椭圆：）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 新定义问题题型02 1．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抛物线的开口方向与大小 题型02 抛物线的范围与最值 题型03 抛物线的对称性及其应用 B组 能力进阶 题型01 抛物线与圆的综合应用 题型02 焦半径与焦点弦 题型03 抛物线几何性质的实际应用 C组 思维拔高 题型01 抛物线与其他圆锥曲线的综合 题型02 新定义问题 抛物线的开口方向与大小题型01 1．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 2．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 5．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 6．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________. 7．抛物线的准线方程是，则实数___________. 8．（24-25高三上·北京·期中）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是_______，得到的一个抛物线标准方程是_______. 抛物线的范围与最值题型02 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 4．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 7．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 8．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 抛物线的对称性及其应用题型03 1．下列曲线中，不可能存在内接正方形的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 5．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，已知点，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 7．已知点A的坐标为，点P是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点P的个数是________． 8．（25-26高二上·江苏·月考）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 抛物线与圆的综合应用题型01 1．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线：与圆：）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 3．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 5．已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 6．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 8．设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为_________． 焦半径与焦点弦题型02 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则    ） A． B． C． D． 2．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 4．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 5．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 7．（24-25高二下·上海·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 8．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 抛物线几何性质的实际应用题型03 1．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是______． 5．如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______  . 6．某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 7．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 8．（25-26高二·上海·质检）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 抛物线与其他圆锥曲线的综合题型01 1．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·广西桂林·月考）双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．或4 B． C．或4 D．4 4．（24-25高二上·重庆·联考）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 5．已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知椭圆：）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 新定义问题题型02 1．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $