二次函数图像的交点问题 专题复习讲义2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数图像的交点问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 交点既要同时满足两个图像的表达式，也要落在题目保留的范围内。先求候选横坐标，再检查范围和端点，最后按不同坐标计数。 本专题从整条抛物线出发，依次研究有限线段、射线、分段与翻折图像，以及抛物线与多边形边界的公共点。 一、整条图像的交点与联立方程 1 二、水平线与抛物线的交点（限定范围） 2 三、线段、射线与竖直线段 3 四、斜直线参数与有效根的位置 5 五、分段图像的交点问题 6 六、沿水平线翻折后的交点 7 七、保留右半图像再关于纵轴对称 8 八、多条边界与特殊位置的计数 10 A组 基础训练 11 B组 能力突破 15 C组 综合提升 18 D组 2025—2026年中考真题 22 一、整条图像的交点与联立方程 对于抛物线（与非竖直直线交点横坐标满足判别式大于、等于、小于分别对应两个、一个、零个不同交点；只有整条图像都保留时，才能直接这样计数。 横坐标求出后，代入较简单的表达式求纵坐标。两个相等的根只给出同一个点；直线与整条抛物线总有一个交点这不属于相切。 两条抛物线联立后，先整理再看方程。二次项可能抵消，剩下一次方程；也可能得到不成立的等式，或两式完全相同。两条不同的抛物线至多有两个交点；两条图像完全重合时有无数个公共点。 小例子：与联立得只有交点与没有公共点。 例1、已知抛物线与直线 （1）当时，求交点坐标； （2）当两图像分别有两个、一个、零个公共点时，求的范围或值。 变式1-1、抛物线与直线的交点是____。 变式1-2、求抛物线与抛物线的公共点坐标。 变式1-3、抛物线与图像（有无数个公共点，则____；当时，公共点有____个。 二、水平线与抛物线的交点（限定范围） 抛物线只保留一部分时，求得的每个横坐标都要与范围核对。符号包含端点，不包含端点。两图都有范围限制时，要同时满足。 水平线上下移动时，先标出顶点高度和两端高度，再按顶点把曲线分成左右两支。每一支在同一高度至多贡献一个点；顶点属于同一个点，不能算两次。 交点个数改变的高度，要单独代入检查；删去一个端点不等于删去这一高度上的全部交点。另一支可能还有一个有效点。 小例子：只取与交于与没有交点，因为在范围外，不含。 例2、函数只保留的部分。求直线与这部分图像的公共点个数随变化的情况。 变式2-1、函数只保留的部分。直线与该图像恰有两个公共点，则的范围为____。 变式2-2、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有一个公共点，求的范围或值。 变式2-3、图像由抛物线上满足或的部分组成。它与直线恰有两个公共点，则的范围为（　）。 A． B． C． D． 三、线段、射线与竖直线段 线段不竖直时，先求所在直线，再限制交点横坐标位于两个端点横坐标之间。射线要由起点和方向确定范围；不能只求射线所在直线的交点。 竖直线段上所有点的横坐标相同。把这个横坐标代入抛物线，再检查所得纵坐标是否落在线段两端的纵坐标之间即可。 “只有一个交点”不一定表示相切：另一个交点可能在范围外，也可能是被删去的端点。若求移动线段的位置，可先求固定的两个候选点，再逐个确定线段包含它们的参数范围。 小例子：与交于只取直线的部分后，仅保留虽只有一个点，却不是相切。 例3、已知抛物线为 （1）求抛物线与线段的公共点； （2）从出发沿横坐标增大的方向作射线，方向与直线一致， 求该射线与抛物线的公共点。 变式3-1、线段的端点为它与抛物线有公共点， 则的范围为____。 变式3-2、在直线上取线段其中该线段与抛物线恰有一个公共点，求的范围。 变式3-3、在直线上，从点出发沿横坐标减小的方向作射线，取该射线上除点以外的部分。该部分与抛物线恰有一个公共点，求的范围。 四、斜直线参数与有效根的位置 把抛物线的纵坐标减去直线的纵坐标，得到新的二次式给交点，表示抛物线在直线上方，表示在下方。这里比较的是同一个横坐标。 在闭区间内，若与异号，恰有一个交点在内部； 若一个端点值为还须检查另一个根。两端同号时，可能没有交点，也可能有一个相切点或两个交点，不能只看端点。 求参数范围时，先寻找交点经过端点、两根相等这几类临界情况。每个临界值都要代回；相切点若在保留范围外，也不能计入。 能因式分解时，直接筛根通常比对判别式反复分类简洁。 小例子：在部分与联立得临界高度为既有相切产生的临界值，也有端点产生的临界值。 例4、抛物线只保留的部分。 直线与这部分图像恰有一个公共点，求的范围。 变式4-1、抛物线只保留的部分。 直线与该图像有公共点，则的范围为____。 变式4-2、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有两个不同公共点，求的范围。 变式4-3、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有两个不同公共点，求的范围。 五、分段图像的交点问题 分段图像的每个表达式都要连同后面的自变量范围一起使用。先分别联立，再分别筛根，最后把有效点合在一起。相同坐标无论来自几段，都只算一个公共点。 两段共享的横坐标不一定对应同一点：还要比较纵坐标。若题目给的是函数，同一个横坐标只允许一个函数值；若给的是若干曲线组成的图形，则同一竖线上可能有多个点。 若某一段是直线，而比较的直线恰与这一段重合，公共点就有无数个。此时联立后得到恒成立的等式，不可仍记成一个点。 小例子：左段（，右段（。与的有效横坐标为共三个点。 例5、图像由（和（两段组成。求直线与分别有两个、三个、四个不同公共点时的范围或值。 变式5-1、图像由（和（组成。直线与该图像的 公共点个数为（　）。 A．0 B．1 C．2 D．无数个 变式5-2、图像由（和（组成。 求它与恰有一个公共点时的范围。 变式5-3、图形由（和（组成。直线与恰有两个不同公共点，则的范围为____。 六、沿水平线翻折后的交点 设原函数为把轴下方的部分翻到上方，其余不变，得到与水平线相交时，先要求再分别解与当时这两式相同，根不能重复计算。 沿水平线把其下方翻到上方，表达式为把其上方翻到下方，则为先写清翻折轴和翻折的一侧，再分段。 遇到斜直线，要在各段分别联立，并核对段的范围。除相切外，直线经过翻折接点也可能改变公共点个数。不能只把两个判别式相加计数。 小例子：与给出或共三个点；与只有不是四个点。 例6、把抛物线位于轴下方的部分沿轴翻到上方，其余部分不变，得到图像求水平线与的不同公共点个数。 变式6-1、把抛物线在直线上方的部分向下翻折，其余不变。所得图像与恰有四个不同公共点，则的范围为____。 变式6-2、函数只保留的部分。 求直线与它恰有两个不同公共点时的范围。 变式6-3、求直线与函数图像的全部公共点坐标。 七、保留右半图像再关于纵轴对称 保留原函数在的部分，再把这部分关于轴对称到左侧。它与不同：前者改变自变量，后者改变函数值的符号。 求与水平线的交点，可先令求有效的每个正数对应两个横坐标只对应横坐标为的一个交点，负数无效。 与斜直线相交时，右半图用左半图可令分别求非负根。两边在处若均被计入，仍要去重。 小例子：与相交：或得到共三点。 例7、函数与直线相交。 求恰有四个、三个、两个不同公共点时的范围或值。 变式7-1、函数与水平线恰有一个公共点，则____。 变式7-2、求直线与函数图像的公共点坐标。 变式7-3、函数只保留的部分。 它与恰有三个不同公共点，求的范围。 八、多条边界与特殊位置的计数 抛物线与矩形、三角形等图形的边界相交时，逐边列条件。水平边检查横坐标，竖直边检查纵坐标，斜边既联立又筛线段范围。 把各边得到的点汇总后，顶点处的重复坐标只保留一次。 参数改变时，交点经过图形顶点、抛物线与某条边相切，通常是需要检查的临界位置。几何图仅用于展示位置，准确的等号与不等号仍由方程和范围确定。 比较两条有限曲线时也采用相同顺序：先找共同允许的横坐标，再求交点。 若两曲线表达式相同且共同范围含一整段，就有无数个公共点；若共同范围只剩一个端点，则只有一个公共点。 小例子：正方形四条边在角点相接。曲线经过一个角点时，虽然分别在两条边的计算中出现，仍只是一个公共点。 例8、矩形的顶点依次为求抛物线与矩形边界的全部公共点坐标。 变式8-1、矩形的顶点依次为抛物线与该矩形边界的不同公共点个数为（　）。 A．1 B．2 C．3 D．5 变式8-2、三角形的顶点为 求抛物线与三角形边界的公共点。 变式8-3、图像为（，图像为（。若两图像恰有一个公共点，求的值。 A组 基础训练 A1、抛物线在的部分与直线的公共点个数为（　）。 A． B． C． D．无数个 A2、抛物线只保留的部分。该图像与直线有（　）个公共点，与直线有（　）个公共点。 A3、已知 （1）求抛物线与线段的公共点； （2）若去掉线段的两个端点，只保留之间的部分， 求它与该抛物线的公共点个数。 A4、函数的图像只保留的部分。直线与该图像恰有一个公共点，则的取值范围是（　）。 A． B． C． D．为任意实数 A5、关于的方程有四个不同实数根则____。 A6、函数图像由（和（两部分组成。分别求该图像与直线的公共点个数，并写出公共点坐标。 A7、抛物线与的不同公共点个数为（　）。 A．0 B．1 C．2 D．无数个 A8、函数的图像与直线总有一个固定公共点，其坐标为____。 A9、抛物线与直线交于两点，在左侧。求线段的中点坐标。 B组 能力突破 B1、抛物线只保留的部分。 直线与该图像恰有一个公共点，求的取值范围。 B2、线段的端点为其中为实数。线段与抛物线恰有一个公共点，求的取值范围。 图示为线段的一种位置。 B3、在直线上取点从出发沿横坐标增大的方向作射线（含端点。该射线与抛物线恰有一个公共点，则的取值范围是（　　　　　　）。 图示为射线的一种位置。 B4、抛物线只保留的部分。把这部分图像中位于直线下方的部分沿直线翻折到上方，其余部分不变，得到图像求直线与恰有三个不同公共点时的取值范围。 B5、图像由（和（两段组成，其中若直线与恰有三个不同公共点，求的范围。 图示为其中一种位置。 B6、函数图像由（与（组成。下列的值中，使直线与该图像恰有一个公共点的是（　）。 A． B． C． D． B7、抛物线与直线的两个交点都位于直线的左侧，则的范围为____。 B8、抛物线与直线有两个不同交点，且两交点都在轴右侧，求的范围。 B9、图像为（。 直线与恰有一个公共点，则的范围是（　）。 A． B． C． D． C组 综合提升 C1、直线与函数的图像恰有三个不同公共点， 则的值为（　　　　　　）。 C2、已知函数 （1）求该图像与直线的公共点； （2）直线与该图像分别有四个、三个不同公共点时，求的取值范围或值。 C3、正方形的顶点依次为抛物线随实数变化。 （1）当时，分别求抛物线与正方形四条边的不同公共点个数； （2）抛物线与正方形四条边恰有四个不同公共点，求的取值范围。 C4、抛物线只保留的部分，其中已知这部分图像与有两个公共点，与有一个公共点，与没有公共点。 求必须满足的全部条件。 C5、图像由抛物线上和两部分组成。直线与该图像恰有一个公共点，则的范围为____。 C6、两条抛物线与有两个不同公共点，且这两个点的横坐标均在内。求的范围。 C7、图像为（，图像为（。两图像有公共点，则的范围或值为（　）。 A． B．或 C． D． C8、图像由（与（组成。求直线与的不同公共点个数随变化的情况。 D组 2025—2026年中考真题 D1、（2026年四川省南充市中考第10题）已知抛物线与过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为如果 则的值为（　）。 A．或 B．或 C．或 D．或 D2、（2026年四川省南充市中考第15题）抛物线与轴交于两点，且则的值为________。 D3、（2025年江苏省扬州市中考第27题第（3）问 节选）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为与轴交于点与轴交于点二次函数的图象（记为经过点直线与两个图象分别交于点与轴交于点 （3）设点到直线的距离分别为 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个。 D4、（2025年浙江省中考第23题第（1）（2）问 节选）已知抛物线（为常数）经过点 （1）求的值。 （2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点， 求的值。 D5、（2025年四川省成都市中考第26题第（2）问 节选）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 且对称轴为直线 直线 与抛物线交于 两点，与 轴交于点 （2）当 时，直线 与 轴交于点 与直线 交于点 若抛物线 与线段 有公共点，求 的取值范围。 D6、（2026年湖北省中考第24题第（3）问 节选）抛物线与轴交于点和点与轴交于点点在直线上，设点的横坐标为 （3）点在直线上且位于点的右上方，过点分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形若四边形的边与抛物线有两个交点记的纵坐标之和为 ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值。 图示为四边形的一种位置。 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数图像的交点问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 交点既要同时满足两个图像的表达式，也要落在题目保留的范围内。先求候选横坐标，再检查范围和端点，最后按不同坐标计数。 本专题从整条抛物线出发，依次研究有限线段、射线、分段与翻折图像，以及抛物线与多边形边界的公共点。 一、整条图像的交点与联立方程 1 二、水平线与抛物线的交点（限定范围） 2 三、线段、射线与竖直线段 3 四、斜直线参数与有效根的位置 4 五、分段图像的交点问题 5 六、沿水平线翻折后的交点 6 七、保留右半图像再关于纵轴对称 7 八、多条边界与特殊位置的计数 8 A组 基础训练 10 B组 能力突破 14 C组 综合提升 18 D组 2025—2026年中考真题 21 一、整条图像的交点与联立方程 对于抛物线（与非竖直直线交点横坐标满足判别式大于、等于、小于分别对应两个、一个、零个不同交点；只有整条图像都保留时，才能直接这样计数。 横坐标求出后，代入较简单的表达式求纵坐标。两个相等的根只给出同一个点；直线与整条抛物线总有一个交点这不属于相切。 两条抛物线联立后，先整理再看方程。二次项可能抵消，剩下一次方程；也可能得到不成立的等式，或两式完全相同。两条不同的抛物线至多有两个交点；两条图像完全重合时有无数个公共点。 小例子：与联立得只有交点与没有公共点。 例1、已知抛物线与直线 （1）当时，求交点坐标； （2）当两图像分别有两个、一个、零个公共点时，求的范围或值。 【解析】（1）得代入交点为 （2）联立得判别式为两个点时一个点时没有点时 变式1-1、抛物线与直线的交点是____。 【解析】固定得故交点为 变式1-2、求抛物线与抛物线的公共点坐标。 【解析】联立后抵消，得所以只有公共点 变式1-3、抛物线与图像（有无数个公共点，则____；当时，公共点有____个。 【解析】重合须且故 当时，联立得无实数解，公共点有个。 二、水平线与抛物线的交点（限定范围） 抛物线只保留一部分时，求得的每个横坐标都要与范围核对。符号包含端点，不包含端点。两图都有范围限制时，要同时满足。 水平线上下移动时，先标出顶点高度和两端高度，再按顶点把曲线分成左右两支。每一支在同一高度至多贡献一个点；顶点属于同一个点，不能算两次。 交点个数改变的高度，要单独代入检查；删去一个端点不等于删去这一高度上的全部交点。另一支可能还有一个有效点。 小例子：只取与交于与没有交点，因为在范围外，不含。 例2、函数只保留的部分。求直线与这部分图像的公共点个数随变化的情况。 【解析】顶点高度为左右端点高度为右端点不保留。 或时没有公共点；时只有顶点；时两支各一点，共点。 时只保留时也只有左支一点。所以恰有一个点时或 变式2-1、函数只保留的部分。直线与该图像恰有两个公共点，则的范围为____。 【解析】两支都有效要求的两根为均保留； 两根相同，只算一个点。 变式2-2、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有一个公共点，求的范围或值。 【解析】顶点在范围内，两端高度为时只有右支一点；时两点；时两点；时顶点一点。故或 变式2-3、图像由抛物线上满足或的部分组成。它与直线恰有两个公共点，则的范围为（　）。 A． B． C． D． 【解析】两段关于轴对称，均取到高度而不取高度故选B。 三、线段、射线与竖直线段 线段不竖直时，先求所在直线，再限制交点横坐标位于两个端点横坐标之间。射线要由起点和方向确定范围；不能只求射线所在直线的交点。 竖直线段上所有点的横坐标相同。把这个横坐标代入抛物线，再检查所得纵坐标是否落在线段两端的纵坐标之间即可。 “只有一个交点”不一定表示相切：另一个交点可能在范围外，也可能是被删去的端点。若求移动线段的位置，可先求固定的两个候选点，再逐个确定线段包含它们的参数范围。 小例子：与交于只取直线的部分后，仅保留虽只有一个点，却不是相切。 例3、已知抛物线为 （1）求抛物线与线段的公共点； （2）从出发沿横坐标增大的方向作射线，方向与直线一致， 求该射线与抛物线的公共点。 【解析】（1）直线为联立得两根都在线段范围内，公共点为 （2）射线的范围为只有符合，公共点为 变式3-1、线段的端点为它与抛物线有公共点， 则的范围为____。 【解析】时须得 变式3-2、在直线上取线段其中该线段与抛物线恰有一个公共点，求的范围。 【解析】候选横坐标为两点横向距离线段不可能同时含两点。 含左点时含右点时这两个范围的并即为所求。 变式3-3、在直线上，从点出发沿横坐标减小的方向作射线，取该射线上除点以外的部分。该部分与抛物线恰有一个公共点，求的范围。 【解析】候选横坐标为射线要求只保留而不保留时，端点不含，故时没有点，时仍只有一点。 四、斜直线参数与有效根的位置 把抛物线的纵坐标减去直线的纵坐标，得到新的二次式给交点，表示抛物线在直线上方，表示在下方。这里比较的是同一个横坐标。 在闭区间内，若与异号，恰有一个交点在内部； 若一个端点值为还须检查另一个根。两端同号时，可能没有交点，也可能有一个相切点或两个交点，不能只看端点。 求参数范围时，先寻找交点经过端点、两根相等这几类临界情况。每个临界值都要代回；相切点若在保留范围外，也不能计入。 能因式分解时，直接筛根通常比对判别式反复分类简洁。 小例子：在部分与联立得临界高度为既有相切产生的临界值，也有端点产生的临界值。 例4、抛物线只保留的部分。 直线与这部分图像恰有一个公共点，求的范围。 【解析】联立得两根乘积为所以一正一负，负根无效。 设正根为式子在处为在处为开口向上且负根小于正根恰好对应因此 时交点为时正根位于均恰有一个点。 变式4-1、抛物线只保留的部分。 直线与该图像有公共点，则的范围为____。 【解析】联立式一正根一负根，只有正根可能有效。正根严格小于等价于故 变式4-2、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有两个不同公共点，求的范围。 【解析】联立得保留范围全在对称轴右侧，函数在此范围严格递增，至多有一个有效根。因此不存在符合条件的 变式4-3、抛物线只保留的部分。直线与该图像恰有两个不同公共点，求的范围。 【解析】联立得根为总在范围内；另一个根须且故或 五、分段图像的交点问题 分段图像的每个表达式都要连同后面的自变量范围一起使用。先分别联立，再分别筛根，最后把有效点合在一起。相同坐标无论来自几段，都只算一个公共点。 两段共享的横坐标不一定对应同一点：还要比较纵坐标。若题目给的是函数，同一个横坐标只允许一个函数值；若给的是若干曲线组成的图形，则同一竖线上可能有多个点。 若某一段是直线，而比较的直线恰与这一段重合，公共点就有无数个。此时联立后得到恒成立的等式，不可仍记成一个点。 小例子：左段（，右段（。与的有效横坐标为共三个点。 例5、图像由（和（两段组成。求直线与分别有两个、三个、四个不同公共点时的范围或值。 【解析】两段的高度都在与之间。时为两个顶点，共点；时每段两点，横坐标不同，共点。 时分别得到横坐标及接点只计一次，共点。其余高度没有交点。 因此两个点时三个点时四个点时 变式5-1、图像由（和（组成。直线与该图像的 公共点个数为（　）。 A．0 B．1 C．2 D．无数个 【解析】非负半轴上的整条射线都重合，所以有无数个公共点，选D。 变式5-2、图像由（和（组成。 求它与恰有一个公共点时的范围。 【解析】左段在时各有一点；右段在时各有一点，所得不在右段。故时恰有一点。 变式5-3、图形由（和（组成。直线与恰有两个不同公共点，则的范围为____。 【解析】须两纵坐标为和相等时即应排除。故 六、沿水平线翻折后的交点 设原函数为把轴下方的部分翻到上方，其余不变，得到与水平线相交时，先要求再分别解与当时这两式相同，根不能重复计算。 沿水平线把其下方翻到上方，表达式为把其上方翻到下方，则为先写清翻折轴和翻折的一侧，再分段。 遇到斜直线，要在各段分别联立，并核对段的范围。除相切外，直线经过翻折接点也可能改变公共点个数。不能只把两个判别式相加计数。 小例子：与给出或共三个点；与只有不是四个点。 例6、把抛物线位于轴下方的部分沿轴翻到上方，其余部分不变，得到图像求水平线与的不同公共点个数。 【解析】新图像为时无点；时共点。 时分别解和时各有两根且互不重合，共点；时后一式只有根共点；时后一式无根，只剩点。 变式6-1、把抛物线在直线上方的部分向下翻折，其余不变。所得图像与恰有四个不同公共点，则的范围为____。 【解析】所得图像为需使与各有两不同根，故 变式6-2、函数只保留的部分。 求直线与它恰有两个不同公共点时的范围。 【解析】时只有时两点；时仍两点；时只有一个根。故 变式6-3、求直线与函数图像的全部公共点坐标。 【解析】外侧或时，得均有效。 中间时，得均有效。接点只计一次，故交点为 七、保留右半图像再关于纵轴对称 保留原函数在的部分，再把这部分关于轴对称到左侧。它与不同：前者改变自变量，后者改变函数值的符号。 求与水平线的交点，可先令求有效的每个正数对应两个横坐标只对应横坐标为的一个交点，负数无效。 与斜直线相交时，右半图用左半图可令分别求非负根。两边在处若均被计入，仍要去重。 小例子：与相交：或得到共三点。 例7、函数与直线相交。 求恰有四个、三个、两个不同公共点时的范围或值。 【解析】令则无解。 时给出两点；时均为正数，给出四点。 时给出三点；时只保留正数两点。 所以四点时三点时两点时或 变式7-1、函数与水平线恰有一个公共点，则____。 【解析】仅有即有一正数对应两点。故 变式7-2、求直线与函数图像的公共点坐标。 【解析】函数值非负，因此交点必有方程为即 两根均为正数。交点为和 变式7-3、函数只保留的部分。 它与恰有三个不同公共点，求的范围。 【解析】时四个候选横坐标为前三个有效，最后一个大于共三点。 只有两点；只有有效，不含、越界；没有有效根。故 八、多条边界与特殊位置的计数 抛物线与矩形、三角形等图形的边界相交时，逐边列条件。水平边检查横坐标，竖直边检查纵坐标，斜边既联立又筛线段范围。 把各边得到的点汇总后，顶点处的重复坐标只保留一次。 参数改变时，交点经过图形顶点、抛物线与某条边相切，通常是需要检查的临界位置。几何图仅用于展示位置，准确的等号与不等号仍由方程和范围确定。 比较两条有限曲线时也采用相同顺序：先找共同允许的横坐标，再求交点。 若两曲线表达式相同且共同范围含一整段，就有无数个公共点；若共同范围只剩一个端点，则只有一个公共点。 小例子：正方形四条边在角点相接。曲线经过一个角点时，虽然分别在两条边的计算中出现，仍只是一个公共点。 例8、矩形的顶点依次为求抛物线与矩形边界的全部公共点坐标。 【解析】底边得到在线段内。顶边得到只有故保留 左边得到保留右边得到舍去。三点互不重合，故公共点为 变式8-1、矩形的顶点依次为抛物线与该矩形边界的不同公共点个数为（　）。 A．1 B．2 C．3 D．5 【解析】底边给顶边给也是两竖边各自得到的点。 合并后共三个点，选C。 变式8-2、三角形的顶点为 求抛物线与三角形边界的公共点。 【解析】底边给边为（，联立得保留边为（，联立得保留故共有上述三个点。 变式8-3、图像为（，图像为（。若两图像恰有一个公共点，求的值。 【解析】两段位于同一抛物线上，公共点对应两个范围的共同部分。恰好一个点，须仅有一个公共端点：或故或 若两个范围有正长度的重叠，则有无数个公共点。 A组 基础训练 A1、抛物线在的部分与直线的公共点个数为（　）。 A． B． C． D．无数个 【解析】A。 由得或前者小于后者不满足均舍去，故没有公共点。 A2、抛物线只保留的部分。该图像与直线有（　）个公共点，与直线有（　）个公共点。 【解析】 时，均保留；时，只保留闭区间的两个端点分别在不同水平线上，都不能漏计。 A3、已知 （1）求抛物线与线段的公共点； （2）若去掉线段的两个端点，只保留之间的部分， 求它与该抛物线的公共点个数。 【解析】（1）（2）个。 设直线为代入两点，得解得 联立即得两个点恰为端点去掉两端点后，没有公共点。 A4、函数的图像只保留的部分。直线与该图像恰有一个公共点，则的取值范围是（　）。 A． B． C． D．为任意实数 【解析】B。 时，公共点为顶点时，只有符合时无公共点。因此 A5、关于的方程有四个不同实数根则____。 【解析】四个不同实数根分属和每式各有两个根。因此四根平方和为 A6、函数图像由（和（两部分组成。分别求该图像与直线的公共点个数，并写出公共点坐标。 【解析】与有个；与有个。 时，左段的根为只有有效；右段的根为有效。故公共点为 时，左段的有效；右段算得的不符合故只有一个公共点。 A7、抛物线与的不同公共点个数为（　）。 A．0 B．1 C．2 D．无数个 【解析】联立得判别式为故有两个不同公共点，选C。 A8、函数的图像与直线总有一个固定公共点，其坐标为____。 【解析】联立得无论取何值，都成立；固定点为 A9、抛物线与直线交于两点，在左侧。求线段的中点坐标。 【解析】联立得交点中点坐标为 B组 能力突破 B1、抛物线只保留的部分。 直线与该图像恰有一个公共点，求的取值范围。 【解析】或 联立得且记则顶点高度为左右端点高度分别为 时，有一个重根符合范围；时，两个根都在内；时，只有较大根有效；其余没有有效根。 故或特别地， 时根为有两个点；时根为只有右端点有效。 B2、线段的端点为其中为实数。线段与抛物线恰有一个公共点，求的取值范围。 图示为线段的一种位置。 【解析】或 直线与抛物线相交于 线段包含前一点，等价于即包含后一点，等价于即 两点同时在线段上的参数只有应排除。故或 B3、在直线上取点从出发沿横坐标增大的方向作射线（含端点。该射线与抛物线恰有一个公共点，则的取值范围是（　　　　　　）。 图示为射线的一种位置。 【解析】 联立得射线的横坐标范围是 时两点均有效；时只保留时两点均无效。故 B4、抛物线只保留的部分。把这部分图像中位于直线下方的部分沿直线翻折到上方，其余部分不变，得到图像求直线与恰有三个不同公共点时的取值范围。 【解析】 所得图像为 当时，内侧方程给出两个在内的根；外侧方程的左根小于右根在内，故共点。 时只有两个折点；时内侧只有外侧只有右根共点；时只有外侧右根一个；或时无点。故 B5、图像由（和（两段组成，其中若直线与恰有三个不同公共点，求的范围。 图示为其中一种位置。 【解析】左段给出两个点均有效。 右段的候选横坐标为它们与左段两个点均不重合。 恰有三个不同公共点，要求右段只保留较小根所以当时端点计入；时增加第四个点，须排除。 B6、函数图像由（与（组成。下列的值中，使直线与该图像恰有一个公共点的是（　）。 A． B． C． D． 【解析】D。 负半支满足其中无效；只有时，才有效。 非负半支满足时只有原点；时整条非负射线与直线重合，有无数公共点。 所以时有点；且时有点；时有无数点。四个选项中只有符合。 B7、抛物线与直线的两个交点都位于直线的左侧，则的范围为____。 【解析】交点横坐标为两点不同要求较大根小于要求即故 B8、抛物线与直线有两个不同交点，且两交点都在轴右侧，求的范围。 【解析】联立得两根乘积为判别式得或两根同号，根和须为正，因此 B9、图像为（。 直线与恰有一个公共点，则的范围是（　）。 A． B． C． D． 【解析】联立得在上该式严格递减，恰好取遍每个值只对应一个故选B。 C组 综合提升 C1、直线与函数的图像恰有三个不同公共点， 则的值为（　　　　　　）。 【解析】或 记则外侧或时，中间时， 左外段从正无穷降到中间先升到再降到右外段从递增。按不同横坐标合并后： 时点；时只有原图接点点；时点；时点；时点；时点；时点。 时，原交点为时，中间相切一个点，两外段各一个点。故或 C2、已知函数 （1）求该图像与直线的公共点； （2）直线与该图像分别有四个、三个不同公共点时，求的取值范围或值。 【解析】（1）（2）四点时三点时 （1）由得或从而得到所列四点。 （2）时，联立得时，令得在处，原函数值为而直线值为所以两段没有重复交点。 考察的非负根。时，左边在恒正，无有效根；时，须才有实根。时，只有一个根时，两根均为正数，贡献两个点。 因此右段有两点的条件为等号时一处相切；左段有两点的条件为等号时一处相切。 又故四点时三点时 其余均为两点。 C3、正方形的顶点依次为抛物线随实数变化。 （1）当时，分别求抛物线与正方形四条边的不同公共点个数； （2）抛物线与正方形四条边恰有四个不同公共点，求的取值范围。 【解析】（1）分别为个、个；（2） 两竖边的横坐标为对应高度均为当时，每条竖边各有一个点。 底边给出有效条件为时有两个内部点；时为两底角；时只有底边中点。 顶边给出有效条件为时有两个内部点；时为两顶角；时只有顶边中点。 （1）时底边与竖边算到的是同一对角点，只有两点；时为竖边中点两个及共三个点。 （2）时，竖边各一个点、底边内部两个点，互不重合，恰有四点。其他范围：或时点；时点；时点；时点（的角点只计一次）；时点。故所求为 C4、抛物线只保留的部分，其中已知这部分图像与有两个公共点，与有一个公共点，与没有公共点。 求必须满足的全部条件。 【解析】对应两点均保留，故 对应区间已包含要两点均排除，须 对应若保留而舍去则若舍去而保留则分别与前面条件合并，得两组条件：且或且 反向代入，每组都满足三条水平线的计数要求，故条件充分且必要。 C5、图像由抛物线上和两部分组成。直线与该图像恰有一个公共点，则的范围为____。 【解析】联立得两根乘积为有实根时同号；判别式故或 若两根均为正数，一根不大于另一根不小于时只有重根有效；时小根小于只有大根可能落在内。由二次式在处的值且小根小于得大根不超过故 若令方程变为对应负段的条件为同理，只有大根可能有效（时为重根，由处的值得 因此或各端点均产生一个有效交点，所以等号都保留。 C6、两条抛物线与有两个不同公共点，且这两个点的横坐标均在内。求的范围。 【解析】联立得横坐标为两根不同且均在内，等价于故 C7、图像为（，图像为（。两图像有公共点，则的范围或值为（　）。 A． B．或 C． D． 【解析】公共点的横坐标须同时符合两个范围，即联立得 当时，两表达式相同，在部分重合，有无数个公共点。当时，唯一候选横坐标为须即故选B。 C8、图像由（与（组成。求直线与的不同公共点个数随变化的情况。 【解析】左段方程原点总有效，另一个根仅在时增加一个点。右段方程无效，根仅在时有效。 当时共有三个不同点；时只有原点。特别地时两式都只给仍是一个点。 D组 2025—2026年中考真题 D1、（2026年四川省南充市中考第10题）已知抛物线与过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为如果 则的值为（　）。 A．或 B．或 C．或 D．或 【解析】设直线为题目给出除原点以外的交点，故且 联立后，两个非零交点的横坐标分别为两点都在过原点的同一直线上，由相似三角形可知， 所以或解得或两值均满足条件，选A。 交点可以在原点同侧，也可以在原点两侧；距离为正数，不能漏掉绝对值对应的一种情况。 D2、（2026年四川省南充市中考第15题）抛物线与轴交于两点，且则的值为________。 【解析】令两交点的横坐标为由根与系数的关系， 因为两点都在轴上，所以 由得即所以或两值的判别式都为确有两个不同交点。 D3、（2025年江苏省扬州市中考第27题第（3）问 节选）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为与轴交于点与轴交于点二次函数的图象（记为经过点直线与两个图象分别交于点与轴交于点 （3）设点到直线的距离分别为 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个； 当时，对应的值有________个。 【解析】由得或故把代入得所以 直线为过作直线的垂线，垂足分别为直线与轴成角，故垂直距离等于同横坐标竖直距离的倍。 因此所以 第一空：等价于其中的判别式有两个实数解；的判别式无实数解。因此填 第二空：恒有不可能等于所以填 第三空：等价于即或两个方程的判别式分别为和各有两个不同实数解，且两组解不重合，所以填 第四空：要求除外均有因此符合条件的有无数个。答案依次为无数。 D4、（2025年浙江省中考第23题第（1）（2）问 节选）已知抛物线（为常数）经过点 （1）求的值。 （2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点， 求的值。 【解析】（1）把代入，得所以抛物线为 （2）设因为且为线段的中点，所以 两交点关于对称轴对称，故得代入抛物线，得 此时不同，且确为的中点。 D5、（2025年四川省成都市中考第26题第（2）问 节选）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 且对称轴为直线 直线 与抛物线交于 两点，与 轴交于点 （2）当 时，直线 与 轴交于点 与直线 交于点 若抛物线 与线段 有公共点，求 的取值范围。 【解析】当 时，直线为 故 公共点的横坐标满足 且 令 则 由 得 或 当 时， 随 增大而增大，取值范围为 又 因 在上述区间内，最小值为 比较两端的值 和 最大值为 这一支的取值范围为 合并两个范围，得 当 时，公共点横坐标 当 时，公共点为端点 两端等号均保留。 解析图中为时的公共点，位于线段内部。 D6、（2026年湖北省中考第24题第（3）问 节选）抛物线与轴交于点和点与轴交于点点在直线上，设点的横坐标为 （3）点在直线上且位于点的右上方，过点分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形若四边形的边与抛物线有两个交点记的纵坐标之和为 ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值。 图示为四边形的一种位置。 【解析】由在抛物线上，得所以抛物线为直线为 因为在右上方且直线与轴成角，所以四边形是边长为的正方形，其左右边为下上边为 把记为抛物线的函数值，则比较这两个值与上下边的高度，并结合顶点的位置，即可判定交点在哪两条边上； 角点只计一次。 ①点在线段上，故当时，两个交点分别在下边和右边，纵坐标为和所以 当时，两个交点分别在下边和上边，纵坐标为和所以在处两式均为端点也各有两个不同交点。 ②还要检查点在线段以外的情况。记这是的两个解，即左上角落在抛物线上时的横坐标。 四边形的边恰有两个交点时，在时只有右上角一个交点；在时只有左上角一个交点；这两个范围以外均无交点。区间内部各段的交点位置与如下。 当时，交点在上边与右边， 当时，交点在上边与下边， 当时，交点在左边与下边， 当时，当时，已由①求得。 当时，交点在左边与上边， 上述相邻段在分界点的函数值一致。 逐段令并筛选：第一段的两个代数解均不在该段；第二段得第三段保留 第四段保留第五段的解不在该段；第六段方程无实数解。 所以或或 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $