精品解析：上海市浦东新区群峰高级中学2026-2027学年第一学期高一期中检测数学试卷

上海市浦东新区群峰高级中学2026-2027学年第一学期 高一期中检测·数学 （限时90分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 集合，则________. 【答案】 【解析】 【详解】注意集合元素互异性，. 2. 用有理数指数幂的形式表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分数指数幂与根式的互化以及其运算法则即可得到答案. 【详解】， 故答案为：. 3. 已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】 【详解】. 4. 如果指数函数（且）的图象经过点，那么实数a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】代点计算即可. 【详解】由题可知： 故答案为：3 5. 不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以原不等式等价于 ，解得, 因此原不等式的解集为． 6. 设集合，，若，则的值为______． 【答案】0或1或 【解析】 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 7. 对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【详解】对，恒成立， 因为的系数是，则 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 ． 8. 函数的图像恒过点________________． 【答案】 【解析】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 9. 若，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 10. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为_______万元. 【答案】125 【解析】 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 11. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个根，则判别式非负，之后结合韦达公式对不等式进行化简求解. 【详解】由题意得，解得或. 又，即，故0，解得或. 综上，的取值范围是. 12. 已知，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 二､选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由于，所以，故B错误； 对于C，由可得，又，所以，故C正确； 对于D，由于且，所以，故D错误. 14. 对于正数及正整数，下列各式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可判断. 【详解】由对数运算法则知，，， ，例如，以上式子都不成立， 而满足对数的运算法则，对于正数及正整数恒成立， 故选：D 15. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 16. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. ） 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得，当时等号成立， 由于不等式恒成立，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 三､解答题（本大题共5题，第17~18题每题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据交集的运算求解； （2）由题意可得，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以且， 所以，所以. 当时，不等式可化为， 所以，故， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以， 因为，所以，故， ，可化为，即， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤）． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可计算； （2）利用对数的运算性质即可计算． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 19. 已知关于的不等式. （1）当时，求关于的不等式的解集; （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或. （2）当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集是. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，计算可得； （2）讨论函数开口方向，两根的大小关系可得答案. 【小问1详解】 解:当时，不等式为或， 当时，不等式的解集是或. 【小问2详解】 当时，由， 可得， 当时，不等式为； 当时，或; 当时，或. 综上，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是. 20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 【答案】（1） 当 ， 时，所用篱笆总长最小 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据矩形面积公式得到 ，利用基本不等式求 的最小值及取等条件； （2）将已知等式变形为 ，利用基本不等式 构建关于 的不等式求解. 【小问1详解】 由题意可知，菜园的面积 ，且 ，． 所用篱笆总长 ． 根据基本不等式，可得 将 ,代入上式， 得 ,当且仅当 时，等号成立． 联立 ，解得 , 所以，当 ， 时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意可知，，，且满足 ，即 ． 根据基本不等式，有 ，当且仅当 时等号成立． 所以 ． 令 ()，则 ． 上述不等式可化为 ，即 ． 因为 ，所以 ，故 ，解得 ． 所以 ，即 ． 当且仅当 时，等号成立，此时满足 ． 所以菜园面积最小为 平方米. 21. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图像： （3）已知点与点都在幂函数的图象上.若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题是幂函数，故，解得或， 又图象关于轴对称，即是偶函数， 当时，是奇函数，不满足条件，舍去； 当时，是偶函数，满足条件，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 先画，开口向上的抛物线，顶点，零点， 再将轴下方的部分沿轴翻折到上方即为的图象，图象如下图所示. 【小问3详解】 由题意得，，， ，即有 ，化简整理得， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市浦东新区群峰高级中学2026-2027学年第一学期 高一期中检测·数学 （限时90分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 集合，则________. 2. 用有理数指数幂的形式表示__________． 3. 已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 4. 如果指数函数（且）的图象经过点，那么实数a的值为______． 5. 不等式的解集为_________. 6. 设集合，，若，则的值为______． 7. 对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 8. 函数的图像恒过点________________． 9. 若，则的最小值为____． 10. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为_______万元. 11. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是_________. 12. 已知，若，，则__________． 二､选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 对于正数及正整数，下列各式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 16. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. ） 三､解答题（本大题共5题，第17~18题每题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 18. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤）． （1）； （2）． 19. 已知关于的不等式. （1）当时，求关于的不等式的解集; （2）当时，求关于的不等式的解集. 20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 21. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图像： （3）已知点与点都在幂函数的图象上.若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $