期中复习之解答压轴题（十大题型30道题）-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》（人教版）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中复习之解答压轴题（十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 1 知识点二公式法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 3 知识点三因式分解法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 4 知识点四一元二次方程的根与系数的关系（压轴大题） 6 知识点五一元二次方程的实际应用（压轴大题） 8 知识点六二次函数的图像和性质（压轴大题） 9 知识点七二次函数与一元二次方程的综合（压轴大题） 11 知识点八二次函数的实际应用（压轴大题） 12 知识点九反比例函数的图形性质及实际应用（压轴大题） 14 知识点十图形的旋转问题（压轴大题） 16 知识点一直接开平方法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 1．已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． (1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； (2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标． 3．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点，且与直线l交于点，直线l与y轴正半轴交于点C，且的面积为9． (1)求直线n的函数表达式； (2)点P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)若M是直线l上一动点，在坐标平面内是否存在另一个点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点二公式法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 4．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为． (1)当　　　　　时，四边形为菱形； (2)是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由； (3)在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值． 5．如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． (1)若，当落在对角线上时，求的长； (2)若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； (3)若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)①如图1，若，直接写出线段＝______； ②过点作直线，点在直线上，满足，求点的坐标； (2)如图2，以为边，在其右侧作正方形，在线段上截取，连接并延长，交轴于点，当时，试探究与的数量关系，并证明． 知识点三因式分解法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，D的坐标为．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段上的点F处，折痕与y轴的交点记为E． (1)求点F的坐标； (2)在x轴上是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，且为直角三角形，请直接写出点P的坐标． 知识点四一元二次方程的根与系数的关系（压轴大题） 10．已知抛物线（，为实数）． (1)当，时，抛物线的顶点恰好在直线上． ①求的值； ②若抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； (2)若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，求二次函数的最大值． 11．如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． (1)若点在图象上，求的值； (2)已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； (3)当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 12．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若点M为线段的三等分点，求点P的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位，交线段于点M，N，若，直接写出m的值． 知识点五一元二次方程的实际应用（压轴大题） 13．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 14．学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 15．有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 知识点六二次函数的图像和性质（压轴大题） 16．已知点都在二次函数的图象上，其中． (1)求的值； (2)若直线经过点，且的面积为3，求直线的解析式； (3)当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 18．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； (4)在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 知识点七二次函数与一元二次方程的综合（压轴大题） 19．已知抛物线经过点． (1)该抛物线与轴交点为_______，对称轴为直线_______． (2)当时，若点在抛物线上，求的最小值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，请直接写出a，n的值． 20．如图，已知抛物线经过，两点． (1)抛物线的对称轴为：________． (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为，直接写出的值． 21．如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 知识点八二次函数的实际应用（压轴大题） 22．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 23．有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已知水面宽是；当水面上升时，水面宽减少了 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为 ，露出水面的高度为 ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由； (3)现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形灯带来美化桥面，点C在抛物线上且与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于，求矩形灯带的周长l范围． 24．【综合与实践】怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小斌的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小斌初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由： (2)再次投篮时，小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小斌此次_____命中篮筐（填写：“能”或“不能”）？若能请说明理由；若不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 知识点九反比例函数的图形性质及实际应用（压轴大题） 25．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 26．点，在同一函数图象上，若，且，则称为该函数的“1阶值”．例如：函数，当时，；当时，；其中，且则函数的“1阶值”为． (1)点，在函数图象上，“1阶值”为，求点坐标； (2)已知函数，求证该函数的“1阶值”； (3)若一次函数与二次函数没有交点，求一次函数的“1阶值”的取值范围． 27．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 知识点十图形的旋转问题（压轴大题） 28．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 30．在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1． (1)作关于点B成中心对称的． (2)将向右平移4个单位长度，作出平移后的，并写出点的坐标． (3)将绕点逆时针旋转，旋转后的三角形记作，点对应点，点对应点，点对应点， ①连接，直接写出旋转过程中的最小值________； ②当与在同一条直线上时，点到直线的距离是________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中复习之解答压轴题（十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 1 知识点二公式法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 11 知识点三因式分解法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 24 知识点四一元二次方程的根与系数的关系（压轴大题） 35 知识点五一元二次方程的实际应用（压轴大题） 44 知识点六二次函数的图像和性质（压轴大题） 49 知识点七二次函数与一元二次方程的综合（压轴大题） 60 知识点八二次函数的实际应用（压轴大题） 67 知识点九反比例函数的图形性质及实际应用（压轴大题） 74 知识点十图形的旋转问题（压轴大题） 81 知识点一直接开平方法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 1．已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． (1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； (2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ， ∵将沿翻折后得到． ，， ， ∵，， ∴， ∴； (2)， 理由：点是的中点， ， 折叠， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ，， ． (3) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出； （2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明； （3）根据（1）的结论以及折叠的性质可得，，设，证明求得，进而证明，设，根据勾股定理建立方程，解方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ， ∵折叠， ∴，， ∴，， ， 设， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴ ，， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或 【分析】（1）将点和点的坐标代入解出、的值即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式求得点坐标，可得为等腰直角三角形，则有，当时，即，内错角相等可得，即点纵坐标与点纵坐标相等，将代入抛物线解析式即可得到点的坐标； （3）分成两种情况考虑：第一种，当点在轴上时，此时只能为抛物线的顶点，由矩形性质即可推得点坐标；第二种，当点在轴负半轴上时，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，结合矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可以得出点的坐标为，最后根据点在抛物线上解出的值，即可得点坐标．综合两种情况即可得到完整解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点， 代入得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， 令时，得，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 即点纵坐标与点纵坐标相等， 在中，令时，解得，， ． （3）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 情况一：如图，当点在轴上时，只能为抛物线的顶点， 四边形为矩形，点为抛物线对称轴上一动点，， 与纵坐标相同， 点坐标为； 情况二：如图，当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设点坐标为，则， 矩形中，， ， 又， ， ， ， ， 抛物线对称轴为，点在对称轴上，点坐标为， ，， ，即， ，， ，， ， 和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得，， 点在轴负半轴上， ，即需舍去， 点坐标为． 综上所述，符合条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、等腰三角形的判定与性质、二次函数的图像与性质、矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，解题关键是方程思想的应用． 3．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点，且与直线l交于点，直线l与y轴正半轴交于点C，且的面积为9． (1)求直线n的函数表达式； (2)点P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)若M是直线l上一动点，在坐标平面内是否存在另一个点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）由题意知，，即，可求，即，如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 则，，，可知当三点共线时，的值最小，同理（1）直线的解析式为，当时，，可求，进而可得； （3）同理（1），直线l的解析式为，设，则，，以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形，分当，为边时，当为边，为对角线时，当为对角线时，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：设直线n的函数表达式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，，即， 解得，， ∴， 如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 则， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小， 同理（1）直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴； （3）解：同理（1），直线l的解析式为， 设，则，， ∵以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形， 当，为边时，如图2， ∴，，即， 解得，， ∴， 由平移的性质可知，； 当为边，为对角线时，如图3， ∴，，即， 解得，或， ∴， 由平移的性质可知，； 当为对角线时，如图4， ∴，，即， 解得，， ∴， 由平移的性质可知，； 综上所述，存在，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，轴对称的性质，坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，解一元二次方程等知识．熟练掌握一次函数解析式，轴对称的性质，坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，解一元二次方程是解题的关键． 知识点二公式法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 4．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为． (1)当　　　　　时，四边形为菱形； (2)是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由； (3)在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； (3) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，根据勾股定理列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得到，，进而得到，根据等角对等边得到，过点作于，在中，由勾股定理：，求解后舍去不合要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴， 解得， 故当时，四边形为菱形； （2）略 （3）解：如图， ∵沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 同（2）可知，． 在中，由勾股定理：， ∴ 解得（此时与重合，是端点，舍去），． 5．如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． (1)若，当落在对角线上时，求的长； (2)若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； (3)若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)当的面积取得最大值时，；可以为，此时 【分析】（1）由勾股定理可计算出，由折叠的性质可得，，，则．容易证明，计算得，因此； （2）分三类讨论，当时，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，利用，结合勾股定理构造方程组，可以求出与的值．在中，利用勾股定理构造方程，解得，将与的值代入即可；当时，容易得到，则，从而求出与的值，代入的表达式即可；当时，容易证明，从而求出与的值，代入的表达式即可； （3）先分析面积最大的情况，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，，利用可计算得，进而得到．利用三角形面积公式可得．则，利用分组分解法可得，因此当时，取得最大值，容易计算得此时；再分析能否为，假设，容易证明，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， 在中，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 联立①与②，得， ， 解得或， 在中，，， ∵， ∴， 化简，得， ∵， ∴， 当时，， 当时，； ②当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由①可知，， ∴； ③当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 由①可知，， ∴； 综上所述，符合条件的的长为或或或； （3）解：先探究面积最大的情况， ①当点在矩形的内部或边界时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 当且仅当时，取得最大值； ②当点在矩形的外部时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， 同理①可得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当且仅当时，取得最大值； 如图， 当时，， ∴，即点落在边上， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，； 再探究的情况， 假设可以等于，如图，连接，设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴假设成立，当时，． 6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)①如图1，若，直接写出线段＝______； ②过点作直线，点在直线上，满足，求点的坐标； (2)如图2，以为边，在其右侧作正方形，在线段上截取，连接并延长，交轴于点，当时，试探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①4；②点的坐标为或 (2)解：， 理由如下： ∵是正方形， ∴， 则点C的坐标为， 设点E的坐标为， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，y=， ∴， 令，则， 解得：， ∴， ， ∴． 【分析】（1）①先根据轴上点的特点求出长，即可求出长； ②分两种情况作图，然后利用三角形全等即可解题； （2）设点E的坐标为，根据可得，解得，然后求出直线的解析式，即可得到，和的长，代入求比值即可． 【详解】（1）①解：当时，， ， 又， ； ②解：如图，当时，则， ， 过点作轴于点，则， ， ， ，， ， 点的坐标为； 如图，当时，则， 同理可得，， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）略 【点睛】本题考查一次函数与几何图形，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解一元二次方程，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 知识点三因式分解法解一元二次方程的实际应用（压轴大题） 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积S关于运动时间t的函数解析式为； (3)当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【分析】（1）解方程得出的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得和的长度，即可得点的坐标； （2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可； （3）根据运动时间，确定点和点的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴ 答：点的坐标为． （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴， 作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积， 综上所述，， 答：的面积关于运动时间t的函数解析式为． （3）解：如图，当时，，点和点重合，，，， 假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）将，代入中，可得，解方程组即可求出与的值，进而可求出二次函数的表达式； （2）令，则，于是求得抛物线与轴的交点坐标，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设点，则点，于是可得，由二次函数的图象与系数的关系可知有最大值，由的图象与性质可知此时，则，于是可求出点Q的坐标； （3）设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设与轴交于点，令，则，解方程即可求出与轴的交点坐标，过点作轴交轴于点，由两直线平行内错角相等可得，结合已知条件可得，因而可知直线和关于直线对称，于是可求出点的对称点，设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，联立直线的表达式和抛物线的表达式，得，解方程即可求出点，设点，由，，的坐标可得，，，然后分情况讨论：当时，当或时，分别建立关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中，得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为：， 设点，则点， ， ，故有最大值， 此时，则， ； （3）解：存在，点或或或或， 理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， 如图，过点作轴交轴于点，则， ，， ， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式，得：， 解得：或， ， 设点，由，，的坐标可得： ， ， ， 当时，则， 解得：， 即：点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即：点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，两直线平行内错角相等，轴对称的性质，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 9．如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，D的坐标为．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段上的点F处，折痕与y轴的交点记为E． (1)求点F的坐标； (2)在x轴上是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，且为直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）由题意得，可得，根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标； （2）根据，可得，过点作，与轴交于点，与等底同高面积相等，点即为存在的点； （3）设，当时，当时，当时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 由折叠可得， 在中，，， ， ； （2）解：存在，过点作于点， 设， ， ， ， ， ， 设直线解析式为：，将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， 设，过点作轴交直线于点，则，， ， 或， 或， 或； （3）解：， ， 如图：连接， ∴， ∴， 点P不在直线上，不符合题意； 当时，如图： 设， 则，， 为直角三角形， ， 解得，或(舍去)， 时，，的坐标为； 当时，如图： ， ，解得∶ ， 当时，则，的坐标为， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了矩形，直角三角形，点的坐标，一次函数解析式等知识点，通过证明三角形全等，根据勾股定理求值，用解析式方法求点的存在性是解本题考查的关键，是一道经典的四边形综合题，综合性较强，难度较大． 知识点四一元二次方程的根与系数的关系（压轴大题） 10．已知抛物线（，为实数）． (1)当，时，抛物线的顶点恰好在直线上． ①求的值； ②若抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； (2)若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，求二次函数的最大值． 【答案】(1)①； ②证明：将代入，可得， 又∵， ，整理得， ∴， ∴抛物线与直线有恒两个交点， ∴；， ∴，即； (2)当时，最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为 【分析】（1）①当，时，二次函数的解析式为，可以求出二次函数的顶点坐标为，因为二次函数的顶点恰好在直线上，可得，从而求出的值；②将代入，可得，因为二次函数与直线有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得；，再利用计算求值即可； （2）根据点在二次函数和上，可得，解方程求出的值，再根据求出抛物线的对称轴，进而由与抛物线的对称轴所在的位置之间的关系，利用二次函数的图象与性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，二次函数的解析式为， 当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 抛物线的顶点恰好在直线上， ， 解得； ②略 （2）解：∵直线与抛物线相交于， ∴，， 则，即， 解得或， ， ∴， ∴二次函数的解析式为，则抛物线的对称轴， 当时，二次函数开口向下， （Ⅰ）当对称轴时，， ∴， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而增大， ∴在时，y取得最大值为； （Ⅱ）当时，， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，当时取得最大值； （Ⅲ）当对称轴时，， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而减小， ∴当时，取最大值为； 综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系、二次根式性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 11．如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． (1)若点在图象上，求的值； (2)已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； (3)当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出当时的值，即可得解； （2）求出图象的顶点坐标为，图象与轴的交点坐标为和，图象与轴的交点坐标为，设直线的解析式为，则， 令，则，从而得出，设，，则，，表示出，求出，得到直线的解析式为，联立，求解即可； （3）先求出的取值范围为，结合题意可得二次函数在上的最大值大于即可，求出对称轴为直线，抛物线开口向下，再分三种情况：当时，在上随着的增大而减小；当时，此时当时，有最大值；当时，此时在上随着的增大而增大，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在中，当时，， 即； （2）解：∵， ∴图象的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴图象与轴的交点坐标为和， 在中，令，则， 解得：， ∴图象与轴的交点坐标为 ∵直线与轴平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、， ∴，画出图象如图所示： 令，则， ∴， 设，，则，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为； （3）解：在中，当时，， ∵，， ∴， 令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 在中，令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴图象的顶点坐标为， ∴的取值范围为， ∵在中总存在，使得， ∴二次函数在上的最大值大于即可， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， 当，即时，在上随着的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：； 当，即时，此时当时，有最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴此时无解； 当，即时，此时在上随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若点M为线段的三等分点，求点P的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位，交线段于点M，N，若，直接写出m的值． 【答案】(1)、 (2)或 (3) 【分析】（1）把代入解析式可得：，可得：，可得抛物线的表达式为：，令，则，再进一步解答即可； （2）如图，点为线段的三等分点，过作，，垂足分别为，证明，可得，同理可得：，求解直线的解析式为，直线的解析式为：，再进一步可得答案； （3）设平移后的抛物线为：，求解直线为：， 设点的坐标分别为：，，可得，，，证明，可得，由勾股定理求解，，，可得，而，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入解析式可得：， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则 解得：或， 故点A、B的坐标分别为：、； （2）解：如图，点为线段的三等分点，过作，，垂足分别为， ∴， ∴， ∴，而， ∴，，， ∴， 同理可得：， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线为， 令， 解得：，， ∴， ∵，， 同理可得：直线的解析式为：， 令， 解得：，， ∴， 综上：或． （3）解：设平移后的抛物线为：， ∵，， ∴， 同理可得：直线为：， ∴， ∴， 设点的坐标分别为：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 综上：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法以及根与系数的关系，二次函数与一次函数的交点坐标，本题难度很大，计算量也大，选择合适的方法解题是关键． 知识点五一元二次方程的实际应用（压轴大题） 13．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点B以的速度移动，同时点从点B出发，沿边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，． (3)存在，此时或3 【分析】（1）利用“路程=速度×时间”，把各自的速度与时间t相乘，分别求出和，然后根据求出． （2）是的边，而矩形中，所以是直角三角形，为斜边．结合（1）中求出的两直角边、，用勾股定理建立关于t的方程即可求解． （3）观察图形，五边形恰好是矩形去掉左下角的后剩下的部分，因此“五边形面积=矩形面积面积”，先根据矩形面积与目标五边形面积关系，反推出应有的面积，再用三角形面积公式列方程求解，最后检验t是否在运动时间范围内． 【详解】（1）解：运动时间为，根据路程公式： 点P的速度为，所以（），所以（）； 点Q的速度为，所以（）． （2）解：点P从A到B需（s），点Q从B到C需（s），先到终点者停止，故运动时间满足． 在矩形中，，所以是直角三角形， 其中，，斜边， 所以， 代入得， ， ， ， 解得，， 因为，舍去；满足条件， 所以当时，． （3）解：令五边形的面积为矩形面积的，则的面积为矩形面积的， 则， 又因为， 所以，即， ， 解得或3． 与均满足，符合运动过程， 所以，当或3时，五边形的面积为矩形面积的． 14．学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用与二次函数的应用，理解题意，列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）设每次价格增长率为r，根据价格增长模型，从25元增长到36元经过两次相同增长率，列一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据利润公式列一元二次方程求解； （3）计算方案A的利润和销量；方案B中设售价降低x元，计算最大利润，并比较利润、清仓速度和社会效益． 【详解】（1）解：设每次价格增长率为r， 由题意得：， ， ， （舍去）， 答：增长率为； 故答案为：． （2）解：设降价x元，则售价为元，销量为本， 每本的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； （3）解：方案A售价（元），销量170本，利润（元）， 方案B设售价降低x元（），售价元，销量本，每本利润元，总利润， 设利润为元，则， 配方得：， 当时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元元，且捐赠（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 15．有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 知识点六二次函数的图像和性质（压轴大题） 16．已知点都在二次函数的图象上，其中． (1)求的值； (2)若直线经过点，且的面积为3，求直线的解析式； (3)当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）把代入函数解析式进行求解即可； （2）设直线的解析式为，将代入，求出解析式，根据都在二次函数上，推出的值，根据的面积为3，列出方程进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性，分三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 故． （2）设直线的解析式为：，将代入，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵都在二次函数的图象上， ∴， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， ∵的面积为3，，点在直线上， ∴的面积， ∴， ∴， 解得：或， ∴直线的解析式为：或； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ①当，时，随的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，， 当时，函数有最小值，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②当，，即：且， 解得：， 则当时，函数有最大值，， 当时，函数有最小值，， ∴， ∴， ③当，，即：， 又∵，， ∴， ∴当时，函数有最大值，， 当时，函数有最小值，， ∴， ∴； 综上：． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 18．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； (4)在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)，4； (4)、、、． 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，再根据三角形的面积公式求解； （3）根据图象可得当抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （4）根据点的位置可知由以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则为边，不可能为对角线，若为边，则为对边，且，故，即，设，．由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称，， 点， 过点作，垂足为， ，． ； （3）解：设点关于对称轴对称点，则，如图所示， 当点P在点C和点之间时，点与点C之间（包含点和点C）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：； （4）解：已知，，设，． 以为顶点的四边形是平行四边形． 若为对角线，则P、Q为另一组对角顶点，需，超过抛物线最大值9，舍去； 若为边，则为对边，且，故，即， 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 综上所述：Q的坐标为：、、、，共四个． 【点睛】垂直、平行条件一律先翻译成坐标关系；斜边上的高优先用等面积法；存在性问题必须分类，并检验是否漏解． 知识点七二次函数与一元二次方程的综合（压轴大题） 19．已知抛物线经过点． (1)该抛物线与轴交点为_______，对称轴为直线_______． (2)当时，若点在抛物线上，求的最小值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，请直接写出a，n的值． 【答案】(1)， (2) (3)，或， 【分析】（1）求出当时的值即可得出该抛物线与轴交点坐标，再结合二次函数的对称性即可得出对称轴； （2）先求出该抛物线的解析式为，再将点代入抛物线解析式计算即可得出结果； （3）先求出抛物线的解析式为，再分两种情况：当时和当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点为； ∵抛物线经过点， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）可得该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴此时该抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（1）可得该抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵，且， ∴当时，抛物线的图象开口向上，在对称轴上取得最小值，为，即， 解得， ∵，， ∴， ∴当，且时，抛物线在时取得最大值，为，即， 代入得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，抛物线的图象开口向下，在对称轴上取得最大值，为，即， 解得， ∵，， ∴， ∴当，且时，抛物线在时取得最小值，为，即， 代入得 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，，或，． 20．如图，已知抛物线经过，两点． (1)抛物线的对称轴为：________． (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为，直接写出的值． 【答案】(1)直线 (2)证明：联立直线与抛物线解析式可得：， ， ， 方程无实根，即直线与该抛物线没有交点； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步可得答案； （2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案； （3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）略 （3）解：点纵坐标的取值范围为， 当时，， 解得：，， 得点，， 当时，， 解得：，， 得点，， 如图， ， ，， ， 如图，， ，， ， 综上所述：或． 21．如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值． （2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围． （3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 知识点八二次函数的实际应用（压轴大题） 22．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)时，的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）利用矩形的性质得出邻边关系进而得出，由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：如图，设交于点N， 由题意知四边形是矩形，则， 设正方形的边长为，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个正方形的边长是；     （2）解：在矩形中，，， 由（1）可得：， ∴（）； ∴ ， ∴时，的最大值是． 23．有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已知水面宽是；当水面上升时，水面宽减少了 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为 ，露出水面的高度为 ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由； (3)现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形灯带来美化桥面，点C在抛物线上且与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于，求矩形灯带的周长l范围． 【答案】(1) (2) 能．货船露出水面的高度为， 即， 将 代入 中， 得， ， ， ， 解得，， 所以当时， 拱桥宽度为， ， 所以货船能正常通过拱桥； (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质实际应用问题，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设抛物线的解析式为，当水面上升时，水面宽减少了，则抛物线经过，又因为抛物线经过，，利用待定系数法求得该抛物线的解析式． （2）因为抛物线拱桥的对称轴为，船露出水面的高度为，故当水面与拱桥的距离不低于3.5米时，船能安全通过．当时，，求得的值，船的最宽处为，且，则该轮船能正常通过这座拱桥． （3）将代入中，得：， 求出点的坐标为，点的坐标为，则的长为 米，的长为米，则矩形的周长（米），故此时矩形 的周长小于13米，再求出抛物线的顶点坐标为，则线段的长为，故矩形的周长大于4米，所以矩形灯带周长的范围为：． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线经过原点， 故设抛物线的解析式为， 是，即点的坐标为将代入 中， 得：，， 得到， 抛物线的解析式为． 水面上升，即纵坐标为， 此时水面宽减少了， 由于抛物线是轴对称图形， 所以水面宽减少了， 意味着对称轴的左右两侧各减少了，即点处的水面向右移动了 ， 所以抛物线经过点， 将 代入 中， 得：， 解得，． 所以该抛物线的解析式为； （2）略 （3）当点距水面时， 如图，作直线，与抛物线交于、 两点． 将代入中， 得：，，， ， 解得，， 即点的坐标为， 点的坐标为， 此时的长为 米， 的长为米， 则矩形的周长（米． 点距水面高于时：此时点位于抛物线上部分，显然这时的矩形要比点距水面时的矩形小，故此时矩形 的周长小于13米． 当点位于抛物线顶点位置时：此时不存在矩形，仅有线段，由和可知 的对称轴为直线， 将代入，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 因此当在抛物线的顶点处时，线段的长为，故矩形的周长大于4米， 综上，矩形灯带的周长的范围为：． 24．【综合与实践】怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小斌的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小斌初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由： (2)再次投篮时，小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小斌此次_____命中篮筐（填写：“能”或“不能”）？若能请说明理由；若不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) 解：由题意得：小斌初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小斌初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； (2)不能； 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求得二次函数解析式是解题的关键； （1）由题意得抛物线的顶点坐标为：，由此设解析式为顶点式，把点代入即可求得函数解析式，求出当时，的值，判断是否满足即可； （2）小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，得抛物线的解析式为：，当时，求出的值，判断不满足则不命中；设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为，当时，，根据列出不等式，求得m的取值范围，根据出手点的坐标为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 知识点九反比例函数的图形性质及实际应用（压轴大题） 25．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解； （2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解； （3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在正比例函数的图象上， ∴， 即， 把代入中，得， 解得； 即k的值为4； （2）解：∵轴于点，且， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴直线的解析式的一次项系数为1， 设直线的解析式为，把代入得， 解得， 即直线的解析式为， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立得，消去y，得， 解得（舍去）， 把代入，得， 则， 即点P的坐标为； （3）解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，， 则，消去m，得， 即①， ∵， ∴， 即， 整理得② 把②代入①，整理得， 解得， 而由得，， 当时，，此时； 当时，，不符合题意，舍去， 即点P的坐标为． 26．点，在同一函数图象上，若，且，则称为该函数的“1阶值”．例如：函数，当时，；当时，；其中，且则函数的“1阶值”为． (1)点，在函数图象上，“1阶值”为，求点坐标； (2)已知函数，求证该函数的“1阶值”； (3)若一次函数与二次函数没有交点，求一次函数的“1阶值”的取值范围． 【答案】(1)或 (2)证明：设点在函数图象上， 且满足， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故该函数的“1阶值”； (3)且 【分析】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． （1）根据“1阶值”的定义，结合反比例函数，列出关于的方程，进而求出P点坐标． （2）先根据“1阶值”定义求出t关于的表达式，再根据二次函数性质判断t的取值范围． （3）根据一次函数“1阶值”定义得出与的关系，再根据一次函数与二次函数没有交点得出，关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵在函数图象上，“1阶值”为， ， ， 即， 整理，得：， 解得：或 ∴点坐标为或； （2）略 （3）函数，当时，； 当时，；其中， 函数的“1阶值”为． ∵一次函数与二次函数没有交点， ∴“1阶值”的取值范围为，且． 27．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解：一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：作于，于， ， ， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）解：由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为或（不合题意舍去）； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有，解得：， 点的坐标为（不合题意，舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 知识点十图形的旋转问题（压轴大题） 28．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)证明：交于点， ， ， ，， ， 绕点 B 逆时针方向旋转得到线段 ， ， 在和中． ， ； (2)证明：由（1）可得， ∴， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)的值为 【分析】（1）由旋转的性质得，先证，结合已知，可得答案； （2）先证，再证，再证，即可得答案； （3）先证，再证，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：如下图，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）由完全平方数的非负性和绝对值的非负性可得，解方程组即可求出与的值，进而求得点和点的坐标，然后求出，的长，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积； （2）过点作轴于点，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等式的性质可得，利用可证得，于是可得，，设，则可用含的式子将和表示出来，于是得到点坐标为，设直线的解析式为，将，代入，可得，解方程组即可求出与的值，进而得到直线的解析式，令，即可求得直线与轴交点的坐标； （3）由及点坐标可得，设，然后分三种情况讨论：当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；分别利用平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标列出二元一次方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：，，， ， 解得：， ，， ， ， ， 的面积为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 将点绕点逆时针旋转得到点， ，， ， ， 由题意可知：， ， 在和中， ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴交点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为：或或， ，点的坐标为， ， 又，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设，然后分三种情况讨论： 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解二元一次方程组，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，旋转的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 30．在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1． (1)作关于点B成中心对称的． (2)将向右平移4个单位长度，作出平移后的，并写出点的坐标． (3)将绕点逆时针旋转，旋转后的三角形记作，点对应点，点对应点，点对应点， ①连接，直接写出旋转过程中的最小值________； ②当与在同一条直线上时，点到直线的距离是________． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， ， (3)①；② 【分析】（1）首先确定各顶点的初始坐标，关于点B成中心对称，即B是对应点连线的中点，则与B重合，并据此求出、的坐标，依次连接、、即可． （2）向右平移4个单位长度，横坐标，纵坐标不变，据此得到平移后各点的坐标，依次连接即可． （3）①求旋转过程中的最小值，当两点成一条直线时距离最短，所以当点C、、共线时，最小，即为的值，因为点绕旋转得到，因此，根据各点的坐标计算出线段长度即可求解． ②首先明确旋转后的图形位置，确定旋转角以及三角形各边长，在中构造直角三角形，求出；然后过点作于点H，将求到直线的距离转化为求直角三角形的边长，通过角度转换得到，运用正弦函数逆定理即可作答． 【详解】（1）解：首先确定各顶点的初始坐标（网格小正方形边长为1），，，；作关于点B成中心对称的，中心对称的性质是对称中心B是对应点连线的中点，点B自身的对称点与B重合，由中点公式反推得，，依次连接、、，即可得到． （2）将向右平移4个单位长度得到，平移规则是横坐标，纵坐标不变，则平移后得到，，，依次连接三点即可得到平移后的． （3）①求绕点逆时针旋转过程中的最小值，旋转时，点绕旋转得到， 因此， 根据点的坐标，由距离公式得； 点C是定点，的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 先计算定点到圆心的距离， 根据圆上一点到定点的距离最小值公式，代入得最小值为． ②当与共线时，如下图，因为是绕点逆时针旋转，所以与重合，落在射线的延长线上， 因此旋转角； 因为，， 所以是等腰三角形，取的中点M，连接，则， 在中，，，则， 所以； 过点作于点H， 是旋转角的补角，是旋转角的补角，因为旋转角相等， 所以， 所以到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $