期中复习之全等三角形的判定综合及辅助线问题压轴题（七大题型21道题）-2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》（人教版）

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解：题型通关》 期中复习之全等三角形的判定综合及辅助线问题压轴题 (七大题型21道题) 目录 知识点一添加条件使三角形全等。 知识点二灵活选用判定方法证全等， 知识点三结合尺规作图的全等问题 9 知识点四倍长中线模型.…。 知识点五旋转模型 19 知识点六垂线模型 27 知识点七证一条线段等于两条线段和差 36 知识点一添加条件使三角形全等 1.如图，已知∠1=∠2，AB=AD,请添加一个条件，使△ABC≌△ADE,并加以证明. E (I)你添加的条件是(ASA)· (2)写出证明过程. 【答案】(I)∠B=∠D (2)证明：.∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE, ∴.∠BAC=∠DAE, 又：AB=AD,∠B=∠D, :△MBC≌MADE(ASA) 【分析】(1)通过ASA证明△ABC≌△ADE,已知一对边的相等关系，通过证明可以得到一 对角的相等关系，只需要添加相等的边另一侧的一对角的相等关系即可证明结论： (2)根据∠I=∠2，利用角的和差关系即可得∠BAC=∠DAE,继而根据ASA证明 △ABC≌△ADE 【详解】(1)略： (2)略. 2.如图，AB=8cm,AC=BD=6cm,∠CAB=∠DBA=a,点P在线段AB上以lcm/s的速度由点 1向点B运动，与此同时，点在线段D上由点B向点D运动，当P,P中的一点到达终点 时，两点都停止运动，它们的运动时间为s连接CP,P 2164 D D B P 图1 图2 (1)如图1，若点9的运动速度与点P的运动速度相等，当a=90°，1=2时，写出PC与P9的数 量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当a=60°时，设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使以A,C,P为顶 点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存 在，请说明理由. 【答案】(1) PC=PQPC⊥P9 理由如下；.点和P的运动速度是lcm/s,运动的时间是2s, 4P=B0=2x1=2(cm） :PB=4B4P-82=6m) ∴.CA=PB, :∠A=∠B=90°，AP=BQ, :△CMP≌aPBQ(SAS) .PC=Pe,∠C=∠BPg, 3164 .∠C+∠APC=90°， ∴.∠BPQ+∠APC=90°， .∠CP9=180°-90°=90° .PC⊥P№： (2)存在，1=2，x=1或1=4，x=1.5. 【分析】）判定△C1eaP8OSAS),推PC=P0,∠C=∠Br吧.由直角三角形的性质得 到∠C+∠APC=90°，因此∠BP№+∠APC=90°，求出∠CPO=180°-90°=90°，即可证明PC⊥P2 (2)当AC=BP,MP=B0时， CAPPBO(SAS),求出=2，x=l,当4C=B0,MP=BP 时，△CAP≌a2BP,求出1=4，x=1.5,即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：存在实数x,使以A,C,P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形全等， ,∠A=∠B, 当AC=BP,AP=B吧时， △CAP≌aPBQ(SAS) ∴.8-t=6,t=xt, ∴.t=2,x=1: 当AC=BO,AP=BP时，△CAP≌aOBP, 4164 .xt=6,t=8-1, .1=4,x=1.5. 综上t=2,x=1或t=4,x=1.5 3.如图，AB=DE,AD=CF,有如下条件： ①∠I=∠F,②BC=EF,③∠A=∠2，④AB∥DE. B E 2 1△ (I)在以上条件中选择一个条件（只填写一个序号），求证：△ABC≌aDEF; (2)在(1)的条件下，若∠A=66,∠E=60°，求∠1的度数： (3)在(1)的条件下，若AF=I2,DF=9,求CD 【答案】(1) 解：选择②或③或④ AD=CF, ∴AD+CD=CF+CD, ∴.AC=DF, 选择②BC=EF, AB=DE,BC=EF, 5164 :△MBC≌aDEF(SS）) 选择③∠A=∠2， AB=DE,AC=DF, △ABC≌ADEF(SAS) 选择④AB∥DE, .∠A=∠2， AB=DE,AC=DF, △ABC≌ADEF(SAS） (2)54° (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形 的几种证明方法是解题的关键. (1)先证明AC=DF,再由全等三角形的几种判定证明即可； (2)先根据全等三角形的性质得到∠E=∠B=60°，再由三角形内角和定理求解即可： (3)先根据全等三角形的性质得到AC=DF=9,再由线段间的数量关系求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：，△ABC≌aDEF, .∴.∠E=∠B=60° 6164 .∠A=66°， ∴.∠1=180°-∠A-∠B=180°-60°-66°=54°. (3)解：△ABC≌aDEF,DF=9, .AC=DF=9, :AF=12, ∴.AD=AF-DF=12-9=3, ∴.CD=AC-AD=9-3=6 知识点二灵活选用判定方法证全等 4.如图，点E在AB上，点F在AC上，BF与CE相交于点O,连接AO.己知AE=AF, OE=OF∠B=∠C A E ○ B (I)任意写出图中的两组全等三角形：_≌_：_≌_； (2)从(1)中选取一组你写出的全等三角形进行证明. 【答案】(I)△AEO≌△AFO;△BOE≌aCOF(答案不唯一) (2)证明：在△AE0和△AFO中， 7164 AE=AF OE=OF A0=A0 ∴.△AEO≌△AFO (SSS). 在△BOE和△COF中， ∠B=∠C ∠BOE=∠COF OE=OF △BOE≌ACOF(AAS) 【分析】(I)由已知AE=AF、OE=OF及公共边AO,可用“边边边”判定△AEO≌aAFO; “角角边”证明△BOE≌△COF: (2)选取△AEO≌△AFO进行证明，用“边边边”即可得证，选取△BOE≌aCOF进行证明，用 “角角边”即可得证. 【详解】(I)解：图中可填的两组全等三角形为△AEO≌△AFO,△BOE≌aCOF(答案不唯 一)· (2)略 5.已知10,2)B(4,0) 8164 Q B D 图1 图2 (I如图1，连接B,若D0-6,DE⊥AB于点E,B、C关于'轴对称，M是线段DE上的 点，且DM=AB,连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结 论： (2)如图2，在(1)的条件下，若W是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且 DN=,连接PW交y轴于点Q,过点N作NH'轴于点五当N点在线段DM上运动时， PN △MQH 的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. 【答案】(I)结论：AC=AM,AC⊥AM.理由如下： A(0,2),B(4,0),D(0,6) ∴.OA=2,OD=6,OB=4 .AD=OA+OD=8,BC=20B=8 .AD=BC :DE⊥AB∠AOB=90° 9164 ∴.∠EAD+∠MDA=90°∠EAD+∠ABO=90° .∴.∠ABO=∠MDA 在ACAB与△AMD中， AB=MD ∠ABO=∠MDA AD=BC ,∴aCAB≌AAMD(SAS) ∴.AC=AM,∠ACO=∠MAD :∠AC0+∠CAO=90° .∠MAD+∠CAO=∠MAC=90° ∴.AC=AM,AC⊥AM (2)是定值，定值为4 【分析】(1)由A(0,2)B(4,0),D(0,-6)得OA=2,OD=6,OB=4,因此有AD=BC=8,根据SAS 可证ACAB≌△AMD,从而得证AC=AM,AC⊥AM; (2)过P作PGLy轴于G,过M作MF1y轴于F,由“全等三角形的对应高相等”得 PM=01=2,先根据AMS可证APHG2△NDH,从而得PG=4G=HD, 进而得D=GH=8 再根据AS可证APQG心ANQH,得QH-CH=4,即可得AMOH的面积. 【详解】(1)解：略： 10/64 (2)解：过P作PG1y轴于G,过M作MF1y轴于F,如图3， 轴， 图3 NH⊥y ∴.∠PGA=∠NHD=90° 由(1)知AC=AM,△CAB≌aAMD,OA=2, :B、C关于轴对称，点A在轴上， ∠AOB=∠AFM=90° ∴.AC=ABFM=OA=2 (全等三角形对应高相等)， 又：DM=AB, ∴.DM=AM ∴.∠MAD=∠MDA 又：∠DAM=∠PAG, ∠PAG=∠MDA, 即 ∠PAG=∠NDH 在△PAG与△NDH中， I∠PAG=∠NDH ∠PGA=∠NHD DN=PA 11/64 aPAG≌ANDH(AAS) ∴.PG=HN,AG=HD ..AD=GH=8 在△POG与△NOH中， ∠PGQ=∠NHQ=90 ∠POG=∠HON PG=NH ∴aPOG≌aNQH(AAS) 0c=01-0H=4】 1 ∴.SMoH=5QH.FM=。×4×2=4 2 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质.通过全等三角形 的性质及判定来证明线段的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键. 6.数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知∠C=∠F=90°，BC=EF,请补充一个条 件，使得△ABC≌aDEF,三位同学展示了自己补充的条件： ◇ A 12/64 甲补充条件AC=DF,全等的判定依据是SAS: 乙补充条件∠B=∠E,全等的判定依据是： 丙补充条件，全等的判定依据是HL. (1)请补全乙、丙同学展示的答案： (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程. 【答案】(I)ASA;AB=DE (2)甲：.AC=DF,∠C=∠F=90°，BC=EF, :△MBC≌aDEF(SMS) 乙：.∠C=∠F=90°，BC=EF,∠B=∠E, :△MBC≌ADEF(ASA) 丙：：∠C=∠F=90°，BC=EF,AB=DE, :RIABC≌RtADEF(UH) 【分析】本题主要考查了补充一个条件判定三角形全等，熟练掌握全等三角形判定定理，是 解题的关键。 (I)根据已知∠C=∠F=90°，BC=EF,乙补充的条件是∠B=∠E,可知全等的判定依据是 根据丙全等的判定依据是HL,可知丙补充条件是MB=DE, ASA (2)甲补充4C=DF,结合∠C=∠F=90,BC=F,得△1BC≌DEF(SMS):乙补充∠B=∠E 13/64 ,结合已知得△1BC②aDEF(ASA）:丙补充B=DE,结合已知得 RIAABC≌RIADEF(HL) 【详解】(1)乙：.∠C=∠F=90°，BC=EF,∠B=∠E, △ABC≌ADEF(ASA) 丙：，∠C=∠F=90°，BC=EF,AB=DE, RIAABCS≌RtADEF(HL) 故答案为：AAS;AB=DE, (2)略 知识点三结合尺规作图的全等问题 7.如图①所示为一条长lcm的线段.已知一个三角形的两条边长分别是lcm和2cm,一个内角 为40°（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）· 40° 40° ① ② ③ ()请在图②中画出一个满足题设条件的三角形. (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请 在图③中画出所有这样的三角形：若不能，请说明理由. (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”，那么满足 这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个. 14/64 【答案】(I)解：如图，取∠ABC=4O°，在BC上截取BD=lcm,在BA上截取BE=2cm,连接 ED AEBD 即为所求. E 2cm 40° B 1cm ID (2)解：能，由图③知∠GPK=40°，在PG上截取PN=lcm,以N为圆心以2cm长为半径画弧交 PK于点M,连接MW,如图，△MPw 即为所求 K 2cm 40° P 1cm IN (3)4 【分析】(1)确定的边和角正常尺规作图即可. (2)和(1)相同的条件，作不全等三角形，角度位置不变，改变长边位置即可. (3)需要分类讨论角度对应的边长，角度对应边不同三角形就不同，共有4个不同三角形. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 15/64 B 3cm 40°x 4cm A 以3cm长的边作40°角的对边，可画出两个满足条件的三角形， B 3cm 3cm 40° A 4cm 以4cm长的边作为40°角的对边，可画出一个满足条件的三角形， B 4cm 40° 3cm C ∴，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个. 8.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规 按要求作图.（注意求作的图形用实线） 图1 图2 (I)在图1中，画出BC边上的中线AE: 16/64 (2)在图2中，找一个点D,使得△DBC与△ABC全等（点D不能与点A重合）· 【答案】(1) B (2) 【分析】(I)找出BC的中点E,连接AE即可； (2)根据三边对应相等找出点D,即可得△BCD. 【详解】(1)略 (2)解：图略 由图可得BC=CB,AB=DC,AC=DB, ∴.△ABC≌△DCB(SSS) 9.如图，在△ABC中，延长AB,在射线AB的延长线上截取DE=AB. 图1 图2 任务1：实践与操作： 17/64 ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作△DEF与△ABC全等（不写作法，保留作图痕迹）· ②你作的△DEF与△ABC全等的依据是(SSS、SAS、AMS、ASA). 任务2：猜想与证明：如图2，△DEF≌aABC,AG平分∠CAB,DG平分∠ADF, ①试猜想∠G=一 ②请你求出∠G的度数. 【答案】任务1： ①如图1，△DEF即为所求： B 图1 ②SSS; 任务2：①90：②90°. 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识 解决问题. 任务一：根据SSS作出三角形△DEF即可： 任务二：①猜想：∠G=90°； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可. 18/64 【详解】解：任务一： ①略 ②依据是：SSS, 故答案为：SSS: 任务2： ①猜想：∠G=0° 故答案为：90： ②：△DEF≌aABC, ∴.∠CAB=∠FDE ∴.AC‖DF ∴.∠CAB+∠ADF=180° .AG 平分<CBD 平分<DF :∠GB-CAB,∠GDA=)∠ADp, 2 ∠GAB+∠GD1=∠CMB+ADF=<CMB+∠ADF)=3xI80=0, .∠G=180°-90°=90° 知识点四倍长中线模型 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5,AC=3. 19/64 E (I)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.求证：△BDE≌aCDA: (2)求AD的取值范围. 【答案】(I)解：D为BC的中点， .BD=CD 在△BDE与ACDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=AD ∴.△BDE≌ACDA(SAS) (2)1<AD<4. 【分析】(I)采用“中线倍长”法：延长中线AD至E使DE=AD,连接BE,以SAS证 ABDE≌ACDA (2)由全等得BE=AC=3,在△ABE中用三边关系把AE=2AD转化为AD的取值范围. 【详解】(1)略 (2)解：由(I)知△BDE≌aCDA, 20/64 ∴.BE=AC=3 在△ABE中，AB=5,BE=3,AE=2AD. 由三角形三边关系得AB-BE<AE<AB+BE, 代入数值得5-3引<2AD<5+3, 即2<2AD<8, .1<AD<4 11.中线是三角形中的重要线段之一.在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线” 等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的 已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问 题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”. 如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，连接AD,点E在BC的延长线上 备用图 (I)若AB=CE,∠BAC=∠BCA.求证：AC平分∠DAE. (2)若将(I)中的“AB=CE,∠BAC=∠BCA”更改为“AC平分∠DAE,∠E=∠BAD”,试探 究线段AE与AD的数量关系，并说明理由. 21/64 【答案】(I)证明：如图①，延长AD至点F,使FD=AD,连接FC, 是边 上的中点， 图① D BC ∴.BD=CD 在△ABD和△FCD中， BD=CD, ∠ADB=∠FDC, AD=FD, ∴.△ABD≌AFCD(SAS) ∴.CF=BA∠ABD=∠FCD 1 .·∠BAC=∠BCA ∴.∠ACE=∠ABC+∠BAC=∠FCD+∠BCA=∠ACF .AB=CE ∴.CF=CE CF=CE. ∠ACF=∠ACE, 在。 和。CE中，AC=AC, ”△ACF△ACE ∴.△ACF≌△ACE(SAS) 22/64 ∴.∠CAF=∠CAE 即AC平分∠DAE. (2)解：AE=2AD,理由如下： 如图②，延长AD至点G,使GD=AD,连接GC. E G 图② .∴.AG=2AD 由(1)可知，△ABD≌aGCD, ∴.∠G=∠BAD ∠E=∠BAD ∴.∠E=∠G AC 平分<DAE ∴.∠CAG=∠CAE AC=AC ∴.△ACG≌△ACE(AAS) ∴.AE=AG .∴.AE=2AD 23/64 【分析】(I)延长AD至点F,使FD=AD,连接FC.在△ABD和△FCD中，用SAS证 △ABD兰△FCDCF=BA∠ABD=∠FC 得 D.使用了三角形外角定理 ∠ACE=∠ABC+∠BAC=∠FCD+∠BCA=∠ACF △ACF△ACE ，在 和 中，由SASi证△1CF兰ACE 得∠CAF=∠CAE,则问题可证. (2)延长AD至点G使GD=AD,连接GC,由SAS证△ABD兰△GCD,得∠G=∠BAD.在△ACG 和△ACE中，由AAS证△ACG=△ACE,得AE=AG=2AD. 【详解】(1)略 (2)略 12.【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=10,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 请根据小明的方法思考并解答： A A B ED B ED 图1 图2 图3 (I)①由已知和作图能得到△ABD≌△ECD,依据是( ) 24/64 A.SAS B.AAS C.SSS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_· 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、 平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中. (2)如图2，已知△ABC与△AMN,AC=AM,AB=AN,∠BAN=∠CAM=90°，AD,AE分别为 △MBC中BC边上的中线与高，且 C=10,E=4,求△MW 的面积； (3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，延长EA交MN于点P,请直接写出AP的长度 【答案】(1)①A:②1<AD<9 (2)20 (3)AP=5 【分析】()①根据己知条件即可判断；②根据三角形的三边关系即可求得： (2)如小问2详解图，延长中线AD到F,使AD=DF,先证出△ADC≌△FDB,再证出 △AMN≌MFB,然后根据 △MBC=SAABF ,可 Sc=S,w,进而求得答案： (3)如小问3详解图，分别过点M,N作MH1AP,NG上AP,由已知条件证出 △ABB≌NAG,AABC≌ABHA,再证出AMPH≌ANPG,最后可得MP-BC,即可得出答案。 【详解】(I)解：AD=DE,BD=DC,∠ADB=∠EDC, ∴.△ADB≌△EDC(SAS) 25/64 ..CE=AB=8 :AC=10 .10-8<AE<10+8 .2<2AD<18 .1<AD<9 (2) B 解：如图，延长中线AD到F,使AD=DF,连接BF, :AD=DF,BD=DC,∠ADC=∠FDB ∴.AADC2AFDB(SAS) ∴.AC=BF,∠F=∠CAF .BF∥AC .∴.∠ABF+∠BAC=180° ,∠BAN=∠CAM=90° .:.∠MAN+∠BAC=180° 26/64 ∴.∠MAN=∠ABF AC=AM ∴.BF=AM AB=AN, .△AMW≌△BFA(SAS) ∴.SaMw=SBEA SARC =SABD+SADC =SABD+S.BDF =SABE .SAw=SABC= 0MB=10x4=20。 2 H--M G (3) A B E D C 解：分别过点M,N作MH⊥AP,NG⊥AP, 则∠NAG+∠AWG=90°， .·∠BAN=90° ∴.∠BAE+∠NAG=90° ∴.∠BAE=∠ANG :AE⊥BC 27/64 .∠AED=90°=∠NGA AN AB ∴.△ANG≌△BAE(AAS) ∴.AE=NG,AG=BE 同理可证：△AMH≌△CAE, .AE HM,EC=AH ∴.MH=NG .∠NGP=∠MHG=90°∠HPM=∠NPG '.AMHP≌aNGP(AAS) .∴.PH=PG BE=AG=AP-PG EC=AH=AP+PH .BC=BE+EC=AP-PG+AP+PH=2AP=10 .AP=5 知识点五旋转模型 13.已知在△ABC中，AC=BC,在△DEC中.DC=EC,∠ACB=∠DCE=a,点A、D、E在同 一条直线上，AE与BC相交于点F,连接BE. 28/64 E B 图1 图2 (1)如图1，当a=40°时，求∠AEB的度数； (2)如图2，当a=90°时，完成下列问题： ①判断AD与BE的关系； ②若∠CAF=∠BAF,BE=3,求线段AF的长. 【答案】(1)40° (2)①AD=BE,AD⊥BE;②AF=6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性 质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键： (1)证明△CDA≌△CEB(SAS)得到∠CBE=∠CAD,利用三角形内角和可得∠AEB=∠ACB=40° (2)①证明△CDA≌△CEB(SAS)得到∠ADC=∠CEB=135°，AD=BE,再由 ∠CED=45 ，得到<AEB=900 ,即可得到DLBE,AD=BE. ②由△CDA≌△CEB(SAS)可得AD=BE=3,由外角的性质和等腰三角形的性质可求 29/64 AD=CD=DF=3,即可求解： 【详解】(1)解：∠ACB=∠DCE, .∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD .∠ACD=∠BCE 在aCDA和△CEB中， DC=EC ∠ACD=∠BCE AC=BC ∴.△CDA≌△CEB(SAS) ∴.∠CBE=∠CAD 又：∠CFA=∠EFB,∠AEB+∠EFB+∠CBE=I8O°，∠ACB+∠AFC+∠CAD=18O°， ∴.∠AEB=∠ACB=a=40° (2)证明：①：∠ACB=∠DCE, .∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ∴.∠ACD=∠BCE 在△CDA和△CEB中， DC=EC ∠ACD=∠BCE AC=BC .△CDA≌△CEB(SAS) 30/64 .∠CEB=∠CDA AD=BE 'CD=CE∠DCE=90° .∴.∠CDE=∠CED=45° ∴.∠ADC=∠CEB=135° .∠CED=45° .∠AEB=90 .AD⊥BE ∴.AD⊥BE,AD=BE; ②·△ACD≌△BCE, ∴.AD=BE=3 :AC=BC∠ACB=90° ∴.∠CAB=∠CBA=45° ∴.∠CAF=∠BAF=22.5° :∠CDE=45°=∠CAD+∠ACD ∴.∠ACD=22.5°=∠CAD ∴.CD=AD=3 ∠DCF=90°-∠ACD=67.5°∠AFC=∠ABC+∠BAF=67.5° ∴.∠DCF=∠DFC 31/64 ∴.DF=DC=3 ∴.AF=AD+DF=6 14.如图，aCAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE, ∠CMB=∠B1=45°，∠CDE=∠CED=45°，连接MD、BE. G M D B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠CAD=269,∠DCB=10°，则∠DEB= (2)如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F,且CF=BF,AD=I0,求△CEF的面 积： (3)如图3，BE与AC的延长线交于点G,若CD⊥AD,延长CD与AB交于点N,在BC上有一 点M且BM=CG,连接NM,请猜想CW、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想. 【答案】(1)29 (2)25 (3) CN+MN=BG 证明如下： 如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T,则∠CBT=∠BCG=90°，∠NBM=∠NBT=45°， 32/64 E M 图2 .·AD⊥CD ∴.∠ADC=90° ,△ACD≌aBCE, ∴.∠ADC=∠BEC=90° '∠BCT+∠ECB=90°∠ECB+∠CBG=90° ∴.∠BCT=∠CBG 在△CBT和△BCG中， [∠BCT=∠CBG CB=BC ∠CBT=∠BCG' △CBT≌ABCG(ASA) ∴.BT=CGCT=BG BM=CG .BM=BT 在△BNM和△BNT中， 33/64 BM=BT ∠NBM=∠NBT BN=BN △BNM≌ABNT(SAS) ∴.MN=NT ∴.CN+MN=CN+NT=CT=BG 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性 质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. ACD≌ABCE(SAS) (1)证明 ,利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题. (2)如图2中，过点C作C1DE于 .证明 CFQ≌ABFE(AAS) 推出CO=BE=10QF=EF ,求出EF,可得结论 (3)如图3中，结论：CN+MN=BG.如图过点B作BT⊥BC交CW的延长线于T.证明 ACBT≌ABCG(ASA)ABNM≌aBNT(SAS), 利用全等三角形的性质，可得结论， 【详解】(1)解：如图1中， B 图1 ,△ACD,△CDE都是等腰直角三角形， 34/64 ∴.∠ACB=∠DCE=90°CA=CBCD=CE ∴.∠ACD=∠BCE=90°-∠BCD 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD≌△BCE(SAS) ∴.∠CAD=∠CBE=26° ∠DCB=10° .∠ECB=90°-10°=80° ∴.∠CEB=180°-∠CBE-∠ECB=180°-80°-26°=74° .·∠CED=45° ∴.∠DEB=74°-45°=29° 故答案为：29： (2)解：如图2中，过点C作CQ1DE于9. C D B 图2 CD=CE, 35/64 CO=OE=DO= DE 2 :△ACD≌ABCE ∴.∠ADC=∠CEB AD=BE=10 .∠CDE=∠CED=45° ·.∠ADC=∠CEB=135° ∴.∠AEB=90° ∴.∠COF=∠BEF=90°， 在△CFO和△BFE中， [∠CQF=∠BEF ∠CFQ=∠BFE CF=BF △CFO≌aBFE(AAS) ∴.CQ=BE=I0OF=EF ∴.CQ=QE=D0=10, .EF=。EQ=5 2 S.0m=)EF.c0=)x5x10=25; 1 2 (3)略 15.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别 36/64 是BC、CD上的点且∠EAF=6O°，直接写出图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，不必证 明. (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的 点，且∠BF=)<BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由： (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指 挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正 东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以65海里/小时的速度前 进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达卫、F处，且∠EOF=70°，试求此时两 舰艇之间的距离. E D D 0 B E B E 图1 图2 图3 【答案】(I)EF=BE+DF: (2)结论EF=BE+DF仍然成立： 37/64 理由如下：延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,如图2， G A D 图2 在△ABE和△ADG中， DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD ∴.△ABE≌△ADG(SAS) ∴.AE=AG∠BAE=∠DAG 1 .∠EAF= -∠BAD ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ∴，∠EAF=∠GAF 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF .∴△AEF≌△AGF(SAS) .∴.EF=FG 38/64 .FG=DG+DF=BE+DF ∴.EF=BE+DF ； (3)220海里 【分析】(I)如图1，延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,证明△ABE≌aADG,根据全等 三角形的性质得到AE=AG,证明△AEF≌aAGF,得EF=FG,证明结论： (2)如图2，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形的 性质得到AE=AG,证明△AEF≌△AGF,得EF=FG,证明结论： (3)如图3，连接B,延长AB、:相交于点C,根据题意得到2B0F-40B,O4=OB, ∠OAC+∠OBC=180° 根据图2的结论计算。 【详解】解：(1)EF=BE+DF, G E 图1 理由如下：如图1，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG, 在△ABE和△ADG中， 39/64 DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD .△ABE≌AADG(SAS) ∴.AE=AG∠BAE=∠DAG ∠EAF=∠BAD 2 ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ∴.∠EAF=∠GAF 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SA) ..EF=FG FG=DG+DF=BE+DF ∴.EF=BE+DF (2)略. (3)如图3，连接EF,延长AE、BF相交于点C, 40/64 图3 :∠A0B=30°+90°+(90°-70)=140°∠E0F=70° :∠EOF=∠4OB. 2 又：OA=OB,∠0AC+∠0BC=(90°-30)+(70°+50)=180° “符合(2)中的条件， 六结论F=E+B 成立， 即EF=2×(45+65)=220(海里). “两舰艇之间的距离为220海里. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出 辅助线构造全等三角形. 知识点六垂线模型 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,P为射线BC上一动点（点P不与点B重 合)，以AP为直角边在AP的右侧作等腰直角三角形AP№，∠PA0=90°. 41/64 M B C B C 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点P在线段BC上时，求点2到直线AC的距离； (②)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，连接BO,交直线AC于点M,求证：BM=QM: (3)点P在运动过程中，连接BO,交直线AC于点M,若SAm=3Sw0,则BP的长为一 【答案】(1)点Q到直线AC的距离为1； (2)证明：作E⊥MC交直线MC于E,则∠E=90°， E-入 P,∠PAQ=90 .∠EAQ+∠PAC=180°-∠PAQ=90° .∠ACP=90° ∴.∠CPA+∠PAC=90° .∠EAQ=∠CPA :∠E=∠ACP=90°，AQ=AP ∴.△EAQ≌aCPA(AAS) 42/64 ∴.EQ=CA AC=CB ∴.EO=CB .∠EMQ=∠CMB,∠E=∠MCB=90° ∴.△EMQ≌aCMB(AAS) ..OM=BM 即BM=QM; 6 (3)5或6 【分析】(I)作OD L AC交AC于D,利用全等三角形判定方法AAS证明△ADO≌aPCA,再利 用全等三角形对应边相等，即可求解： (2)作QE L MC交直线MC于E,先利用AAS证出△EAO≌aCPA,得到E0=CA,再利用AAS 证出△EMO≌aCMB,即可完成证明： (3)由图可知，P在射线BC运动过程中，M在射线CA上运动，分3类情况讨论：①点P在 线段BC上，②点P在射线BC上，点M在线段CA上：③点P在射线BC上，点M在CA延长线 上，由Sm=3Sw,得出BP=3AM,设AM=x,则BP=3x,利用(2)中的全等三角形结 论，用x表示出CP、AE,再利用CP=AE列出方程，求解即可. 43/64 【详解】(1)解：作D1AC交AC于D,则∠AD0=90°， P C .∠PAQ=90° ∴.∠PAC+∠DAQ=90° ∠ACB=90° .∠PAC+∠CPA=90° .∠DAQ=∠CPA 又∠AD0=∠C=90°，A0=AP, ∴.△ADQ≌△PCA(AAS) .OD=AC=1 AC 点到直线的距离为1. (2)略 (3)解：由图可知，点P在射线BC运动过程中，点M在射线CA上运动， 下面分3类情况讨论： ①点P在线段BC上，作D⊥AC交AC于D,则∠AD0=90°， 44/64 M B 由(I)得，△DAQ≌aCPA, 同理aDMQ≌aCMB .DA=CP.DM =CM,OD=AC=1 S.AmP=3S.AM2 BP.4C=3.1.AM.OD 2 2 ∴.BP=3AM 设AM=x,则BP=3x, :.CP=BC-BP=1-3x AD=AM-DM=AM-CM=x-(1-x)=2x-1 .1-3x=2x-1 解得：x=5 6 BP=3x=51(舍去)： ②点P在射线BC上，点M在线段CA上，同(2)作辅助线， M. B 45/64 由(2)得，△EAO≌aCPA,△EMO≌aCMB, ..EA=CP,EM CM,OE=AC=1 :SAB即=3SAM 号ap4C=3M0, ∴.BP=3AM 设AM=x,则BP=3x, :.CP=BP-BC=3x-1 AE=EM-AM=CM-AM =(1-x)-x=1-2x .3x-1=1-2x 解得：x2 51 BP=3x号 ③点P在线段BC延长线上，点M在CA延长线上，同(2)作辅助线， M A B C 同②可得：BP=3AM, 设AM=x,则BP=3x, :.CP=BP-BC=3x-1 AE=EM+AM=CM+AM=(1+x)+x=1+2x 46/64 .3x-1=1+2x 解得：x=2, ∴.BP=3x=6 6 :综上所述，BP的长为5或6. 17.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D,连 接CD」 C C D ●入 D D E E B B B 图① 图② 备用图 (I)如图①，点E在运动过程中，求∠CDB的度数： (2)如图②，若E为AC中点，探究BE与DE的数量关系，写出证明过程： (3)在点E运动过程中，是否存在△ACD是等腰三角形，若存在，请直接写出∠CBD的值；若不 存在，请说明理由. 【答案】(1)45°； (2)BE=5DE,理由如下： E G 图2 47/64 如图2，作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,则∠CHE=90°， ∴.∠CHE=∠ADE=90° :B为C中点， AC ∴.AE=CE :∠AED=∠CEH .△ADE≌△CHE(AAS) .DE=HE,AD=CH 由(1)得，△ADC≌△BGC, ∴.AD=BG .CH BG .CG=CD,CH⊥DG ∴.DH=GH :∠CDB=45°，∠CHE=90° ∴.CH=DH .BG=DH GH =2DE .BE=BG+GH+HE=2DE+2DE+DE=5DE .BE =5DE 48/64 (3)存在，∠CBD=22.5°. 【分析】(I)作CF⊥CD交BD于点F,用全等判定方法ASA证明aDAC≌aFBC,得到 DC=FC,即可得出∠CDB 的度数： (2)作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,先用全等判定方法AAS证明△ADE≌aCHE ,得DE=HIE,AD=CH,再由△ADC≌△BGC,得AD=BG,再判定等腰直角△CDH得CH=DH ,最后等量代换即可推导出BE=5DE: (3)过点C作CG⊥CD交BD于G,先说明△ACD是钝角三角形，则当△ACD是等腰三角形 时，只存在一种情况：AD=CD,结合(I)中的结论△ADC≌△BGC,即可解答. 【详解】(1)解：如图1，作CF⊥CD交BD于点F,则∠DCF=90°， 图1 .∠DCF=90°=∠ACB .∠ACD=∠BCF :∠ACB=90°，AD⊥BE .∴.∠ACB=∠ADB=90° .∴.∠DBC+∠BEC=∠DAC+∠AED=90° :∠BEC=∠AED 49/64 ∴.∠DBC=∠DAC 又：AC=BC, ∴.△DAC≌△FBC(ASA) ∴.DC=FC ∴.∠CDB=∠CFD=45° (2)略 (3)在点E运动过程中，存在△ACD是等腰三角形， :∠ADC=∠ADB+∠CDB,∠ADB=90° ∠ADC>90° △ACD 是钝角三角形， 当△ACD是等腰三角形时，只存在一种情况：AD=CD, 如图3，过点C作CG⊥CD交BD于G, C D B 图3 由(I)得，△ADC≌△BGC, ∴.AD=BG,CD=CG .∴.BG=CG 50/64 .LCBD=∠BCG :∠CGD=∠CBD+∠BCG=45° .∠CBD=22.5° 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的 判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学 会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的 学生. 18.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三 角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型. b 朱实黄实 赵爽 图1 51/64 B 图2 图3 【问题发现】(1)如图2，已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B 分别作其垂线，垂足分别为E,F,求证：△AEC≌△CFB: (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与(1)相同，请写出EF,AE,BF之间的数量 关系，并说明理由： 【问题提出】 (3)在(2)的条件下，若BF=4AE,EF=5,求△BFC的面积. 【答案】 (1)证明：∠ACB=90°， :.∠ECA+∠FCB=90° 又：AE⊥EF,BF⊥EF, ∴.∠AEF=∠BFC=90° ∴.∠ECA+∠EAC=90° ∴.∠FCB=∠EAC 在△ACE和△CBF中， 52/64 I∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC △AEC≌ACFB(AAS) (2)解：EF=BF-AE,理由如下： '∠AEC=∠CFB=90°∠ACB=90° ∴.∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90° ∴.∠CAE=∠BCF 又：AC=BC, ACAE≌△BCF(AAS) ..CE=BF AE=CF ∴.EF=CE-CF=BF-AE 即EF=BF-AE; 50 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定 和性质定理是解题的关键。 (I)根据垂直的定义和余角的性质得到∠FCB=∠EAC,根据全等三角形的性质推出 △AEC≌△CFB (2)根据余角的性质得到∠CAE=∠BCF根据全等三角形的性质得到CE=BF,，AE=CF,等量 53/64 代换得到结论： (3)由(2)得EF=AE+BF且BF=4AE,得到EF=3AE=5,根据三角形的面积公式即可得 到结论. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)得EF=BF-AE且BF=4AE,EF=5, ∴.EF=3AE=5, 板弱 .CF=AE ·AE=CF= 3,则BF=20 3 .·Sc=BF.CF=x2x20=50 2339· 知识点七证一条线段等于两条线段和差 19.如图，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=18O°，DA=DC,点E、 F分别在BC,B,且∠EDF=ADC, D E 54/64 (I)连接EF,试探索线段AF、EF、CE之间的数量关系，并加以证明. (2)若点E在射线BC上，点F在AB延长线上，其它条件不变，(1)中结论是否依然成立？ 画出图形，并直接写出AF、EF、CE之间的数量关系. 【答案】(I)AF+EC=EF,证明如下： 如图3，延长BC到H,使得CH=AF, B H.∠B+∠ADC=180° .∠A+∠BCD=180° '∠DCH+∠BCD=180° .∠A=∠DCH .·AF=CHAD=CD ∴.AAFD≌ACHD(SAS) ∴.DF=DH∠ADF=∠CDH ..∠ADC=∠FDH :∠EDF=I∠ADC 2 ∠EDF=，∠FDM .∴.∠EDF=∠EDH 55/64 DE=DE ∴.△EDF≌AEDH(SAS) .EF=EH EH=EC+CH=EC+AF .EF=AF +EC (②)(I)中的结论不成立，新的数量关系为：EF=AF-CE,作图如下： B E 【分析】(1)由∠B+∠ADC=180°，结合四边形内角和得∠A+∠BCD=180°，故∠A=∠DCH.延 长C到H使CH=AP,由4D=DC,证△MDe,CD(SAS),得DF=DH且∠ADF=∠CDH,推 出∠FDH=∠AC·结合2BDF-ADc,得∠EF-∠EDH,再证DF@,FD(SAS,)得 EF=EH=AF+CE (2)同理在射线BC上截取CH=MF,仍可证 FD2aCHD(SAS)与△EDFEDH(SAS),此时 EH =CH-CE ,等量代换得 EF=AF-CE 【详解】(1)略 56/64 (2)解：在射线BC上（点C的外侧）截取CH=AF,连接DH,如图： H .∠A+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠A+∠BCD=180°， 又'∠DCH+∠BCD=180°， ,∠A=∠DCH 在△AFD和△CHD中， AF=CH ∠A=∠DCH AD=CD ∴.△AFD≌aCHD(SAS) .DF=DH,∠ADF=∠CDH, ,∠ADF+∠CDF=∠CDH+∠CDF, .∠ADC=∠FDH, EDF-ADC :∠EDF=)∠FDH, 2 ∴.∠EDF=∠EDH, 57/64 在△EDF和△EDH中， DF=DH ∠EDF=∠EDH DE=DE ∴.△EDF≌AEDH(SAS) ∴.EF=EH, ∴.CH=CE+EH, ∴.EH=CH-CE, ,CH=AF和EH=EF, ∴.EF=AF-CE」 20.如图，AD‖BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， (I)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长. 【答案】（①） 解：DE⊥CE,理由如下： .DE、CE 分别是<ADC∠BCD 角平分线， 58/64 ∴.∠ADC=2∠EDC,∠BCD=2∠DCE :AD‖BC .∴.∠ADC+∠BCD=180° .:2∠EDC+2∠DCE=180° ∴.∠EDC+∠DCE=90° .∠DEC=90° DE⊥CE (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， (1)先根据角平分线得2∠EDC=∠ADC,2∠DCE=∠BCD,再根据AD‖BC就可得出 ∠EDC+∠DCE=90° ,即可得出结论： (2)在DC上截取DF=AD=3,先证△ADE≌△FDE,再证△BCE≌aFCE,即可得出答案. 【详解】(1)略 (2)解：如图，在DC上截取DF=AD=3,连接EF, D 分别是 的角平分线， .·DE、CE ∠ADC ∠BCD 59/64 ∴.∠EDC=∠ADE,∠DCE=∠BCE 在△ADE和△FDE中， AD=FD ∠ADE=∠FDE DE=DE ∴.AADE2△FDE(SAS) ∴.∠A=∠DFE ADII BC .∴.∠A+∠B=180° .∠DFE+∠CFE=180° .∠B=∠CFE 在△BCE和△FCE中， ∠BCE=∠FCE ∠B=∠EFC CE=CE ∴.△BCE≌AFCE(AAS) ∴.BC=CF=2 ∴.CD=CF+DF=2+3=5 21,如图，在平面直角坐标系中，点4在轴负半轴， 点B(a,b)在第二象限，且“，b是方程 60/64 3(a+1)=b-7 组2a-b=-8的解，BC⊥OA于点C,连接OB,∠BAO=2∠CB0. 图1 图2 图3 (1)直接写出点B坐标一： (2)点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点P运动的时间为‘秒， △BOP 的面积为，当MB=5时，用含有'的式子表示S,(不要求写出的取值范围) (3)在(2)的条件下，当点P在线段OA上时，过O点作AB的平行线交BP的延长线于点G, 连接MG,若OP+OG=PK,∠KB=AG0时，求点K的坐标. 【答案】（①B(-2,4) (2)5=10-44 K(6,0) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形，解二元一次方程组，全等三角形的应用，解题的关键是 根据已知半角关系，利用等腰三角形构造相等的角 (1)利用加减消元法解二元一次方程组求出4，b的值即可得出点B的坐标. 61/64 (2)由题意，知AP=21,然后根据S.x-OP-BC，,表示ABOP的面积5即可. (③)延长oG到M,使MG=AG,连接AM,构造∠M=AG0=∠AKB,进而证明 △ABK≌AOAM(ASA) ,可得OM=AK ，再根据 OP+OG=PK 可得0G=0k .从而可得 M6=AG=4A0=5,作A⊥OG,垂是为H,可得OH=HG=0G,∠A0=90,证明 △ACB≌AAHO(AAS) OH=AC=3 0K=0G=20H=6 K 即可得出 ,由此求出 进而得出点入的坐 标. 3(a+1)=b-7 【详解】(1)解：2a-b=-8 [a=-2 解得： b=4, :B-2,4) (2)设点A的坐标为(x,0),其中x<0, :B(-24利，1B=5 :（2-+4=子，解得：1（不合题意舍去）；5 ∴.点A(-5,0), AP=21, :oP=01-Ar=5-24 m-0p-Bc=x45-24 62/64 即S=10-4 (3)延长OG到M,使MG=AG,连接AM, R花 H G M 图3 ∴.∠M=∠MAG, ∴.∠AG0=2∠M, 又：4KB-4c0, ∴.∠M=∠AKB, :OG∥AB, ∴.∠BAK=∠AOG, 又，AB=A0=5, △ABK≌△OAM(ASA) ∴.AK=OM, 63/64 .OP+OG=PK,PK=PO+OK, ...OK =OG, ∴.AK-OK=OM-OG,即MG=OA, .AG=0A=5, 作AH⊥OG,垂足为H, &0H=G=0G,A0=90 在△ACB和△AHO中， [∠AOH=∠BAC ∠BCA=∠AHO AB=AO .△ACB≌aAHO(AAS), ∴.OH=AC=3, ∴.0G=20H=6, ∴.0K=0G=6, ·点K的坐标为K(6,0) 64/642026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中复习之全等三角形的判定综合及辅助线问题压轴题 （七大题型21道题） 目录 知识点一添加条件使三角形全等 1 知识点二灵活选用判定方法证全等 2 知识点三结合尺规作图的全等问题 4 知识点四倍长中线模型 6 知识点五旋转模型 7 知识点六垂线模型 9 知识点七证一条线段等于两条线段和差 11 知识点一添加条件使三角形全等 1．如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明． (1)你添加的条件是______（）． (2)写出证明过程． 2．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 知识点二灵活选用判定方法证全等 4．如图，点在上，点在上，与相交于点，连接．已知，，． (1)任意写出图中的两组全等三角形： ； ； (2)从（1）中选取一组你写出的全等三角形进行证明． 5．已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 6．数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 知识点三结合尺规作图的全等问题 7．如图①所示为一条长的线段．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）． (1)请在图②中画出一个满足题设条件的三角形． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请在图③中画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 8．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 9．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 知识点四倍长中线模型 10．如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 11．中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 12．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 知识点五旋转模型 13．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 14．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 15．（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点且，直接写出图中线段、、之间的数量关系，不必证明． （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以65海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且，试求此时两舰艇之间的距离．    知识点六垂线模型 16．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 17．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 18．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 知识点七证一条线段等于两条线段和差 19．如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 20．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴，点在第二象限，且，是方程组的解，于点，连接，． (1)直接写出点坐标_____； (2)点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点运动的时间为秒，的面积为，当时，用含有的式子表示；（不要求写出的取值范围） (3)在（2）的条件下，当点在线段上时，过点作的平行线交的延长线于点，连接，若，时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $