2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章三角形勾股定理 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由三角形面积公式得出，由中线的定义即可求出． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 2．学校里有一块面积为17平方米的正方形菜地，则这块菜地的边长介于（     ） A．4米与5米之间 B．5米与6米之间 C．6米与7米之间 D．7米与8米之间 【答案】A 【分析】由正方形面积得边长为，通过比较相邻整数的平方估算其取值范围． 【详解】解：设正方形菜地的边长为米， 由题意得，且， 故， ∵，，， ∴． 3．在，0，，，，，，（相邻两个之间依次多个）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先化简可开方的根式，再根据无理数定义筛选计数． 【详解】解：，， 无理数有，，，（相邻两个之间依次多个），共个． 4．如图，在和中，点C在边上，若，，则添加下列条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵，，，∴； B．添加，不能判定； C．∵，，，∴； D．∵，∴，∵，，∴． 5．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 6．下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题即可得到答案； 【详解】解： ①∵、、为一组勾股数，不妨设，且、、都是正整数， ∴， 且、、都是正整数，因此、、仍是勾股数，故①正确； ②直角三角形的两边长为3和4时，若4是斜边，第三边长为，不一定为5，故②错误； ③∵，， ∴，因此这个三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，是斜边， ∴，即， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是①④； 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质及勾股定理，可以得到正方形的边长为，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：如图， 在中，用勾股定理可得到， 由题意可知，四个直角三角形全等， ∴，， 同理，可得， ∴在中，应用勾股定理得到： ． 8．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与全等时，点的运动速度为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：或，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， ∴点的运动速度为； 当时，， ∴运动时间为， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 9．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 10．如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，先根据三角形的边长和面积求出高的值，根据垂直平分线的性质和判定，推出，，再根据勾股定理推出有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值，根据，推出当三点共线时，，即有最小值，然后求的最小值，根据，即当重合时，有最小值，最小值为，推出，等量代换得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， ∵点是和中垂线的交点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在中，根据勾股定理可得，， ∴有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值， ∵， ∴当三点共线时，，即有最小值， ∵， ∴当重合时，有最小值，最小值为，即有最小值为４，即有最小值， 如图所示， ∴，即， ∴ ∴在中，根据勾股定理可得，， 整理得：，解得：， ∴的最小值是． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，若将三个数、、表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数最有可能是__________． 【答案】 【分析】先估算出三个数、、的取值范围，再结合数轴上解集的范围来判断哪个数被包含． 【详解】解：∵， ∴ 不等式两边同时乘以，得； ∵ ∴，即， 不等式两边同时除以，得； ∵ ∴，即 不等式两边同时乘以，得； 根据数轴可知解集范围为里的数符合题意，对比、、的取值范围，只有在这个范围内． 因此，被图中表示的解集包含的数最有可能是． 12．若实数、满足，则________． 【答案】 【分析】先利用算术平方根的双重非负性求出与，再代入求值即可． 【详解】解：∵ 非负数才有平方根， ∴ 需同时满足和， 由解得， 由解得， ∴ ， 将代入，得， 将，代入，得． 13．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为________． 【答案】 6 【分析】延长交于点，利用角平分线和垂线证明，得出为中点，利用三角形中线将三角形面积平分的性质得出求解． 【详解】解：如图，延长交于点 ， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，则与的和等于________度． 【答案】 【分析】根据网格得全等三角形，再根据等腰三角形性质及三角形内角和求解即可． 【详解】解：观察网格，可得， 又， ， ， 如图，有， ， 根据三角形内角和定理，得 ． 15．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长为___________． 【答案】2 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 16．如图，在四边形中，，，，，若分别是边，上的动点，则的周长最小为_______． 【答案】 【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6． 【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点，连接交和于点和点，，连接、，在和上分别取一动点和（不同于点和， 连接，，和，如图1所示： ，，， ， 又，，， ， 故当与M重合、与N重合，即、M、N、共线时，的周长最小，最小值为的长； 连接，过点作于的延长线于点，     如图示2所示： 在中，，， ， 由轴对称性质得，，，， ∴， ∴是等边三角形，则    ， ， 又， ， ， ， 又， ，则， ，， 在中，由勾股定理得：． 故的周长最小为6． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，方格纸上每个小方格的边长均为1； (1)在图①中，以线段为边在网格纸上画一个正方形，顶点都落在格点上，该正方形的面积为________． (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中斜边为． 【答案】(1)；13 (2) 【分析】（1）根据正方形的判定画图即可；利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式计算即可． （2）借助网格，结合勾股定理、无理数的定义画图即可． 【详解】（1）解：图略． 由勾股定理得，，该正方形的面积为． （2）解：图略，，， 故， ∴即为所求． 18．（8分）观察图所示的图形，每个小正方形的边长为． (1)图中阴影部分的面积是________，边长是________，则表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的________段上（填序号）． (2)已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分， 求：①，的值．     ②的算术平方根． 【答案】(1)13，，④ (2)①；；② 【分析】（1）利用割补法求出阴影部分的面积，根据正方形的面积公式求出其边长，再估算出其边长的取值范围即可得到答案； （2）①估算出的范围即可确定x、y的值；②求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，图中阴影部分的面积是， ∵阴影部分是一个正方形，其面积为13， ∴边长是； ∵， ∴， ∴表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的④段上； （2）解：①， 的整数部分为3， 的小数部分为，即． ∵， ， 的整数部分是3，即． ②当时，． ∴的算术平方根为． 19．（8分）如图，点是外一点，连接，，过点作，垂足为，过点作交延长线于点．，，的面积为20． (1)求证：是的角平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵，的面积为20， ∴ ∴ ∵， ∴是的角平分线； (2)证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵又， ∴ ∴． 【分析】（1）由三角形面积公式求出，然后利用角平分线的判定定理证明即可； （2）证明，得到，然后证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 20．（8分）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． (3)若，，求第三边c的取值范围． 【答案】(1) (2)等边三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系，再化简即可； （2）根据平方和绝对值的非负性，可得，，从而，即可求解； （3）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：的三边长分别为a，b，c， ，， ，， ； （2）解：， 且， ，，即，， ， 是等边三角形； （3）解：， ． 21．（10分）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 22．（10分）在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，为等边三角形，点的横坐标为． (1)如图，求线段的长． (2)如图，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，设的长为，的长为，用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． (3)在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，为等边三角形，求的度数．若线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)的度数为；点的横坐标为 【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质得到，继而根据等腰三角形的性质即可得到答案； （3）过点作，交轴于点，过点作轴于点，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质得到，，，，，通过证明，可得关于的方程，求出的值，代入即可得到点的横坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， 点横坐标为， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ， ， ，且， ， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为． 23．（10分）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（10分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】(1)3 (2) ， 证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）略 （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章三角形勾股定理 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．学校里有一块面积为17平方米的正方形菜地，则这块菜地的边长介于（     ） A．4米与5米之间 B．5米与6米之间 C．6米与7米之间 D．7米与8米之间 3．在，0，，，，，，（相邻两个之间依次多个）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，在和中，点C在边上，若，，则添加下列条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 6．下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与全等时，点的运动速度为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 10．如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，若将三个数、、表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数最有可能是__________． 12．若实数、满足，则________． 13．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为________． 14．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，则与的和等于________度． 15．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长为___________． 16．如图，在四边形中，，，，，若分别是边，上的动点，则的周长最小为_______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，方格纸上每个小方格的边长均为1； (1)在图①中，以线段为边在网格纸上画一个正方形，顶点都落在格点上，该正方形的面积为________． (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中斜边为． 18．（8分）观察图所示的图形，每个小正方形的边长为． (1)图中阴影部分的面积是________，边长是________，则表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的________段上（填序号）． (2)已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分， 求：①，的值．     ②的算术平方根． 19．（8分）如图，点是外一点，连接，，过点作，垂足为，过点作交延长线于点．，，的面积为20． (1)求证：是的角平分线． (2)若，求证：． 20．（8分）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． (3)若，，求第三边c的取值范围． 21．（10分）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 22．（10分）在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，为等边三角形，点的横坐标为． (1)如图，求线段的长． (2)如图，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，设的长为，的长为，用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． (3)在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，为等边三角形，求的度数．若线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，，求点的横坐标． 23．（10分）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 24．（10分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $