【期中专项】专项05 旋转与相似（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版九年级上册
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内容正文：
专项05 旋转与相似
目 录
考点01 旋转的性质
考点02 坐标与图形变化-旋转
考点03 相似三角形的判定与性质
考点04 黄金分割与位似变换
考点05 四边形综合题
考点01 旋转的性质
难度层级：提升 | 知识点：旋转三要素/旋转的性质
1．D
2．B
3．（1），，； （2）； （3）添加或．
4．（1）如图所示，点即为所求；
（2）证明：如图所示，设交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵把绕着点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
考点02 坐标与图形变化-旋转
难度层级：提升 | 知识点：坐标与旋转
5．D
6．（1），
则即为所求．
（2）解：根据旋转的性质，画图如下：
则即为所求．
7．（1）见解析 （2）见解析 （3）
8．（1）如图所示：即为所求，
（2）如图所示：即为所求，
考点03 相似三角形的判定与性质
难度层级：提升 | 知识点：相似判定与性质
9．C
10．
11．##
12．（1） （2）相似，如图，
∵、分别为的两条高，
，
∵，
∴，
，
，
∵．
∴．
13．（1）， （2）有，
考点04 黄金分割与位似变换
难度层级：提升 | 知识点：黄金分割/比例线段/位似
14．D
15．
16．或
考点05 四边形综合题
难度层级：拓展 | 知识点：特殊四边形（二次函数综合）
17．（1），， （2），
18．（1） （2） （3）存在，点D的坐标为或或或
19．（1） （2） （3）存在；点M的坐标为或或
20．（1） （2）解：应为直角三角形，
证明如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且是抛物线的顶点，
，
又，
，
，
，
，
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
（3）存在，
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专项05 旋转与相似
目 录
考点01 旋转的性质
考点02 坐标与图形变化-旋转
考点03 相似三角形的判定与性质
考点04 黄金分割与位似变换
考点05 四边形综合题
考点01 旋转的性质
难度层级：提升 | 知识点：旋转三要素/旋转的性质
1．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A. 点， B. 点，
C. 点， D. 点，
2．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______和______；
（2）若，，求的长；
（3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由）
4．如图1，中，，的大小保持不变，点在斜边上，，垂足为点．如图2，把绕着点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点．
（1）求作点 D 的对应点 Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，直线相交于点 F，求证：．
考点02 坐标与图形变化-旋转
难度层级：提升 | 知识点：坐标与旋转
5．如图，正方形的顶点，，对角线交于点H，将正方形以原点O为旋转中心，作以下变换：第一次逆时针旋转，第二次再顺时针旋转，第三次继续逆时针旋转，第四次依然顺时针旋转，……，重复这样的过程，当旋转30次后，点H的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的．
7．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的；
（3）将绕点P顺时针旋转与重合，请直接写出点P的坐标．
8．如图，三个顶点的坐标分别为
（1）画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标；
（2）画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标．
考点03 相似三角形的判定与性质
难度层级：提升 | 知识点：相似判定与性质
9．如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
10．如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________．
11．如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为________．
12．如图，在中，、分别为的两条高，且交于点．
（1）图中有_____对相似三角形；
（2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
13．如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以说明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由．
考点04 黄金分割与位似变换
难度层级：提升 | 知识点：黄金分割/比例线段/位似
14．以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. 或
C. D. 或
15．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是________．
16．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为________．
考点05 四边形综合题
难度层级：拓展 | 知识点：特殊四边形（二次函数综合）
17．如图，抛物线经过，，三点．
（1）求、、的值；
（2）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标；
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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专项05 旋转与相似
目 录
考点01 旋转的性质
考点02 坐标与图形变化-旋转
考点03 相似三角形的判定与性质
考点04 黄金分割与位似变换
考点05 四边形综合题
考点01 旋转的性质
难度层级：提升 | 知识点：旋转三要素/旋转的性质
1．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A. 点， B. 点，
C. 点， D. 点，
【答案】D
【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．
【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到，
旋转中心是点，旋转角为．
2．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，
∴，，，
∵点旋转后的对应点恰好在直线上，
∴，故选项正确；
∵是的外角，
∴，
∴，故选项不正确；
∵为旋转角，
∴，故选项正确；
∵，，
∴，故选项正确；
故选：．
3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______和______；
（2）若，，求的长；
（3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由）
【答案】（1），，； （2）； （3）添加或．
【分析】本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据旋转定义即可求解；
（）通过勾股定理得，由旋转性质可得，然后由线段和差即可求解；
（）根据“一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解．
【小问详解】解：根据旋转定义可得，旋转中心是点，旋转角是和，
故答案为：，，；
【小问详解】解：∵，，，
∴，
由旋转性质可得，
∴；
【小问详解】解：添加，
由旋转性质可得，
∵，
∴是等边三角形；
添加，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
4．如图1，中，，的大小保持不变，点在斜边上，，垂足为点．如图2，把绕着点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点．
（1）求作点 D 的对应点 Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，直线相交于点 F，求证：．
【答案】（1）如图所示，点即为所求；
（2）证明：如图所示，设交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵把绕着点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】（1）作，，则点即为所求；
（2）根据题意得出，则，进而根据旋转的性质得出，证明得出，根据三角形的外角的性质即可得出，进而得出结论．
【小问详解】略
【小问详解】略
考点02 坐标与图形变化-旋转
难度层级：提升 | 知识点：坐标与旋转
5．如图，正方形的顶点，，对角线交于点H，将正方形以原点O为旋转中心，作以下变换：第一次逆时针旋转，第二次再顺时针旋转，第三次继续逆时针旋转，第四次依然顺时针旋转，……，重复这样的过程，当旋转30次后，点H的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】如图所示，过点H作轴于M，轴于N，连接，先证明四边形是矩形，得到，再由正方形的性质证明，进而证明，得到，，从而证明四边形是正方形，得到，由此求出，则点H在第一象限的角平分线上，再根据旋转方式判断出经过30次旋转后，点H在第二象限的角平分线上即可得到答案．
【详解】解；如图所示，过点H作轴于M，轴于N，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点H在第一象限的角平分线上，
∵将正方形以原点O为旋转中心，作以下变换：第一次逆时针旋转，第二次再顺时针旋转，第三次继续逆时针旋转，第四次依然顺时针旋转，……，
∴经过6次旋转后，点H在第二象限的角平分线上，
∴经过12次旋转后，点H在第三象限的角平分线上，
∴经过18次旋转后，点H在第四象限的角平分线上，
∴经过24次旋转后，点H在第一象限的角平分线上，
∴经过30次旋转后，点H在第二象限的角平分线上，
∴旋转30次后点H的坐标为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确求出点H的原始坐标是解题的关键．
6．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的．
【答案】（1），
则即为所求．
（2）解：根据旋转的性质，画图如下：
则即为所求．
【分析】（1）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可；
（2）根据旋转的性质画图解答即可；
本题考查了中心对称作图，旋转作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键．
【小问详解】解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，，
则，
【小问详解】略
7．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的；
（3）将绕点P顺时针旋转与重合，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点即可；
（3）作和的垂直平分线，交点即为所求的点P．
【小问详解】如图，即为所求；
【小问详解】如图，即为所求；
【小问详解】如图，点P即为所求，．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
8．如图，三个顶点的坐标分别为
（1）画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标；
（2）画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标．
【答案】（1）如图所示：即为所求，
（2）如图所示：即为所求，
【分析】（1）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形；
（2）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形．
【小问详解】略；
【小问详解】略．
考点03 相似三角形的判定与性质
难度层级：提升 | 知识点：相似判定与性质
9．如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解．
【详解】和是两个全等的等腰直角三角形
，
，，
，，，
共有对．
故选：C．
10．如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质；关键是知道面积比等于相似比的平方；
根据给定中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可求另一个三角形面积。
【详解】解：设另一个三角形的面积为，
∵相似三角形对应边的中线之比为∶，
∴相似比为∶，
∴面积比为∶，
∵，
∴．
故答案为：．
11．如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为________．
【答案】##
【分析】先根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出，再求出解即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
即，
∴，
解得或（舍去），
∴和的相似比为．
12．如图，在中，、分别为的两条高，且交于点．
（1）图中有_____对相似三角形；
（2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
【答案】（1） （2）相似，如图，
∵、分别为的两条高，
，
∵，
∴，
，
，
∵．
∴．
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；
（1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解；
（2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证
【小问详解】解：图中有对相似三角形
∵、分别为的两条高，
，
又∵，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴共6对相似三角形，
故答案为：．
【小问详解】略
13．如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以说明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由．
【答案】（1）， （2）有，
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形外角定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据余角的定义及直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知，再根据等量代换即可得出，然后根据等边对等角及三角形外角的定义即可得出，即可得出；
（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断．
【小问详解】解：，．理由如下：
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问详解】有．．
，，
．
考点04 黄金分割与位似变换
难度层级：提升 | 知识点：黄金分割/比例线段/位似
14．以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【详解】解以原点为位似中心，与的相似比为，点的坐标为
点的坐标为或，即或
15．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是________．
【答案】
【分析】根据正方形和矩形的面积公式，分别写出、的表达式，为的平方，为与的乘积．利用题目给出的黄金分割的比例关系，通过比例的基本性质交叉相乘，得到线段乘积的等式．将得到的线段乘积等式与、的表达式对比，即可判断二者的大小关系．
【详解】，
，
，
16．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为________．
【答案】或
【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为，
．
，且相似比为，
，
，，
当在点A右侧时，；
当在点A左侧时，；
或．
考点05 四边形综合题
难度层级：拓展 | 知识点：特殊四边形（二次函数综合）
17．如图，抛物线经过，，三点．
（1）求、、的值；
（2）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），， （2），
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数即可求出的值，从而确定二次函数，分别令和即可求出和的值．
（2）分点在轴上方和在轴下方两种情况讨论，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，将其代入二次函数即可求出点坐标．
【小问详解】解：抛物线经过，
，
，
，
令，则，
，
，，
，，
．
令则．
【小问详解】解：①当点在轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示，
，，
．
点在二次函数上，
，
，，
，
．
②当点在轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点，
为平行四边形，
，，
，
，
，
,
点在轴上方时，
，
，
，，
点在轴左侧的抛物线上，
，
，
．
18．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标；
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，点D的坐标为或或或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【小问详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问详解】解：∵点在抛物线上，
∴，
∴点C的坐标为．
设直线的解析式为，
∵直线过点和点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，
∴，
，
，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
【小问详解】解：存在，理由如下：
设点D的坐标为，点F的坐标为，
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解得，，
∴此时点D的坐标为或；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解得，（此时点F和点C重合，故舍去），
∴此时点D的坐标为；
若和为平行四边形的对角线时，
∴的中点即为的中点，
∴，
解得，（此时点F和点C重合，故舍去），
此时点D的坐标为．
综上，存在，此时点D的坐标为或或或．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在；点M的坐标为或或
【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为；
（2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可．
【小问详解】解：将A的坐标，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问详解】解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时；
【小问详解】解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
∴，
解得：，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示：
∴，
解得，
∴；
③以、为对角线，则、中点重合，如图所示：
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为：或或．
20．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）解：应为直角三角形，
证明如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且是抛物线的顶点，
，
又，
，
，
，
，
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
（3）存在，
【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标．
【小问详解】解：将代入抛物线中，
得，
可解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问详解】略
【小问详解】解：存在，均可满足条件．
∵要使以为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
∴对角线的中点为固定值．
∵在抛物线对称轴上，在抛物线上，
∴可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
②两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
③两条对角线为时，
有，
解得，
即此时．
故满足条件的点有3个，分别为．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全．
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