【期中专项】专项03 二次函数的应用与综合（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

专项03 二次函数的应用与综合 目 录 考点01 二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 考点02 二次函数综合题 考点03 二次函数基础计算 考点01　二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 难度层级：提升　|　知识点：实际问题与二次函数（图形/销售/拱桥/投球/喷水/增长率） 1．如图，​在菱形​中，​，​，​矩形​的四个顶点分别在菱形的四边上，​则矩形​的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】连接，​​交于点O，​​分别交，​​于点E，​F，​首先根据菱形的性质，​可得​是等边三角形，​，​，​再根据矩形的性质，​可得，​设，​根据直角三角形的性质，​可得，​，​，​可得，​再根据矩形的面积公式及二次函数的性质，​即可求解． 【详解】解：如图，​连接，​​交于点O，​​分别交，​​于点E，​F． ​在菱形​中，​，​，​ ​是等边三角形，​，​ ． ​四边形​为矩形，​ ，​，​，​ ． 设，​则，​，​ ，​ ． ，​ ，​ ​当​时，​矩形的面积有最大值，​ 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，​矩形的性质，​勾股定理，​二次函数的应用，​直角三角形的性质，​得到矩形​的面积与a的函数关系式是解决本题的关键． 2．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，​GH的总长为，​且隔断EF，​GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，​矩形ABCD的面积为，​y关于x的函数图象如图②，​则下列说法正确的是（ ） A. 矩形ABCD的最大面积为 B. 当​时，​矩形ABCD的面积最大 C. a的值为12 D. 以上说法均错误 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和性质，​解题的关键是识别函数图象，​确定自变量的取值为何值时函数取得最大值． 观察图2，​得出当​时，​函数值​最大，​可判断A、B错误；​根据题意确定，​即判断C正确，​进而可判断D． 【详解】解：由题图②可知，​矩形ABCD的最大面积为，​此时，​故A，​B选项错误；​ 当​时，​矩形ABCD的面积取最大值4，​ ，​ ，​ 故C选项正确，​D选项错误． 故选：C． 3．如图，​某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，​已知​米，​则该四边形公园的最大面积为________平方米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，​二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，​二次函数的最值是解题的关键． 由，​可得，​如图，​记​的交点为，​根据，​求最值即可． 【详解】解：∵，​ ∴，​ 如图，​记​的交点为，​ ∴，​ 整理得，​，​ ∵，​ ∴当​时，​该四边形公园的面积最大，​为​平方米，​ 故答案为：． 4．如图，​在​中，​，​，​．点​从点​出发，​以​的速度沿​运动；​同时，​点​从点​出发，​以​的速度沿​运动．当点​到达​时，​​两点同时停止运动．则​的最大面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，​设运动时间为，​则，​，​，​，​然后用面积公式得出二次函数解析式，​最后利用性质即可求解，​熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，​ 由题意得，​，​，​ ∴，​ ∴​的面积为，​ ∵，​ ∴当​时，​​的面积有最大值，​为，​ 故答案为：． 5．某批发商销售一种成本是40元/副的防寒手套，当每副防寒手套的售价定为60元时，一天内可卖出100副．经调研得知，该防寒手套的单价每降低1元，每天的销量可增加10副． （1）当防寒手套的单价在定价的基础上降低2元时，每天的销售量为________副． （2）该批发商每天要获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，那么这种防寒手套的售价应降价________元．当每副防寒手套的定价为________元时，该批发商可获得最大利润． 【答案】① 120 ② 6 ③ 55 【分析】（1）利用平均每天的销售量(每副降低的价格)，​即可得出结论；​ （2）设每天利润为，​每副手套应降价​元，​则​化简求最大值即可． 【详解】解：（1）∵该防寒手套的单价每降低1元，​每天的销量可增加10副，​ ∴当防寒手套的单价在定价的基础上降低2元时，​每天销售量可增加（副） ∴每天的销量为：（副） 故答案为：120；​ （2）设这种防寒手套的售价应降价​元，​则每副防寒手套的销售利润为​元，​平均每天的销售量为​副，​ 依题意得，​ 解得，​． ∵尽可能让利于顾客，​赢得市场，​ ∴每副防寒手套应降价6元． 设利润为w，​依据题意可知，​ ． ∵，​ 当​时，​批发商可获得最大利润． 即每副防寒手套的定价为55元． 故答案为：6；​55. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式． 6．用一根长​的铁丝： （1）能否围成面积是​的矩形？ （2）能否围成面积是​的矩形？ （3）用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 【答案】（1）用一根长​的铁丝能围成面积是​的矩形 （2）不能围成面积是​的矩形 （3） 【分析】本题考查了矩形的面积、一元二次方程的应用和二次函数的性质及应用． （1）设这个矩形的一边长为，​由矩形的面积公式列出方程，​解方程即可；​ （2）同（1）列出方程，​由判别式，​即可得出结果；​ （3）设当矩形的一边长为​时，​面积为，​由矩形的面积公式列出方程，​整理配方得，​根据二次函数的性质即可得出结果． 【小问详解】解：设这个矩形的一边长为，​则另一边长为，​ 根据题意得，​ 解得：，​，​ 当​时，​；​ 当​时，​，​ 即能围成面积是​的矩形，​此时长和宽分别为；​ 【小问详解】根据题意得：，​ 整理得，​ ，​ 方程无解，​因此不能围成面积是​的矩形；​ 【小问详解】设当矩形的一边长为​时，​面积为，​ 由题意得：，​ 整理得，​ 当​时，​n有最大值，​ 故这根铁丝围成的矩形最大面积是． 7．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与降价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）（） （2）销售单价为80元时，​每天的销售利润最大，​最大利润是4500元 【分析】（1）根据“利润=(售价-成本)×销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 【小问详解】解：根据题意得： ∴（）；​ 【小问详解】解：由（1）知： ∵，​ ∴抛物线开口朝下，​ ∵，​对称轴为直线，​ ∴当​时，​有最大值，​，​ 此时，​​元；​ 即销售单价为80元时，​每天的销售利润最大，​最大利润是4500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键． 8．某超市购进若干袋干果，​每袋成本20元．销售过程中发现，​每天销售量y（单位：袋）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似的看作一次函数： ，​设每天获得的利润为w（单位：元）． （1）求出w关于x的函数解析式；​ （2）当销售单价定为多少元时，​每天可获得最大利润? 最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当销售单价定为每袋30元时，​每天可获得最大利润，​最大利润是200元 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题意列出等式，掌握求二次函数求最值的方法． （1）由利润=每袋利润×销量求解； （2）将函数解析式化为顶点式求解． 【小问详解】解：由题意可得 ∴w关于x的关系式为；​ 【小问详解】解：，​ ∵，​且，​ ∴当​时，​y最大值，​ 答：当销售单价定为每袋30元时，​每天可获得最大利润，​最大利润是200元． 考点02　二次函数综合题 难度层级：拓展　|　知识点：二次函数综合（线段/面积/角度/特殊三角形/特殊四边形/相似） 9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ） A. （﹣，​） B. （，​﹣） C. （﹣，​1） D. （，​3） 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，​过点P作PGy轴交AC于点G，​设P（t，​），​则G（t，​t＋2），​求出PG＝，​可得，​进而可得当t＝​时，​​有最大值，​问题得解． 【详解】解：将点A（−3，​0），​B（1，​0）代入​中，​得，​ 解得：，​ ∴二次函数解析式为，​ 令x＝0，​则，​ ∴C（0，​2），​ 设直线AC的解析式为y＝mx＋n，​ 代入A（−3，​0），​C（0，​2）得，​ 解得，​ ∴直线AC的解析式为y＝x＋2，​ 过点P作PGy轴交AC于点G，​ 设P（t，​），​则G（t，​t＋2），​ ∴PG＝，​ ∴，​ ∴当t＝​时，​​有最大值，​此时P（，​），​ 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键． 10．如图，​点​是抛物线​上位于第二象限的一动点，​​交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，​有以下结论：①；​②；​③​的面积为定值；​④直线​必过一定点．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，​勾股定理，​正确的计算是解题的关键． 由点的坐标，​根据勾股定理可得②正确，​进而可以判断①，​由，​​在抛物线​上，​得到，​结合直线​解析式可得，​进而判断④，​根据割补法进行列式计算，​即可判断③． 【详解】解：，​ ∴ 则，​ ，​ 即 ，​ 即，​ 故①正确，​ ，​​在抛物线​上 ，​ ∵，​ ，​ ，​ 故②正确，​ ，​​在抛物线​上，​ ，​ ∴，​ 设直线​的解析式为，​ 将，​​代入​得，​ ，​ ，​ 当​时，​则，​ ​直线​必过一定点，​ 故④正确，​ 分别过点​作​轴，​作​轴，​ ∴ ∵​都是会变化的，​ 故​不为定值，​ 故③不正确． 故选B 11．如图，​抛物线​经过点，​与x轴交于A，​B两点，​连接，​M为线段​上的一个动点，​过点M作​轴，​交抛物线于点P，​交​于点Q．过点P作，​垂足为N，​设点M的坐标为，​则​的最大值________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，​一次函数与几何综合，​勾股定理，​等腰直角三角形的性质与判定，​先利用待定系数法求出二次函数解析式，​进而求出点B的坐标，​则可证明，​得到，​进而证明​是等腰直角三角形，​得到；​求出直线​解析式为，​得到，​，​则，​据此可得，​由此可得答案． 【详解】解：∵​经过点，​ ∴，​ ∴，​ ∴抛物线解析式为，​ 在​中，​当​时，​解得​或，​ ∴，​ ∴，​ 又∵，​ ∴；​ ∵​轴，​ ∴​是等腰直角三角形，​ ∴，​ ∴，​ 又∵，​ ∴​是等腰直角三角形，​ ∴，​ ∴；​ 设直线​解析式为，​ ∴，​ ∴，​ ∴直线​解析式为，​ ∵，​ ∴，​，​ ∴，​ ∴ ，​ ∵，​ ∴当，​即​时，​​有最大值，​最大值为，​ 故答案为：． 12．如图，​已知二次函数​图象与x轴交于点A，​与y轴交于点B，​在对称轴上存在一点P，​使以P，​A，​O，​B为顶点的四边形为平行四边形，​写出此时点P的坐标________． 【答案】​或 【分析】本题考查了二次函数的性质，​平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，​，​设，​根据平行四边形的性可知，​即，​即可求出点P的坐标． 【详解】解：当​时，​，​则，​ 当​时，​，​ 解得：，​ ∴，​ 设，​ ∵以P，​A，​O，​B为顶点的四边形为平行四边形，​ ∴，​ ∴，​ ∴，​ 即​或． 故答案为：​或． 13．如图，​在平面直角坐标系中，​抛物线​经过​两点，​M是该抛物线的顶点，​直线​与y轴交于点C，​ 若P是该抛物线上一动点，​Q是该抛物线对称轴上一动点，​使得以C，​M，​P，​Q为顶点的四边形是平行四边形，​则点Q 的坐标为________． 【答案】​或​或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，​平行四边形与二次函数的综合，​注意分类讨论；​用待定系数法求出二次函数解析式，​顶点坐标及对称轴；​再求出直线​的解析式，​从而求得点C的坐标；​设P、Q两点坐标，​分三种情况，​利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线​经过​两点，​ ∴，​ 解得：，​ ∴二次函数解析式为，​ 配方得：，​ ∴顶点坐标为，​对称轴为直线；​ 设直线​解析式为，​ 把A、M坐标代入得：，​ 解得：，​ 即直线​解析式为，​ 上式中令，​得，​ ∴；​ 设，​；​ 当​为对角线时，​则有，​解得：，​ ∴；​ 当​为对角线时，​则有，​解得：，​ ∴；​ 当​为对角线时，​则有，​解得：，​ ∴；​ 综上，​点Q的坐标为​或​或． 故答案为：​或​或． 14．如图1，​在平面直角坐标系中，​抛物线​与​轴交于​两点，​与​轴交于点． （1）求抛物线的解析式；​ （2）如图1．点​是直线​上方抛物线上的一动点，​过点​作​轴的平行线​交直线​于点，​过点​作​轴的平行线​交直线​于点，​求​面积的最大值及此时点​的坐标；​ （3）如图2，​连接，​，​抛物线上是否存在点，​使？若存在，​请直接写出点​的坐标；​若不存在，​请说明理由． 【答案】（1） （2）​面积的最大值为，​此时点​的坐标为 （3）存在，​点Q的坐标为​或 【分析】（1）利用待定系数法解答；​ （2）先求出直线​的解析式，​证明​为等腰直角三角形，​则，​设，​则，​可得，​即可求解；​ （3）分两种情况：当点Q在​上方时，​ 当点Q在​下方时，​即可求解． 【小问详解】解：∵抛物线​与​轴交于​两点，​ ∴，​ 解得：，​ ∴抛物线的解析式为；​ 【小问详解】解：对于，​ 当​时，​，​ ∴点，​ 设直线​的解析式为，​ 把点，​​代入得：，​ 解得：，​ ∴直线​的解析式为，​ ∵，​，​ ∴，​ ∴，​ ∵​轴，​​轴，​ ∴，​ ∴​为等腰直角三角形，​ ∴，​ 设，​则，​ ∴，​ 当​时，​​取得最大值，​此时点，​​的面积最大，​最大值为；​ 【小问详解】解：存在． 当点Q在​上方时，​作点​关于y轴的对称点，​过点B作​交抛物线于点Q，​则，​ ∴，​ ∵，​ ∴，​ ∵，​ ∴，​此时点Q符合题意，​ 设直线​的解析式为，​ 把点​代入得： ，​ 解得：，​ ∴直线​的解析式为，​ 可设直线​的解析式为，​ 把点​代入得：，​ 解得：，​ ∴直线​的解析式为，​ 联立得：，​ 解得：​或，​ ∴点Q的坐标为；​ 当点Q在​下方时，​作点，​直线​与抛物线交于点，​ 同理直线​的解析式为，​ ∵，​ ∴，​ ∴，​ ∴，​ 联立得：，​ 解得：​或，​ ∴点​的坐标为；​ 综上所述，​点Q的坐标为​或． 15．如图，​抛物线​与​轴交于​两点，​与​轴交于点C． （1）求抛物线的对称轴；​ （2）若点D是抛物线上的一点，​当​的面积为10时，​求点D的坐标；​ （3）点P是抛物线对称轴上的一点，​在抛物线上是否存在一点Q，​使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，​求出点Q的坐标；​若不存在，​请说明理由． 【答案】（1） （2）​或 （3）存在，​Q点的坐标为​或​或 【分析】（1）根据抛物线与​轴的两个交点求解即可；​ （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为：，​设点D的坐标为，​则，​解方程即可得到点D的坐标；​ （3）设，​，​则，​分两种情况讨论：①当​为边时，​此时四边形​和​是平行四边形；​②当​为四边形的对角线时，​此时四边形​是平行四边形，​根据平行四边形对边平行且相等求解即可． 【小问详解】解：​抛物线​与​轴交于​两点，​ ​抛物线的对称轴为直线；​ 【小问详解】解：将、​代入​得，​ ，​解得：，​ ∴抛物线的解析式为：，​ 设点D的坐标为，​ 、，​ ，​ ∴，​即，​ ∴​或（无解舍去），​ 解得：，​，​ ∴点D的坐标为​或；​ 【小问详解】解：由（1）可知，​抛物线​的对称轴为：，​ 设，​，​ ，​ 分两种情况讨论： ①当​为边时，​此时四边形​和​是平行四边形，​ ，​，​，​，​ ∴，​, 解得：，​，​ 此时点Q的坐标为​或． ②当​为四边形的对角线时，​此时四边形​是平行四边形，​ ，​，​ ∴，​即，​ 此时点Q的坐标为；​ 综上所述，​存在满足条件的Q点的坐标为​或​或． 16．已知，​​是一元二次方程​的两个实数根，​且，​抛物线​的图象经过点，​​如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；​ （2）点​是直线​下方抛物线上的一个动点，​若​的面积等于​面积的一半，​求点​的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为​或 【分析】（1）解方程，​可得：，​，​利用待定系数法求出抛物线的解析式；​ （2）利用待定系数法求出直线​的解析式，​过点​作​轴交​于点，​设，​则，​可得，​根据​的面积等于​面积的一半，​可得方程，​解方程即可求出点​的坐标． 【小问详解】解：解方程，​ 可得：，​，​ ，​​是一元二次方程​的两个实数根，​且，​ ，​，​ ​抛物线​的图象经过点，​，​ ，​ 解得：，​ ​抛物线解析式为；​ 【小问详解】解：如下图所示，​过点​作​轴交​于点，​ 设直线​的解析式为，​ 把​代入得，​ 解得，​ ​直线BC的解析式为，​ 设，​则，​ ，​ ，​ ，​ 即，​ 整理得：，​ 即，​ ​或，​ 当​时，​，​ 当​时，​，​ ​点​的坐标为​或． 考点03　二次函数基础计算 难度层级：基础　|　知识点：配方/顶点式/二次函数定义与求值 17．用配方法将二次函数​化为顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了将二次函数一般式变为顶点式，使用配方法将二次函数一般式化为顶点式，需加上和减去一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵，​ ∴，​ 即，​ ∴，​ 故选：D． 18．把二次函数y=x2+2x－2配方成顶点式为（ ） A. y=（x－1）2+2 B. y=（x－1）2+1 C. y=（x+1）2－3 D. y=（x+2）2－1 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤完成即可． 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、配方法的应用，关键是配方． 19．徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数（单位：米）描述，​其中​是水平距离，​​是高度，​则该抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，通过顶点坐标公式直接求解． 【详解】解：二次函数​中，​，​，​． 顶点横坐标，​ 代入​得，​ 故顶点坐标为． 故答案为：． 20．已知函数，​请用配方法改为顶点式并写出这个函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】​对称轴为，​顶点坐标为（－1，​－3） 【分析】利用配方法整理，然后根据二次函数的顶点式写出对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解： ＝ ∴对称轴为，​顶点坐标为（－1，​－3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 21．用配方法把二次函数​化为​的形式，​并指出该函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】，​对称轴为直线，​顶点 【分析】本题考查的是二次函数一般式和顶点式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键． 利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解： 故二次函数对称轴为直线，​顶点． 22．用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，​小贤用配方法将二次函数​化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数​化为顶点式． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）小贤的解题过程从第________步开始出现错误． （2）用配方法将二次函数​化为顶点式． 【答案】（1）二 （2）解： ． 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，掌握配方的方法是解题的关键． （1）根据配方法的步骤判断即可； （2）根据配方法的步骤配方即可． 【小问详解】解： 第一步 第二步 第二步加1，​还需减1，​因此第二步出错，​ 故答案为：二；​ 【小问详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 二次函数的应用与综合 目 录 考点01 二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 考点02 二次函数综合题 考点03 二次函数基础计算 考点01　二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 难度层级：提升　|　知识点：实际问题与二次函数（图形/销售/拱桥/投球/喷水/增长率） 1．如图，​在菱形​中，​，​，​矩形​的四个顶点分别在菱形的四边上，​则矩形​的最大面积为（ ） A. B. C. D. 2．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，​GH的总长为，​且隔断EF，​GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，​矩形ABCD的面积为，​y关于x的函数图象如图②，​则下列说法正确的是（ ） A. 矩形ABCD的最大面积为 B. 当​时，​矩形ABCD的面积最大 C. a的值为12 D. 以上说法均错误 3．如图，​某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，​已知​米，​则该四边形公园的最大面积为________平方米． 4．如图，​在​中，​，​，​．点​从点​出发，​以​的速度沿​运动；​同时，​点​从点​出发，​以​的速度沿​运动．当点​到达​时，​​两点同时停止运动．则​的最大面积是________． 5．某批发商销售一种成本是40元/副的防寒手套，当每副防寒手套的售价定为60元时，一天内可卖出100副．经调研得知，该防寒手套的单价每降低1元，每天的销量可增加10副． （1）当防寒手套的单价在定价的基础上降低2元时，每天的销售量为________副． （2）该批发商每天要获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，那么这种防寒手套的售价应降价________元．当每副防寒手套的定价为________元时，该批发商可获得最大利润． 6．用一根长​的铁丝： （1）能否围成面积是​的矩形？ （2）能否围成面积是​的矩形？ （3）用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 7．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与降价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 8．某超市购进若干袋干果，​每袋成本20元．销售过程中发现，​每天销售量y（单位：袋）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似的看作一次函数： ，​设每天获得的利润为w（单位：元）． （1）求出w关于x的函数解析式；​ （2）当销售单价定为多少元时，​每天可获得最大利润? 最大利润是多少? 考点02　二次函数综合题 难度层级：拓展　|　知识点：二次函数综合（线段/面积/角度/特殊三角形/特殊四边形/相似） 9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ） A. （﹣，​） B. （，​﹣） C. （﹣，​1） D. （，​3） 10．如图，​点​是抛物线​上位于第二象限的一动点，​​交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，​有以下结论：①；​②；​③​的面积为定值；​④直线​必过一定点．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11．如图，​抛物线​经过点，​与x轴交于A，​B两点，​连接，​M为线段​上的一个动点，​过点M作​轴，​交抛物线于点P，​交​于点Q．过点P作，​垂足为N，​设点M的坐标为，​则​的最大值________． 12．如图，​已知二次函数​图象与x轴交于点A，​与y轴交于点B，​在对称轴上存在一点P，​使以P，​A，​O，​B为顶点的四边形为平行四边形，​写出此时点P的坐标________． 13．如图，​在平面直角坐标系中，​抛物线​经过​两点，​M是该抛物线的顶点，​直线​与y轴交于点C，​ 若P是该抛物线上一动点，​Q是该抛物线对称轴上一动点，​使得以C，​M，​P，​Q为顶点的四边形是平行四边形，​则点Q 的坐标为________． 14．如图1，​在平面直角坐标系中，​抛物线​与​轴交于​两点，​与​轴交于点． （1）求抛物线的解析式；​ （2）如图1．点​是直线​上方抛物线上的一动点，​过点​作​轴的平行线​交直线​于点，​过点​作​轴的平行线​交直线​于点，​求​面积的最大值及此时点​的坐标；​ （3）如图2，​连接，​，​抛物线上是否存在点，​使？若存在，​请直接写出点​的坐标；​若不存在，​请说明理由． 15．如图，​抛物线​与​轴交于​两点，​与​轴交于点C． （1）求抛物线的对称轴；​ （2）若点D是抛物线上的一点，​当​的面积为10时，​求点D的坐标；​ （3）点P是抛物线对称轴上的一点，​在抛物线上是否存在一点Q，​使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，​求出点Q的坐标；​若不存在，​请说明理由． 16．已知，​​是一元二次方程​的两个实数根，​且，​抛物线​的图象经过点，​​如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；​ （2）点​是直线​下方抛物线上的一个动点，​若​的面积等于​面积的一半，​求点​的坐标． 考点03　二次函数基础计算 难度层级：基础　|　知识点：配方/顶点式/二次函数定义与求值 17．用配方法将二次函数​化为顶点式为（ ） A. B. C. D. 18．把二次函数y=x2+2x－2配方成顶点式为（ ） A. y=（x－1）2+2 B. y=（x－1）2+1 C. y=（x+1）2－3 D. y=（x+2）2－1 19．徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数（单位：米）描述，​其中​是水平距离，​​是高度，​则该抛物线的顶点坐标为________． 20．已知函数，​请用配方法改为顶点式并写出这个函数的对称轴和顶点坐标． 21．用配方法把二次函数​化为​的形式，​并指出该函数的对称轴和顶点坐标． 22．用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，​小贤用配方法将二次函数​化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数​化为顶点式． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）小贤的解题过程从第________步开始出现错误． （2）用配方法将二次函数​化为顶点式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 二次函数的应用与综合 目 录 考点01 二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 考点02 二次函数综合题 考点03 二次函数基础计算 考点01　二次函数的应用（利润、面积、抛物线运动） 难度层级：提升　|　知识点：实际问题与二次函数（图形/销售/拱桥/投球/喷水/增长率） 1．D 2．C 3． 4． 5．① 120 ② 6 ③ 55 6．（1）用一根长​的铁丝能围成面积是​的矩形 （2）不能围成面积是​的矩形 （3） 7．（1）（） （2）销售单价为80元时，​每天的销售利润最大，​最大利润是4500元 8．（1） （2）当销售单价定为每袋30元时，​每天可获得最大利润，​最大利润是200元 考点02　二次函数综合题 难度层级：拓展　|　知识点：二次函数综合（线段/面积/角度/特殊三角形/特殊四边形/相似） 9．A 10．B 11． 12．​或 13．​或​或 14．（1） （2）​面积的最大值为，​此时点​的坐标为 （3）存在，​点Q的坐标为​或 15．（1） （2）​或 （3）存在，​Q点的坐标为​或​或 16．（1） （2）点P的坐标为​或 考点03　二次函数基础计算 难度层级：基础　|　知识点：配方/顶点式/二次函数定义与求值 17．D 18．C 19． 20．​对称轴为，​顶点坐标为（－1，​－3） 21．，​对称轴为直线，​顶点 22．（1）二 （2）解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $