第二十二章 投影、视图与展开图（单元分层测试·基础通关卷）数学新教材北京版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下图所示正三棱柱的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可． 【详解】解：该几何体是正三棱柱，且根据立体图可知，其摆放方式为底面三角形的一条边在正前方，一个顶点在正后方， 从正面看，能看到正前方的一个侧面，其投影为矩形， 三棱柱后方有一条侧棱被前方的侧面挡住，不可见， 该侧棱在主视图中应画为虚线，且位于矩形的中间位置， 该几何体的主视图是中间有一条竖直虚线的矩形， 可知主视图是． 2．如图，图中是一个正方体的表面展开图，把它折叠成正方体后，与“数”字相对面上的字是（    ） A．学 B．立 C．体 D．美 【答案】C 【详解】解：由正方体展开图的特点可知与“数”字相对面上的字是“体”． 3．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 【答案】C 【分析】本题主要考查的是几何体的展开图的有关知识．在解答这类问题时，一般要通过合理想象或者通过实际操作，将展开图还原，进而得到答案．这种题目有助于培养学生的空间想象能力． 【详解】解：结合已知图形，将正方体展开图粘成正方体后如图所示，则与点A重合的点是D、F．   故选：C． 4．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的三视图． 根据几何体的主视图和左视图，通过分析各层小正方体的数量，确定组成几何体小正方体的最多个数． 【详解】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最多有4个小正方体，而第二层则只有1个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是5个， 故选：C． 5．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 6．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 7．如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（   ） A．①和②的左视图相同 B．①和②的主视图相同 C．①和②的俯视图相同 D．①和②的三视图均不相同 【答案】A 【分析】本题考查简单几何体的三视图，分别对比两个图形的三视图即可得到答案． 【详解】解：A、①和②的左视图都是一样的长方形，即①和②的左视图相同，选项符合题意； B、①和②的主视图都是梯形，但是上底和下底的长度不相等，且两腰的位置也是相反，故①和②的主视图不相同，选项不符合题意； C、①和②的俯视图都是长方形和中间一条线段，但是①中间是实线，②中间是虚线，故①和②的俯视图不相同，选项不符合题意； D、①和②的左视图相同，选项不符合题意； 故选：A． 8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个几何体表面的展开图如图所示，则这个几何体是_______． 【答案】三棱柱 【详解】由题图可知，这个几何体侧面有三个长方形，底面有两个三角形，符合三棱柱表面的展开图的特征． 10．如图是一个正方体纸盒的展开图，将其复原为纸盒后，与点重合的点是___________． 【答案】 【分析】本题考查正方体展开图的折叠与顶点重合问题.通过想象展开图的折叠过程，分析各顶点的位置关系，确定重合的点． 【详解】解：观察正方体展开图的结构，以正方形为上底面，将其复原为正方体时，点所在的面会向后折叠，点与点重合． 故答案为：． 11．如图所示的是一个正方体的平面展开图．若将平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字，已知字母的值求代数式的值，先观察正方体的平面展开图，得出“”的相对面是“”， “”的相对面是“”， “”的相对面是“”，再结合相对面上的两个数字之和均为，得出的值，最后代入计算，即可作答． 【详解】解：观察正方体的平面展开图，得出“”的相对面是“”， “”的相对面是“”， “”的相对面是“” ∵相对面上的两个数字之和均为， ∴，，， 解得， ∴， 故答案为： 12．在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是__________． 【答案】48 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． 设，则，根据，，列出方程，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：， 即，， ∴该纸盒的体积是． 故答案为：48． 13．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 【答案】72 【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 14．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 15．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 16．已知平面直角坐标系中的直线：和抛物线：满足：该抛物线上到该直线的距离恰为的点有且仅有一个，且该点为，且在该直线上的投影与坐标原点的距离恰为，则_____（用含有，的代数式表示）． 【答案】 【分析】整理已知条件，先利用点在抛物线上得到第一个关系式，再根据投影的几何性质结合勾股定理得到，由此确定，继而即可得到结果． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线方程得①， 设，到直线的距离为，是在直线上的投影（垂足）， 由题意得，，是直角三角形． ∵是原点，是到的距离， ∴，由勾股定理得， 代入得②， 若，代入②得，得，与矛盾，故； 所以的两边同时除以c得，， 解得． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图确定几何体的形状，并明确其侧面展开图的特征。 （1）根据主视图、左视图和俯视图的形状来判断几何体的名称； （2）先明确三棱柱侧面展开图的形状，再根据已知条件求出侧面积。 【详解】（1）解：主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱；······················2分 （2）解：三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱柱的高 3 cm ，长方形的宽为俯视图中三角形的边长 2 cm ， 一个侧面长方形的面积为， 三棱柱有三个侧面， 侧面积为。 这个几何体的侧面积为·····················5分 18．（5分）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 【答案】(1) 解：如图所示；（合理即可） (2) 解：如图所示．（合理即可） 【分析】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． （1）根据正方体展开图特点分析画出图形即可（答案不唯一）； （2）想象出折叠后的立方体，把数字填上，使相对面上的两个数相加得0即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图所示；（合理即可） ·····················2分 (2) 解：如图所示．（合理即可） ·····················5分 19．（5分）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）    【答案】金字塔的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ·····················2分 ∴， ∵米，米，米， ∴（米）． 答：金字塔的高度为米．·····················5分 20．（6分）榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 【答案】一把木椅空架需要木材的总质量为 【分析】本题考查了侧视图，柱体的体积，掌握相关知识点是解题的关键． 先将平方厘米转化为平方米，克转化为千克，再分别计算出圆木、圆木、横木的体积和质量，即可求解． 【详解】解：，，， 是的中点，， ， 根据题意，可知圆木的体积为，质量为， 圆木的体积是圆木的体积的一半，为，质量为， 横木的体积为，质量为， 可知一把木椅空架需要2个圆木，2个圆木，4个横木，8个装饰球和支架，总质量为． 答：一把木椅空架需要木材的总质量为．·····················6分 21．（5分）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴；·····················2分 （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴；·····················3分 （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为．·····················5分 22．（6分）数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； (2)列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； (3)在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 该函数的图象为所求： (4) 【分析】本题考查了利用长方体的表面积公式建立函数关系，函数值的计算，图象的绘制及函数图象的应用． （1）根据长方体的表面积公式列出对应的关系式并化简即可； （2）将代入（1）中求出的关系式即可得到a的值； （3）根据（2）表格中的数据在平面直角坐标系中标出对应的点的位置，然后再用平滑的曲线连接即可； （4）要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，根据图象观察发现当时需要的材料最省． 【详解】（1）解：由题意知，长方体的长宽均为，高为， ∴长方体的表面积表示为：， 即， 故答案为：．·····················2分 （2）解：由题意知，当时，， 故答案为：．·····················4分 （3）该函数的图象为所求： ·····················5分 （4）解：由函数图象可知，要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小， 当时，长方体表面积最小， 即长方体包装盒的底面边长约为2.0dm时，需要的材料最省． 故答案为：．·····················6分 23．（5分）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为；·····················1分 （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为．·····················3分 （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面．·····················5分 24．（6分）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ；·····················2分 （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为；·····················4分 （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等．·····················6分 25．（5分）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米；·····················1分 （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米；·····················3分 （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高．·····················5分 26．（6分）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)如图3，若收纳盒的长比高多，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 【答案】(1)； (2)不能 【分析】（1）结合图形计算与； （2）设收纳盒的高为，则长为，由构造方程求解出，进而表示出收纳盒的长宽高，与玩具机械狗的尺寸对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：，；·····················2分 （2）解：设收纳盒的高为，则长为， 由题意可知，， 解得， ∴收纳盒的宽为， ∵， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．·····················6分 27．（7分）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)2，1 (2) 如图1中，线段即为所求； (3)3.6米 【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【详解】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，；·····················2分 （2） 如图1中，线段即为所求； ·····················4分 （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米．·····················7分 28．（7分）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件；·····················2分 （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件；·····················4分 （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量．·····················7分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C C A C A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．三棱柱 10． 11． 12．48 13．72 14．/ 15．3 16． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分） 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图确定几何体的形状，并明确其侧面展开图的特征。 （1）根据主视图、左视图和俯视图的形状来判断几何体的名称； （2）先明确三棱柱侧面展开图的形状，再根据已知条件求出侧面积。 【详解】（1）解：主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱；······················2分 （2）解：三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱柱的高 3 cm ，长方形的宽为俯视图中三角形的边长 2 cm ， 一个侧面长方形的面积为， 三棱柱有三个侧面， 侧面积为。 这个几何体的侧面积为·····················5分 18．（5分） 【答案】(1) 解：如图所示；（合理即可） (2) 解：如图所示．（合理即可） 【分析】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． （1）根据正方体展开图特点分析画出图形即可（答案不唯一）； （2）想象出折叠后的立方体，把数字填上，使相对面上的两个数相加得0即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图所示；（合理即可） ·····················2分 (2) 解：如图所示．（合理即可） ·····················5分 19．（5分） 【答案】金字塔的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ·····················2分 ∴， ∵米，米，米， ∴（米）． 答：金字塔的高度为米．·····················5分 20．（6分） 【答案】一把木椅空架需要木材的总质量为 【分析】本题考查了侧视图，柱体的体积，掌握相关知识点是解题的关键． 先将平方厘米转化为平方米，克转化为千克，再分别计算出圆木、圆木、横木的体积和质量，即可求解． 【详解】解：，，， 是的中点，， ， 根据题意，可知圆木的体积为，质量为， 圆木的体积是圆木的体积的一半，为，质量为， 横木的体积为，质量为， 可知一把木椅空架需要2个圆木，2个圆木，4个横木，8个装饰球和支架，总质量为． 答：一把木椅空架需要木材的总质量为．·····················6分 21．（5分） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴；·····················2分 （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴；·····················3分 （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为．·····················5分 22．（6分） 【答案】(1) (2) (3) 该函数的图象为所求： (4) 【分析】本题考查了利用长方体的表面积公式建立函数关系，函数值的计算，图象的绘制及函数图象的应用． （1）根据长方体的表面积公式列出对应的关系式并化简即可； （2）将代入（1）中求出的关系式即可得到a的值； （3）根据（2）表格中的数据在平面直角坐标系中标出对应的点的位置，然后再用平滑的曲线连接即可； （4）要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，根据图象观察发现当时需要的材料最省． 【详解】（1）解：由题意知，长方体的长宽均为，高为， ∴长方体的表面积表示为：， 即， 故答案为：．·····················2分 （2）解：由题意知，当时，， 故答案为：．·····················4分 （3）该函数的图象为所求： ·····················5分 （4）解：由函数图象可知，要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小， 当时，长方体表面积最小， 即长方体包装盒的底面边长约为2.0dm时，需要的材料最省． 故答案为：．·····················6分 23．（5分） 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为；·····················1分 （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为．·····················3分 （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面．·····················5分 24．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ；·····················2分 （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为；·····················4分 （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等．·····················6分 25．（5分） 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米；·····················1分 （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米；·····················3分 （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高．·····················5分 26．（6分） 【答案】(1)； (2)不能 【分析】（1）结合图形计算与； （2）设收纳盒的高为，则长为，由构造方程求解出，进而表示出收纳盒的长宽高，与玩具机械狗的尺寸对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：，；·····················2分 （2）解：设收纳盒的高为，则长为， 由题意可知，， 解得， ∴收纳盒的宽为， ∵， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．·····················6分 27．（7分） 【答案】(1)2，1 (2) 如图1中，线段即为所求； (3)3.6米 【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【详解】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，；·····················2分 （2） 如图1中，线段即为所求； ·····················4分 （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米．·····················7分 28．（7分） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件；·····················2分 （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件；·····················4分 （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量．·····················7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下图所示正三棱柱的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，图中是一个正方体的表面展开图，把它折叠成正方体后，与“数”字相对面上的字是（    ） A．学 B．立 C．体 D．美 3．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 4．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 6．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（   ） A．①和②的左视图相同 B．①和②的主视图相同 C．①和②的俯视图相同 D．①和②的三视图均不相同 8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个几何体表面的展开图如图所示，则这个几何体是_______． 10．如图是一个正方体纸盒的展开图，将其复原为纸盒后，与点重合的点是___________． 11．如图所示的是一个正方体的平面展开图．若将平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为，则的值为____________． 12．在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是__________． 13．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 14．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 15．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 16．已知平面直角坐标系中的直线：和抛物线：满足：该抛物线上到该直线的距离恰为的点有且仅有一个，且该点为，且在该直线上的投影与坐标原点的距离恰为，则_____（用含有，的代数式表示）． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 18．（5分）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 19．（5分）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）    20．（6分）榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 21．（5分）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 22．（6分）数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； (2)列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； (3)在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 23．（5分）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 24．（6分）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 25．（5分）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 26．（6分）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)如图3，若收纳盒的长比高多，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 27．（7分）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 28．（7分）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下图所示正三棱柱的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，图中是一个正方体的表面展开图，把它折叠成正方体后，与“数”字相对面上的字是（    ） A．学 B．立 C．体 D．美 3．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 4．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 6．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（   ） A．①和②的左视图相同 B．①和②的主视图相同 C．①和②的俯视图相同 D．①和②的三视图均不相同 8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个几何体表面的展开图如图所示，则这个几何体是_______． 10．如图是一个正方体纸盒的展开图，将其复原为纸盒后，与点重合的点是___________． 11．如图所示的是一个正方体的平面展开图．若将平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为，则的值为____________． 12．在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是__________． 13．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 14．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 15．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 16．已知平面直角坐标系中的直线：和抛物线：满足：该抛物线上到该直线的距离恰为的点有且仅有一个，且该点为，且在该直线上的投影与坐标原点的距离恰为，则_____（用含有，的代数式表示）． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 18．（5分）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 19．（5分）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）    20．（6分）榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 21．（5分）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 22．（6分）数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______； (2)列出y与x的几组对应值： … … a （说明∶表格中相关数值精确到） 则______； (3)在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1） 23．（5分）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 24．（6分）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 25．（5分）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 26．（6分）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)如图3，若收纳盒的长比高多，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 27．（7分）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 28．（7分）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $