第二十二章 投影、视图与展开图（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材北京版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（   ） A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 3．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 5．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 6．如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 7．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 8．如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为______． 10．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 11．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 _______投影．（填“中心”或“平行”） 12．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 14．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m． 15．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．则的值为______． 16．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论：①主视图中；②左视图中矩形的面积为18；③俯视图中的正切值为．其中正确的结论有______个． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）画出如图所示的几何体的三视图． 18．（5分）根据要求完成下列问题： (1)如图1，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段．用尺规作出同一时刻标杆在地面上的影子； (2)如图2，添线补全下面物体的三视图． 19．（5分）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为________； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)求这个几何体的表面积． 20．（6分）阳光明媚的一个周末，数学兴趣小组的同学们去测量一座不能到达底部的古塔的高度．他们的测量方案的示意图如下：阳光下，在古塔的影子末端F点直立一根标杆，此时，测得标杆的影长；同一时刻，在直线上的点C处放置一平面镜，小亮站在点D处时，在平面镜中刚好能看到古塔的顶端点A的像，此时，测得小亮眼睛与地面的高度，，．已知均与地面垂直，请你帮助他们求出古塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计） 21．（5分）综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．请解答下列问题： (1)下面不可能是长方体展开图的是__________；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作无盖长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的容积为__________； (3)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 请通过计算，判断哪种方案制作的长方体纸盒的容积最大． 22．（6分）某学校广场水平地面上竖直栽种着三棵高度各不相同的小树，，，它们的树干底部（与地面接触点）分别为，，（，，在同一条直线上）．小树，的影子分别为，． (1)反映平行投影的情形是_____________，反映中心投影的情形是_____________；（填“图1”或“图2”） (2)结合图2中的影子，，画出小树的影子； (3)在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为_____________．（填写序号） ①持续变长；②持续变短；③先变长再变短；④先变短再变长． 23．（5分）如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 24．（6分）综合与实践 问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A． B． C． D． (2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______； (3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形： ①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）； ②求出这个纸盒的体积． 25．（5分）问题背景： 如图1，圆柱的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)方法探究：如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． (2)方法应用：如图3，直四棱柱的上下底面是边长为的正方形，高为．从点开始，绕侧面两周，嵌入一条装饰彩条至点停止，求彩条的最短长度； (3)如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对的内壁底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 26．（6分）某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； (2)如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 27．（7分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 28．（7分）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B B B C B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9． 10． 11．平行 12． 13．() 14．4.8 15．2 16．2 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分） 【答案】 解：如图， 【分析】根据从正面，上面和左面看到的图形画出对应的三视图即可． 【详解】解：如图， ·····················5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点D作直线交于点M，在的上方作，直线交于点F，线段即为所求； （2）根据左视图少一条横的虚线，俯视图少一条竖的实线补全即可．． 【详解】（1）解：； 理由：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段， ∴线段就是标杆在地面上的影子；·····················3分 （2）．·····················5分 19．（5分） 【答案】(1) (2)解：如图所示即为所作， (3)这个几何体的表面积是 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰梯形的性质以及勾股定理求解即可； （2）根据三视图的定义画图即可； （3）利用梯形面积公式，矩形面积公式以及表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，在俯视图中过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 俯视图是等腰梯形， ，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 俯视图（等腰梯形）的高为；·····················1分 （2）解：如图所示即为所作， ·····················3分 （3）解：， 答：这个几何体的表面积是．·····················5分 20．（6分） 【答案】古塔的高为42米 【分析】设古塔的高，根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：设古塔的高， 由题意得， ， ， ， ， ∴，·····················3分 由题意得， ， ， ， 即古塔的高为42米．·····················6分 21．（5分） 【答案】(1)④ (2)108立方厘米 (3)方案2制作的长方体纸盒的容积最大 【分析】（1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算长方体纸盒的容积． （3）分别根据三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④；·····················1分 （2）解：正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为3厘米， 底面边长厘米， 长方体纸盒的容积立方厘米：·····················2分 （3）解：方案1：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以长方体纸盒的高（厘米）， 底面长（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案2：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案3：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）， 因为， 所以方案2制作的长方体纸盒的容积最大．·····················5分 22．（6分） 【答案】(1)图1；图2 (2)即为所求作 (3)④ 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用中心投影的特征判断即可． 【详解】（1）解：反映平行投影的情形是图1，反映中心投影的情形是图2；·····················2分 （2）)即为所求作·····················4分 （3）解：在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为④先变短再变长．·····················6分 23．（5分） 【答案】(1)三棱柱，9，6 (2)④ (3) 【分析】（1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图，该几何体是三棱柱，它有9条棱，有6个顶点；················3分 （2）解：∵三棱柱有5个面， ∴用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，五边形，不可能是六边形， 故④符合题意；·····················4分 （3）解：， 答：该几何体所有侧面面积之和为．·····················6分 24．（6分） 【答案】(1)C (2)环 (3)①如图所示： ② 【分析】（1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）①根据题意画图即可； ②先求出所折叠成的长方体纸盒的底面边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子；·····················2分 （2）解：由图可得：底面上的字是“环”；·····················3分 （3）解：①如图所示： ·····················4分 ②当小正方形的边长为时，所折叠成的长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为：．·····················6分 25．（5分） 【答案】(1) (2)彩条的最短长度为 (3)蚂蚁爬行的最短路径为 【分析】（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长度，根据勾股定理求出，即可； （2）根据绕两圈到，则展开后相当于求出的斜边长，根据勾股定理求出即可； （3）将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）解：由图可得蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段， 由题意可得，，， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为．·····················1分 （2）解：如下图： ∵从点开始经过绕侧面两周到达点，经过四个侧面， ∴， ∵， 在中，， 答：彩条的最短长度为．·····················3分 （3）解：作点关于的对称点，连接，作于点， ∴， ∵圆柱形玻璃杯高为，杯底厚， ∴， ∴， ∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径为．·····················5分 26．（6分） 【答案】(1)信号塔的长度为17米 (2)电线杆的高度为6米 【分析】（1）证明，得出，再代入数据求值即可； （2）由（1）同理可证：，根据相似三角形的性质得出，再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 即， 解得：， 答：信号塔的长度为17米；·····················2分 （2）解：由（1）同理可证：， ， ， 解得：， 答：电线杆的高度为6米．·····················6分 27．（7分） 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：解：， ， ， ， ；·····················2分 （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为．·····················4分 （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为．·····················7分 28．（7分） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 盲区长度为； ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为；·····················2分 （2）解：图 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）；·····················5分 （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小；·····················6分 ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大．·····················7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（   ） A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 3．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 5．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 6．如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 7．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 8．如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为______． 10．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 11．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 _______投影．（填“中心”或“平行”） 12．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 14．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m． 15．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．则的值为______． 16．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论：①主视图中；②左视图中矩形的面积为18；③俯视图中的正切值为．其中正确的结论有______个． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）画出如图所示的几何体的三视图． 18．（5分）根据要求完成下列问题： (1)如图1，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段．用尺规作出同一时刻标杆在地面上的影子； (2)如图2，添线补全下面物体的三视图． 19．（5分）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为________； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)求这个几何体的表面积． 20．（6分）阳光明媚的一个周末，数学兴趣小组的同学们去测量一座不能到达底部的古塔的高度．他们的测量方案的示意图如下：阳光下，在古塔的影子末端F点直立一根标杆，此时，测得标杆的影长；同一时刻，在直线上的点C处放置一平面镜，小亮站在点D处时，在平面镜中刚好能看到古塔的顶端点A的像，此时，测得小亮眼睛与地面的高度，，．已知均与地面垂直，请你帮助他们求出古塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计） 21．（5分）综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．请解答下列问题： (1)下面不可能是长方体展开图的是__________；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作无盖长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的容积为__________； (3)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 请通过计算，判断哪种方案制作的长方体纸盒的容积最大． 22．（6分）某学校广场水平地面上竖直栽种着三棵高度各不相同的小树，，，它们的树干底部（与地面接触点）分别为，，（，，在同一条直线上）．小树，的影子分别为，． (1)反映平行投影的情形是_____________，反映中心投影的情形是_____________；（填“图1”或“图2”） (2)结合图2中的影子，，画出小树的影子； (3)在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为_____________．（填写序号） ①持续变长；②持续变短；③先变长再变短；④先变短再变长． 23．（5分）如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 24．（6分）综合与实践 问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A． B． C． D． (2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______； (3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形： ①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）； ②求出这个纸盒的体积． 25．（5分）问题背景： 如图1，圆柱的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)方法探究：如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． (2)方法应用：如图3，直四棱柱的上下底面是边长为的正方形，高为．从点开始，绕侧面两周，嵌入一条装饰彩条至点停止，求彩条的最短长度； (3)如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对的内壁底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 26．（6分）某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； (2)如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 27．（7分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 28．（7分）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元测试 第二十二章 投影、视图与展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【分析】根据主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状为三角形，即可判断． 【详解】解： 主视图和左视图都是长方形， 该几何体是柱体 俯视图是三角形， 该几何体是三棱柱． 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（   ） A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 【答案】C 【分析】此题考查了正方体的展开图．要求与点1重合的点，需先将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒，再利用正方体展开图的特点进行判断即可求解． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得：将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒后，点1所在的正方形分别和点2、点6所在的两个正方形相交，点1与点2、点6重合． 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 4．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 6．如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际问题，几何体的三视图，比例的性质，先根据比例求出球体的实际半径，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：比例尺为：， 这样的球形工件实际半径为：， 根据题意得：球的体积计算公式：；，， 工厂需要供应铁的质量为：， 故选：C． 7．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】如图作交于M，于N，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图作交于M，于N． 由题意得， ∴，即， ∴米， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． ∵在直角中，， ∴米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】当延长方体表面展开的上面与正面部分走时，设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得，得路径的长是，同理延长方体表面展开的上面与侧面部分走时，得路径的长是，比较即可得到结论． 【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵圆与上表面三边相切， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作切线， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴路径的长是：； 如图，如图为长方体表面展开的上面与侧面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， 同理，， 则， ∴， ∴路径的长是：； ∵， ∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查长方体表面最短路径问题．熟练掌握长方体表面展开图，矩形正方形的判定和性质，切线长定理，勾股定理，含30度的直角三角形判定和性质，弧长公式，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 10．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 11．如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 _______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题考查视图与投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影． 【详解】解：太阳光线下形成的投影是平行投影． 故答案为：平行． 12．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 14．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m． 【答案】4.8 【分析】设此树的高度是hm，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论． 【详解】设此树的高度是hm,则 解得h=4.8(m). 故答案为4.8. 【点睛】考查平行投影的特点，掌握同一时刻物高与影长成正比是解题的关键. 15．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．则的值为______． 【答案】2 【分析】设底面正方形的边长为，，因为礼品盒展开图的结构对应矩形卡纸的边长，所以可分别用、表示出和的长度．将和的表达式代入，利用与的运算关系消元，即可求出该比值． 【详解】解：设折成礼品盒的底面正方形边长为，： 观察图2的裁剪方式，原矩形的水平边方向，共排列2个底面正方形的边长，4个的长，因此； 原矩形竖直边方向，分为三段，，等于底面边长， ∴； ∴． 16．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论：①主视图中；②左视图中矩形的面积为18；③俯视图中的正切值为．其中正确的结论有______个． 【答案】2 【分析】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 过点A作于D，根据，，可求，根据，得出，进而可得可判断①；根据左视图矩形的面积为可判断②；根据可判断③． 【详解】解：过点A作于D， ∵，， ∴， ∴左视图的宽， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①主视图中正确； ∴左视图矩形的面积为， ∴②错误； ∴， ∴③正确； 其中正确的个数为2个． 故答案为：2． 三、解答题（共12题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分） 17．（5分）画出如图所示的几何体的三视图． 【答案】 解：如图， 【分析】根据从正面，上面和左面看到的图形画出对应的三视图即可． 【详解】解：如图， ·····················5分 18．（5分）根据要求完成下列问题： (1)如图1，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段．用尺规作出同一时刻标杆在地面上的影子； (2)如图2，添线补全下面物体的三视图． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点D作直线交于点M，在的上方作，直线交于点F，线段即为所求； （2）根据左视图少一条横的虚线，俯视图少一条竖的实线补全即可．． 【详解】（1）解：； 理由：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段， ∴线段就是标杆在地面上的影子；·····················3分 （2）．·····················5分 19．（5分）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为________； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)解：如图所示即为所作， (3)这个几何体的表面积是 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰梯形的性质以及勾股定理求解即可； （2）根据三视图的定义画图即可； （3）利用梯形面积公式，矩形面积公式以及表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，在俯视图中过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 俯视图是等腰梯形， ，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 俯视图（等腰梯形）的高为；·····················1分 （2）解：如图所示即为所作， ·····················3分 （3）解：， 答：这个几何体的表面积是．·····················5分 20．（6分）阳光明媚的一个周末，数学兴趣小组的同学们去测量一座不能到达底部的古塔的高度．他们的测量方案的示意图如下：阳光下，在古塔的影子末端F点直立一根标杆，此时，测得标杆的影长；同一时刻，在直线上的点C处放置一平面镜，小亮站在点D处时，在平面镜中刚好能看到古塔的顶端点A的像，此时，测得小亮眼睛与地面的高度，，．已知均与地面垂直，请你帮助他们求出古塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计） 【答案】古塔的高为42米 【分析】设古塔的高，根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：设古塔的高， 由题意得， ， ， ， ， ∴，·····················3分 由题意得， ， ， ， 即古塔的高为42米．·····················6分 21．（5分）综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．请解答下列问题： (1)下面不可能是长方体展开图的是__________；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作无盖长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的容积为__________； (3)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 请通过计算，判断哪种方案制作的长方体纸盒的容积最大． 【答案】(1)④ (2)108立方厘米 (3)方案2制作的长方体纸盒的容积最大 【分析】（1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算长方体纸盒的容积． （3）分别根据三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④；·····················1分 （2）解：正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为3厘米， 底面边长厘米， 长方体纸盒的容积立方厘米：·····················2分 （3）解：方案1：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以长方体纸盒的高（厘米）， 底面长（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案2：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案3：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）， 因为， 所以方案2制作的长方体纸盒的容积最大．·····················5分 22．（6分）某学校广场水平地面上竖直栽种着三棵高度各不相同的小树，，，它们的树干底部（与地面接触点）分别为，，（，，在同一条直线上）．小树，的影子分别为，． (1)反映平行投影的情形是_____________，反映中心投影的情形是_____________；（填“图1”或“图2”） (2)结合图2中的影子，，画出小树的影子； (3)在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为_____________．（填写序号） ①持续变长；②持续变短；③先变长再变短；④先变短再变长． 【答案】(1)图1；图2 (2)即为所求作 (3)④ 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用中心投影的特征判断即可． 【详解】（1）解：反映平行投影的情形是图1，反映中心投影的情形是图2；·····················2分 （2）)即为所求作·····················4分 （3）解：在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为④先变短再变长．·····················6分 23．（5分）如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 【答案】(1)三棱柱，9，6 (2)④ (3) 【分析】（1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图，该几何体是三棱柱，它有9条棱，有6个顶点；················3分 （2）解：∵三棱柱有5个面， ∴用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，五边形，不可能是六边形， 故④符合题意；·····················4分 （3）解：， 答：该几何体所有侧面面积之和为．·····················6分 24．（6分）综合与实践 问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A． B． C． D． (2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______； (3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形： ①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）； ②求出这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)环 (3)①如图所示： ② 【分析】（1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）①根据题意画图即可； ②先求出所折叠成的长方体纸盒的底面边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子；·····················2分 （2）解：由图可得：底面上的字是“环”；·····················3分 （3）解：①如图所示： ·····················4分 ②当小正方形的边长为时，所折叠成的长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为：．·····················6分 25．（5分）问题背景： 如图1，圆柱的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)方法探究：如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． (2)方法应用：如图3，直四棱柱的上下底面是边长为的正方形，高为．从点开始，绕侧面两周，嵌入一条装饰彩条至点停止，求彩条的最短长度； (3)如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对的内壁底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】(1) (2)彩条的最短长度为 (3)蚂蚁爬行的最短路径为 【分析】（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长度，根据勾股定理求出，即可； （2）根据绕两圈到，则展开后相当于求出的斜边长，根据勾股定理求出即可； （3）将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）解：由图可得蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段， 由题意可得，，， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为．·····················1分 （2）解：如下图： ∵从点开始经过绕侧面两周到达点，经过四个侧面， ∴， ∵， 在中，， 答：彩条的最短长度为．·····················3分 （3）解：作点关于的对称点，连接，作于点， ∴， ∵圆柱形玻璃杯高为，杯底厚， ∴， ∴， ∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径为．·····················5分 26．（6分）某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； (2)如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 【答案】(1)信号塔的长度为17米 (2)电线杆的高度为6米 【分析】（1）证明，得出，再代入数据求值即可； （2）由（1）同理可证：，根据相似三角形的性质得出，再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 即， 解得：， 答：信号塔的长度为17米；·····················2分 （2）解：由（1）同理可证：， ， ， 解得：， 答：电线杆的高度为6米．·····················6分 27．（7分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：解：， ， ， ， ；·····················2分 （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为．·····················4分 （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为．·····················7分 28．（7分）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 盲区长度为； ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为；·····················2分 （2）解：图 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）；·····················5分 （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小；·····················6分 ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大．·····················7分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $