第四单元 用字母表示（一）「从课本到奥数」导图知识卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共42题-2026-2027学年北师大版新教材五年级数学上册举一反三系列

2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第四单元《用字母表示（一）》「从课本到奥数」 (思维导图+基础夯实+奥数培优考点讲练共42题●原卷版) 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 。。。。。。。 1 【追溯课本一基础夯实能力检测】 2 【奥数思维-课本提升知识拓展】。 6 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数) 6 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 7 【奥数拓展三】用字母表示规律· ··8 【奥数拓展四】等式的性质1.... 9 【奥数拓展五】等式的性质2……… 10 思维导图 知识梳理技巧点拨 北师大版数学五年级上册专题复习 一、用字母表示数 第四单元《用字母表示（一）》思维导图 三、用字母表示数量关系 含有字母的式子表示数量关系 .从北京坐高铁前往张家口。 例：妈妈比我大26岁，妈妈的年龄是(n+26)岁 v表示平均速度，t表示时间，s表示路程 妈妈比我大 如果用用表示询气的年龄， 用字母 5=,=,1=号 a 26岁 妈妈的年龄是(”+26》岁 表示数 2.字母可以表示不同的数。 五、用字母 2加法交换律：a+b=b+a 如：n表示进入魔金的数 表示数量关系 乘法交换律：a×b=b×a 2 10+9=19 55+7m62 等式两边都加 2+2=4.5+2=7. 7 2×2=4 a 10+9+10=19+10 55+7-2=62-2 【或减)网一个数 6 36+2=38.55+2■5 星 55+7-20=62-20 等式仍成立 秘密：2×川 51 秘密：+2 3等式两边乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 3.儿歌中的数量关系 等式仍成立。 调 1只蟹1张嘴，2只眼晴8条 3周有21天 2只整2张，4只眼睛16条则 3只餐3张嘴，6只眼睛24条腿： 用字母表示（一） 5×4=20=10×2+2=】 声音在空气中传播违度约为340m/s,碰到岩壁反弹回来 二、用字母表示运算律和公式 五、回声测距离 距离声速×时间◆2 4 *乘法交换律：a×b=b×a 周长C=4×a s=340×t+2=170r(m) 乘法结合律：(aXb)×c=aX(b×c) 面积S=a×a 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×。 四、用字母 六、等式的性质 (正方形边长a》】 1表示规律 2.生活中的数学问题 1.等式两边都加（或减）同一个数，等式仍成立 1.图形规律： x=ab ①三角形个数：第H个图发有3n个三角形 2.等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 等式仍成立， 4,b分别表示 数学书封面的长 速度是a,行驶时 3.例：37-6=31 20×3=60 支笔a元，买b支， 和宽，封面积 惑价xb, 问是b,路程x=ab 第1个第2个第3个 第鞋 37-6+3=3引□☐ 20×3×5=60☐■ x=ab. ②图略数量关系 37-6-10=31□■ 20×3+5=60 o ⊙ 20×3=60 ☆压轴题解题技巧 第1图有3个，第2周有2×3个，，第图有×3个 合生活中的数学应用 你知道吗？ 易错点拨 1购物问题：单价×数整=慈价 字母表示数的思想方法 H 灵活列式：用字母表示未如曼，再根稀题意列出合李母的式子成方程 2行程问题：路程=速度×时间 止我们能用重商法的式子 3控律：按顺见塞图彩、数的化，归出 3.运动比赛：逸度，时间、路程关系 表达数量关系，解决更 度杂的问题 第1页共11页 追溯课本 基础夯实能力检测 1.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)下列两个式子相等的是（)。 A.a十2和a B.2X2和a C.a×2和2a D.a2和2a 2.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)文具店购进a盒铅笔，每盒10支，一，文具店现在有多少支 铅笔？如果列式为“10(a十b)”,那么横线上的信息应选择（)。 A.又购进b盒 B.又购进b支 C.卖了b盒 D.卖了b支 3.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)我国“天问三号”火星采样返回任务预计于2028年前后实施 发射。假设探测器往返地球与火星的总路程为s千米，飞行时间为t小时，则其平均速度ν（单位：千 米/时)可表示为（)。 A.V=s十t B.v=s÷t C.v=st D.V=t÷s 4.（26-27五年级上·甘肃定西·期中)下面选项中，能用5十3×表示的是（)。 A.线段总长度：L 3 B. 整个图形的面积5 3 C.笑笑乘车从家去外婆家，汽车每小时行驶×千米，行驶了3小时，离外婆家还有5千米。笑笑 家到外婆家的路程是多少千米？ 5.(26-27五年级上·甘肃定西·期中)在研究等式的性质时，发现等式就像平衡的天平，也具有同 样的性质。如图，要使第二个天平保持平衡，我们需要在右边的托盘上添上（)。 A. B. c. 6.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)如果3m=2n(m≠0，n≠0)，根据等式的性质填空。 3m+3=2n+( 3mXa=2nX 3m÷( )=2n÷6 7.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)月月今年11岁，比妹妹大a岁，妹妹今年( )岁；月 月和妈妈今年的年龄和是49岁，再过6年，两人的年龄和是( )岁。 8.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)在某学校爱心植树活动中，五年级有109人参加，比四年级 参加人数的3倍多22人，四年级有多少人参加爱心植树活动？ 第2页共11页 )的人数×3+( )=( )的人数 9.(26-27五年级上·陕西西安·期中)如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4个 直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到()个直角三角形，“，画 第n个图时得到( )个直角三角形。 第1个 第2个 第3个 10.(26-27五年级上山东周测)一个养鸡场上午产蛋a个，下午产蛋b个，一共产蛋b个。（) (判断对错) 11.（26-27五年级上·甘肃定西·期中)m×m可以写作m,m读作m的平方。（)（判断对错） 12. (2026五年级上·全国·专题练习)用含有字母的式子表示图中要求的量。 m包 磁性书签： 28包 纸质书签： ?包 13.(25-26五年级上·山东德州·期中)解方程。 ×-0.75x=0.38 2.7+5x=6.35 8.28-×=2.8 14.(26-27五年级上·四川成都·期中)果园里有苹果树a棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多8棵。 (1)用含有字母的式子表示梨树的棵数。 (2)当a=5时，梨树有多少棵？ 第3页共11页 15.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)去年合作社销售农产品总收入为R元。今年通过直播带货， 收入增加了a元，但支付了平台服务费2000元。今年实际收入多少元？ 16.（26-27五年级上·四川甘孜·期中)某村建设智能蔬菜大棚，每座大棚年产蔬菜8吨，此外村集 体还管理一片露天菜地，年产x吨。若共建有座大棚，该村全年蔬菜总产量有多少吨？ 17.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起， 据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ O ● 0。O 0.。OOOO oOO O OO OOO ②o 0→0 O→O OOOOOO oOOO 18.（26-27五年级上·陕西西安·期中)实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10 千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 (1)用字母表示当物体质量为n千克时(n小于或等于10)，弹簧测力计的长度1。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度/是多少？ 第4页共11页 19.(26-27五年级上·四川成都·期中)某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法 收取水费。用水量在12吨及以内每吨a元；超过12吨的部分，每吨b元。小刚家11月的用水量是20 吨。 (1)用含有字母的式子表示他家应缴的水费。 (2)当a=3.5,b=4.2时，小刚家11月应缴水费( )元。 20.(25-26五年级上·全国·课后作业)买1个书包的钱可以买a个文具盒，而买1个文具盒的钱可 以买b支圆珠笔，买1支圆珠笔的钱可以买2本练习本，那么买1个书包的钱可以买多少本练习本？ 21.(2026五年级上·全国·专题练习)某市首个立体智能交通系统，开通首日客流量约2.66万人次， 如果开通前三天的客流量之间的关系如图所示，那么第三天的客流量约是多少万人次？ 2.66万人次 第一天 x万人次 第二天 第三天 2.6万人次 22. (2026五年级上·全国·专题练习)观察下面的图形解决问题： (1)像这样摆下去，摆a个三角形需要多少根小棒？ (2)当a=15时，用第(1)题的式子计算出摆15个三角形需要的小棒根数？ 第5页共11页 奥数思维 课本提升知识拓展 【奥数拓展一】用字母表示数量关系(1个未知数) 【典型例题】（25-26五年级上·福建福州·期末)某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元； 超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a 为整数)，他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是（ )。(填“够付”“不够付” 或“无法确定”) 【举一反三练习1】（25-26五年级上·浙江杭州·期末)下图由6个正方形拼成。①号正方形的边 长是1cm。 ④ ⑤ ① ③ ② (1)如果图中②号图形的边长是×厘米，那么，⑤号图形的边长是多少？用含有字母的式子表示。 (2)根据图，找到等量关系，并求出阴影部分的面积。 【举一反三练习2】（25-26六年级上·云南昆明·期末)如下图，第1个图形是一个等边三角形， 它的周长是3cm;第2个图形是由两个这样的等边三角形拼成的平行四边形，它的周长是4cm…按照这 样的规律继续画下去，第8个图形的周长是( )cm,第n个图形的周长是( ）cm。 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 【举一反三练习3】(25-26五年级上·江苏连云港·期末)小明用小棒摆了下面的三个图形（实线）， 分别用了4根、10根和16根长1厘米的小棒。照这样摆下去，第4个图形一共用了( )根小棒， 第n个图形的面积是( )平方厘米。 第6页共11页 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典型例题】(26-27五年级上·全国·课后作业)一块三角形花圃，底长16米，高9米，写出三角 形面积字母公式，并求出花圃的面积。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业)有甲、乙两个钉子板多边形。甲图形：边 上钉子12枚，内部钉子2枚；乙图形：边上钉子8枚，内部钉子4枚。比较两个图形面积，哪个更大？ 大多少平方厘米？（相邻钉子距离均为1厘米) 【举一反三练习2】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末)推理计算：请根据图形，通过计算说明 (a十b)2=a2+b2+2ab是正确的。（提示：大正方形面积S=S,十S2十S,十S4) a b a S 6 S S32 第7页共11页 【举一反三练习3】(25-26五年级上·江苏扬州·期末)【问题提出】在学习了用字母表示数和数 的平方后，乐乐想到一个问题：a2+b2与(a+b)2相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 :32+22=9+4=13 82+52=64+25=89: :202+102=400+100=500 C> (3+2)2=52=25 (8+5)2=132=169 (20+10)2=302=900 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 a b ③ ② ① ④ a a ①a2+b2表示的是( )的面积； ②(a+b)2表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①(3+2)2=32+22+2×3×2②(8+5)2=82+52+2×( )×( ③(20+10)2=202+102+( ）④… (a+b)2=a2+b2+( 【奥数拓展三】用字母表示规律 【典型例题】(25-26六年级下·河南开封·期末)加法算式1+2,2+5,3+8,1+11,2+14,3+ 17,…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 【举一反三练习1】(26-27五年级上·全国·课后作业)如图所示，用长度相等的小木棒搭成的三 角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为 层二层 三层 四层 第8页共11页 【举一反三练习2】（26-27五年级上·广东佛山·阶段检测)观察下面的几何体，按照这样的规律 继续摆放下去，第5个几何体最下面一层有()个小正方体，第()个几何体最下面一层有 117个小正方体 【举一反三练习3】(26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)如图，奇思用圆片和正方形摆图案。 oo coo ofocco 第1个 第2个 第3个 (1)摆第4个图案需要( )个圆片，（ )个正方形。 (2)摆第n个图案需要( )个圆片，( )个正方形。 【奥数拓展四】等式的性质1 【典型例题】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其 中错误的是()。(a、b、c均不为0) A.若a=b,则ac=bc B.若a2=2a,则a=2 C.若a÷c=b÷c,则a=b D.若a=b,则a十b=b一b 【举一反三练习1】(26-27五年级上·全国·课后作业)如果a=b,根据等式的性质，经过变换后， 下列等式中正确的有()个。 ①a-3.1=b-3.1 ②a+c=b+c ③aXc=bXd ④a÷c=b十c ⑤a+c-1=b+c-1⑥a+a=b+b A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三练习2】（25-26六年级下·山东济南·期末)小明在学完等式的性质后，有下面几个推 论，其中正确的是()。（a、b、c均不为0) A.若a=b,则ab=bc B.若a2=2a,则a=1 C.若a+c=b+c,则a=b D.若a=b,则a+b=b-b 【举一反三练习3】(25-26五年级上·广东广州·期末)如图，依依在解方程时运用了哪些知识？ 在括号里填上相应的序号。 (3x-4.5)×9=27 解：9×3x-9×4.5=27→( 第9页共11页 27x-40.5=27 27×-40.5+40.5=27+40.5→（ 27x=67.5 27x÷27=67.5÷27→( x=2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【奥数拓展五】等式的性质2 【典型例题】(24-25五年级上·江苏常州·期末)马小虎在写一个两位数时，不小心将它的个位和十 位上的数字对调了，结果这个新两位数比原来大36，马小虎原来要写的两位数有( )种可能。 【举一反三练习1】(24-25五年级上·宁夏银川·期中)甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒 棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付 了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【举一反三练习2】某剧场3张前排票价和4张后排票价一样。李老师买了9张前排票和9张后排票， 共花去1260元。每张前排票和每张后排票各是多少元？ 第10页共11页 【举一反三练习3】（25-26五年级上·山东济南·期末)下图表示此时天平平衡。若把天平右边的 数量平均分成两份，去掉一份，根据等式的性质，要保持天平平衡，下面说法正确的是（)。 △ A.左边的数量×2，加4个橘子 B.左边的数量÷2，去掉2个橘子 C.天平左边去掉1个橘子 D.天平左边增加1个橘子 第11页共11页nullnull 2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第四单元《用字母表示（一）》「从课本到奥数」 （思维导图+基础夯实+奥数培优考点讲练 共42题●原卷版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 6 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 6 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 7 【奥数拓展三】用字母表示规律 8 【奥数拓展四】等式的性质1 9 【奥数拓展五】等式的性质2 10 1．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）下列两个式子相等的是（ ）。 A．a＋2和a2 B．2×2和a2 C．a×2和2a D．a2和2a 2．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）文具店购进a盒铅笔，每盒10支， ，文具店现在有多少支铅笔?如果列式为“10（a＋b）”，那么横线上的信息应选择（ ）。 A．又购进b盒 B．又购进b支 C．卖了b盒 D．卖了b支 3．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）我国“天问三号”火星采样返回任务预计于2028年前后实施发射。假设探测器往返地球与火星的总路程为s千米，飞行时间为t小时，则其平均速度v（单位：千米/时）可表示为（ ）。 A．v＝s＋t B．v＝s÷t C．v＝ st D．v＝t÷s 4．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）下面选项中，能用5＋3x表示的是（ ）。 A．线段总长度： B．整个图形的面积 C．笑笑乘车从家去外婆家，汽车每小时行驶x千米，行驶了3小时，离外婆家还有5千米。笑笑家到外婆家的路程是多少千米？ 5．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）在研究等式的性质时，发现等式就像平衡的天平，也具有同样的性质。如图，要使第二个天平保持平衡，我们需要在右边的托盘上添上（ ）。 A． B． C． 6．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如果3m＝2n（m≠0，n≠0），根据等式的性质填空。 3m＋3＝2n＋( )                 3m×a＝2n×( )              3m÷( )＝2n÷6 7．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）月月今年11岁，比妹妹大a岁，妹妹今年( )岁；月月和妈妈今年的年龄和是49岁，再过6年，两人的年龄和是( )岁。 8．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）在某学校爱心植树活动中，五年级有109人参加，比四年级参加人数的3倍多22人，四年级有多少人参加爱心植树活动？ ( )的人数×3＋( )＝( )的人数 9．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4个直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到( )个直角三角形，……，画第n个图时得到( )个直角三角形。 10．（26-27五年级上·山东·周测）一个养鸡场上午产蛋a个，下午产蛋b个，一共产蛋ab个。( )（判断对错） 11．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）m×m可以写作m2，m2读作m的平方。( )（判断对错） 12．（2026五年级上·全国·专题练习）用含有字母的式子表示图中要求的量。 13．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 14．（26-27五年级上·四川成都·期中）果园里有苹果树a棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多8棵。 (1)用含有字母的式子表示梨树的棵数。 (2)当a＝5时，梨树有多少棵？ 15．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）去年合作社销售农产品总收入为R元。今年通过直播带货，收入增加了a元，但支付了平台服务费2000元。今年实际收入多少元? 16．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）某村建设智能蔬菜大棚，每座大棚年产蔬菜8吨，此外村集体还管理一片露天菜地，年产x吨。若共建有n座大棚，该村全年蔬菜总产量有多少吨? 17．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起，据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ 18．（26-27五年级上·陕西西安·期中）实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 (1)用字母表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度l。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度l是多少？ 19．（26-27五年级上·四川成都·期中）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在12吨及以内每吨a元；超过12吨的部分，每吨b元。小刚家11月的用水量是20吨。 (1)用含有字母的式子表示他家应缴的水费。 (2)当a＝3.5，b＝4.2时，小刚家11月应缴水费( )元。 20．（25-26五年级上·全国·课后作业）买1个书包的钱可以买a个文具盒，而买1个文具盒的钱可以买b支圆珠笔，买1支圆珠笔的钱可以买2本练习本，那么买1个书包的钱可以买多少本练习本？ 21．（2026五年级上·全国·专题练习）某市首个立体智能交通系统，开通首日客流量约2.66万人次，如果开通前三天的客流量之间的关系如图所示，那么第三天的客流量约是多少万人次？ 22．（2026五年级上·全国·专题练习）观察下面的图形解决问题： (1)像这样摆下去，摆a个三角形需要多少根小棒？ (2)当a＝15时，用第（1）题的式子计算出摆15个三角形需要的小棒根数？ 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 【典型例题】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【举一反三练习1】（25-26五年级上·浙江杭州·期末）下图由6个正方形拼成。①号正方形的边长是1cm。 (1)如果图中②号图形的边长是x厘米，那么，⑤号图形的边长是多少？用含有字母的式子表示。 (2)根据图，找到等量关系，并求出阴影部分的面积。 【举一反三练习2】（25-26六年级上·云南昆明·期末）如下图，第1个图形是一个等边三角形，它的周长是3cm；第2个图形是由两个这样的等边三角形拼成的平行四边形，它的周长是4cm…按照这样的规律继续画下去，第8个图形的周长是( )cm，第n个图形的周长是( )cm。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·江苏连云港·期末）小明用小棒摆了下面的三个图形（实线），分别用了4根、10根和16根长1厘米的小棒。照这样摆下去，第4个图形一共用了( )根小棒，第n个图形的面积是( )平方厘米。 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）一块三角形花圃，底长16米，高9米，写出三角形面积字母公式，并求出花圃的面积。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）有甲、乙两个钉子板多边形。甲图形：边上钉子12枚，内部钉子2枚；乙图形：边上钉子8枚，内部钉子4枚。比较两个图形面积，哪个更大？大多少平方厘米？（相邻钉子距离均为1厘米） 【举一反三练习2】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）推理计算：请根据图形，通过计算说明（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab是正确的。（提示：大正方形面积S＝S1＋S2＋S3＋S4） 【举一反三练习3】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】在学习了用字母表示数和数的平方后，乐乐想到一个问题：与相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 ①表示的是( )的面积； ②表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①    ②( )×( ) ③( )    ④…… ( ) 【奥数拓展三】用字母表示规律 【典型例题】（25-26六年级下·河南开封·期末）加法算式1＋2，2＋5，3＋8，1＋11，2＋14，3＋17，…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）如图所示，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为__________。 【举一反三练习2】（26-27五年级上·广东佛山·阶段检测）观察下面的几何体，按照这样的规律继续摆放下去，第5个几何体最下面一层有( )个小正方体，第( )个几何体最下面一层有117个小正方体。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，奇思用圆片和正方形摆图案。 (1)摆第4个图案需要( )个圆片，( )个正方形。 (2)摆第n个图案需要( )个圆片，( )个正方形。 【奥数拓展四】等式的性质1 【典型例题】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）如果a＝b，根据等式的性质，经过变换后，下列等式中正确的有（    ）个。 ①a－3.1＝b－3.1　　　②a＋c＝b＋c         ③a×c＝b×d     ④a÷c＝b＋c         ⑤a＋c－1＝b＋c－1      ⑥a＋a＝b＋b A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三练习2】（25-26六年级下·山东济南·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中正确的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三练习3】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【奥数拓展五】等式的性质2 【典型例题】（24-25五年级上·江苏常州·期末）马小虎在写一个两位数时，不小心将它的个位和十位上的数字对调了，结果这个新两位数比原来大36，马小虎原来要写的两位数有( )种可能。 【举一反三练习1】（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【举一反三练习2】某剧场3张前排票价和4张后排票价一样。李老师买了9张前排票和9张后排票，共花去1260元。每张前排票和每张后排票各是多少元？ 【举一反三练习3】（25-26五年级上·山东济南·期末）下图表示此时天平平衡。若把天平右边的数量平均分成两份，去掉一份，根据等式的性质，要保持天平平衡，下面说法正确的是（    ）。 A．左边的数量×2，加4个橘子 B．左边的数量÷2，去掉2个橘子 C．天平左边去掉1个橘子 D．天平左边增加1个橘子 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第四单元《用字母表示（一）》「从课本到奥数」 （思维导图+基础夯实+奥数培优考点讲练 共42题●解析版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 11 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 11 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 15 【奥数拓展三】用字母表示规律 20 【奥数拓展四】等式的性质1 23 【奥数拓展五】等式的性质2 25 1．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）下列两个式子相等的是（ ）。 A．a＋2和a2 B．2×2和a2 C．a×2和2a D．a2和2a 【答案】C 【思路引导】首先明确乘号简写规则、数字与字母相乘的书写规范、平方运算的定义，作为判断的基础依据。 逐个分析选项中两个式子的数学含义：如果是含字母的式子，需判断二者是否对任意相同的字母取值都恒等；如果是常数和含字母的式子，直接对比二者的表达式形式是否一致。 结合代数书写规则和运算定义，判断每组式子是否相等。 【规范解答】A．表示a与2的和，表示，二者不相等。 B．，的值随a的取值变化，二者不相等。 C．省略乘号后写作，二者相等。 D．表示2个a相乘，表示2个a相加，二者仅当或时相等，一般情况不相等。 2．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）文具店购进a盒铅笔，每盒10支， ，文具店现在有多少支铅笔?如果列式为“10（a＋b）”，那么横线上的信息应选择（ ）。 A．又购进b盒 B．又购进b支 C．卖了b盒 D．卖了b支 【答案】A 【思路引导】中10是每盒铅笔的支数，因此表示现在铅笔的总盒数，原来有a盒，可得b代表又购进的盒数。 【规范解答】铅笔总数量＝每盒支数×总盒数 已知现有铅笔数量列式为，则总盒数为，比最初购进的a盒多了b盒，即又购进b盒。 3．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）我国“天问三号”火星采样返回任务预计于2028年前后实施发射。假设探测器往返地球与火星的总路程为s千米，飞行时间为t小时，则其平均速度v（单位：千米/时）可表示为（ ）。 A．v＝s＋t B．v＝s÷t C．v＝ st D．v＝t÷s 【答案】B 【思路引导】行程问题的基本数量关系为：，根据公式判断即可。 【规范解答】已知总路程为千米，总飞行时间为小时，其平均速度，代入，可得。 A．，路程加时间没有实际的数学意义，不可能计算出速度，错误； B．，路程除以时间等于速度，与我们推导的表达方式一致，正确； C．，路程乘时间，不符合三个量的关系，不可能计算出速度，错误； D．，时间除以路程，不符合三个量的关系，不可能计算出速度，错误。 4．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）下面选项中，能用5＋3x表示的是（ ）。 A．线段总长度： B．整个图形的面积 C．笑笑乘车从家去外婆家，汽车每小时行驶x千米，行驶了3小时，离外婆家还有5千米。笑笑家到外婆家的路程是多少千米？ 【答案】C 【思路引导】求线段总长度，就是把这三部分的长度相加；图中展示了一个大长方形，由两个小长方形拼接而成，整个图形的面积是这两个长方形面积之和，长方形面积＝长×宽；总路程＝已经行驶的路程＋剩下的路程，已经行驶的路程可通过速度乘时间求出。据此分别求出三个选项的关系表达式，找出与题干表达式一致的选项。 【规范解答】A．线段由三部分组成，长度分别是5、3和x。因此线段的总长为5＋3＋x，即8＋x，与5＋3x不符，选项错误； B．左边长方形的面积是5×x＝5x，右边长方形的面积是3×x＝3x，整个图形的面积是5x＋3x即（5＋3）x，与5＋3x不符，选项错误； C．已经行驶的路程是x×3＝3x（千米），已知离外婆家还有5千米，即剩下的路程是5千米，所以，总路程是（3x＋5）或（5＋3x）千米，与5＋3x相符，选项正确； 因此，能用5＋3x表示的是：笑笑乘车从家去外婆家，汽车每小时行驶x千米，行驶了3小时，离外婆家还有5千米。笑笑家到外婆家的路程是多少千米？ 5．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）在研究等式的性质时，发现等式就像平衡的天平，也具有同样的性质。如图，要使第二个天平保持平衡，我们需要在右边的托盘上添上（ ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】由第一个天平可知：2个正方体的质量＝1个球的质量 给第二个天平两边同时减去1个正方体，左边剩下1个球，右边剩下空盘。要使第二个天平保持平衡，所以右边需要添加1个球，也可以添加2个正方体。 【规范解答】 根据分析：要使第二个天平保持平衡，，需要在右边的托盘上添上。 6．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如果3m＝2n（m≠0，n≠0），根据等式的性质填空。 3m＋3＝2n＋( )                 3m×a＝2n×( )              3m÷( )＝2n÷6 【答案】 3 a 6 【思路引导】等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然成立。 【规范解答】第1题，等式两边同时加上3，左右两边仍然相等，所以3m＋3＝2n＋3。 第2题，等式两边同时乘a，左右两边仍然相等，所以3m×a＝2n×a。 第3题，等式两边同时除以6，左右两边仍然相等，所以3m÷6＝2n÷6。 7．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）月月今年11岁，比妹妹大a岁，妹妹今年( )岁；月月和妈妈今年的年龄和是49岁，再过6年，两人的年龄和是( )岁。 【答案】 （11－a） 61 【思路引导】较大数－差＝较小数，据此用字母表示出妹妹今年的年龄；月月和妈妈今年的年龄和＋月月增长的年龄＋妈妈增长的年龄＝若干年后两人的年龄和。 【规范解答】月月的年龄是较大数，妹妹的年龄是较小数，年龄差是a岁，因此妹妹今年（11－a）岁；再过6年，月月和妈妈的年龄分别增长6岁，49＋6＋6＝61（岁），因此再过6年，两人的年龄和是61岁。 8．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）在某学校爱心植树活动中，五年级有109人参加，比四年级参加人数的3倍多22人，四年级有多少人参加爱心植树活动？ ( )的人数×3＋( )＝( )的人数 【答案】 四年级参加 22 五年级参加 【思路引导】先找出一倍量：四年级参加的人数。根据题意，五年级参加的人数比四年级参加人数的3倍多22人，据此写出等量关系式。 【规范解答】四年级参加的人数×3＋22＝五年级参加的人数 9．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4个直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到( )个直角三角形，……，画第n个图时得到( )个直角三角形。 【答案】 12 4n 【思路引导】先数出第3个图形中直角三角形的个数，进而得到规律：每增加一个图形，三角形的个数就增加4个。即第几个图形，三角形的个数就是4的几倍。据此解答。 【规范解答】观察可知： 第1个图形：得到4个直角三角形，可以看作4×1。 第2个图形：得到8个直角三角形，可以看作4×2。 第3个图形：得到12个直角三角形，可以看作4×3。 …… 因此，第n个图中，直角三角形的个数为：4×n，即4n个。 10．（26-27五年级上·山东·周测）一个养鸡场上午产蛋a个，下午产蛋b个，一共产蛋ab个。( ) 【答案】× 【思路引导】养鸡场一天总产蛋的个数等于上午产蛋的个数加下午产蛋的个数，不是两个数量相乘的关系。 【规范解答】一天总产蛋个数为，不是。 故答案为：× 11．（26-27五年级上·甘肃定西·期中）m×m可以写作m2，m2读作m的平方。( ) 【答案】√ 【思路引导】注意区分和。 读作m的平方，表示两个相乘，即；表示两个相加，即； 【规范解答】m×m可以写作m2，m2读作m的平方，说法正确。 故答案为：√ 12．（2026五年级上·全国·专题练习）用含有字母的式子表示图中要求的量。 【答案】 【思路引导】磁性书签包，纸质书签的包数比磁性书签的5倍少28包，纸质书签比磁性书签多多少包？用磁性书签的包数乘5减28算出纸质书签的包数，再减去磁性书签的包数即可。 【规范解答】 所以纸质书签比磁性书签多包 13．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 【答案】；； 【思路引导】依据等式的基本性质，先相减得到0.25x＝0.38，再两边同时除以0.25求出 x； 依据等式的基本性质，先两边同时减去2.7，再两边同时除以5得到x的值； 根据“减数＝被减数差，将其变形为x＝8.282.8 来计算出结果。 【规范解答】 解： 解： 解： 14．（26-27五年级上·四川成都·期中）果园里有苹果树a棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多8棵。 (1)用含有字母的式子表示梨树的棵数。 (2)当a＝5时，梨树有多少棵？ 【答案】(1)2a＋8 (2)18棵 【思路引导】梨树的棵数＝苹果树的棵数×2＋8棵，先依据梨树与苹果树的数量关系，用含字母的式子表示梨树的棵数；再将的取值代入式子，计算出梨树的实际棵数。 【规范解答】（1）（棵） 答：梨树有棵。 （2）当时， 答：梨树有18棵。 15．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）去年合作社销售农产品总收入为R元。今年通过直播带货，收入增加了a元，但支付了平台服务费2000元。今年实际收入多少元? 【答案】元 【思路引导】先算出去年收入R加上增加的收入a的总金额，再减去平台服务费2000，即可得到今年实际收入。 【规范解答】 答：今年实际收入元。 16．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）某村建设智能蔬菜大棚，每座大棚年产蔬菜8吨，此外村集体还管理一片露天菜地，年产x吨。若共建有n座大棚，该村全年蔬菜总产量有多少吨? 【答案】（8n＋x）吨 【思路引导】先求n座大棚的总产量，每座大棚年产8吨，n座大棚总产量就是8乘n，写作8n吨；再加上露天菜地的产量x吨，合起来就是全年蔬菜总产量。 【规范解答】座大棚的年总产量：（吨） 全年蔬菜总产量：（8n＋x）吨 答：该村全年蔬菜总产量有（8n＋x）吨。 17．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起，据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ 【答案】①人；②人 【思路引导】摆法①：可以先将每组桌子左右两侧的6个人固定，则每增加一张桌子就会增加2人，即第一组1张桌子的人数为人，第二组2张桌子的人数为人，第三组3张桌子的人数为人，则第组张桌子的人数为人。摆法②：可以先将每组桌子左右两侧的2个人固定，则每增加一张桌子就会增加6人，即第一组1张桌子的人数为人，第二组2张桌子的人数为人，第三组3张桌子的人数为人，则第组张桌子的人数为人。 【规范解答】摆法①摆张桌子的人数： 人 摆法②摆张桌子的人数： 人 答：摆张桌子时，第①种摆法能坐人，第②种摆法能坐人。 18．（26-27五年级上·陕西西安·期中）实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 (1)用字母表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度l。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度l是多少？ 【答案】(1) 厘米（） (2) 30.9厘米 【思路引导】（1）弹簧总长度＝原长＋伸长的长度，伸长的长度＝每千克伸长长度×物体质量。 （2）将代入（1）计算。 【规范解答】（1）弹簧伸长的长度： 弹簧测力计的长度：（）厘米 （2）当时， （厘米） 答：弹簧测力计的长度l是30.9厘米。 19．（26-27五年级上·四川成都·期中）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在12吨及以内每吨a元；超过12吨的部分，每吨b元。小刚家11月的用水量是20吨。 (1)用含有字母的式子表示他家应缴的水费。 (2)当a＝3.5，b＝4.2时，小刚家11月应缴水费( )元。 【答案】(1) (2)75.6 【思路引导】（1）小刚家11月的用水量是20吨，用水量在12吨及以内每吨a元；超过12吨的部分，每吨b元。根据总价＝单价×数量，先用表示出12吨及以内的费用，再用求出超过12吨的部分，用b元乘超过12吨的部分求出超过的费用，最后将两部分费用相加。 （2）根据（1）小题求出的数量关系式，将a＝3.5，b＝4.2代入关系式进行计算，就可以求出小刚家11月份的水费。 【规范解答】（1）超过12吨的水量： （吨） 应缴水费： 元 答：应缴水费为元。 （2）当，时： 20．（25-26五年级上·全国·课后作业）买1个书包的钱可以买a个文具盒，而买1个文具盒的钱可以买b支圆珠笔，买1支圆珠笔的钱可以买2本练习本，那么买1个书包的钱可以买多少本练习本？ 【答案】 本 【思路引导】以个书包为基础，因为个书包可换个文具盒，个文具盒可换支圆珠笔，所以先计算个书包可换的圆珠笔数量，用到乘法计算。 因为支圆珠笔可换本练习本，所以用个书包对应的圆珠笔数量乘，即可得到对应的练习本数量，用乘法运算。 【规范解答】买个书包的钱可买圆珠笔的数量：（支） 买个书包的钱可买练习本的数量：（本） 答：那么买个书包的钱可以买本练习本。 21．（2026五年级上·全国·专题练习）某市首个立体智能交通系统，开通首日客流量约2.66万人次，如果开通前三天的客流量之间的关系如图所示，那么第三天的客流量约是多少万人次？ 【答案】万人次 【思路引导】第一天客流量约2.66万人次，第二天是万人次，用第二天的客流量减去第一天的客流量可以算出第二天比第一天多的客流量，第三天的客流量是第二天比第一天多的客流量加上2.6万人次。 【规范解答】 答：第三天的客流量约是万人次。 22．（2026五年级上·全国·专题练习）观察下面的图形解决问题： (1)像这样摆下去，摆a个三角形需要多少根小棒？ (2)当a＝15时，用第（1）题的式子计算出摆15个三角形需要的小棒根数？ 【答案】(1) 根 (2) 31根 【思路引导】先列举摆1个、2个、3个三角形的小棒数量，找到“每增加1个三角形，小棒数量增加2根”的规律，推导出摆个三角形的小棒数量表达式，再将代入表达式计算结果。 【规范解答】（1）摆1个三角形需要小棒：（根） 摆2个三角形需要小棒：（根） 摆3个三角形需要小棒：（根） 规律为：小棒总根数＝三角形个数，因此摆个三角形需要根小棒。 答：摆a个三角形需要根小棒。 （2）当时 （根） 答：摆15个三角形需要的小棒是31根。 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 【典型例题】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【答案】不够付 【思路引导】分两种情况讨论：当a≤3时，3千米及以内车费固定为10元，李叔叔身上最多有3×3＝9元，9＜10，钱不够；当a＞3时，总车费＝超出部分费用＋3千米内费用，即3（a－3）＋10＝（3a＋1）元，总车费（3a＋1）元＞李叔叔带的3a元，钱还是不够。因此无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【规范解答】情况一：a≤3，固定费用10元，3a≤9＜10，不够付； 情况二：a＞3，超出部分的路程为（a－3）千米，超出部分的费用为3（a－3）元，再加上3千米及以内的固定费用10元，为3（a－3）＋10。 3（a－3）＋10 ＝3a－3×3＋10 ＝3a－9＋10 ＝（3a＋1）元 3a＋1＞3a，不够付。 综上，无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·浙江杭州·期末）下图由6个正方形拼成。①号正方形的边长是1cm。 (1)如果图中②号图形的边长是x厘米，那么，⑤号图形的边长是多少？用含有字母的式子表示。 (2)根据图，找到等量关系，并求出阴影部分的面积。 【答案】(1)（x＋3）厘米 (2)16平方厘米 【思路引导】（1）②号图形的边长＋①号图形的边长＝③号图形的边长，③号图形的边长＋①号图形的边长＝④号图形的边长，④号图形的边长＋①号图形的边长＝⑤号图形的边长； （2）右下角正方形的边长＝（⑤号图形的边长＋1厘米）÷2，根据长方形对边相等，③号图形的边长＋④号图形的边长＝⑤号图形的边长＋右下角正方形的边长，列出方程求出x的值，是阴影部分的边长，正方形面积＝边长×边长。 【规范解答】（1）③号图形的边长：（x＋1）厘米 ④号图形的边长：x＋1＋1＝（x＋2）厘米 ⑤号图形的边长：x＋2＋1＝（x＋3）厘米 答：⑤号图形的边长是（x＋3）厘米。 （2）（x＋1）＋（x＋2）＝x＋3＋（x＋3＋1）÷2 解：x＋1＋x＋2＝x＋3＋（x＋4）÷2 2x＋3＝x＋3＋（x＋4）÷2 2x＋3－x－3＝x＋3＋（x＋4）÷2－x－3 x＝（x＋4）÷2 x×2＝（x＋4）÷2×2 2x＝x＋4 2x－x ＝x＋4－x x＝4 4×4＝16（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16平方厘米。 【考点剖析】字母可以表示任意数，关键是看懂各图形边长之间的关系，根据长方形对边相等，列出方程求出阴影部分的边长。 【举一反三练习2】（25-26六年级上·云南昆明·期末）如下图，第1个图形是一个等边三角形，它的周长是3cm；第2个图形是由两个这样的等边三角形拼成的平行四边形，它的周长是4cm…按照这样的规律继续画下去，第8个图形的周长是( )cm，第n个图形的周长是( )cm。 【答案】 / 【思路引导】先观察前几个图形的周长： 第1个图：3cm， 第2个图：4cm，4＝3＋1＝3＋（2－1） 第3个图：5cm，5＝3＋2＝3＋（3－1） 第4个图：6cm，6＝3＋3＝3＋（4－1） 第5个图：7cm，7＝3＋4＝3＋（5－1） ………… 第n个图形的周长可以表示为： 3＋（n－1） ＝3＋n－1 ＝n＋2 【规范解答】第n个图形的周长为：（n＋2）cm 当n＝8时，n＋2＝8＋2＝10（cm） 所以，第8个图形的周长是10cm，第n个图形的周长是（n＋2）cm。 【考点剖析】关键点是通过观察前几个图形，找出 “每增加一个等边三角形，周长就增加 1cm” 的规律，并用字母表示出来。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·江苏连云港·期末）小明用小棒摆了下面的三个图形（实线），分别用了4根、10根和16根长1厘米的小棒。照这样摆下去，第4个图形一共用了( )根小棒，第n个图形的面积是( )平方厘米。 【答案】 22 【思路引导】小棒数量规律： 第1个图形用4根，4＝4＋0 第2个图形用10根，10＝4＋6 第3个图形用16根，16＝4＋6×2 第4个图形用22根，22＝4＋6×3 第5个图形用28根，28＝4＋6×4 …………………… 第n个图形用小棒数量： 4＋6×（n－1） ＝4＋6n－6 ＝（6n－2）根 面积规律：每个图形由若干个1×1＝1平方厘米的小正方形组成： 第1个图形小正方形数：1 第2个图形小正方形数：1＋3＝4＝ 第3个图形小正方形数：1＋3＋5＝9＝ 第4个图形小正方形数：1＋3＋5＋7＝16＝ ………………………… 第n个图形小正方形数： 【规范解答】依据图形小棒的规律：6n－2 当n＝4时， 6n－2 ＝6×4－2 ＝24－2 ＝22（根） 第n个图形小正方形的数量为： 1×1＝1（平方厘米） ×1＝（平方厘米） 所以，第4个图形一共用了22根小棒，第n个图形的面积是平方厘米。 【考点剖析】关键点是通过观察前几个图形，分别找出小棒数量和面积的变化规律，并用含 n 的代数式表示出来。 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）一块三角形花圃，底长16米，高9米，写出三角形面积字母公式，并求出花圃的面积。 【答案】S＝ah÷2；72平方米 【思路引导】根据公式：，S代表面积，a表示底，h表示高，依此写出三角形面积的字母公式，再将底和高的对应数值代入公式计算面积。 【规范解答】三角形面积字母公式： 将，代入公式： （平方米） 答：三角形面积字母公式：，花圃的面积为72平方米。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）有甲、乙两个钉子板多边形。甲图形：边上钉子12枚，内部钉子2枚；乙图形：边上钉子8枚，内部钉子4枚。比较两个图形面积，哪个更大？大多少平方厘米？（相邻钉子距离均为1厘米） 【答案】一样大；0平方厘米 【思路引导】钉子板多边形的面积计算公式为：S＝n＋m÷2－1，其中S表示多边形的面积，n表示多边形内部的钉子数量，m表示多边形边上的钉子数量，代入数据计算求出甲、乙两个图形的面积，然后比较大小，并用减法求出面积差。 【规范解答】甲图形：当n＝2，m＝12时 S＝n＋m÷2－1 ＝2＋12÷2－1 ＝2＋6－1 ＝7（平方厘米） 乙图形：当n＝4，m＝8时 S＝n＋m÷2－1 ＝4＋8÷2－1 ＝4＋4－1 ＝7（平方厘米） 比较：7＝7，甲、乙两个图形面积相等。 7－7＝0（平方厘米） 答：甲、乙两个图形的面积一样大，相差0平方厘米。 【举一反三练习2】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）推理计算：请根据图形，通过计算说明（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab是正确的。（提示：大正方形面积S＝S1＋S2＋S3＋S4） 【答案】通过面积拆分计算，证明（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab是正确的。 【思路引导】大正方形边长为a＋b，整体面积是边长的平方；大正方形分成四块，分别算出四块面积相加，两者相等即可验证公式。正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽。 【规范解答】大正方形整体面积：S＝（a＋b）2 四块小图形面积： S₁：a×a＝a2 S₂：b×b＝b2 S₃：a×b＝ab S₄：a×b＝ab 四块面积总和：S₁＋S₂＋S₃＋S₄ ＝a2＋b2＋ab＋ab ＝a2＋b2＋2ab 因为整体面积等于四块面积之和，所以（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】在学习了用字母表示数和数的平方后，乐乐想到一个问题：与相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 ①表示的是( )的面积； ②表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①    ②( )×( ) ③( )    ④…… ( ) 【答案】(1)通过举例计算发现，a2＋b2小于（a＋b）2。背后的秘密是：两个数先平方再相加，比两个数先相加再平方，少了2乘这两个数相乘的部分。 (2) ①＋② ①＋②＋③＋④ ③＋④ 2ab (3) 8 5 2×20×10 2ab 【思路引导】（1）要判断a2＋b2与（a＋b）2是否相等，可以代入具体的数分别计算两个算式的结果，再进行比较。通过计算发现两个算式的结果不相等，从而得出结论。 （2）观察图形可知，①部分是一个边长为a的正方形，根据正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，其面积为a2；②部分是一个边长为b的正方形，其面积为b2，所以a2＋b2表示的是①＋②的面积。 整个大图形是一个边长为（a＋b）的正方形，根据正方形面积公式，其面积为（a＋b）2。而整个大图形是由①＋②＋③＋④这四部分组成的，所以（a＋b）2表示的是①＋②＋③＋④的面积。 由前面的分析可知，（a＋b）2表示①＋②＋③＋④的面积，a2＋b2表示①＋②的面积，那么它们相差的部分就是③＋④的面积。 ③和④都是长为a，宽为b的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，一个长方形面积为ab，所以③＋④的面积用含有字母的式子表示是2ab。 （3）先看第一个式子（3＋2）2＝32＋22＋2×3×2，能发现两个数相加后再平方，等于这两个数各自平方的和，再加上“2乘第一个数乘第二个数”的规律。把这个规律用到第②题（8＋5）2中，就应该写成82＋52＋2×8×5；第③题（20＋10）2按照规律就是202＋102＋2×20×10；最后第④题用字母a和b代表任意两个数，把规律写成通用式子就是（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 【规范解答】（1）32＋22 ＝3×3＋2×2 ＝9＋4 ＝13 （3＋2）2 ＝5×5 ＝25 它们相差：25－13＝12 2×3×2 ＝6×2 ＝12 所以：少掉的12，正好就是2×3×2。 82＋52 ＝8×8＋5×5 ＝64＋25 ＝89 （8＋5）2 ＝13×13 ＝169 它们相差：169－89＝80 2×8×5 ＝16×5 ＝80 所以：少掉的80，正好就是2×8×5。 202＋102 ＝20×20＋10×10 ＝400＋100 ＝500 （20＋10）2 ＝30×30 ＝900 它们相差：900－500＝400 2×20×10 ＝40×10 ＝400 所以：少掉的400，正好就是2×20×10。 答：通过举例计算发现，a2＋b2小于（a＋b）2。背后的秘密是：两个数先平方再相加，比两个数先相加再平方，少了2乘这两个数相乘的部分。 （2）①表示的是①＋②的面积； ②表示的是①＋②＋③＋④的面积； ③它们相差的部分是③＋④的面积，用含有字母的式子表示是2ab。 （3）①     ②8×5 ③2×20×10 ④…… 2ab 【奥数拓展三】用字母表示规律 【典型例题】（25-26六年级下·河南开封·期末）加法算式1＋2，2＋5，3＋8，1＋11，2＋14，3＋17，…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 【答案】 【思路引导】观察给出的加法算式序列，可以将每个算式的第一个加数和第二个加数分别看作两组有规律的数列。第一个加数按的顺序循环排列；第二个加数是从开始，依次增加的数列。要求第个加法算式，需分别求出第个算式的第一个加数和第二个加数。 【规范解答】 商是，余数是，说明第个算式的第一个加数是第个周期的第个数，即。 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： …… 第个算式第二个加数： 所以，第个算式的第二个加数是： 所以第个加法算式是。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）如图所示，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为__________。 【答案】n（n＋1） 【思路引导】观察图形可得：第个图形中木棒的根数为：（根）； 第个图形中木棒的根数为： （根）； 第个图形中木棒的根数为： （根）； 第个图形中木棒的根数为： （根）； …… 依次类推，第个图形中小木棍的根数为： 。 【规范解答】由分析可知，第个图形中小木棍的根数为：。 【举一反三练习2】（26-27五年级上·广东佛山·阶段检测）观察下面的几何体，按照这样的规律继续摆放下去，第5个几何体最下面一层有( )个小正方体，第( )个几何体最下面一层有117个小正方体。 【答案】 17 30 【思路引导】第1个几何体有1个正方体，第2个几何体最下面一层有个，第3个几何体最下面一层有……从上往下看，从第二层开始，每层都比上一层多4。第几个几何体就是几层， 第个几何体，最下面一层正方体个数有： 据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第个几何体最下一层正方体个数是 第5个几何体最下一层正方体个数是： （个） 最下面一层有117个小正方体的几何体是： 解： 第30个几何体最下一层有117个小正方体。 综上所述：第5个几何体最下面一层有17个小正方体，第30个几何体最下面一层有117个小正方体。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）如图，奇思用圆片和正方形摆图案。 (1)摆第4个图案需要( )个圆片，( )个正方形。 (2)摆第n个图案需要( )个圆片，( )个正方形。 【答案】(1) 16 4 (2) 4n n 【思路引导】已知图案的数量找规律： （1）先看正方形：第1个图案有1个正方形，第2个有2个，第3个有3个，规律很明显，第几个图案就对应几个正方形。 （2）再看圆片：第1个图案有4×1＝4个圆片，第2个有4×2＝8个圆片，第3个有4×3＝12个圆片，每多1个正方形，就会新增4个圆片。 按照这个规律：第4个图案的正方形是4个，圆片就是4×4＝16个。第n个图案的正方形是n个，圆片就是（4n）个。 【规范解答】（1）根据分析：4×4＝16（个） 摆第4个图案需要16个圆片，4个正方形。 （2）摆第n个图案需要4n个圆片，n个正方形。 【奥数拓展四】等式的性质1 【典型例题】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【答案】D 【思路引导】依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等”来进行判断。 【规范解答】A．若a＝b，则ac＝bc。依据“等式两边同时乘同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，所以说法正确。 B．若，则a＝2。 当a＝2时，2a＝2×2＝4 4＝4 所以，“若，则a＝2”的说法正确。 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b。依据“等式两边同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等” 的等式性质，所以，“若a÷c＝b÷c，则a＝b”说法正确。 D．若a＝b，则a＋b＝b－b。依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，a＋b＝b－b左边是“加b”，右边是“减b”，不符合等式的性质。所以，“若a＝b，则a＋b＝b－b”的说法错误。 故答案为：D 【考点剖析】准确运用等式的性质对每个推论进行辨析，注意特殊值的情况。 【举一反三练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）如果a＝b，根据等式的性质，经过变换后，下列等式中正确的有（    ）个。 ①a－3.1＝b－3.1　　　②a＋c＝b＋c         ③a×c＝b×d     ④a÷c＝b＋c         ⑤a＋c－1＝b＋c－1      ⑥a＋a＝b＋b A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，逐个判断即可。 【规范解答】①：等式两边同时减去3.1，正确； ②：等式两边同时加上，正确； ③：左右两边乘的数不一定相同，错误； ④：左右两边运算不同，错误； ⑤：等式两边同时加再减1，正确； ⑥：可转化为，等式两边同时乘2，正确。 正确的共有4个。 【举一反三练习2】（25-26六年级下·山东济南·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中正确的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】根据等式的性质进行判断。等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。题目已知、、均不为0，据此逐项分析各选项是否符合等式的性质。 【规范解答】A．若，根据等式的性质2，等式两边应乘同一个数。左边乘得到，右边乘得到，因为与不一定相等，所以不一定等于。此选项错误； B．若，即。因为，根据等式的性质2，等式两边同时除以，得。而选项中结论为，当时，，，。此选项错误； C．若，根据等式的性质1，等式两边同时减去，得，化简后得。此选项正确； D．若，根据等式的性质1，等式两边应加上或减去同一个数。左边加得到，右边减得到，左右两边进行的运算不同，不符合等式的性质。此选项错误。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【答案】 ③ ② ④ 【思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 商不变规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 【规范解答】把（3x－4.5）×9改写成9×3x－9×4.5，运用了乘法分配律； 把27x－40.5＝27改写成27x－40.5＋40.5＝27＋40.5，运用了等式的性质1； 把27x＝67.5改写成27x÷27＝67.5÷27，运用了等式的性质2。 【奥数拓展五】等式的性质2 【典型例题】（24-25五年级上·江苏常州·期末）马小虎在写一个两位数时，不小心将它的个位和十位上的数字对调了，结果这个新两位数比原来大36，马小虎原来要写的两位数有( )种可能。 【答案】5 【思路引导】解答这道题首先要明白两位数的组成：一个两位数，十位上的数字代表几个十，个位上的数字代表几个一。题目中已知“个位和十位上的数字对调后，新两位数比原来大36”，我们需要先把“原数”和“新数”用含有字母的式子表示出来，再找出它们的差值关系。可以设原来这个两位数的十位数字为，个位数字为。则原数可以表示为：，新数可以表示为。 还要注意两位数的数字有取值限制：十位上的数字不能是0，则a为1~9之间的整数；个位上的数字也就是b为0~9之间的整数，这一点在后面找可能的数字时很重要。据此解答。 【规范解答】根据分析： 设原来这个两位数的十位数字为，个位数字为。 原数为： 新数为： 根据写出符合条件的数的组合： 当时，，即15和51； 当时，，即26和62； 当时，，即37和73； 当时，，即48和84； 当时，，即59和95。 以上共5种情况。 所以马小虎原来要写的两位数有5种可能。 【考点剖析】这道题的关键是“十位数字×10 ＋ 个位数字”这个表示两位数的方法；确定数字时，每个数位上的数字都只能是0~9的整数，但十位是首位，不能为0。 【举一反三练习1】（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【答案】22元 【思路引导】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【规范解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【考点剖析】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 【举一反三练习2】某剧场3张前排票价和4张后排票价一样。李老师买了9张前排票和9张后排票，共花去1260元。每张前排票和每张后排票各是多少元？ 【答案】前排票80元；后排票60元 【思路引导】由题意可知，3张前排票的价格＝4张后排票的价格，利用等式的性质2，等式两边同时乘3，得出9张前排票的价格＝12张后排票的价格，9张前排票的价格＋9张后排票的价格＝1260元，把等式中9张前排票的价格转化为12张后排票的价格，利用等式的性质2，等式两边同时除以21，求出每张后排票的价格，最后根据前排票与后排票的数量关系求出每张前排票的价格，据此解答。 【规范解答】3张前排票的价格＝4张后排票的价格 3张前排票的价格×3＝4张后排票的价格×3 9张前排票的价格＝12张后排票的价格 9张前排票的价格＋9张后排票的价格＝1260元 12张后排票的价格＋9张后排票的价格＝1260元 21张后排票的价格＝1260元 21张后排票的价格÷21＝1260元÷21 每张后排票的价格＝60元 4×60＝240（元） 3张前排票的价格＝4张后排票的价格＝240元 240÷3＝80（元） 答：每张前排票80元，每张后排票60元。 【考点剖析】本题主要考查等量代换，利用等式的性质求出每张后排票的价格是解答题目的关键。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·山东济南·期末）下图表示此时天平平衡。若把天平右边的数量平均分成两份，去掉一份，根据等式的性质，要保持天平平衡，下面说法正确的是（    ）。 A．左边的数量×2，加4个橘子 B．左边的数量÷2，去掉2个橘子 C．天平左边去掉1个橘子 D．天平左边增加1个橘子 【答案】B 【思路引导】天平左边是4个橘子，右边是2个梨，天平平衡，说明4个橘子的重量等于2个梨的重量，即4个橘子＝2个梨，两边同时除以2，得到2个橘子＝1个梨；相当于左边的数量除以2，变成2个橘子，据此逐项分析解答。 【规范解答】A．左边的数量×2，此时橘子数量：4×2＝8（个），不是2个橘子，说法错误。 B．左边的数量÷2；去掉2个橘子，4－2＝2（个），相当于2个橘子＝1个梨，说法正确。 C．天平左边去掉1个橘子；4－1＝3（个），不是2个橘子，说法错误。 D．天平左边增加1个橘子；4＋1＝4，相当于5个橘子，不是2个橘子，说法错误。 说法正确的是左边的数量÷2，去掉2个橘子。 第 1 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