第四单元 用字母表示（一）-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+6个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“用字母表示”单元知识体系，知识梳理涵盖7个核心知识点，以表格归纳数量关系模型、运算定律及计算公式，结合书写规范、易错区分等细节，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，考点讲练精选“拼长方形求周长”等高频题型，奥数拓展设置“数与形规律探索”等提升题，真题演练分基础与能力层，培养符号意识与推理能力，助力不同学生巩固提升，为教师提供精准教学支持。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 用字母表示（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数 6 高频考点二 用字母表示数量关系（1个未知数） 8 高频考点三 用字母表示运算定律及计算公式 9 高频考点四 数与形(探索规律） 10 高频考点五 等式的性质1 12 高频考点六 等式的性质2 13 难点突破 奥数拓展 14 奥数拓展一 用字母表示数 14 奥数拓展二 数与形(探索规律） 15 奥数拓展三 等式的性质1 19 奥数拓展四 等式的性质2 20 优选真题 实战演练 21 【基础通关】 21 【能力提升】 25 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·单元测试）用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 (2)当，时，求这个长方形的周长。 【答案】(1) ①分米 ②分米 (2)①分米 ②分米 【思路引导】（1）两个完全相同的长方形拼接成大长方形，有两种拼接方式：宽边重合拼接和长边重合拼接。先分别确定每种拼法下大长方形的长和宽，再结合长方形周长公式写出含字母的式子； （2）将数值代入对应式子计算即可。 【规范解答】（1）第一种拼法：将两个长方形的宽边重合，沿长的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 第二种拼法：将两个长方形的长边重合，沿宽的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 答：拼成的大长方形的周长是分米或分米。 （2）当，时： 宽边重合拼法的周长： （分米） 长边重合拼法的周长： （分米） 答：这个长方形的周长是88分米或80分米。 【变式训练】（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【答案】(1)（30a＋90）个 (2)4小时 【思路引导】（1）一天生产的总时间＝上午生产的时间＋下午生产的时间；一天生产的数量＝平均每小时生产的数量×一天生产的总时间。 （2）一天生产的总时间＝一天生产的数量÷平均每小时生产的数量；上午生产的时间＝一天生产的总时间－下午生产的时间。 【规范解答】（1）30×（a＋3） ＝30×a＋30×3 ＝（30a＋90）个 答：琼韵工厂一天可生产椰雕（30a＋90）个。 （2）210÷30－3 ＝7－3 ＝4（小时） 答：a表示的是4小时。 高频考点二 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面每组式子中，结果不一定相等的是（    ）。 A．2a和a＋a B．和a×a C．3n和 D．4（a－1）和4a－4 【答案】C 【思路引导】A．根据2a表示2个a的和判断； B．根据表示a×a进行判断； C．分情况讨论：假设n和a表示同一个数；假设n和a表示不同的数，结合举例进行判断； D．根据乘法分配律把4（a－1）化成4a－4即可判断。 【规范解答】A．2a＝a＋a，所以2a和a＋a相等； B．表示a×a，所以＝a×a； C．假设n和a相等，例如n＝a＝3，3n＝3×3＝9，＝＝3×3＝9，假设n＝a＝1，则3×1＝3，＝1×1＝1，此时可能相等，也可能不相等； 假设n和a不相等，例如n＝3，a＝2，则3n＝3×3＝9，＝2×2＝4，9≠4。 所以3n和不一定相等。 D．4（a－1）＝4a－4，所以4（a－1）＝4a－4。 所以结果不一定相等的是3n和。 故答案为：C 【变式训练】（2024·福建莆田·小升初真题）用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 【答案】40 【思路引导】通过观察可知，在原有图形的基础上依次增加两个正方形，每增加两个正方形需要6根小棒，那么第个图案在4根的基础上，需要增加6的倍个小棒，据此解答。 【规范解答】 根 当时 （根） 第7个图案需要40根小棒。 高频考点三 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的规律，第⑥个图形中有（    ）根小木棒。 A．30 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【思路引导】观察图形可知，每增加1个梯形，增加4根小木棒，第①个图形需要5根小木棒，第②个图形需要[5＋4×（2－1）]根小木棒，第③个图形需要[5＋4×（3－1）]根小木棒，……第⑥个图形需要[5＋4×（6－1）]根小木棒。 【规范解答】5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 所以第⑥个图形中有25根小木棒。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏苏州·期末）如下图，用灰色和白色的小正方形拼成大正方形。（每个小正方形的边长为1） (1)像这样拼下去，当大正方形边长为8时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 (2)像这样拼下去，当大正方形边长为n时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 【答案】(1) 28 36 (2) 4n－4/4（n－1） （n－2）2 【思路引导】由图可知，大正方形的边长是从3开始，依次增加1，中间灰色部分正方形的边长是从1开始，依次增加1。灰色小正方形的个数是灰色正方形边长的平方，白色小正方形的个数是大正方形边长的4倍再减4个小正方形。 【规范解答】（1）第1个图：大正方形边长为3，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 第2个图：大正方形边长为4，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 第3个图：大正方形边长为5，灰色小正方形是个，总小正方形数，白色小正方形个； 当边长为8时： 白色个数：，灰色个数：。 当大正方形边长为8时，需要28个白色小正方形和36个灰色小正方形。 （2）当大正方形的边长为n时，需要（4n－4）个白色小正方形和（n－2）2个灰色小正方形。 高频考点四 数与形(探索规律） 【典例精讲】（25-26五年级上·湖北武汉·期末）已知5x＋10＝20，根据等式的性质，下面等式转化错误的是（    ）。 A．5x＋10－10＝20－10 B．10＝20－5x C．（5x＋10）÷5＝20÷5 D．x＋10＝4 【答案】D 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时加上或减去一个相同的数，两边仍然相等；等式两边同时乘一个数或除以一个非0的数，两边仍然相等，把方程进行转化。 【规范解答】A．根据等式的性质1，把方程两边同时减10，得5x＋10－10＝20－10，转化正确； B．把5x看作一个整体，根据一个加数＝和－另一个加数，得10＝20－5x，转化正确； C．根据等式的性质2，把方程两边同时除以5，得（5x＋10）÷5＝20÷5，转化正确； D．把方程两边同时除以5，得x＋2＝4，不能得到x＋10＝4，转化错误。 【变式训练】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 【答案】C 【思路引导】由题意可知，华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，求华氏温度时把摄氏温度代入数量关系，再计算出结果就是对应的华氏温度；已知华氏温度时把对应的摄氏温度设为未知数，然后利用等式的性质解方程求出摄氏温度；最后根据等式的性质得出（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度。 【规范解答】A．当摄氏温度是30℃时。 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 ＝30×1.8＋32 ＝54＋32 ＝86（℉） 所以，如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉，题目说法正确。 B．解：设当华氏温度是77℉时摄氏温度是x℃。 1.8x＋32＝77 1.8x＋32－32＝77－32 1.8x＝45 1.8x÷1.8＝45÷1.8 x＝25 所以，如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃，题目说法正确。 C．由“华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32”可知，摄氏温度＝（华氏温度－32）÷1.8，而不是摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32，题目说法错误。 D．华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8＋32－32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度×1.8÷1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 所以，（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度，题目说法正确。 高频考点五 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【答案】 ③ ② ④ 【思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 商不变规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 【规范解答】把（3x－4.5）×9改写成9×3x－9×4.5，运用了乘法分配律； 把27x－40.5＝27改写成27x－40.5＋40.5＝27＋40.5，运用了等式的性质1； 把27x＝67.5改写成27x÷27＝67.5÷27，运用了等式的性质2。 【变式训练】（24-25五年级上·广东广州·期末）如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的正方体个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据左图天平平衡可知，2个球的质量＝4个圆柱的质量，根据等式性质2两边同时除以相同的数等式两边仍相等，两边同除以2，所以1个球的质量＝2个圆柱的质量，根据右图天平平衡可知，2个正方体的质量＝2个圆柱的质量，据此可知1个球的质量＝2个正方体的质量，据此解答。 【规范解答】左图天平平衡可知：2个球的质量＝4个圆柱的质量，由分析所以1个球的质量＝2个圆柱的质量。 2个正方体的质量＝2个圆柱的质量，所以1个球的质量＝2个正方体的质量，即与一个球的质量相等的正方体个数为2。 故答案为：B 高频考点六 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏徐州·期末）漏窗是中国传统园林建筑的一种装饰性的透空窗。下图是一款漏窗的示意图，照此规律，图4中涂色方格有( )个，图n中涂色方格有( )个。 【答案】 16 4＋3n 【思路引导】观察可得，图1中涂色方格有7个，7＝4＋3； 图2中涂色方格有10个，10＝4＋3×2； 图3中涂色方格有13个，13＝4＋3×3； 所以图4中涂色方格数量为4＋3×4＝16个； 发现规律，图n中涂色方格数量为（4＋3n）个。 【规范解答】4＋3×4 ＝4＋12 ＝16（个） 图4中涂色方格有16个，图n中涂色方格有（4＋3n）个。 【变式训练】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【答案】不够付 【思路引导】分两种情况讨论：当a≤3时，3千米及以内车费固定为10元，李叔叔身上最多有3×3＝9元，9＜10，钱不够；当a＞3时，总车费＝超出部分费用＋3千米内费用，即3（a－3）＋10＝（3a＋1）元，总车费（3a＋1）元＞李叔叔带的3a元，钱还是不够。因此无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【规范解答】情况一：a≤3，固定费用10元，3a≤9＜10，不够付； 情况二：a＞3，超出部分的路程为（a－3）千米，超出部分的费用为3（a－3）元，再加上3千米及以内的固定费用10元，为3（a－3）＋10。 3（a－3）＋10 ＝3a－3×3＋10 ＝3a－9＋10 ＝（3a＋1）元 3a＋1＞3a，不够付。 综上，无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 奥数拓展一 用字母表示数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·单元测试）在横线上填上合适的字母或数。 ________ （____＋____）＋6 ____（____＋____） （x－____）____×____－____ ____（____＋____） 【答案】 8.9 x x y 3 x y 1.8 5 x 5 24 x y 【思路引导】（1）根据乘法交换律：a×b＝b×a，交换两个乘数位置，积不变； （2）根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），调整加法结合顺序，和不变； （3）根据减法性质：a－b－c＝a－（b＋c），连续减去两个数，等于减去两个数的和； （4）根据乘法分配律：a×（b－c）＝a×b－a×c，一个数乘两个数的差，可以分开相乘再相减； （5）根据乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，提取相同因数，剩下的数相加放在括号内。 【规范解答】x×8.9＝8.9×x x＋（6＋y）＝（x＋y）＋6 3－x－y＝3－（x＋y） 5×（x－1.8）＝5×x－5×1.8 24×x＋y×24＝（x＋y）×24 【变式训练】（25-26五年级上·天津蓟州·期末）下列含有字母的式子中书写错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】A．表示的平方，即，而是的两倍。显然 （除非或，但题目未限定条件）。因此选项A错误。 B．是三个相加，就等于，书写正确。 C．，因为字母和数相乘的时候，乘号可以省略，并且数字在前字母在后，所以结果就是，书写正确。 D．这是乘法分配律的正确表达式，符合运算规则。 【规范解答】A． ，所以选项A错误。 B．，书写正确。 C．，书写正确。 D．，书写正确。 故答案为：A 奥数拓展二 数与形(探索规律） 【典例精讲】（25-26五年级上·浙江金华·期末）如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( )颗。 【答案】 35 （n＋2）×n 【思路引导】由图可知，第一个图形（正三角形，3条边）需要黑色棋子3颗，3＝3×1＝（1＋2）×1； 第二个图形（正方形，4条边）需要黑色棋子8颗，8＝4×2＝（2＋2）×2； 第三个图形（正五边形，5条边）需要黑色棋子15颗，15＝5×3＝（3＋2）×3； 第四个图形（正六边形，6条边）需要黑色棋子24颗，24＝6×4＝（4＋2）×4； 所以第五个图形（正七边形，7条边）需要黑色棋子颗数为（5＋2）×5＝35颗； 第n个图形（正（n＋2）边形，（n＋2）条边）需要黑色棋子颗数为（n＋2）×n颗。 【规范解答】（5＋2）×5 ＝7×5 ＝35（颗） 分析可知，第n个图形需要黑色棋子颗数为（n＋2）×n颗。 因此，第五个图形需要黑色棋子35颗，第n个图形需要黑色棋子（n＋2）×n颗。 【考点剖析】第n个图形是正（n＋2）边形，每条边上有n颗棋子，且顶点处的棋子不重复计算，所以总棋子数为：（n＋2）×n。 【变式训练1】（24-25五年级上·上海宝山·期末）用两种方块按照下面的规律拼图。 那么第11幅图中涂色方块有______个，第n幅图中一共有方块______个。 【答案】 24 5n＋4 【思路引导】（1）观察图形可得：第1幅图：涂色方块有4个；第2幅图：涂色方块有6个；第3幅图：涂色方块有8个。第2幅比第1幅多：6－4 ＝ 2（个），第3幅比第2幅多：8－6 ＝ 2（个），由此得出规律：每增加1幅图，涂色方块的数量增加2个。第1幅：2×1＋2＝4，第2幅：2×2＋2＝6，第3幅：2×3＋2＝8；总结出第n幅图涂色方块的公式：涂色方块数＝2n＋2。将n＝11代入公式，即可求出第11幅图中涂色方块个数。 （2）观察图形可得：第1幅图总方块：9个；第2幅图总方块：14个；第3幅图总方块：19个。第2幅比第1幅多：14－9＝5（个），第3幅比第2幅多：19－14＝5（个），由此得出规律：每增加1幅图，总方块就增加5个。第1幅：5×1＋4＝9（个），第2幅：5×2＋4＝14（个），第3幅：5×3＋4＝19（个），可以发现，总方块数＝5×图的序号＋4。如果用n表示图的序号，那么第n幅图的总方块数就是：5n＋4。 【规范解答】（1）第1幅：2×1＋2＝4（个） 第2幅：2×2＋2＝6（个） 第3幅：2×3＋2＝8（个） …… 第n幅：2×n＋2＝（2n＋2）个 当n＝11时，2×11＋2 ＝22＋2 ＝24（个） 所以第11幅图中涂色方块有24个。 （2）第1幅：5×1＋4＝9（个） 第2幅：5×2＋4＝14（个） 第3幅：5×3＋4＝19（个） …… 第n幅：5×n＋4＝（5n＋4）个 所以第n幅图中一共有方块（5n＋4）个。 【考点剖析】本题的关键在于通过数前3幅图的涂色方块和总方块数量，找到“每幅图涂色方块增2个、总方块增5个”的变化规律，再结合图的序号推导出对应的表达式，进而算出第11幅图的数量和第n幅图的公式。 【变式训练2】（24-25五年级上·福建泉州·期末）看图找规律，并回答下列问题。 图1 图2 图3 图4 图5 （1）根据前4图的规律，画出图5中的图形。 （2）如果继续画下去，图（    ）中有15个正方形，图10中有（    ）个圆形。 【答案】（1） （2）8；81 【思路引导】（1）通过看图可以发现，正方形的排列规律是图1有1个，图2有个，图3有个，图4有个，则图n有个。圆的排列规律是图1有0个，图2有个，图3有个，图4有个，则图n有个。 （2）根据（1）中的分析，图n有个正方形，利用求解确定是第几幅图即可。根据图n有个圆形，将代入计算即可得出有多少个圆形。 【规范解答】根据分析 （1）图5正方形的数量为 （个） 图5中圆形的数量为 个 图略。 （2） 图8中有15个正方形。 将10代入，有 ＝81（个） 图10中有81个圆形。 【考点剖析】这道题的关键是拆分元素找规律：遇到由多种元素组成的图形规律题，先把不同元素（如本题的正方形、圆形）分开分析，分别统计数量、观察排列，再总结规律，能避免因元素混杂导致的规律混乱。 奥数拓展三 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【答案】D 【思路引导】依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等”来进行判断。 【规范解答】A．若a＝b，则ac＝bc。依据“等式两边同时乘同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，所以说法正确。 B．若，则a＝2。 当a＝2时，2a＝2×2＝4 4＝4 所以，“若，则a＝2”的说法正确。 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b。依据“等式两边同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等” 的等式性质，所以，“若a÷c＝b÷c，则a＝b”说法正确。 D．若a＝b，则a＋b＝b－b。依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，a＋b＝b－b左边是“加b”，右边是“减b”，不符合等式的性质。所以，“若a＝b，则a＋b＝b－b”的说法错误。 故答案为：D 【考点剖析】准确运用等式的性质对每个推论进行辨析，注意特殊值的情况。 【变式训练】（23-24五年级上·河北·课后作业）如果A－B＝2，C－B＝8，D－A＝3，C－E＝1，B＋E＝6，F＋B＝7，那么A＋F＝( )，C＋B＝( )，C＋F＝( )。 【答案】 9 7 15 【思路引导】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 根据等式的性质1，可以得出表示A、F、C、B的式子，再代入要求的式子中，计算出结果即可。 【规范解答】（1）A－B＝2，A－B＋B＝2＋B，则A＝2＋B； F＋B＝7，F＋B－B＝7－B，则F＝7－B； 把A＝2＋B，F＝7－B代入A＋F中，可得： A＋F＝2＋B＋7－B＝9； （2）C－E＝1，C－E＋E＝1＋E，则C＝1＋E； B＋E＝6，B＋E－E＝6－E，则B＝6－E； 把C＝1＋E，B＝6－E代入C＋B中，可得： C＋B＝1＋E＋6－E＝7； （3）C－B＝8，C－B＋B＝8＋B，则C＝8＋B； F＋B＝7，F＋B－B＝7－B，则F＝7－B； 把C＝8＋B，F＝7－B代入C＋F中，可得： C＋F＝8＋B＋7－B＝15。 所以，A＋F＝9，C＋B＝7，C＋F＝15。 【考点剖析】本题考查等式的性质1的应用、等量代换、用字母表示数以及字母表示式子的化简。 奥数拓展四 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·浙江绍兴·期末）如果4k＋12＝48，根据等式的性质，下面错误的是（    ）。 A．4k＋12－12＝48－12 B．12＝48－4k C．（4k＋12）×3＝48×3 D．k＋6＝12 【答案】D 【思路引导】等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 根据以上两条性质逐一判断每个选项的变形是否正确。 【规范解答】A．在4k＋12＝48的两边同时减去12，得到4k＋12－12＝48－12，符合等式的性质，正确。 B．4k＋12＝48两边同时减去4k，得到12＝48－4k，符合等式的性质，正确。 C．在4k＋12＝48等式两边同时乘3，得到（4k＋12）×3＝48×3，符合等式的性质，正确。 D．若将4k＋12＝48两边同时除以2，应得到2k＋6＝24，而不是k＋6＝12，此变形不符合等式的性质，错误。 故答案为：D 【变式训练】（25-26五年级上·河北·课后作业）根据等式的性质在横线上填上适当的运算符号，在（    ）里填上适当的数。 (1)如果，那么( )。 (2)如果，那么________( )。 (3)如果，那么________( )。 (4)如果，那么________( )。 【答案】(1)2.5 (2) ＋ 11 (3) × 6 (4) ÷ 0.5 【思路引导】依据等式的性质1和2：等式两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）根据“等式两边同时减2.5，等式仍成立”，所以x＋2.5－2.5＝17.5－2.5。 （2）根据“等式两边同时加11，等式仍成立”，所以x－11＋11＝2＋11。 （3）根据“等式两边同时乘6，等式仍成立”，所以x÷6×6＝9×6。 （4）根据“等式两边同时除以0.5，等式仍成立”，所以x×0.5÷0.5＝2÷0.5。 【规范解答】（1）等式两边同时减2.5，所以x＋2.5－2.5＝17.5－2.5。 （2）等式两边同时加11，所以x－11＋11＝2＋11。 （3）等式两边同时乘6，所以x÷6×6＝9×6。 （4）等式两边同时除以0.5，所以x×0.5÷0.5＝2÷0.5。 【基础通关】 1．（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是5，表示这个两位数的是（    ）。 A．5＋a B．5a C．50a D．50＋a 【答案】D 【思路引导】在两位数里，十位上的数字代表几个十，个位上的数字代表几个一，再把两部分加起来即可。 【规范解答】个位是a，就表示a个一也就是a， 十位是5，就表示5个十也就是50，把两部分加起来，这个两位数就是50＋a。 2．（24-25五年级上·江苏常州·期末）把一张长方形纸沿虚线对折（如图），已知原长方形的长是a厘米，宽是5厘米。那么对折后小长方形的周长是（    ）厘米。 A．2a＋5 B．2a＋10 C．a＋5 D．a＋10 【答案】D 【思路引导】由图可知，小长方形的长等于大长方形长的一半，小长方形的宽等于大长方形的宽，根据“”表示出小长方形的周长。 【规范解答】小长方形的长：（a÷2）厘米 小长方形的宽：5厘米 小长方形的周长：（a÷2＋5）×2 ＝a÷2×2＋5×2 ＝（a＋10）厘米 对折后小长方形的周长是（a＋10）厘米。 3．（25-26五年级上·山东济宁·期末）根据等式的性质，对4x＝2x＋8进行变换，下列式子中错误的是（    ）。 A．2x＝8 B．2x＝x＋4 C．3x＝x＋8 D．8x＝4x＋8 【答案】D 【思路引导】根据等式性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，等式不变；等式性质2，等式两边同时乘或除以一个数，等式不变。逐项分析，选出错误选项。 【规范解答】A．等式两边同时减去2x，得到4x－2x＝2x－2x＋8，即2x＝8，正确。 B．等式两边同时除以2，得到4x÷2＝2x÷2＋8÷2，即2x＝x＋4，正确。 C．等式两边同时减去x，得到4x－x＝2x－x＋8，即3x＝x＋8，正确。 D．等式两边同时乘2，得到4x×2＝2x×2＋8×2，即8x＝4x＋16，而不是8x＝4x＋8，错误。 4．（25-26五年级上·上海徐汇·阶段检测）一个工程队a天修了1.2千米的公路，平均每天修_____________千米。 【答案】 【思路引导】工作效率＝工作总量÷工作时间，工作总量为1.2千米，工作时间为a天，将对应数值代入上述公式即可得到结果。 【规范解答】一个工程队a天修了1.2千米的公路，平均每天修千米。 5．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一盒牛奶1.5kg，林林将它倒进容量为200g的杯子中，倒满了n杯后，还剩( )g。（用式子表示）。式子中n最大是( )。 【答案】 【思路引导】，先统一单位。用每杯装牛奶的量杯数，求出倒出牛奶的量，再用一盒牛奶的量倒出牛奶的量，求出剩下牛奶的量；用一盒牛奶的量 求出最多可以倒几杯。 【规范解答】 还剩： （杯） 所以最大是。 6．（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）一支铅笔a元，一本笔记本b元，李老师买了5支铅笔，一共花了( )元。每支铅笔比每本笔记本少( )元。 【答案】 5a b－a 【思路引导】根据“总价＝单价×数量”求出5支铅笔总价；求差价，用笔记本单价减去铅笔单价；数字和字母相乘，数字写前面，省略乘号。 【规范解答】总花费：（元）； 每支铅笔比每本笔记本少的金额：元。 7．（25-26五年级上·四川凉山·期末）2a表示两个a相加，表示两个a相乘，两者一定不相等。( ) 【答案】× 【思路引导】判断两个含有字母式子是否一定不相等，可以通过代入具体的数值进行验证。若能找到相等的反例，则原说法错误。 【规范解答】表示乘，即；表示个相乘，即。 当时， 此时。 因为存在时两者相等的情况，所以“两者一定不相等”的说法错误。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 【答案】；； 【思路引导】依据等式的基本性质，先相减得到0.25x＝0.38，再两边同时除以0.25求出 x； 依据等式的基本性质，先两边同时减去2.7，再两边同时除以5得到x的值； 根据“减数＝被减数差，将其变形为x＝8.282.8 来计算出结果。 【规范解答】 解： 解： 解： 9．（25-26五年级上·山东济南·期末）下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） (1)小明家的客厅比餐厅的面积大_________平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 【答案】(1)3x (2)5米 【思路引导】（1）先根据长方形面积公式：面积＝长×宽，分别表示出餐厅的面积为3x平方米、客厅的面积为6x平方米，用客厅面积减去餐厅面积得到面积差的表达式。 （2）根据客厅比餐厅的面积多15平方米，列出方程3x＝15，解方程求出x的值，这个值就是客厅的宽度。 【规范解答】（1）6x－3x＝3x（平方米） （2）3x＝15 解：3x÷3＝15÷3 x＝5 答：客厅宽5米。 10．（25-26五年级上·河南洛阳·期末）智育·工匠妙算——徽章加工中的数学智慧 奇思来到民俗手工艺厂，他发现甲、乙两位工匠正制作“老君山金顶”纪念徽章。经了解得知：两位师傅同时加工同样多的徽章，甲师傅每小时做30个，乙师傅每小时做25个，x小时后甲师傅完成了任务。 (1)请你用含有字母的式子表示甲完成任务时两个师傅一共加工的徽章数。 (2)如果x＝4.8，“小小工程师”，帮忙算一算甲完成任务时两个师傅一共加工多少个徽章？ 【答案】(1)55x (2)264个 【思路引导】（1）先分别算出两人各自加工的数量：甲加工30x个，乙加工25x个，再将两人的数量相加，即可得到两人一共加工的徽章数。 （2）将x的值代入总数量表达式中，计算出结果即可。 【规范解答】（1）30x＋25x＝55x（个） 甲完成任务时两个师傅一共加工的徽章数为55x个。 （2）当x＝4.8时，55x＝55×4.8＝264 答：甲完成任务时两个师傅一共加工264个徽章。 【能力提升】 1．（25-26六年级下·江苏盐城·期末）“数形结合”是重要的数学思想方法。用竖式计算2.4×1.3时，竖式中方框框出的部分计算的是图中（    ）的面积。 A．②＋④ B．①＋③ C．①＋② D．③＋④ 【答案】D 【思路引导】用“数形结合”计算2.4×1.3时，可以画一个长为2.4、宽为1.3的长方形，把长2.4拆成2＋0.4，宽1.3拆成1＋0.3，分成四个小长方形，根据长方形的面积＝长×宽，可得出这四个小长方形的面积，再相加，即是2.4×1.3的积； 用竖式计算2.4×1.3时，方框框出的“72”是1.3十分位上的3与2.4的乘积，即2.4×0.3的积； 把2.4×0.3拆成（2＋0.4）×0.3，根据乘法分配律去掉括号后得到的算式与四个小长方形的面积进行对比，得出是图中哪个小长方形的面积。 【规范解答】①的面积：2×1 ②的面积：1×0.4 ③的面积：2×0.3 ④的面积：0.4×0.3 2.4×1.3＝2×1＋1×0.4＋2×0.3＋0.4×0.3 竖式中方框框出的部分是2.4×0.3的积； 2.4×0.3＝（2＋0.4）×0.3＝2×0.3＋0.4×0.3 所以，计算的是图中③＋④的面积。 2．（24-25五年级上·重庆开州·期末）一个长方形的长是15厘米，宽是y厘米，这个长方形的周长是（    ）厘米。 A．15＋y B．15＋2y C．30＋y D．30＋2y 【答案】D 【思路引导】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式中求出周长。 【规范解答】（15＋y）×2 ＝15×2＋2y ＝30＋2y 这个长方形的周长是（30＋2y）厘米。 3．（24-25五年级上·四川资阳·期末）找规律：在下图中第5幅图有（    ）个黑色正方形；第100幅图有（    ）个黑色正方形。 A．16，301 B．40，800 C．15，75 【答案】A 【思路引导】我们先分析图形的规律： 第①幅图：黑色正方形数量为4＝3×1＋1 第②幅图：黑色正方形数量为7＝3×2＋1 第③幅图：黑色正方形数量为10＝3×3＋1   由此可推出规律：第n幅图的黑色正方形数量为3n＋1。 【规范解答】根据分析得出： 第5幅图：3×5＋1＝15＋1＝16 第100幅图：3×100＋1＝300＋1＝301    所以第5幅图有16个黑色正方形，第100幅图有301个黑色正方形。 故答案为：A 【考点剖析】本题关键是找出各个图形之间的规律，再进行解答。 4．（24-25五年级上·安徽阜阳·期末）用小棒摆一个六边形要6根（如图1），如果串起来摆3个六边形（如图2），则需要( )根小棒，如果串起来摆10个六边形需要( )根小棒。 【答案】 16 51 【思路引导】摆1个六边形需要6根小棒，6＝1×5＋1；摆2个需要11根小棒，11＝2×5＋1；摆3个需要16根小棒，16＝3×5＋1……由此可知，小棒根数＝摆几个六边形×5＋1；据此解答。 【规范解答】摆3个六边形： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 摆10个六边形： 10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 所以，如果串起来摆3个六边形（如图2），则需要16根小棒，如果串起来摆10个六边形需要51根小棒。 5．（24-25五年级上·四川达州·期末）按照下面的规律摆下去，图⑧中有( )个正方形。（不考虑组合图形） 【答案】15 【思路引导】先数出已知图形的正方形数量：图1有1个，图2有3个，图3有5个，图4有7个。看数量变化：从图1到图2，多了2个；图2到图3，也多了2个；图3到图4，还是多了2个。也就是说，每个后面的图形都比前一个多2个正方形。找序号和数量的关系：图形的序号是1、2、3、4，对应的数量是1、3、5、7。序号1对应1＝2×1－1，序号2对应3＝2×2－1，序号3对应5＝2×3－1，序号4对应7＝2×4－1，能看出数量和序号的关系是“数量＝2×序号－1”。 【规范解答】根据分析： 数量＝2×序号－1 图⑧中的正方形数量为： （个） 所以图⑧中有15个正方形。 【考点剖析】这道题里的数量是1、3、5、7……这样的数列，对应的公式就是2n－1，遇到依次加2的数量规律，就可以直接用这个公式。 6．（25-26五年级上·广西钦州·期末）一辆卡车和一辆轿车同时从甲地出发，沿着同一条公路开往乙地。卡车每小时行x千米，轿车每小时行120千米，1.5小时后轿车到达乙地，卡车还没有到达。 (1)用含有字母的式子表示卡车这时离乙地还有多少千米。 (2)当x＝95时，卡车离乙地还有多少千米？ 【答案】(1)（180－1.5x）千米 (2)37.5千米 【思路引导】（1）轿车速度×到达乙地的时间＝总路程，总路程－卡车速度×行驶时间＝卡车剩余路程，据此用字母表示出卡车这时离乙地的距离； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】（1）120×1.5－x×1.5＝（180－1.5x）千米 答：用含有字母的式子表示卡车这时离乙地还有（180－1.5x）千米。 （2）180－1.5x ＝180－1.5×95 ＝180－142.5 ＝37.5（千米） 答：卡车离乙地还有37.5千米。 7．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 【答案】（1）2.4x＋1.8 （2）8千米 【思路引导】（1）行驶千米数－3千米＝超出3千米的部分，乘对应收费标准，再加上起步价就是付的钱数，据此用字母表示出付的钱数。 （2）付的钱数－起步价，先求出超出起步价的钱数，除以对应收费标准，求出超出3千米的距离，再加上3千米即可。 【规范解答】（1）y＝（x－3）×2.4＋9＝2.4x－7.2＋9＝2.4x＋1.8 它们之间的关系可以用式子表示为y＝2.4x＋1.8。 （2）（22.5－9）÷2.7＋3 ＝13.5÷2.7＋3 ＝5＋3 ＝8（千米） 答：他家到医院最多有8千米。 8．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）有一个三角形，第一次连接这个三角形三条边的中点得到，第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到，……依次类推。 （1）请你算出每次操作后三角形的个数填入下表。 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 （2）照这样操作n次，一共有（    ）个三角形。 【答案】（1）9；13；（2） 【思路引导】（1）根据第1次操作后三角形个数是5个，比最初的1个三角形多4个，则第1次操作后三角形个数是1＋4＝5个，第2次操作后，三角形的个数是9个，可以写为1＋4＋4＝9（个），由此可以得出每增加1次操作，图形中就多出4个三角形，即第2次操作后图形中的三角形的个数就是：1＋2×4＝9（个）；所以第3次操作后三角形的个数是1＋3×4＝13（个）；由此可以完成表格。 （2）由（1）中的推理计算可得，操作多少次就在1的基础上增加多少个4，操作n次就增加n个4，即在1个三角形的基础上增加4n个三角形，所以当进行n次操作后图形中三角形的个数为（1＋4n）个。 【规范解答】（1）1＋2×4 ＝1＋8 ＝9（个） 1＋3×4 ＝1＋12 ＝13（个） 则第2次操作后三角形的个数是9个，第3次操作后三角形的个数是13个。填入表格如下图： 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 9 13 （2）操作多少次就在1的基础上增加多少个4，操作n次就增加n个4，则照这样操作n次，一共有（1＋4n）个三角形。 9．（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【答案】22元 【思路引导】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【规范解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【考点剖析】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 10．（25-26五年级上·全国·课后作业）如下图，用同样的小棒摆三角形。 （1）摆1个三角形，需要（    ）根小棒；摆2个三角形，需要（    ）根小棒；摆3个三角形，需要（    ）根小棒。 （2）像这样摆下去，摆n个三角形，需要（    ）根小棒。 （3）摆15个三角形需要多少根小棒？ 【答案】（1）3；5；7     （2）2n＋1    （3）2n＋1＝2×15＋1＝31（根） 【思路引导】（1）先数出摆1个三角形的小棒数需要3根；摆2个三角形有一条边共用，第一个三角形3根，第二个三角形2根，总共需要5根；摆3个三角形，后面三角形都与前面三角形共用一边，此时需要3＋2＋2＝7（根）。依此发现规律：摆1个三角形用3根小棒，从摆2个三角形开始，每多摆1个三角形就增加2根小棒。 （2）摆n个三角形时，第一个三角形用3根小棒，后面（n - 1）个三角形每个都需要额外2根小棒。那么总共需要的小棒数就是。 （3）将n＝15代入关系式解答即可。 【规范解答】（1）摆1个三角形，需要（3）根小棒；摆2个三角形，需要（5 ）根小棒；摆3个三角形，需要（ 7 ）根小棒。 （2）摆n个三角形，总共需要的小棒数就是 （3）n＝15，代入关系式， 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 用字母表示（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数 6 高频考点二 用字母表示数量关系（1个未知数） 7 高频考点三 用字母表示运算定律及计算公式 7 高频考点四 数与形(探索规律） 8 高频考点五 等式的性质1 8 高频考点六 等式的性质2 9 难点突破 奥数拓展 9 奥数拓展一 用字母表示数 9 奥数拓展二 数与形(探索规律） 10 奥数拓展三 等式的性质1 10 奥数拓展四 等式的性质2 10 优选真题 实战演练 11 【基础通关】 11 【能力提升】 13 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·单元测试）用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 (2)当，时，求这个长方形的周长。 【变式训练】（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 高频考点二 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面每组式子中，结果不一定相等的是（    ）。 A．2a和a＋a B．和a×a C．3n和 D．4（a－1）和4a－4 【变式训练】（2024·福建莆田·小升初真题）用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 高频考点三 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的规律，第⑥个图形中有（    ）根小木棒。 A．30 B．24 C．25 D．26 【变式训练】（25-26五年级上·江苏苏州·期末）如下图，用灰色和白色的小正方形拼成大正方形。（每个小正方形的边长为1） (1)像这样拼下去，当大正方形边长为8时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 (2)像这样拼下去，当大正方形边长为n时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 高频考点四 数与形(探索规律） 【典例精讲】（25-26五年级上·湖北武汉·期末）已知5x＋10＝20，根据等式的性质，下面等式转化错误的是（    ）。 A．5x＋10－10＝20－10 B．10＝20－5x C．（5x＋10）÷5＝20÷5 D．x＋10＝4 【变式训练】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 高频考点五 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【变式训练】（24-25五年级上·广东广州·期末）如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的正方体个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点六 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏徐州·期末）漏窗是中国传统园林建筑的一种装饰性的透空窗。下图是一款漏窗的示意图，照此规律，图4中涂色方格有( )个，图n中涂色方格有( )个。 【变式训练】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 奥数拓展一 用字母表示数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·单元测试）在横线上填上合适的字母或数。 ________ （____＋____）＋6 ____（____＋____） （x－____）____×____－____ ____（____＋____） 【变式训练】（25-26五年级上·天津蓟州·期末）下列含有字母的式子中书写错误的是（    ）。 A． B． C． D． B． 奥数拓展二 数与形(探索规律） 【典例精讲】（25-26五年级上·浙江金华·期末）如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( )颗。 【变式训练1】（24-25五年级上·上海宝山·期末）用两种方块按照下面的规律拼图。 那么第11幅图中涂色方块有______个，第n幅图中一共有方块______个。 【变式训练2】（24-25五年级上·福建泉州·期末）看图找规律，并回答下列问题。 图1 图2 图3 图4 图5 （1）根据前4图的规律，画出图5中的图形。 （2）如果继续画下去，图（    ）中有15个正方形，图10中有（    ）个圆形。 奥数拓展三 等式的性质1 【典例精讲】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【变式训练】（23-24五年级上·河北·课后作业）如果A－B＝2，C－B＝8，D－A＝3，C－E＝1，B＋E＝6，F＋B＝7，那么A＋F＝( )，C＋B＝( )，C＋F＝( )。 奥数拓展四 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·浙江绍兴·期末）如果4k＋12＝48，根据等式的性质，下面错误的是（    ）。 A．4k＋12－12＝48－12 B．12＝48－4k C．（4k＋12）×3＝48×3 D．k＋6＝12 【变式训练】（25-26五年级上·河北·课后作业）根据等式的性质在横线上填上适当的运算符号，在（    ）里填上适当的数。 (1)如果，那么( )。 (2)如果，那么________( )。 (3)如果，那么________( )。 (4)如果，那么________( )。 【基础通关】 1．（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是5，表示这个两位数的是（    ）。 A．5＋a B．5a C．50a D．50＋a 2．（24-25五年级上·江苏常州·期末）把一张长方形纸沿虚线对折（如图），已知原长方形的长是a厘米，宽是5厘米。那么对折后小长方形的周长是（    ）厘米。 A．2a＋5 B．2a＋10 C．a＋5 D．a＋10 3．（25-26五年级上·山东济宁·期末）根据等式的性质，对4x＝2x＋8进行变换，下列式子中错误的是（    ）。 A．2x＝8 B．2x＝x＋4 C．3x＝x＋8 D．8x＝4x＋8 4．（25-26五年级上·上海徐汇·阶段检测）一个工程队a天修了1.2千米的公路，平均每天修_____________千米。 5．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一盒牛奶1.5kg，林林将它倒进容量为200g的杯子中，倒满了n杯后，还剩( )g。（用式子表示）。式子中n最大是( )。 6．（25-26五年级上·海南海口·阶段检测）一支铅笔a元，一本笔记本b元，李老师买了5支铅笔，一共花了( )元。每支铅笔比每本笔记本少( )元。 7．（25-26五年级上·四川凉山·期末）2a表示两个a相加，表示两个a相乘，两者一定不相等。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 9．（25-26五年级上·山东济南·期末）下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） (1)小明家的客厅比餐厅的面积大_________平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 10．（25-26五年级上·河南洛阳·期末）智育·工匠妙算——徽章加工中的数学智慧 奇思来到民俗手工艺厂，他发现甲、乙两位工匠正制作“老君山金顶”纪念徽章。经了解得知：两位师傅同时加工同样多的徽章，甲师傅每小时做30个，乙师傅每小时做25个，x小时后甲师傅完成了任务。 (1)请你用含有字母的式子表示甲完成任务时两个师傅一共加工的徽章数。 (2)如果x＝4.8，“小小工程师”，帮忙算一算甲完成任务时两个师傅一共加工多少个徽章？ 【能力提升】 1．（25-26六年级下·江苏盐城·期末）“数形结合”是重要的数学思想方法。用竖式计算2.4×1.3时，竖式中方框框出的部分计算的是图中（    ）的面积。 A．②＋④ B．①＋③ C．①＋② D．③＋④ 2．（24-25五年级上·重庆开州·期末）一个长方形的长是15厘米，宽是y厘米，这个长方形的周长是（    ）厘米。 A．15＋y B．15＋2y C．30＋y D．30＋2y 3．（24-25五年级上·四川资阳·期末）找规律：在下图中第5幅图有（    ）个黑色正方形；第100幅图有（    ）个黑色正方形。 A．16，301 B．40，800 C．15，75 4．（24-25五年级上·安徽阜阳·期末）用小棒摆一个六边形要6根（如图1），如果串起来摆3个六边形（如图2），则需要( )根小棒，如果串起来摆10个六边形需要( )根小棒。 5．（24-25五年级上·四川达州·期末）按照下面的规律摆下去，图⑧中有( )个正方形。（不考虑组合图形） 6．（25-26五年级上·广西钦州·期末）一辆卡车和一辆轿车同时从甲地出发，沿着同一条公路开往乙地。卡车每小时行x千米，轿车每小时行120千米，1.5小时后轿车到达乙地，卡车还没有到达。 (1)用含有字母的式子表示卡车这时离乙地还有多少千米。 (2)当x＝95时，卡车离乙地还有多少千米？ 7．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 8．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）有一个三角形，第一次连接这个三角形三条边的中点得到，第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到，……依次类推。 （1）请你算出每次操作后三角形的个数填入下表。 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 （2）照这样操作n次，一共有（    ）个三角形。 9．（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 10．（25-26五年级上·全国·课后作业）如下图，用同样的小棒摆三角形。 （1）摆1个三角形，需要（    ）根小棒；摆2个三角形，需要（    ）根小棒；摆3个三角形，需要（    ）根小棒。 （2）像这样摆下去，摆n个三角形，需要（    ）根小棒。 （3）摆15个三角形需要多少根小棒？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第四单元用字母表示（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+6个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练共41题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络... 2 知识梳理温故知新… 3 知识点一用字母表示数..... 知识点二用字母表示数量关系 知识点三用字母表示运算定律及计算公式， 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 知识点五利用等式的性质求未知数. 知识点六含有字母式子的化简与求值. 5 知识点七数与形（归纳递推) 6 考点讲练真题汇总.………… 6 第1页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点一用字母表示数· 6 高频考点二用字母表示数量关系(1个未知数) 1 高频考点三用字母表示运算定律及计算公式... > 高频考点四数与形（探索规律） 高频考点五等式的性质1.. 8 高频考点六等式的性质2.. 0 难点突破奥数拓展……… 奥数拓展一用字母表示数..· 9 奥数拓展二数与形（探索规律） 0 奥数拓展三等式的性质1.… 10 奥数拓展四等式的性质2.... 10 优选真题实战演练.………………… 11 【基础通关】 11 【能力提升】 13 导图指引 梳理脉络 。用学母表示青魅的只数。用学母表示海淘气说的儿歌 1.用字母表示数 3.用字母表示数量关系 1见青址4条颜 ●用5，1表承数量之同的关系 S=vt v=s÷t 2只青雄8条睡： 0只青娃 井与同作交流。 5只青处12条糙 40条. 衣适色说不完。 图彩甲和乙组了 一个长方用 用字得表示它的积，并与同作交 甲的面积：ac 甲、乙组成的长方形： 乙的面织：b比 长是a+b,宽是c, ●用学每表示下面的儿露。 甲.乙的面积和：ac+bc 面积是(a+b)c. 这是法身比体。零 第四单元 4,回声测距离。越权根到对而的山的距离为‘，怎样表示运叔叔从发出声音到所到 用字母表示（一】 声的时收与同作交 以 4得好 单元复习思维导图 用字母表示下面的儿 2.用字母表示式子 。居权数面离对面的山的多少来？香满，耳一草 1只青址1张嘴： 造度x叶词运林程 x只青姓x华常， 30m表家 8 吸能 340×(4÷2)=680(m) 5.用字母表示规律 6.等式中的规律 7,解决问盟 章用学母表示生活中的运耳律和公式，并与同伴交流 ●观密下国。你发现了什么规重 0 0 加法交提律：+b=b+a a 来清变提律：a×h=bx日 周长C=4×a 与同得交流 西积5=a×a, 55210+2 第1个前2个第3个 ●坐活中体活到际些能用x公解决的散学到题？想一组。说一说。 略是我任的： 写出一这排的等，用上的楚成立的 x=ab “要华◆警个国米 计面的长和，封面 一支笔a元，买主 速是，行被的时同 国常三角形个数 3 不计草，积呢填上合达的号和数 6-3x 203-60 3 20x3￥5■60 23 20×3+5=60: 10x22m01 54=M0102+ 1030=3x10 的成士不 20×3-60 第2页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点一用字母表示数 1.基本概念 在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的 数。 (1)作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2)取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄不能是负 数，也不能超过合理寿命（如a<150)。 2.书写规范（重点） (1)数字与字母相乘时，乘号可以记作“”或省略不写。 (2)数字必须写在字母前面。 例：a×4写作4a（不可写作a4)。 例：b×1写作b(1通常省略)。 (3)字母与字母相乘，乘号可省略或记作“”。 例：axb写作ab或ab。 (4)注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3.相同字母相乘 (1)a×a写作a2,读作“a的平方”，表示2个a相乘。 (2)易错区分： ①a2=a×a ②2a=a+a=a×2 ③当a=2时，a2=4,2a=4(相等)；当a=3时，a2=9,2a=6（不相等)。 知识点二用字母表示数量关系 1.常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量” 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x-a 第3页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 倍数关系 的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 X÷a 2.实际应用示例 (1)年龄问题：小明今年x岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(x+28)岁。 (2)购物问题：苹果每千克a元，买5千克应付5a元。 (3)剩余问题：一本故事书共m页，看了n天，每天看k页，还剩(m一nk)页。 知识点三用字母表示运算定律及计算公式 1.运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律：(ab)c=abc) (5)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2.平面图形计算公式 设正方形的边长为a,长方形的长为a、宽为b。 图形 周长公式（C) 面积公式（S) 正方形 C=4a S=a2 长方形 C=2(a+b) S=ab 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 1.两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1)示例1：学校买来×个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数：3x-5 (2)示例2：甲数是a,乙数比甲数的2倍多b。 乙数：2a+b (3)示例3：修路队第一天修了米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度：a+2a=3a 2.含有两个未知量的简单关联 第4页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1)总路程=速度×时间：若速度为v,时间为t,则路程s=t。 (2)工作总量=工作效率工作时间：若效率为a,时间为t,则总量W=at。 知识点五利用等式的性质求未知数 1.等式的性质 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-c。 (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若a=b,则ac=bc;若c≠0，则a÷c=b÷c。 2.简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1)对于x+a=b,利用减法关系：x=b-a。 (2)对于ax=b,利用除法关系：x=b÷a。 (3)对于x-a=b,利用加法关系：x=b+a。 (4)对于x÷a=b,利用乘法关系：x=ab。 知识点六含有字母式子的化简与求值 1.式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1)ax+bx=(a+b)x (2)ax-bx=(a-b)x (3)示例： ①3a+5a=(3+5)a=8a ②7x-2x=5x ③4y+y=5y(注意：y等同于1y) 2.式子求值步骤 ()写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3)计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4)示例：当a=5,b=3时，求2a+3b的值。 解：当a=5,b=3时， 第5页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2a+3b=2×5+3×3 =10+9 =19 知识点七数与形（归纳递推）》 1.找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第n个图形/数字与序号n之间的关系。 2.常见模型 (1)线性增长模型： ①摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根… ②规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 ③第n个图形所需小棒数：3+2(n-1)=2n+1。 (2)正方形点阵： ①第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点… ②规律：点数是序号的平方。 ③第n个图的点数：n2。 3.解题策略 (1)列表整理前几个数据。 (2)观察相邻两项的差或倍数关系。 (3)尝试用含n的式子表示，并验证前几项是否成立。 考点讲练真题汇总 高频考点一用字母表示数 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·单元测试)用两个长m分米、宽n分米的长方形(m>n)拼成一个 大长方形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 (2)当m=16,n=12时，求这个长方形的周长。 第6页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·海南海口·阶段检测)琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午 生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 高频考点二用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(25-26五年级上·内蒙古呼和浩特·期末)下面每组式子中，结果不一定相等的是( )。 A.2a和a十aB.a和a×a C.3n和a2 D.4(a-1)和4a-4 【变式训练】(2024·福建莆田·小升初真题)用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第 1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒…按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 ◇ ① ④ 高频考点三用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(25-26五年级上·广东深圳·阶段检测)观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的 规律，第⑥个图形中有( )根小木棒。 ① ② ③ A.30 B.24 C.25 D.26 【变式训练】(25-26五年级上·江苏苏州·期末)如下图，用灰色和白色的小正方形拼成大正方形。（每 个小正方形的边长为1) (1)像这样拼下去，当大正方形边长为8时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 (2)像这样拼下去，当大正方形边长为n时，需要( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。 第7页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点四数与形（探索规律） 【典例精讲】(25-26五年级上·湖北武汉·期末)已知5x+10=20,根据等式的性质，下面等式转化错 误的是( ）。 A.5x+10-10=20-10 B.10=20-5x C.(5x+10)÷5=20÷5 D.x+10=4 【变式训练】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家 用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度=摄氏温度×1.8十32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是( )。 A.如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B.如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C.摄氏温度=华氏温度÷1.8-32 D.(华氏温度-32)÷1.8=摄氏温度 高频考点五等式的性质1 【典例精讲】(25-26五年级上·广东广州·期末)如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填 上相应的序号。 (3x-4.5)×9=27 解：9×3x-9×45=27→( 27x-40.5=27 27x-40.5+40.5=27+40.5-( 27x=67.5 27x÷27=67.5÷27→( x=2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 第8页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·广东广州·期末)如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的 正方体个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 高频考点六等式的性质2 【典例精讲】(25-26五年级上·江苏徐州·期末)漏窗是中国传统园林建筑的一种装饰性的透空窗。下 图是一款漏窗的示意图，照此规律，图4中涂色方格有( )个，图n中涂色方格有( )个。 eee。 图1 图2 图3 【变式训练】(25-26五年级上·福建福州·期末)某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过 3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米(a为整数)， 他身上有3元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是()。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 难点突破奥数拓展 a8a是0第a8春8 ImImImI■ 奥数拓展一用字母表示数 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·单元测试)在横线上填上合适的字母或数。 x×_=8.9×_ x+(6+y)=(+)+6 _--x-y=3-（-十-） 5×（x-_)=-×_---_×1.8 24×x+y×=(+)×24 【变式训练】(25-26五年级上·天津蓟州·期末)下列含有字母的式子中书写错误的是( )。 A.axa=2a B.a+a+a=3a C.ax6=6a D.a×(b+c)=ab+ac B. 第9页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展二数与形探索规律) 【典例精讲】(25-26五年级上·浙江金华·期末)如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形 的边上，按照这样的规律摆下去，第五个图形需要黑色棋子( )颗，第n个图形需要黑色棋子( 颗。 【变式训练1】(24-25五年级上·上海宝山·期末)用两种方块按照下面的规律拼图。 那么第11幅图中涂色方块有个，第n幅图中一共有方块个。 【变式训练2】(24-25五年级上·福建泉州·期末)看图找规律，并回答下列问题。 图1 图2 图3 图4 图5 ■O ■OO ■OOO ■OOO ■■ ■OO ■OOO ■■■ ■■■■ (1)根据前4图的规律，画出图5中的图形。 (2)如果继续画下去，图( )中有15个正方形，图10中有( )个圆形。 奥数拓展三等式的性质1 【典例精讲】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中 错误的是( )。(a、b、c均不为0) A.若a=b,则ac=bc B.若a2=2a,则a=2 C.若a÷c=b÷c,则a=b D.若a=b,则a十b=b-b 【变式训练】(23-24五年级上·河北·课后作业)如果A-B=2,C-B=8,D-A=3,C-E=1,B十E=6, F+B=7,那么A十F=( ),C+B=( ),C+F=( ）。 奥数拓展四等式的性质2 【典例精讲】(25-26五年级上·浙江绍兴·期末)如果4十12=48，根据等式的性质，下面错误的是 )。 第10页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 A.4k+12-12=48-12 B.12=48-4k C.(4k+12)×3=48×3 D.k+6=12 【变式训练】(25-26五年级上河北课后作业)根据等式的性质在横线上填上适当的运算符号，在( 里填上适当的数。 (1)如果x+2.5=17.5,那么x+2.5-2.5=17.5-( ）。 (2)如果x-11=2,那么x-11-（ )=2+11。 (3)如果x÷6=9,那么x÷6×6=9 (4)如果x×0.5=2,那么x×0.5÷0.5=2 ）。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级上·海南海口·阶段检测)一个两位数，个位上的数字是a,十位上的数字是5，表示这 个两位数的是( )。 A.5+a B.5a C.50a D.50+a 2.(24-25五年级上·江苏常州·期末)把一张长方形纸沿虚线对折（如图），已知原长方形的长是a厘 米，宽是5厘米。那么对折后小长方形的周长是( )厘米。 A.2a+5 B.2a+10 c.a+5 D.a+10 3.(25-26五年级上·山东济宁·期末)根据等式的性质，对4x=2x十8进行变换，下列式子中错误的是 )。 A.2x=8 B.2x=x+4 C.3x=x+8 D.8x=4x+8 4.(25-26五年级上·上海徐汇阶段检测)一个工程队a天修了1.2千米的公路，平均每天修 千米。 5.(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)一盒牛奶1.5kg,林林将它倒进容量为200g的杯子中， 倒满了n杯后，还剩()g。(用式子表示)。式子中n最大是( ）。 6.(25-26五年级上·海南海口·阶段检测)一支铅笔a元，一本笔记本b元，李老师买了5支铅笔，一 共花了( )元。每支铅笔比每本笔记本少( )元。 第11页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26五年级上·四川凉山·期末)2a表示两个a相加，a表示两个a相乘，两者一定不相等。（) (判断对错) 8.(25-26五年级上·山东德州·期中)解方程。 x-0.75x=0.38 2.7+5x=6.35 8.28-x=2.8 9.(25-26五年级上·山东济南·期末)下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） 餐厅 客厅 3 6 (1)小明家的客厅比餐厅的面积大」 平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 10.(25-26五年级上·河南洛阳·期末)智育·工匠妙算一一徽章加工中的数学智慧 奇思来到民俗手工艺厂，他发现甲、乙两位工匠正制作“老君山金顶”纪念徽章。经了解得知：两位师傅 同时加工同样多的徽章，甲师傅每小时做30个，乙师傅每小时做25个，x小时后甲师傅完成了任务。 (1)请你用含有字母的式子表示甲完成任务时两个师傅一共加工的徽章数。 (2)如果x=4.8,“小小工程师”，帮忙算一算甲完成任务时两个师傅一共加工多少个徽章？ 第12页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【能力提升】 1.(25-26六年级下·江苏盐城·期末)“数形结合”是重要的数学思想方法。用竖式计算2.4×1.3时， 竖式中方框框出的部分计算的是图中( )的面积。 2 0.4 2.4 1.3 72 ① ② 24 3.12 0.3 ③ ④ A.②+④ B.①+③ C.①+② D.③+④ 2.(24-25五年级上重庆开州期末)一个长方形的长是15厘米，宽是y厘米，这个长方形的周长是( 厘米。 A.15+y B.15+2y C.30+y D.30+2y 3.(24-25五年级上·四川资阳·期末)找规律：在下图中第5幅图有( )个黑色正方形：第100 幅图有( )个黑色正方形。 A.16,301 B.40,800 C.15,75 4.(24-25五年级上·安徽阜阳·期末)用小棒摆一个六边形要6根（如图1），如果串起来摆3个六边 形（如图2），则需要( )根小棒，如果串起来摆10个六边形需要( )根小棒。 图1 图2 5.(24-25五年级上·四川达州·期末)按照下面的规律摆下去，图⑧中有( )个正方形。（不考虑 组合图形) 图1 图2 图3 图4 6.(25-26五年级上·广西钦州·期末)一辆卡车和一辆轿车同时从甲地出发，沿着同一条公路开往乙地。 卡车每小时行x千米，轿车每小时行120千米，1.5小时后轿车到达乙地，卡车还没有到达。 第13页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (1)用含有字母的式子表示卡车这时离乙地还有多少千米。 (2)当x=95时，卡车离乙地还有多少千米？ 7.(24-25五年级上·湖北武汉·期中)某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分 每千米收2.4元；晚间(23：00到次日5：00)超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） (1)如果用x(x为整数，且x>3)表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关 系可以用式子表示为y=一-。 (2)王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 8.(24-25五年级上·江苏淮安·期末)有一个三角形 第一次连接这个三角形三条边的中点 得到 第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到 …依次类推。 (1)请你算出每次操作后三角形的个数填入下表。 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 (2)照这样操作n次，一共有( )个三角形。 9.(24-25五年级上·宁夏银川·期中)甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包 小饼干，付了33.5元：乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元：丙买了同样的2根 棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 第14页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(25-26五年级上·全国·课后作业)如下图，用同样的小棒摆三角形。 (1)摆1个三角形，需要( )根小棒；摆2个三角形，需要( )根小棒：摆3个三角形， 需要( )根小棒。 (2)像这样摆下去，摆n个三角形，需要()根小棒。 (3)摆15个三角形需要多少根小棒？ 第15页共15页null