精品解析：江苏省宿迁市沭阳县乡镇期中联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学情检测 九年级数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，将已知根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 因此，m的值为4， 故选：B． 4. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ， ， ， ， 故选：C． 5. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，∠POB＝40°，则∠CBD的度数是（　　） A. 50° B. 45° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP//BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果． 【详解】∵AB是⊙O的切线， ∴∠OPB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴OP//BC， ∴∠CBD＝∠POB＝40°， 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 6. 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长． 【详解】∵AB为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 7. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， 即且 ， ∴且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 10. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是，则成绩比较稳定的是___（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【详解】试题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．因此， ∵，∴成绩比较稳定的是甲． 11. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义得到，代入变形后的式子，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 12. 如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 首先根据切线长定理得到，，，然后根据的周长为12得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】解：∵、是的切线，切于点E， ∴，， ∵的周长为12， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：6． 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 14. 北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______ 【答案】5.4（1-x）2=4.2 【解析】 【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可． 【详解】解：根据题意有： 5.4（1-x）2=4.2 故答案为：5.4（1-x）2=4.2 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题． 15. 如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 16. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 17. 如图，正的边长为2，为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚100次后中点经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正三角形的性质，弧长公式以及周期规律，分析翻滚过程中的轨迹形状，确定每次翻滚的圆心角与半径是解题关键． 观察M点的位置，明确M点的运动轨迹为弧形，总结周期规律后，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由下图可知M点的运动轨迹为弧形，且三次为一个循环， 连接、， 与为正三角形，M为中点，N为中点， ，， 、、所对圆心角均为，, ，， ， ， ， M点循环一次经过的路径长为， ∵, 翻滚100次M点经过的路径长为． 故答案为：． 18. 在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为4的上运动，则的最小值为__________． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了给定三角形性质的应用，点和圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，理解给定三角形的性质是解题的关键．取的中点，连接，根据给定三角形的性质，结合点与圆的位置关系回答即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 在矩形中，， ， 连接，当点在上时，取得最小值，此时有最小值， ， ， 在中，， ， 当时，的最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用开平方法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 或 解得： 20. 已知关于的一元二次方程有，两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，实数的值为1或4 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得. 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∴实数的值为1或4. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，关掌是握一元二次方程根的情况与判别的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 21. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】（1）8，8，9 （2） 教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． （3） 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小，理由如下： 由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 22. 如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： （1）在图1中，在圆上找一点D，使得； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 【答案】（1）如图所示，点即为所求； （2）点即为所求． 【解析】 【分析】此题通过作图考查了圆周角定理和垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是正确作图的关键． （1）连接交于，可知为直径，则，点即为所求； （2）取格点，，连接交于，交于，点即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，，，， ∴， ∴， 又∵经过A，B，C三个格点， ∴为的直径， 连接交于，可知为直径，则， 如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 取格点，，连接交于，交于， 由图可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴直径， ∴， 即：点即为所求． 23. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 24. 奔赴苍穹，逐梦九天，2024年十月三十日神舟十九号成功发射，开创了中国航天的新里程．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个． （1）若设每个模型降价x元，平均每天可售出　　个； （2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每个模型的售价应降低8元 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程． （1）根据“平均每天可售出100个，售价每降低1元，平均每天可多售出10个”即可求解； （2）根据“每天的利润=降价后每个模型利润×每天售出数量” 即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； 【小问1详解】 解：∵每降价1元，每天可多售10个， ∴降价x元，每天多售个， ∵未降价前每天售出100个， ∴降价后，每天售出个； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：每个模型的售价应降低8元； 25. 【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 （1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； （3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为 （2） 由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）当时，长方形场地的面积最大，最大值为243 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为243． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数） 是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【小问1详解】 解：解方程 得：或， ， 方程是“邻根方程”； 【小问2详解】 由方程 解得：或， 由于关于的方程是常数）是“邻根方程”， 则或， 解得或． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 27. 定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）①②③；（4），点C的坐标是；（5） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由勾股定理，得正方形的对角线长为，即可求出答案； （2）边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为，据此即可得到答案； （3）根据题意可知识；①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆； （4）求出点N的坐标是，点M的坐标是，则，即，得到则，即可求出答案； （5）作直径，连，中，，，得到，即，则，即四边形的最小覆盖圆半径为． 【详解】解（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （3）有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是①②③， 故答案为：①②③ （4）设圆心为点M，连接 过点M作于点N，于点D， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴点N的坐标是，点M的坐标是， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴点C的坐标是 （5）解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 故答案为： 28. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，半径的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可知，可知为直径，再由勾股定理即可求解； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，四边形为矩形，可得，，在中，，列出关于的方程求解即可； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，，得，可知四边形为矩形，由题意可知，，，，，则，，则，设，则，再由勾股定理得方程，求解即可； （4）结合图形，可知要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置，当与、均相切时，直径等于的长度，求得半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，如图，由题意可知，，结合勾股定理，求得半径的最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：的半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识点，理解题意，明白要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学情检测 九年级数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A. 1 B. 4 C. D. 4. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 5. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，∠POB＝40°，则∠CBD的度数是（　　） A. 50° B. 45° C. 35° D. 40° 6. 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 4.8 7. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 8. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 10. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是，则成绩比较稳定的是___（填“甲”或“乙”） 11. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 12. 如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则______． 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 14. 北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______ 15. 如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 16. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 17. 如图，正的边长为2，为坐标原点，点在轴上，点在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚100次后中点经过的路径长为________． 18. 在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为4的上运动，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程有，两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 21. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 22. 如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： （1）在图1中，在圆上找一点D，使得； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 23. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 24. 奔赴苍穹，逐梦九天，2024年十月三十日神舟十九号成功发射，开创了中国航天的新里程．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个． （1）若设每个模型降价x元，平均每天可售出　　个； （2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ 25. 【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 （1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； （3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数） 是“邻根方程”，求m的值． 27. 定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 28. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $