2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷
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内容正文：
苏科版 八年级数学 期中复习卷
时间：120分钟 满分：130分
考试范围：（八上）三角形，（八下）因式分解、分式
班级：_____________ 姓名：______________ 得分：_____________
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
第2题 第4题 第5题 第6题
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+1＝（x+1）2
4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
6．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
7．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．32 D．64
8．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝θ，且AB＝AC＝CD，则θ与α之间不可能存在的关系式是（ ）
A．θ＝90°α B．θ＝180°α C．θα﹣90° D．θ＝120°α
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝5cm，D为AB的中点，则AB＝_______ cm．
10．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为_______ 度．
11．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝_________ ．
12．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 ________ m2．
第8题 第9题 第11题 第12题
13．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是_______ cm．
14．如图，△ABC中∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，AD＝7cm，CD＝2cm，则BC＝_____ cm．
15．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 _____________ ．
16．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC＝________ ．
三．解答题（共11小题，共82分）
(
第
14
题
)17．（本题6分）计算：
（1）； （2）．
18．（本题6分）解方程：
（1）； （2）； （3）．
19．（本题6分）已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
20．（本题6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
21．（本题7分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
22．（本题7分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，E是AC边的中点．
（1）求DE的长；
（2）求证：DE∥AB．
23．（本题7分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
24．（本题7分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF的长．
25．（本题10分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八年（9）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同，求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
26．（本题10分）如图，已知AB＝AC＝AD，
（1）如图1，若∠D＝32°，∠BAC＝20°，则∠DBC＝ _______ °；
（2）如图2，当∠BCA＝2∠ADB时，
①求证：AD∥BC；
②过点D作DE⊥AB，垂足为E．若DE＝6cm，求点D到AC的距离．
27．（本题10分）【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
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苏科版 八年级数学 期中复习卷
时间：120分钟 满分：130分
考试范围：（八上）三角形，（八下）因式分解、分式
班级：_____________ 姓名：______________ 得分：_____________
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式要求分子与分母不含公因式，逐项判断能否约分。
【解答】解：最简分式的分子与分母不含公因式，据此对各选项逐一判断如下：
A、的分子分母有公因式a，不是最简分式，不符合题意；
B、的分子可分解为x（2x+1），与分母有公因式x，不是最简分式；
C、的分子分母有公因式2，不是最简分式，不符合题意；
D、的分子为1，与分母无公因式，是最简分式，符合题意．
故选：D．
2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
【分析】由三角形三边关系得PA﹣PB＜AB＜PA+PB，再判断各选项是否符合。
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m．
故选：D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+1＝（x+1）2
【分析】根据因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，逐项判断。
【解答】解：A、x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1不满足因式分解定义，不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是平方差公式，不符合题意；
C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是因式分解，符合题意；
D、x2+1≠（x+1）2，不符合题意．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【分析】由旋转得AB＝AB′、∠C′B′A＝∠B，由等腰得∠AB′B＝∠B，再由平角求∠CB′C′。
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，
∴∠AB′B＝∠B，
∵∠B＝50°，
∴∠C′B′A＝∠AB′B＝50°，
∴∠CB′C′＝180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B＝80°，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【分析】由角平分线与平行线得∠DFB＝∠DBF、∠CFE＝∠BCF，等角对等边得BD＝DF、FE＝CE，再由线段差求CE。
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCE，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故选：A．
6．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
【分析】由AB＝AC、∠A公共，逐项用ASA、SAS、AAS判断，注意SSA不能判定全等。
【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
7．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．32 D．64
【分析】由等边三角形及30°角性质推出A2B2＝2B1A2，边长依次翻倍，归纳求A6B6。
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．
故选：C．
8．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝θ，且AB＝AC＝CD，则θ与α之间不可能存在的关系式是（ ）
A．θ＝90°α B．θ＝180°α
C．θα﹣90° D．θ＝120°α
【分析】分点D在线段BC上、BC延长线上、CB延长线上三种情况，用等腰性质和外角关系分别求θ。
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ACB＝∠ABC＝α，
由三角形内角和定理得：∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣2α，
依题意有以下三种情况：
①当点D在线段BC上时，如图1所示：
在△ACD中，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠ACB）＝90°α，
∵∠CDA是△ABD的外角，
∴∠CDA＝∠ABC+∠BAD，
∴90°α＝α+θ，
∴θ＝90°α，
∴选项A中的关系可能存在，
故选项A不符合题意；
②当点D在BC的延长线上时，如图2所示：
在△ACD中，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝2∠CAD，
∴∠CAD∠ACBα，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝180°﹣2αα＝180°α，
即θ＝180°α，
∴选项B中的关系可能存在，
故选项B不符合题意；
③当点D在CB的延长线上时，如图3所示：
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝180°﹣2α+θ
在△ACD中，AC＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝180°﹣2α+θ，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠ABC＝∠BAD+∠CDA，
∴α＝θ+180°﹣2α+θ，
∴θα﹣90°，
∴选项C中的关系可能存在，
故选项C不符合题意；
综上所述：选项D中的关系不可能存在，
故选项D符合题意，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝5cm，D为AB的中点，则AB＝ cm．
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AB＝2CD。
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝5cm，D为AB的中点，
∴AB＝2CD＝10（cm），
故答案为：10．
10．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度．
【分析】先求与70°外角相邻的内角为110°，再分其为底角或顶角讨论求底角。
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，
∴与它相邻的三角形的内角为110°；
①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和＝220°＞180°，不合题意，舍去；
②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
因此等腰三角形的底角为35°．
故答案为：35．
11．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ ．
【分析】由网格得AB＝AD、BC＝DE、∠B＝∠D，证△ABC≌△ADE得∠4＝∠3，再由互余关系求和。
【解答】解：∵在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠3+∠1＝90°，
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案为：135°．
12．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 m2．
【分析】过D作DE⊥AB、DF⊥AC，由角平分线得DE＝DF，再由面积公式求DF及△ACD面积。
【解答】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE＝DF16（m），
∴△ACD的面积AC•DF30×16＝240（m2），
故答案为：240．
13．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是 cm．
【分析】分5为腰、2为腰两种情况，检验三边关系后求周长。
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴它的周长＝5+5+2＝12（cm）；
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的周长是12cm，
故答案为：12．
14．如图，△ABC中∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，AD＝7cm，CD＝2cm，则BC＝ cm．
【分析】由垂直平分线得AD＝BD，再由BC＝BD+CD求值。
【解答】解：∵DE垂直平分AB，AD＝7cm，
∴AD＝BD＝7cm，
∵CD＝2cm，
∴BC＝BD+CD＝9cm，
故答案为：9．
15．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【分析】去分母解出用m表示x的表达式，由解为正数且x≠2求m的取值范围。
【解答】解：去分母得：x+m﹣2m＝﹣（x﹣2），
解得：x，
由分式方程的解为正数，得到0，且m≠2，
解得：m＞﹣2且m≠2，
故答案为：m＞﹣2且m≠2．
16．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC＝ ．
【分析】过C作CE⊥AB，由45°得AE＝CE，由30°得CE＝BC的一半，证△CED为等边三角形后求∠ADC。
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，
则有∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ACE＝∠CAB＝45°，∠BCE＝60°，
∴AE＝CE，
∵AD为三角形的中线，
∴BD＝CD＝DEBC，
∴∠BED＝30°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE＝CE＝AE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠DAE∠BED＝15°，
∴∠ADC＝∠CDE﹣∠ADE＝45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共11小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）因式分解后把除法转化为乘法再约分；（2）先因式分解做乘法约分，再按同分母分式相加。
【解答】解：（1）
＝a．
（2）
．
18．解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】各小题均去分母化为整式方程求解，再检验是否为增根。
【解答】解：
（1），
去分母得：x﹣5＝8x﹣12，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
故原方程的解为x＝1；
（2），
去分母得：3x﹣3＝2x﹣1+3x+3，
解得：x＝﹣2.5，
检验：当x＝﹣2.5时，3x+3≠0，
故原方程的解为x＝﹣2.5；
（3），
去分母得：16+（x+2）（x﹣2）＝（x+2）2，
整理得：12＝4x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
则x＝2是分式方程的增根，
故原方程无解．
19．已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由DE＝BF得DF＝BE，用SSS证全等；（2）由全等对应角相等及邻补角关系证∠AEF＝∠EFC，得AE∥CF。
【解答】（1）证明：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF．
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
（2）解：AE∥CF．
理由：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵∠AEB+∠AEF＝∠DFC+∠EFC＝180°，
∴∠AEF＝∠EFC，
∴AE∥CF．
20．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
【分析】由AB∥ED得∠B＝∠E，用SAS证△ABC≌△CED得AC＝CD。
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS）．
∴AC＝CD．
21．已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
【分析】（1）由BE⊥CD得两直角相等，用HL证Rt△BEC≌Rt△DEA；（2）由全等得∠B＝∠D，结合互余关系证DF⊥BC。
【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
又∵BE＝DE，BC＝DA，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°．
即DF⊥BC．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，E是AC边的中点．
（1）求DE的长；
（2）求证：DE∥AB．
【分析】由等腰三角形三线合一得BD＝CD，再由三角形中位线定理得DE∥AB且DE＝AB的一半。
【解答】解：∵AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∵点E是AC的中点，
∴DE∥AB，
∴DEAB＝2．
23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由垂直平分线得AD＝BD、AE＝CE，把△ADE的周长转化为BC；（2）由等腰得∠B＝∠BAD、∠C＝∠CAE，再由内角和求∠DAE。
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF的长．
【分析】（1）由等边三角形及平行得∠EDC＝60°，再由EF⊥DE求∠F；（2）证△DEC为等边三角形得DE＝2，再用30°角所对直角边性质求DF。
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴△DEF是直角三角形，
在Rt△DEF中，∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，
（2）∵∠EDC＝60°，∠ACB＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝CD＝2，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4．
25．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八年（9）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同，求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
【分析】设绿萝单价为x元，按200元购绿萝的盆数与300元购吊兰的盆数相同列分式方程求解。
【解答】解：设购买绿萝的单价是x元，则购买吊兰的单价是（x+5）元，则：
，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝15，
∴购买绿萝的单价是10元，购买吊兰的单价是15元．
26．如图，已知AB＝AC＝AD，
（1）如图1，若∠D＝32°，∠BAC＝20°，则∠DBC＝ °；
（2）如图2，当∠BCA＝2∠ADB时，
①求证：AD∥BC；
②过点D作DE⊥AB，垂足为E．若DE＝6cm，求点D到AC的距离．
【分析】（1）由等腰性质求∠ABD、∠ABC，再作差求∠DBC；（2）①设∠ADB＝α表示各角，推∠DAC＝∠BCA得AD∥BC；②作DF⊥AC，由平行及角平分线性质得DF＝DE。
【解答】解：（1）∵AB＝AD，∠D＝32°，
∴∠ABD＝∠D＝32°，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣32°＝48°，
故答案为：48；
（2）①设∠ADB＝α，则∠BCA＝2∠ADB＝2α，
∵AB＝AD，∠ADB＝α，
∴∠ABD＝∠ADB＝α，
∴∠BAD＝180°﹣2α，
∵AB＝AC，∠BCA＝2α，
∴∠ABC＝∠BCA＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣4α，
∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝180°﹣2α﹣（180°﹣4α）＝2α，
∴∠DAC＝∠BCA＝2α，
∴AD∥BC；
②过点D作DF⊥AC于F，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠ABC＝2α
又∵∠DAC＝2α，
∴∠EAD＝∠DAC＝2α，
∴AD是∠EAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DE＝6cm，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝6cm，
∴点D到AC的距离是6cm．
27．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【分析】（1）延长DC至E使CE＝BD，证△ABD≌△ACE及△ADE为等边三角形得DA＝DC+DB；（2）在AC上截CM＝CD，证△ADM≌△EDC得AM＝CE，从而CD+CE＝CA；（3）在DC延长线上取G使DG＝BE，证△ADG≌△ABE及△AEF≌△AGF，由周角关系得∠EAF与∠DAB的关系。
【解答】（1）解：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，
即DA＝DC+DB；
（2）证明：在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵直线a∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
即CD+CE＝CA．
（3）解：∠EAF；
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF.
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