专题07 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算4大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题07 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 常考题型·精准突破 考点一 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 题型一 圆中最值问题 题型二 圆中翻折问题 题型三 圆中新定义问题 题型四 不规则图形面积计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 ◆题型一 圆中最值问题 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 2．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）【模型探究】如图①，在中，，，为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ， 证明过程缺失 ． 【模型应用】如图②，在中，的半径为2，点为圆上一动点，求最小值． 小明按照上述结论去构造相似三角形，得到一条长度等于的线段，下面是他的具体操作步骤． 第一步：连接圆心与动点； 第二步；以半径为公共边，构造“反”型相似； 第三步：由可得，即．进而在上找到点的位置； 第四步：可得：，因此当、、三点共线时最小． (1)请你补全证明过程． (2)请你根据小明的步骤，利用无刻度的直尺和圆规找出点的位置，并计算出的最小值是______． 【答案】(1) 证明：， ， ∴， 又∵， ∴， ， ． (2) 如图所示，点M即为所求； 【分析】（1）可证明，结合，可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）根据题意可得，且点M在上，结合线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；根据题意可得当、、三点共线时最小，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，，且当、、三点共线时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为． 3．（25-26九年级下·四川宜宾·期中）如图，是等腰直角三角形，点D，分别在边上运动，连接交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是(     ) A．①③ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求出，即可判断④． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 即， ∵是等腰直角三角形，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， 如图所示， 在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径长度不变， ∴此时最大， 则面积最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 4．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆． ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． 5．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 6．（2026·浙江·模拟预测）如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点 作 于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在 中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在 和 中， ， ， ， 在 中，， ， ， ，解得. 点在以为圆心，为半径的圆上. ，，且点在上， 点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 7．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）正方形中，边长为6，E、F分别在和边上，且，于，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】延长交于点，先证明，求出，然后取的中点，连接，确定点在以点为圆心，为半径的一段圆弧上运动，再转化为圆外一点与圆上一点的最值问题求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的一段圆弧上运动，， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为． 8．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】先连接，，，根据，即可得到当点O，P，C三点共线时，最短，依据，，可得点P在以O为圆心，为直径的圆上，进而得到与相切时，最短，根据已知长度求得此时的长，即可由解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴当点O，P，C三点共线时，最短， 如图， ∵，， ∴点P在以O为圆心，为直径的圆上， ∴与相切时，最短， ∵，， ∴， ∴． ◆题型二 圆中翻折问题 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点N，若，则的半径是_______． 【答案】 【分析】设的半径为r，弦的弦心距为d，作点O关于的对称点，连接交于E，连接，连接，过点O作于K，过点O作于F，在中可得，，得到，在中可得，，得到，可得，解得，代入即得． 【详解】解：设的半径为r，弦的弦心距为d，作点O关于的对称点，连接交于E，连接，，过点O作于K，过点O作于F，如图， 则，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折，恰好与弦相切于点N， ∴是对应的圆心， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，符合， ∴， 解得（）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的折叠．熟练掌握折叠性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，以及矩形的判定与性质，因式分解，解分式方程是解题的关键． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，C是半圆上一点，为的直径，将弓形沿翻折交于点D，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查圆中折叠问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键．作点关于的对称点，连接，过点C作于点E，根据折叠的性质，圆周角定理推出，进而得到，三线合一，得到，证明，求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，过点C作于点E； ∵折叠， ∴，， ∴对应的圆心角相等， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴ 故答案为：． 11．（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F，先确定，由勾股定理得，可得，然后根据圆周角定理得到，继而得到点D、E为翻折前后的对应点，然后证明，再由等腰三角形的性质，结合解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴点E为点D关于的对称点， ∴由翻折得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，难度较大，方法不唯一，解题的关键在于辅助线的添加，合理利用圆的有关性质． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则________．    【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， ，， ， ， ， ∵在中，，即 ∴， ， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 故答案： 13．（2026·四川成都·二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径为，翻折劣弧使其与直径交于点，如果，那么折痕的长为______． 【答案】 【分析】作交于点，连接延长交的延长线于点，连接，与交于点，根据对称的性质分别证明，，推出，再根据四点共圆推出，证明，进而可得，由对称性质再得，解得，最后由勾股定理求即可． 【详解】解：如图所示，作交于点，连接延长交的延长线于点，连接，与交于点， ∵折叠，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵由圆内接四边形性质可知， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∵在中，，， ∴根据勾股定理：BC． 15．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】连接，，，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，所对的圆心角为，，根据直径所对的圆周角为可得，即，再根据角的和差得出为等边三角形，过点作与夹角为的线段，交于点，可得，设，则，根据勾股定理可得，再根据等边对等角可得，进而得，． 【详解】解：连接，，，如图所示： 根据题意可得，，，所对的圆周角是， ∴， ∴， ∵点恰好是翻折后的上一个四等分点， ∴，即， ∴， ∵等于半圆， ∴所对的圆心角为， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作与夹角为的线段，交于点，，如图： ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角为，勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①   ②， (2) 【分析】（1）①如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②如图所示, 过点作, 垂足为点, 则, 根据题意可得, 由此即可求解; （2）如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形，中, 可求出的长度, 再证, 由此即可求解. 【详解】（1）解：①如图所示, 连接, 由翻折可知，， ， ， 是等边三角形， ， ∴弧的长； ，理由如下， 如图所示，过点作垂足为点，则， ∵ ∴， 在与中, ， ∴， ∴，即， 又∵， ∴, , 即, ∴, ∴； （2）解：如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形， 由折叠和（1）可知, , ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴, ，即， 解得， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ◆题型三 圆中新定义问题 17．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 【答案】（1）2 （2）8 （3）当时， （4）时：当时，；当时，；当时，； （5）或 【分析】本题考查了新定义“点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数． （1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线₁、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为、；当时，圆与其中一条直线相切个交点），与另一条相离个），结合、，得． （2）当时，圆与一条直线相切个），与另一条相交个），故． （3）当时，圆与两条直线都相交，需且，即． （4）当时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为，到O的距离为；分（与l₁相交2个，与相离，共2个）、（与相交2个，与相切1个，共3个）、（与两条直线都相交，共4个）讨论． （5）先求点到直线的距离，到l距离为2的两条平行线到P的距离为、；由（交点总数，得且，解得b的范围． 【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为，到l₂的距离为．当时，圆与l₁相切，与l₂相离，故； 故答案为：2． （2）当时，圆与l₂相切，与l₁相交个交点），总3个，故； 故答案为：8． （3）当时，圆与l₁、l₂都相交，需且，故； 故答案为：． （4）当时，l₁与l重合到l₁距离，l₂到O距离． 若，圆与l₁相交个），与l₂相离，； 若，圆与l₁相交个），与l₂相切个），； 若，圆与两条直线都相交，． （5）直线l：，点到l的距离．到l距离为2的平行线到P的距离为、． ∵， ∴圆与一条平行线相交个），与另一条相离个），即且， 解得，即， ∴， 故b的范围为或； 答：b的取值范围是或． 18．（2026·山西运城·二模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： (1)尺规作图：在图1中，作的外接圆． (2)填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 【答案】(1) (2)①，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；②或， 【分析】（1）在上截取，以为圆心为半径作圆，即可； （2）①根据题意可得是等边三角形，得出，根据圆周角定理，即可求解； ②分情况讨论，当在优弧和劣弧上，两种情况，根据含度角的直角三角形的性质求得边上的高，进而根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴（同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半） ②当点在优弧上时，如图，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 当点在劣弧上时，如图， ∵是的内接四边形， ∴ 过点作 ∴ ∴ 综上所述，或； 19．（24-25九年级上·北京平谷·期末）我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离．       (1)平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； (2)平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据点到圆上距离即可解答； （2）①根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．由题意可得，点O为矩形的对称中心，连接，求出； ②根据题意：点是的中点，点在长为，宽为的矩形边上运动，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值，当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值，据此即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，与y轴正半轴的交点为， 则点P到的距离为； （2）解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为； ②根据题意：点是的中点， ∴点在长为，宽为的矩形边上运动， 如图，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值， 此时，， ∴， ∴； 当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值， 此时，，， ∴， ∴； 综上，点P到圆G的距离d的取值范围为． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，坐标与图形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确画出示意图，利用数形结合的思想是解题的关键． 20．（2026·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 21．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 23．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于的点叫作“单位圆点”． (1)下列函数图象上存在“单位圆点”的是_____（填序号） ①；②；③；④；⑤ (2)若函数的图象上存在两个“单位圆点”，则的取值范围为_____； (3)已知点的坐标为，，是不同的“单位圆点”，且最大，则为_____°； (4)已知点，，，是不同的“单位圆点”，以直线上一点为顶点的最大为，请直接写出的值． 【答案】(1)③④⑤ (2) (3) (4)或 【分析】（1）设符合“单位圆点”定义的点坐标为，根据定义得出，联立函数解析式与，通过判别式判断方程是否有实根，即可得出答案； （2）联立直线与，根据两个交点对应判别式大于，求解的范围即可； （3）利用切线性质，圆外一点引圆的两条切线夹角最大，得出、是的切线，切点为，，且在轴两侧，设交轴正半轴于，连接、，根据切线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出是等边三角形，，根据等边对等角及三角形外角的性质得出，根据切线的性质即可得出答案； （4）先由最大角为得出，进而得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，根据得出，根据相切时，方程有两个相等的实数根得出，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设符合“单位圆点”定义的点坐标为， ∵“单位圆点”到原点的距离等于， ∴， 联立与①中解析式得， ∴，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴图象上不存在“单位圆点”； 联立与②中解析式得， ∴，即， 设，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴图象上不存在“单位圆点”； 联立与③中解析式得， ∴，即， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴图象上存在“单位圆点”； 联立与④中解析式得， ∴，即， 解得，有实数根， ∴图象上存在“单位圆点”； 联立与⑤中解析式得， ∴，即， 整理得， ∴方程有一个解为， 当时，， ∴图象上存在“单位圆点”； 综上所述：函数图象上存在“单位圆点”的是③④⑤． （2）解：联立与得，， ∴， 整理得， ∵函数的图象上存在两个“单位圆点”， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （3）解：∵，是不同的“单位圆点”， ∴，在以原点为圆心，为半径的圆上， ∵最大，， ∴、是的切线，切点为，，且在轴两侧， 如图，设交轴正半轴于，连接、， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴． （4）解：设直线的解析式为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 即直线与直线平行或重合， ∵以直线上一点为顶点的最大为， ∴、与相切， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当直线与以为半径的圆有个交点时，两交点之间的线段上的点到点的距离小于， ∴，与最大为不符， ∴直线与以为圆心，为半径的圆相切， 如图所示， 设， ∴， 整理得，， ∵直线与以为圆心，为半径的圆相切， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，． 24．（26-27九年级上·北京·阶段检测）定义：如图1所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”． 问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在射线上． (1)在点，，中，可以成为线段的“三足点”的是； (2)若第一象限内存在一点Q既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转后停止，设点K出发后转过的角度为(0°<α°)，若线段与不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是． 【答案】(1)D、E (2) (3)或 【分析】（1）根据在中，为“三足点”需满足，即，从而求出线段的”三足点”满足，进而可得出答案， （2）根据直线函数解析式得出，由为线段的“强三足点”可得，进而求出，，由，求出利用勾股定理求出，进而可得点 的坐标． （3）根据题意可得，，进而根据的三足点轨迹所需条件进而下讨论，得出当的垂直平分线与的垂直平分线相交，且交点满足夹角条件时，存在公共三足点． 据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由“三足点”定义可知：优弧上能容纳三个等边三角形的顶点，则优弧的度数必须，即劣弧， 三足点：点在的垂直平分线上，且（此时优弧上至少有3个顶点构成等边三角形）． 强三足点：点在的垂直平分线上，且（此时优弧上恰好有3个顶点构成等边三角形，且只存在一个这样的等边三角形）． ∵，． ∴线段的中点坐标为，其垂直平分线为直线． 设垂直平分线上一点为， 当时，此时点P为线段的“强三足点”．如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，为“三足点”需满足，即， ∴． 对于：，不满足条件，不是三足点． 对于：，满足，是三足点． 对于：，满足，是三足点． 所以可以成为线段的“三足点”的是D、E． （2）解： ∵Q是线段的“三足点”，在第一象限， ∴由（1）可知，在上，可设，则．此时． ∵为线段的“强三足点” ∴在的垂直平分线上，且．是顶角为的等腰三角形，底角．如图3： ∵点B在射线上，设点B坐标为． ∴， ∴，即射线与轴正半轴的夹角为． ∴．， ∵，， ∴，， ∴点的纵坐标为3，当时，解得， 所以点的坐标为． （3）解：如图： ∵，点． ∴． ∴， ∴，， ∴， ∵线段的三足点轨迹：在垂直平分线上，且与，连线夹角． 线段的三足点轨迹：在垂直平分线上，且与，连线夹角． 公共“三足点”即这两条轨迹射线的交点． ∴当的垂直平分线与的垂直平分线相交，且交点满足夹角条件时，存在公共三足点． ①当的垂直平分线平行于的垂直平分线时，无交点．此时． 即，即， 当时， ∴而且， 即当时，两垂直平分线交点不在有效区域内，即不存在公共三足点． 综上所述：或时，不存在公共三足点． 【点睛】1．新定义题三步读题法：圈对象（点、线段、以为圆心的优弧）→找量化条件（三个点、等边三角形）→译成不等式或等式（、）．定义里出现的“特别的，……只存在一个”，几乎就是出题人替第二问预埋的取“等号”版本，读题时要用笔圈出来． 2．临界先行，以静制动：全题骨架是"强三足点=张角恰120°"．每一问都先解等号状态（第（1）问的、第（2）问的顶角、第（3）问的临界点），再判断“往哪一侧偏离仍满足不等号”，比逐点试探、逐值枚举快得多，也不易漏解． 3．平行关系是最经济的"桥梁"：由得到轴，一句平行就把未知点的纵坐标搬到了已知量上．几何题中“证平行”往往比“设未知数列方程”更省算力，值得优先考虑． 4．反面求范围的通法与端点纪律：先求“恰好存在"的临界位置（平行、相切、交点落到轨迹端点），再用交点是否在有效区域内”框定区间．答案写成“一个开区间+一个孤立临界值”，两个边界各需回代验证：与处张角条件恰好成立（存在公共三足点），故取开区间；处两线绝对无交点，故作为单点保留．开闭全凭回代，不靠感觉． ◆题型四 不规则图形面积计算 25．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、图形旋转的性质、反比例函数的解析式以及扇形面积的计算，解题的关键是确定旋转后点的坐标，并利用旋转性质将阴影面积转化为两个扇形面积的差． （1）先求出、、的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求； （2）阴影部分的面积等于以为圆心、为半径的扇形面积减去以为圆心、为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：在中， 当时，，解得，故； 当时，，故 ∵点为线段的中点， ∴． 将绕点顺时针旋转得到，作，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， 故． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵，，旋转角为， 通过下图所示的割补法可知： ∴阴影部分的面积 ． 26．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【项目主题】制作圆锥． 【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶． 【项目实施】 步骤1：确定圆形卡纸的圆心； 步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），； 步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【项目探索】 (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）． (2)求剪下的扇形的面积． (3)求圆锥的高． 【答案】(1) 如图所示，圆心即为所求； (2) (3) 【分析】（1）在圆上取点D，E，F，G，连接，，作出，的垂直平分线交于点O即为所求； （2）如图所示，连接，，，过点O作于H，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长，得到，然后利用扇形面积公式即可得到答案； （3）设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长求出r，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，，，过点O作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴扇形的面积； （3）解：∵， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴， ∴． ∴圆锥的高为． 【点睛】本题主要考查了尺规作圆的圆心，求圆锥的高，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． 27．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由如下： 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； (2)． 【分析】（）连接，， 由直线与相切，则，即，证明，所以，然后通过切线的判定方法即可求解； （）由（）得，，所以，，，得，由勾股定理得，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解； （2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 29．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，的顶点都在上，为的直径，点M在上，点N在上，为等边三角形，延长，交于点P，连接． (1)求的度数． (2)当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若，Q为的高上的一点，且，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点A作于点G， 设，由为等边三角形， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴ ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． ∵为等边三角形。 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角， 对于（1），根据等边三角形的性质得，再根据直径所对的圆周角是直角得即可得然后根据三角形外角的性质可得答案；对于（2），先作，设，由等边三角形的性质和勾股定理得，再结合已知条件可得，进而求出然后根据等腰三角形的性质得即可求出，接下来根据直角三角形的性质得出，再结合等边三角形的性质说明，即可得出，则答案可证； 对于（3），先根据勾股定理，等边三角形的性质说明“在上存在点Q，在上存在点Q”，再分两种情况：当点Q在上时，先求出，再根据得出答案；当点Q在上时，过点O作，交于点K，可求出，，再根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵是的直径， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：或． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理得． 连接， 则， ∴是等边三角形，且， ∴． ∵， ∴在上存在点Q，在上存在点Q． 当点Q在上时， 在中，， ∴， ∴； 当点Q在上时，过点O作，交于点K， 在中，， ∴根据勾股定理，得． 在中，， ∴， ∴． 所以或． 30．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，根据扇形的面积公式求出面积，过点Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F， 则四边形是矩形， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴中间空白区域面积等于正方形的面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积． 故选：A． 31．（2025·湖北孝感·二模）如图，已知为的直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1) 证明：连接， 为的直径 ， 平分 ， 是等边三角形， 又， ， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，即可得证； （2）先求得，再求出，进而根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 32．（2025·贵州贵阳·二模）等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点，，，，，将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． (1)________°； (2)在（1）的结论下，求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)90 (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理、扇形面积的计算等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）根据等分弧的条件可得，即得，推出，根据可得，进而得到答案； （2）连接，易得是等边三角形，得到，得出，进而可求出，再根据勾股定理即可求出结果； （3）根据结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，，，，将六等分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：90； （2）解：如图，连接， ∵被六等分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴在直角三角形中，； （3）解：由（2）知： 是边长为2的等边三角形， ∴边上的高即为的长，等于， ∴， 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 综合攻坚·知能拔高 33．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 34．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 35．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∴ ． 36．（2026·湖北武汉·三模）如图，是的直径，，点C，D是圆上的点，满足，且，点P为上的一个动点，当取得最小值时，的值是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】作点D关于的对称点，交于点E，连接连接交于点，根据题意得出，，，确定点P的位置，再由正弦函数得出，利用圆周角定理确定，得出，，，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，结合图形即可求解 【详解】解：作点D关于的对称点，交于点E，连接连接交于点，如图所示： ∴，，， 此时，最小，为的长度， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（2026·广东清远·二模）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作，则有，由四边形是美角为的圆美四边形求出，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵四边形是美角为的圆美四边形， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 38．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 39．（2024·广东清远·二模）如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积______． 【答案】 【分析】连接过点O作于G，运用求解即可． 【详解】解：连接过点O作于G， ∵在等边三角形中，点D是边的中点，， ∴，，， ∴，， ∴，， 以为直径的分别交、于点E、F， ∴，， ∴，，， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴ ∴． 40．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 41．（2026·广西柳州·二模）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】由，可知点E的运动轨迹在以为直径的圆上，是的中位线，求的最小值，也就是求的最小值，当点、、，三点共线的时候，最小，结合勾股定理，即可求出，进而求出的最小值． 【详解】解：， 点E的运动轨迹在以为直径的圆上， 以为直径作圆，圆心为，点为中点，连接、，如下图 是的中位线， ，求的最小值，也就是求的最小值， 当点、、，三点共线的时候，最小， 四边形是正方形， ，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， 即的最小值为． 42．（25-26九年级下·北京东城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”． ①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 _____； ②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 _____． 【答案】 （4，3+3） （0，3±）或（0，﹣3±） 【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，圆C的半径为，最后计算PD的长可得点P的坐标； ②同理根据作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解． 【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC， ∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）， ∴AB＝7﹣1＝6， ∵∠APB＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝， ∴PC＝， ∵点P在直线x＝4上， ∴AD＝4﹣1＝3， ∴AD＝BD， ∵CD⊥AB， ∴CD＝AD＝3， ∴P（4，+3）， 故答案为：（4，+3）； ②如图2所示，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C， 在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°， 则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝， 由勾股定理得： ∴PO＝3+， 同理得：OP1＝3﹣， ∴P（0，3±）， 综上分析，点P的坐标为（0，3±） 【点睛】本题主要考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关键是作△APB的外接圆． 43．（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点． （2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围． （3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 44．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点C为上一点，则称是弦关于的“关联角”． (1)， ①，，中，点________是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则________； (2)直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①；②2 (2)或 【分析】（1）①先作出与直线平行的边界直线，判断点是否在两条平行线之间及直线上，且在外，从而确定“关联点”；②作平行于且距离为的直线，当与相切时，最大，利用勾股定理求解； （2）根据“关联角”，确定点的轨迹，再结合直线与该轨迹有交点，求解的取值范围． 【详解】（1）①如图，由题意知，分别作直线和， 在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点符合题意， 是弦关于的“关联点”； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点在上角度会更大， 在上任取一点，作，且， 此时当与相切时，有最大， ，， 过点作， ， 当点往方向运动时，点也会随之向左运动， 此时的值减小，的值增大，的值增大， 的值在减小， 当点落在时，最小，此时最小， 最大， 设，则， 关于点对称， ， ，， 在中，由勾股定理得，； （2）解：如图，设是垂直于轴的弦， 分别过点、作轴与轴交点，， 此时若点在上，可无限接近于， 则当最大时，与相切， 当点无限接近于时，的最大值超过， 点越靠近时，相切状态的的值会越大， 当点落在点时，， 此时越大时，的值越小， ， 如图，延长交轴于点， 此时， ， 在中，， ， ， 当越大时，点到轴距离越大， 当时，，此时， 点的轨迹即满足， 如图，作以点为圆心，为半径的， 当过点，时，； 过点，时，， 当与半径为的相切时，， 的取值范围是或． 45．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）略 （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 46．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴______， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴______②，得， 即______． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，则的最大值为______； 【灵活运用】 （4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______． 【答案】（1）；；； （2）； （3）8； （4）2 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接和，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）连接、，构造，即得到，再根据三边关系解题即可； （4）先证明，求得，再证明，可求出、，再由（1）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）连接和， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）把绕着点顺时针旋转到的位置，连接、， 则，， ∴为等边三角形． ∵且， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵，，， ， ∴的最大值为8， 故答案为：8； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ，即， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 47．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在学习完《圆》这一章后，小明对圆进行了折叠研究，以下是小明的探究笔记． 探究一：如图1，已知是的直径，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，连接． (1)小明发现，此时为等腰三角形，并给出了如下证明过程． 证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴…… 请你帮助小明完善证明过程； (2)如图2，若，点是靠近点的直径的三等分点，求的长； (3)探究二：小明同学在翻折过程中联想到直线与圆的位置关系，如图，是的直径，弦，点在上方的半圆上，把沿着弦折叠，使得折叠后的与相切，尺规作图作出折叠后的．（保留作图痕迹） (4)探究三：如图4，已知是的直径；，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，若是翻折后的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】(1)证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴． 又， ∴， 即为等腰三角形． (2)． (3) (4)的最小值为（或）． 【分析】（1）将“折叠”视为关于弦所在直线的轴对称：作点关于的对称点，由对称得、，结合折叠知，再由同圆等圆周角对等弧得，从而，证出为等腰三角形； （2）由（1）得，故为等腰三角形，过作则为的中点；又为直径知，利用直角与其斜边上的高相似，由求得，进而由勾股定理得； （3）把“折叠后的弧与相切”转化为“对称圆与相切”；因折痕过已知点，其对称轴使圆心的对称点满足，故在以为圆心、为半径的圆上，又到的距离为，据此先定再作的中垂线得到折痕； （4）设折叠后圆弧所在对称圆为，因直线过点，故，点在以为圆心、为半径的圆上；又点为折叠后弧的中点，因弦在直径上，故且；作为关于的对称点，由对称得、，故四边形为菱形，从而，而，故是过且垂直的直线上距为的定点，且，即恒在以为圆心、为半径的圆上，利用“圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减半径”求得的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，故为等腰三角形，底边为． 过点作于点． ∵，， ∴为的中点，． ∵点是靠近点的直径的三等分点，， ∴，． ∵是的直径，点在上， ∴（直径所对的圆周角是直角），即为直角三角形． 在与中，为公共角， ∴， ∴，即． 由勾股定理得 ． （3）解：图略 设的半径为． 理由：将弦沿自身所在直线折叠后，弧落在与关于直线对称的圆上；要使折叠后的弧与相切，只需与相切．因为折痕经过已知点，对称变换保持不动，且，所以点在以为圆心、为半径的圆上；又与相切且半径为，故点到的距离等于，即在平行于、与相距且位于与圆心同侧的直线上． 作法： ①连接并延长作直径，作射线，在上截取，过点作平行于的直线； ②以为圆心、为半径作圆，交直线于点； ③以为圆心、为半径作圆，交于点，连接. 由知点在的垂直平分线上，该线过点且与交于另一点，则弦即为所求折痕． （4）解：设折叠后圆弧所在的圆为，即关于直线的对称圆，其圆心为点关于直线的对称点． ∵直线经过点，对称变换保持点不动，且， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上． 由题意，点是折叠后弧的中点．因为点、都在直径上，所以弦落在直线上；一段弧的中点必在过圆心且垂直于这条弦的直线上，故且． 作点，使为点关于直线的对称点．因为点、都在对称轴上，所以，． ∴． ∴四边形是菱形，． ∵， ∴． 又，故点是过点且垂直于的直线上、与点相距的定点，与点的位置无关． ∴对点的任意位置，都有，即点始终在以为圆心、为半径的圆上． 在直角中，，，， ∴． 点到圆上点的距离的最小值为（圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减去半径，当点在线段上时取得）． 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查圆的折叠（轴对称）、圆周角定理、直角三角形的相似与勾股定理、尺规作图以及动点最值；解题关键是把“折叠”转化为“关于弦所在直线的轴对称”，由对称与等圆周角证得从而为等腰三角形，并由此得到（2）中到的垂足恰好是的中点，结合直角与的相似求出；第（3）问将“折叠后的弧与相切”转化为“对称圆与相切”，从而由与到的距离为两步定位对称圆心来作图；第（4）问抓住对称圆心始终在以为圆心、为半径的圆上，又由弦在上得、，作关于的对称点，由四边形为菱形证得是过垂直的定点、，故恒在以为圆心、为半径的圆上，利用“圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减半径”求得的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 常考题型·精准突破 考点一 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 题型一 圆中最值问题 题型二 圆中翻折问题 题型三 圆中新定义问题 题型四 不规则图形面积计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 ◆题型一 圆中最值问题 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）【模型探究】如图①，在中，，，为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ， 证明过程缺失 ． 【模型应用】如图②，在中，的半径为2，点为圆上一动点，求最小值． 小明按照上述结论去构造相似三角形，得到一条长度等于的线段，下面是他的具体操作步骤． 第一步：连接圆心与动点； 第二步；以半径为公共边，构造“反”型相似； 第三步：由可得，即．进而在上找到点的位置； 第四步：可得：，因此当、、三点共线时最小． (1)请你补全证明过程． (2)请你根据小明的步骤，利用无刻度的直尺和圆规找出点的位置，并计算出的最小值是______． 3．（25-26九年级下·四川宜宾·期中）如图，是等腰直角三角形，点D，分别在边上运动，连接交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是(     ) A．①③ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 4．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 6．（2026·浙江·模拟预测）如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 7．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）正方形中，边长为6，E、F分别在和边上，且，于，则的最小值为_______． 8．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． ◆题型二 圆中翻折问题 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点N，若，则的半径是_______． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，C是半圆上一点，为的直径，将弓形沿翻折交于点D，若，则______． 11．（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则________．    13．（2026·四川成都·二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为______． 14．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径为，翻折劣弧使其与直径交于点，如果，那么折痕的长为______． 15．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 16．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． ◆题型三 圆中新定义问题 17．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 18．（2026·山西运城·二模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： (1)尺规作图：在图1中，作的外接圆． (2)填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 19．（24-25九年级上·北京平谷·期末）我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离．       (1)平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； (2)平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 20．（2026·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 21．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 23．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于的点叫作“单位圆点”． (1)下列函数图象上存在“单位圆点”的是_____（填序号） ①；②；③；④；⑤ (2)若函数的图象上存在两个“单位圆点”，则的取值范围为_____； (3)已知点的坐标为，，是不同的“单位圆点”，且最大，则为_____°； (4)已知点，，，是不同的“单位圆点”，以直线上一点为顶点的最大为，请直接写出的值． 24．（26-27九年级上·北京·阶段检测）定义：如图1所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”． 问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在射线上． (1)在点，，中，可以成为线段的“三足点”的是； (2)若第一象限内存在一点Q既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转后停止，设点K出发后转过的角度为(0°<α°)，若线段与不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是． ◆题型四 不规则图形面积计算 25．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 26．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【项目主题】制作圆锥． 【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶． 【项目实施】 步骤1：确定圆形卡纸的圆心； 步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），； 步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【项目探索】 (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）． (2)求剪下的扇形的面积． (3)求圆锥的高． 27．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 28．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 29．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，的顶点都在上，为的直径，点M在上，点N在上，为等边三角形，延长，交于点P，连接． (1)求的度数． (2)当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若，Q为的高上的一点，且，直接写出的面积． 30．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 31．（2025·湖北孝感·二模）如图，已知为的直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 32．（2025·贵州贵阳·二模）等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点，，，，，将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． (1)________°； (2)在（1）的结论下，求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 综合攻坚·知能拔高 33．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 34．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 35．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（     ） A． B． C． D． 36．（2026·湖北武汉·三模）如图，是的直径，，点C，D是圆上的点，满足，且，点P为上的一个动点，当取得最小值时，的值是（     ） A．3 B． C． D． 37．（2026·广东清远·二模）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 39．（2024·广东清远·二模）如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积______． 40．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 41．（2026·广西柳州·二模）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 42．（25-26九年级下·北京东城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”． ①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 _____； ②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 _____． 43．（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 44．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点C为上一点，则称是弦关于的“关联角”． (1)， ①，，中，点________是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则________； (2)直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 45．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 46．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴______， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴______②，得， 即______． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，则的最大值为______； 【灵活运用】 （4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______． 47．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在学习完《圆》这一章后，小明对圆进行了折叠研究，以下是小明的探究笔记． 探究一：如图1，已知是的直径，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，连接． (1)小明发现，此时为等腰三角形，并给出了如下证明过程． 证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴…… 请你帮助小明完善证明过程； (2)如图2，若，点是靠近点的直径的三等分点，求的长； (3)探究二：小明同学在翻折过程中联想到直线与圆的位置关系，如图，是的直径，弦，点在上方的半圆上，把沿着弦折叠，使得折叠后的与相切，尺规作图作出折叠后的．（保留作图痕迹） (4)探究三：如图4，已知是的直径；，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，若是翻折后的中点，连接，则的最小值为__________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $