专题06 弧长、扇形面积与圆锥侧面积12大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册
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内容正文：
专题06 弧长、扇形面积与圆锥侧面积12大题型
常考题型·精准突破
考点一 弧长
题型一、求弧长
题型二、求扇形半径
题型三、求圆心角
题型四、求某点的弧形运动路径长度
考点二 扇形面积
题型五、求扇形面积
题型六、求图形旋转后扫过的面积
题型七、求弓形面积
题型八、求其他不规则图形的面积
考点三 圆锥侧面积
题型九、求圆锥侧面积
题型十、求圆锥底面半径
题型十一、圆锥的实际问题
题型十二、圆锥侧面上最短路径问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 弧长
◆题型一、求弧长
1．（2026·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，，
，
，
，
，
劣弧BC的长为，
故选：A．
2．（2026·河南周口·模拟预测）马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，，
为等边三角形，
，
∵点A为的中点，点D为的中点，
∴，
（），
（），
该马面裙裙面的周长为，
故答案为：．
3．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
证明：如图：连接
∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
(2)．
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
◆题型二、求扇形半径
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________．
【答案】 6 /度
【分析】已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可．
【详解】解：设扇形的半径为，圆心角度数为，
∵扇形弧长，面积，扇形面积公式为，
∴代入得，
解得：，
∵扇形弧长公式为，
∴将，代入公式得，
两边约去后整理得：，
因此扇形半径为，圆心角度数为．
5．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意得，
化简得，
解得，
，
．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）．
【答案】8.5
【分析】已知弧长和弧所对圆心角度数，利用弧长公式计算半径即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米．
◆题型三、求圆心角
7．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数．
【详解】解：设圆心角为，根据题意，得
，
∴．
即这条弧所对的圆心角为．
8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为．
(1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数）
(2)已知的长为，求的度数．（结果精确到）
【答案】(1)的长为及扇形的面积为
(2)
【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论；
（2）根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，的半径为，
∴，
答：的长为及扇形的面积为；
（2）解：∵的长为，的半径为，
∴，
∴，
答：的度数约为．
9．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
【答案】/45度
【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：如图，连接，，
设，
∵的长为，
∴，
∴，
∴，
∴．
◆题型四、求某点的弧形运动路径长度
10．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的；
(2)求出点到旋转经过的路径长（结果保留）．
【答案】(1)如图所示：
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，确定点、绕点顺时针方向旋转后的对应点、，连接各点即可得到；
（2）先算出的长度作为旋转半径，再代入弧长公式求出点运动的圆弧路径长．
【详解】（1）略
（2）解：已知，，
则，
因为点到点旋转经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角为的弧
所以点到旋转经过的路径长．
11．（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)以坐标原点为对称中心，画出与成中心对称的；
(2)画出以为旋转中心，顺时针旋转后的；
(3)求到经过的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用原点中心对称点横纵坐标互为相反数的规律，由求出，再求出的对称点，描点连线画出．
（2）以为旋转中心，算出相对的坐标，按顺时针旋转 90 度的坐标变换规则算出，再求出，描点连线画出．
（3）点旋转到的轨迹是圆心角 、半径的圆弧，代入弧长公式计算，得到路径长为．
【详解】（1）略．
（2）略．
（3）解：旋转到的路径是圆心为、圆心角的圆弧．
∴
弧长公式
∴ 点 到 经过的路径长为 ．
12．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，，，
∴，；
∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为．
考点二 扇形面积
◆题型五、求扇形面积
13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知扇形的圆心角为，扇形弧长为，则扇形面积为_____．
【答案】
【分析】已知扇形的圆心角度数与弧长，先通过弧长公式求出扇形半径，再代入扇形面积公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为
∵ 已知扇形圆心角为，弧长为
∴ 由弧长公式，将，代入，得
等式两边同时除以，化简得
解得
∵ 扇形面积公式为
∴ 将，代入公式，得
．
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：
．
15．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】解：，
，
设阴影部分面积为，扇形的面积为，则，
，
，
．
◆题型六、求图形旋转后扫过的面积
16．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
【答案】
【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可．
【详解】解：大圆半径为，小圆半径为，
圆环区域的外半径为，内半径为，
圆环的面积的四分之一为，
小圆的面积为，
故小圆盘运动过程中扫过的面积为．
17．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________．
【答案】
【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
由旋转的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴线段扫过的图形的面积为．
18．（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴
．
◆题型七、求弓形面积
19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理解答即可；
（2）直接利用弧长公式计算即可；
（3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可.
【详解】（1）解：，
．
（2）解：∵的半径为3，，
∴的长为.
（3）解：∵的半径为3，，
．
又，
．
20．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数；
（2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵是的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
即阴影部分的面积为．
21．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
(1)求劣弧的长．
(2)求阴影部分弓形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解；
（）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解．
【详解】（1）解：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴劣弧的长；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，，
∴．
◆题型八、求其他不规则图形的面积
22．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________．
【答案】/
【分析】连接，取的中点O，连接，根据为直径可知，在等腰直角三角形中，，，根据三线合一得到，得出，再由，得到，因此阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，
∵在中，，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴点D是的中点，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴
即．
∴
．
23．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积．
【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为，
切线平行于大圆直径且与小圆相切，
大圆圆心到切线的距离等于小圆半径，
设的中点为，连接，，
则，，，
∵点是的中点，点为圆心，
由垂径定理的推论可得：，
在中，由勾股定理得：，
，
剩余部分的面积为
．
24．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵在中，，
∴是的中线，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
考点三 圆锥侧面积
◆题型九、求圆锥侧面积
25．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求：
(1)该圆形盖子的半径为多少厘米？
(2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？
【答案】(1)该圆形盖子的半径为20厘米．
(2)制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米．
【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解；
（2）用侧面积加上底面积即可．
【详解】（1）解：圆锥的底面周长是（厘米）．
设圆锥底面圆的半径是r厘米，则，
解得．
答：该圆形盖子的半径为20厘米．
（2）解：（平方厘米）
答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米．
26．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解；
（2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，劣的长，
劣的长，
∴花边的长度为；
（2）解：由题意得，，
，
∴
．
27．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π)
【答案】
【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为，
底面周长为，
扇形弧长公式为，
化简得，
解得，
∴扇形卡纸的圆心角的度数为，
∴面积为：．
◆题型十、求圆锥底面半径
28．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________．
【答案】
【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
由题意可得为的直径，，，
∴，即扇形的对应半径为，
∴弧的长为，
设圆锥的底面圆半径为，则，
∴，
∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是．
29．（2026·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．
【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
∴接下来的扇形半径为，
对应的弧长，
设圆锥底面半径为r，则．
．
30．（2026·安徽合肥·二模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径是________．
【答案】/
【分析】先根据正多边形的内角公式计算出，进而计算出的长为，因此圆锥的底面圆的半径为．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴的长为，
，
解得，
∴圆锥的底面圆的半径为．
◆题型十一、圆锥的实际问题
31．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯．
【答案】30
【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解．
【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，
∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为，
∵，
∴共能倒满30杯．
32．（26-27九年级上·全国·课后作业）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可．
【详解】解：
∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为，
∴底面半径，
∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为，
∴根据勾股定理有，
∴，
∴圆锥的侧面积为：
∴该斗笠锅盖的表面积大约为．
33．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设的长为，
四边形为正方形，
则，，
，
，
扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
，
解得，
故选：C．
◆题型十二、圆锥侧面上最短路径问题
34．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
【答案】
/3厘米
【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，，
∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ，
将，，代入扇形面积公式，
可得，，
解得，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为．
35．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
【详解】连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
36．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)相等；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据求解即可；
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
则：，即：．
（3）解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，
∴，
∵，C是中点，
∴，
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为．
综合攻坚·知能拔高
1．（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由直径所对圆周角为直角得，结合角平分线算出圆周角为，再利用圆周角定理得到圆心角、均为，求出圆半径，分别计算直角三角形与扇形的面积，二者相加即为阴影面积．
【详解】解析 ∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
如图，连接，
由圆周角定理可知，
，
∵，
∴，
，
∴．
2．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
则的度数为．
3．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的计算：弧长 ， （为正整数）为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质．
由题意得到B点经过的路径有两段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另一段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：点经过的路径如图，
因为正方形的边长为，
∴，
所以B点所经过的路径长．
故选：C．
4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，勒洛三角形的三条边长相等，为圆心角为60度，半径为6的弧长，根据弧长公式求出弧长即可．
【详解】解：由题意，勒洛三角形的边长为，
故勒洛三角形的周长为．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）千米
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式，能根据纬度求出和两点对应的圆心角的度数是解题的关键．
由位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，得出它们的圆心角是，再根据弧长公式计算劣弧的长度即可．
【详解】解：∵位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，
∴，
∴点和点之间的劣弧长为：．
故选：．
6．（2026·北京平谷·一模）如图，内接于，，若，则的长为___．
【答案】π
【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据勾股定理求出圆的半径，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
设的半径为，则 ，
解得（舍负），
的长为 ．
7．（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：过点P作于点E，如图：
由题意得，，
∴
，
∴
．
8．（24-25九年级上·云南德宏·期末）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
【答案】
【分析】已知圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径，高，
母线长，
圆锥模型的侧面积为．
9．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第一段圆弧)；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第二段圆弧)；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第三段圆弧)；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是______________．
【答案】
【分析】每段圆弧的圆心都换到三角形的下一个顶点，圆心角都是，半径每段多一个边长；逐个半径求出后用弧长公式相加．
【详解】解：∵是边长为的等边三角形，
∴．
∵第一段圆弧以为圆心、为半径，从画到延长线上的，而，
∴第一段圆弧的半径为，圆心角为．
∵，
∴，即第二段圆弧的半径为．
∵每段圆弧的终点都落在三角形另一边的延长线上，新的半径比上一段多一个边长，
∴六段圆弧的半径依次为，且圆心角都是．
∴每段圆弧的弧长为．
∴“蚊香”的总长度．
∴当“蚊香”恰好有六段圆弧时，它的总长度是．
10．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
【答案】
【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解: 如图，连接，
∵是的切线，为切点，
则，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
与同底等高，
，
，
半径，圆心角，
扇形面积．
11．（吉林省吉林市亚桥桃源路中学校等校2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学试卷）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得，
(1)求该拱门所在圆的半径；
(2)________．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据垂径定理求出，设该拱门所在圆的半径为，在中，利用勾股定理列方程解答；
（2）利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知，
，
设该拱门所在圆的半径为，则，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
即该拱门所在圆的半径为；
（2）解：，
．
12．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数；
（2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果．
【详解】（1）解：为的直径，
，
．
，，
，
．
（2）解：为的直径且，
．
是的角平分线且，
．
，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
阴影部分面积为圆面积减去，即，
即阴影部分面积为．
13．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，．
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据锐角三角函数可求出的长．即可求解；
（2）根据垂径定理可得，然后根据阴影部分的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的弦，，，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可解答；
（2）设阴影部分所在的圆心为O，连接，根据阴影部分周长，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分周长．
15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）问题情境：
“康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．）
(1)任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．
测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入）
①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是．
测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径；
(2)任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）．
【答案】(1)②；此时杯口的直径为
(2)
【分析】（1）测量方法一：根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可；
测量方法二：设点为圆心，连接交于点，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，在中，，列出方程即可求解．
（2）根据纸杯侧面是大扇形减去小扇形的扇环求解即可；
【详解】（1）解：测量方法一：∵纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，
∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径），
即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径．
测量方法二：如图，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵为的切线，
，
又∵，
，
∴，
设的半径为，则，
在中，，
，
解得，
所以杯口的直径为．
（2）解：杯口周长为大扇形的弧长：，
杯底周长为小扇形的弧长：，
设小扇形的半径为，圆心角为，
根据弧长公式得： ，
两式相减得，解得，代入得，
∴．
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专题06 弧长、扇形面积与圆锥侧面积12大题型
常考题型·精准突破
考点一 弧长
题型一、求弧长
题型二、求扇形半径
题型三、求圆心角
题型四、求某点的弧形运动路径长度
考点二 扇形面积
题型五、求扇形面积
题型六、求图形旋转后扫过的面积
题型七、求弓形面积
题型八、求其他不规则图形的面积
考点三 圆锥侧面积
题型九、求圆锥侧面积
题型十、求圆锥底面半径
题型十一、圆锥的实际问题
题型十二、圆锥侧面上最短路径问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 弧长
◆题型一、求弧长
1．（2026·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南周口·模拟预测）马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为________．
3．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
◆题型二、求扇形半径
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________．
5．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）．
◆题型三、求圆心角
7．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为．
(1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数）
(2)已知的长为，求的度数．（结果精确到）
9．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
◆题型四、求某点的弧形运动路径长度
10．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的；
(2)求出点到旋转经过的路径长（结果保留）．
11．（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)以坐标原点为对称中心，画出与成中心对称的；
(2)画出以为旋转中心，顺时针旋转后的；
(3)求到经过的路径长．
12．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
考点二 扇形面积
◆题型五、求扇形面积
13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知扇形的圆心角为，扇形弧长为，则扇形面积为_____．
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
15．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
◆题型六、求图形旋转后扫过的面积
16．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
17．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________．
18．（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．9
◆题型七、求弓形面积
19．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)求阴影部分的面积．
20．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
21．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
(1)求劣弧的长．
(2)求阴影部分弓形的面积．
◆题型八、求其他不规则图形的面积
22．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________．
23．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
24．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点三 圆锥侧面积
◆题型九、求圆锥侧面积
25．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求：
(1)该圆形盖子的半径为多少厘米？
(2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？
26．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留）
27．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π)
◆题型十、求圆锥底面半径
28．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________．
29．（2026·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
30．（2026·安徽合肥·二模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径是________．
◆题型十一、圆锥的实际问题
31．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯．
32．（26-27九年级上·全国·课后作业）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
◆题型十二、圆锥侧面上最短路径问题
34．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
35．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
36．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
综合攻坚·知能拔高
1．（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）千米
A． B． C． D．
6．（2026·北京平谷·一模）如图，内接于，，若，则的长为___．
7．（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·云南德宏·期末）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
9．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第一段圆弧)；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第二段圆弧)；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点(第三段圆弧)；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是______________．
10．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
11．（吉林省吉林市亚桥桃源路中学校等校2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学试卷）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得，
(1)求该拱门所在圆的半径；
(2)________．
12．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
13．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，．
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分周长．
15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）问题情境：
“康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．）
(1)任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．
测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入）
①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是．
测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径；
(2)任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）．
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