第2章 圆（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材湘教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A A D A C B A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.10 5V5 12.2 13.48°/48度 14.36 3√32π 15.23 16.(2,32)威2,2 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)证明：连接0C, .CD为⊙O的切线， .∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°， AB为直径， 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=90°」 .∠CAB+∠CBA=90°， ..OB=OC, .∠OCB=∠OBC, ∴，∠BCD=∠CAB. ,∠BOD=∠BCD, ∴.∠CAB=∠BOD. AC∥0D.--3分 15 (24 解：'∠ACB=90°，AB=10, sin∠CAB=BC-3 AB5· 1 六BC=6, OC=。AB=5 2 :AC∥OD,AC⊥BC, 六OD1BC,CE=)BC=3, 2 在RtAC0E中，0B=V0C2-CE=4 .'∠OCD=∠OEC=90°，∠COE=∠DOC, ∴△OCD∽△OEC, OC CD 5 CD ·0EEC,即43， .CD=15 4· --6分 18.(1)证明：，AB=DE, .4B=DE :丽-m-死-D,即而=脏 .OD⊥AB于点C, .4D=BD 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD-BE “点B是DE 的中点.-3分 (②)0F=v3 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，连接OA、OF, E F D :OD⊥AB于点C,AB=8, CBC 0A=5, :0C=V0MP-AC=V5-4=3 ∴.CD=0D-0C=0A-0C=5-3=2, .∠D=45° ∴△DCF是等腰直角三角形，CF=CD=2, 0F=0C2+F=F+2=店.6分 19.(1) 4分 224* (2,0) 225.90 【详解】(1)略 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图所示，连接AD,CD,AC, 由(1)和题意得 A(0,4),C(6,2),D(2,0) :.4D=0-2}+(4-0=25,CD=6-2y}+(2-0y=25】 AC=V(0-6}+(4-2)2=210 : 的￥径为25】 AD2+CD2=(25°+25=20+20=40,4C2=(21可}=40. .AD2+CD2=AC2, △ADC是直角三角形，即∠ADC=90°.一8分 20.(1)证明：由题意可得：OA=OB=10, .∠A=∠B, 由旋转的性质可知，∠B=∠D, ∠A=∠D 由旋转的性质可知，∠AOB=LCOD,OB=OD, .∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,即∠AOG=∠DOE, ..OA=OB. ..OA=OD 在△AOG与△DOE中， [∠A=∠D OA=OD ∠AOG=∠DOE1 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AOG≌ADOE(ASA) -4分 40 (2②a=60,优弧4B的长为3元 【详解】(1)略 (2)解：当AD为直径时，OB⊥CD, OC=OD .∠DOE=∠COE, .△AOG≌△DOE, .∠AOG=∠DOE, .∠DOE=∠COE=∠AOG ,AD为直径， ∴∠D0E=∠C0E=∠40G=180 =60° ∴.a=60°， ∴.∠A0B=120°， (360-120)π.0A40 180 3九， 40 即优弧4B的长度为3π. ---8分 21.(1)证明：如图，连接BC, D 图1 ,∠ADC与∠ABC是同弧AC所对的圆周角， .∠ADC=∠ABC :∠BAC+∠ADC=90° .∠BAC+∠ABC=90°， .∠ACB=90° 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB为O0的直径3分 (②)证明：如图，延长DB至点F,使BF=AD,连接CF、BC, C F B 图2 .∠ADC=45°，∠BAC+∠ADC=90°， .∠BAC=45°， .∠ABC=∠ADC=45°， .∠BAC=∠ABC=45°， ∴.AC=BC. .∠CAD+∠CBD=180°，LCBF+∠CBD=180°， ∴.∠CAD=∠CBF」 又：AC=BC,AD=BF, .ACAD≌ACBF(SAS) .CD=CF,∠F=∠ADC=45° .∠BDC=∠BAC=45°， .∠DCF=180°-∠F-∠BDC=90°」 在Rt△DCF中，DF2=CD2+CF2, .DF2 =CD2+CD2 =2CD2, .DF=2CD DF BF+BD=AD+BD. :AD+BD=2CD6分 √2 6)o0的半径为2 【详解】(1)略 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：由(1)知AB为⊙0的直径，故∠ACB=90°： 由(2)知∠ADC=45°，而∠ABC与∠ADC同弧AC, .∠ABC=∠ADC=45°，∠BAC=45°，△ABC为等腰直角三角形， AC=BC=2R 过点E作EH⊥AB于点H.(如图) 设OH=d,则AH=R-d,BH=R+d, 在直角△AEH、直角△BEH、直角△OEH中，由勾股定理： AE2=AH2+EH2=(R-d)+EH2 BE2=BH2+EH2=(R+d)+EH2 OE2=OH2+EH2=d2+EH2 由4E=206得4E=20E2 即(R-d+EH=2(dP+EH) 整理得R2-2Rd=d2+EH2=OE2」 代入BE:BE=(R+d+EH=R2+2Rd+(d+EH)=R2+2Rd+OE 将OE2=R2-2Rd 代入得BE=R+2Rd+(R2-2Rd)=2R BE=R 又由(2)知 BC=2R .BE=BC,△BCE为等腰三角形. 设∠CAE=∠ABE=a. 7/19 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-a, 在△ABE中， ∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-a-(45°-a)=135° 过B作BP⊥AE,交直线AE于P. 在直角△BEP中，∠BEP=180°-135°=45°， ..BE 为等腰直角三角形，BP=EP,BBE=V2BP ,且 即得-R 在直角△ABP中，AB=2R,BP=R, :sin∠BAP=BP1 AB2· .∠BAP=30° 因P在直线AE上，∠BAE=∠BAP=30°， .∠CAE=∠BAC-∠BAE=45°-30°=15°， 而∠CAE=∠ABE. .∠ABE=15° .∠EBC=∠ABC-∠ABE=45°-15°=30° 过E作BM1BC于点M.在直角△BEM中， ∠EBM=∠EBC=30°ANBE=√2R ，斜边 R 故BM=E= 2 2 2 化简得Sx=R 2 由已知Ss=4,得2R=4,R2-8,放R=22(半径取正值). 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 309 B ○ -10分 D 22.(1)证明：AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD :DE是⊙O的直径， .∠DAE=90°， .∠CAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠MAE=90°， ∴.∠CAE=∠MAE: -3分 (②)证明：如下图所示，连接OA, M .OA=OD .·.∠ODA=∠OAD :∠ODA=∠B+∠BAD,∠OAD=∠OAC+∠CAD,∠BAD=∠CAD, ∠B=∠OAC, :∠AOC=∠BOA. .AOC△BOA, .OA OC 0BOA,即0A=0B0C, .OE=OA」 ∴.OE2=OB.OC 6分 (3)tan∠AED= 【详解】(1)略 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：BM与⊙0相切于点A, M E D .∠BAO=90° .AAOCABOA. :∠0CA=∠0AB=90°， CD:OC=2:3, 设CD=2x,OC=3x, BD=5. ..OA=OD=OC+CD=5x.OB=OD+BD=5x+5, .OA2=OB.OC ∴.(5x2=(5+5x)3x 解得：X=0(不符合题意，舍去)，七， .CD=3,0C=4.5」 ..OE=OA=5x=7.5,CE=OC+OE=12. 在Rt△AC0中，AC=VOAP-0C=6 tan∠AED=AC=6_1 CE122·-10分 23.(1)解：.MA=MC, .∠MAC=∠MCA, ,CA平分∠OCP, .∠OCA=∠PCA, AB⊥CD,PA⊥I, .∠AOC=∠APC=90° 10119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OCA+∠OAC=∠PCA+∠PAC=90°， .∠OAC=∠PAC, .∠MCA=LPAC. .PA∥CM, 又：AP⊥1， .MC⊥l, .MC是⊙M的半径， .直线I与⊙M相切.----3分 (2)证明：①连接AD, A DI ,四边形ADCE是OM的内接四边形， .∠ADC+∠AEC=180° :∠AEP+∠AEC=180°， ∴.∠ADC=∠AEP, ,AB是⊙M的直径，且AB⊥CD, ∴，AB垂直平分CD, .AC=AD .∠ACD=∠ADC, .∠AEP=∠ACD 由圆周角定理推论得：∠ACD=∠AED .∠AEP=∠AED.-6分 ②如图，过点A作AF⊥DE于点F,连接AD, 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA A D .∠AFD=∠APC=90°， 由圆周角定理推论得：∠ADF=∠ACP, 在△ADF和△ACP中， 「∠AFD=∠APC ∠ADF=∠ACP AD=AC △ADF≌AACP(AAS) .'DF =CP,AF AP, 在RtAAEF和Rt△AEP中， AE=AE AF=AP, RtAAEFS≌Rt△AEP(HL) .'EF =EP, ED=EF+DF=EP+CP=EP+(EP+EC)=2EP+EC 即2EP+EC=ED.--9分 (3)①∠AEP=∠AED仍成立；②2EP-EC=ED 【详解】(1)略. (2)略 (3)解：①∠AEP=∠AED仍成立：②2EP-EC-ED 如图，过点A作AW⊥DE于点N,连接AD, 12119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /BN A ,AB是⊙M的直径，且AB⊥CD, ∴，AB垂直平分CD ∴.AC=AD .C-D ∴.∠AEP=∠AED. :AP⊥I,AN⊥DE, .∠AWE=∠APE=90°， 在△ANE和△APE中， [∠ANE=∠APE ∠AEN=∠AEP AE=AE △ANE≌△APE(AAS) .EN EP,AN=AP, 在Rt△ADN和RtAACP中， AD=AC AN=AP, RtA ADNS≌RtAACP(HL) ∴.DN=CP, ED=EN+DN=EP+CP=EP+(EP-EC)=2EP-EC 即2EP-EC=ED.-12分 24.(1)9 (2)10 13119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6)10v2 (4)(I) 62 12 B D 25 【详解】(1)解：要覆盖线段AB,最小的圆就是以AB本身为直径的圆， 若直径小于9，线段的两个端点就无法同时落在圆内圆上， :线段AB的最小覆盖圆直径等于AB的长度9.-—2分 (2)解：根据题中提示的规律：钝角三角形的最长边所对的角是钝角， 以最长边AB为直径作圆时，钝角顶点C会落在圆内部， 此时这个圆就能完全覆盖整个钝角三角形，且不存在直径更小的覆盖圆. 钝角△ABC的最长边AB=I0, 最小覆盖圆直径是10.-——4分 (3)解：在△ABD中，∠DAB=38°+46°=84°，∠ABD=36°， ∴∠ADB=180°-84°-36°=60°， 在△ABC中，∠BAC=46°，∠ABC=36°+53°=89°， .∠ACB=180°-46°-89°=45°， 过点B作BE⊥AB,使BE=AB=10,连接AE,设AE的中点为O,连接OB,OD,则∠ABE=90°， :.∠AEB=∠BAE=45°.AE=VAB2+BE=10N2 ..AABE 的外接圆的直径为 0V2 .∠ACB=∠AEB=45° .点C在△ABE的外接圆上. 14119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAE=∠BAC-∠BAE=1°， .∠OAD=∠CAE+∠CAD=39° :∠ODA=∠ADB+∠ODB=60°+∠ODB」 .∠OAD<∠ODA, ..OD<OA, ∴.点D在△ABE的外接圆内， ABCD」 0W2 ,过点A,B且能覆盖四边形 的最小圆的直径是 D -7分 (4)解：(I)裁剪方案： EM的长为半径画弧交DE于点9 0 以点E为圆心， 0 OE 0.0D 以为圆心， 的长为半径画半圆交于点J, 过点M作MP∥AB,交DG于点P, 作∠GPM和MMP 02 的平分线，交于点， 过0作0I1DG 于点， 以O为圆心. 021 ⊙02 的长为半径画 作MB的垂直平分线交 C于点0,， AB,AC 03 03A 03 以为圆心， AC 的长为半径画半圆’交心于点K, 04 连接K,作K的垂直平分线，在其上取点 15119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 021 ⊙04 以4为圆心， 的长为半径画 调特点0位置，使△C1K在0内.9分 (Ⅱ)（Ⅱ）裁剪理由： 作CQ⊥AB于Q,则∠AQC=∠B0C=90°， .∠ABC=45°， .△BCQ是等腰三角形， ..BO=CO. B0+CO=BC2,BC=16 .BQ=CQ=16. :4C=8V5 :4g=VAC2-C02=8 .AB=40+BO=24. ,△ABL是等腰直角三角形， .AL2+BL2 AB2, AL=BL=12 CL.=BC-BL-4 ,∠CLK=∠CAB,∠LCK=∠ACB, .△CLKACAB, LK CK CL ·AB CB CA' LK CK 42 10 ∴.241628510， 16119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Lk=12 5 ,CK-165 . .CL<CK<LK 延长DG,MN交于点S,过点G,S作GR⊥DE于R,ST⊥PM于T, 则∠DRG=∠ERG=∠PTS=90°， .∠E=∠F=90°， 四边形EFGR是矩形， .ER=FG=15. DE=25, .DR=DE-ER=10. .EM=FM=12, ∴.GR=EF=EM+FM=24, DG=DR2+GR-26 .FGDE .FGII PM II DE GP_FM-12-1, ·DPEM12 GP-DP-DG-13 FN=9, MN=FM2+FN2=15 .'aSGW∽aSPM. SG SN GN ∴.SP=SMPM, GN=FG-FN=6. SG SN 6 3 ·SG+13SW+152010 0-9sw9 17119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S-=PG+SG-10.w=+Sw=150 7 .ST2 =PS2-PT2=MS2-MT2. （19-Pm-09-(0-m 解得PT=S0 ST=VPS2-PT2 =120 ⊙0， 设2的半径为r, .S.w=S.om+S.om+5.om PwT-Pwr+Psr+s-PM+s+Ms. +7+7 解得=0 7 4080 .⊙0，的直径为2× 77 :LK<80 7, o0:是△CLK 的最小覆盖圆. O,OU⊥PM,OH⊥DG 过点作 ,垂足为U,H, ∠O,UM=∠O,HD=90° 则 .∠PME=180°-∠E=90°， EMUO 四边形 是正方形， 18119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0U=0E ∴.点U在 0上 速接9P 则SmD-aI-0D-BM, OD=DE-0E=13 130H=13×12 0,H=12 点H在 :o0是△4BL 最小覆盖圆 G N 1 12 M -12分 个 N62 13 12 X 89 O 16 D.T R 0 25 19119 第2章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 2．如图，六边形是的内接正六边形，若，则这个正六边形的边长为（    ） A．24 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ，， ∴是等边三角形， ， 即这个正六边形的边长为4． 3．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 4．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 5．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 6．二十四节气是我国上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系．如图①是故宫博物院收藏的紫檀北极恒星图时辰节气钟，表盘内侧为星象图，外侧为一道铜圈，进行24等分，镌刻着二十四节气名．如图②是节气圈的示意图，已知内圈半径为，外圈半径为，则指针从“谷雨”开始到“芒种”结束，扫过的节气圈（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环扇形面积公式为，根据题意找到半径和圆心角代入即可． 【详解】∵24 节气将圆周 24 等分，因此每一等分的圆心角为：， ∴从谷雨到芒种间隔4个节气，圆心角的度数为， 由题意可知内圈半径为，外圈半径为， ∴． 7．1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知和都是等边三角形，进而可知，的长度，根据平移的性质即可求解． 【详解】解：设正六边形中心为点，连接，作于点, , ∵,, 和都是等边三角形， 正六边形的边长为， ,, ∴, ∵与轴垂直， ∴轴， 轴， ， ， ∵, , , ． 8．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 9．如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据圆周角定理得出，根据勾股定理求出，根据圆周角定理推得，，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，，如图： 根据题意可得，， ∵，， ∴， 在中，， 故， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 10．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】可证得和是等边三角形，可推出，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出，进一步得出③正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点A重合，进而得出④正确，从而得出结果． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， 同理可得，是等边三角形， ①∵是等边三角形， ∴， ∴点在上， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ③由②知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ④如图， 过点O作于点C， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点和点重合， ∴， ∴是的切线， 故④正确； 综上所述：①②③④均正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 12．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即， ， 解得 ， ， ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 13．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____． 【答案】 /48度 【分析】根据同圆中相等的弦所对弧相等，且相等的弧所对的圆心角相等，得出，利用角的和差关系推出，再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴弧与弧相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先利用正五边形内接于圆的性质，算出每段等弧的度数为，再依据圆周角定理，得出所对弧的圆周角为． 【详解】解：∵正五边形内接于圆，将整个圆五等分， ∴每段相等的弧的度数为：，即所对的圆心角度数为， ∵是圆周角，所对弧， ∴． 15．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，，，由翻折的性质进一步证明四边形为菱形．由切线的性质得，证明为等边三角形．由等边三角形的性质得出，由菱形的性质进一步得出，由直角三角形两个锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，根据，可得出阴影部分为，据此求解即可. 【详解】解：连接，，，如下图所示． 由翻折，可知，． 又∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∴． ∵是半圆O的切线， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴ ∴, ∴在中，， ∴，. ∵， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点是反比例函数图象上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为，，当弦的长为时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】连接，作，则利用和，求得，作轴交弦于点C，然后设，表示出，再通过勾股定理求解，即可建立方程求解． 【详解】解：连接，作，如图， 则，， 在中，， 作轴交弦于点C，设， 则把代入，可得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，， ∵轴， ∴点， ∴， ∴， 当时， ， 解得或（舍去）, 此时, 当时，， 解得或（舍去）， 此时， 综上所述，点的坐标为或 ． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，是的外接圆，为直径，为的切线，连接交弦于，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，由圆切线的性质可知，由直径所对的圆周角等于90度以及直角三角形两个锐角互余得出，由等边对等角得出，即可得出，结合已知条件可得出，即可得出． （2）由正弦的定义得出，由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 18．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点． (2) 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得出，根据垂径定理得出，进而得出，即可得出点是的中点； （2）根据垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 19．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 20．如图，已知的半径为10，A，B是上两点，将扇形绕点O逆时针旋转得到扇形，交于点G，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当为的直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)证明：由题意可得：， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)，优弧的长为 【分析】（1）由扇形的性质可得，再由等腰三角形的性质可知，再由旋转的性质得，推出；利用证明三角形全等； （2）利用等腰三角形三线合一的性质及圆的基本性质可得，即可求得旋转角的度数，再根据弧长公式求优弧的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：当为直径时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 即优弧的长度为． 21．已知内接于，为的弦，． (1)如图，求证：为的直径； (2)如图，，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，连接、、、，，，的面积为，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵与是同弧所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径 (2)证明：如图，延长至点，使，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ (3)的半径为． 【分析】（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，代换得，即可得，由的圆周角所对的弦是直径即可得证； （2）利用已证，结合圆内接四边形对角互补与构造全等三角形，证得； （3）由（1）（2）得，；过作的垂线，用勾股定理结合，推出；再由与角度关系，推出，由求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知为的直径，故； 由（2）知，而与同弧， ∴，，为等腰直角三角形， ∴． 过点作于点．（如图） 设，则，． 在直角、直角、直角中，由勾股定理： ， ， ． 由得， 即， 整理得． 代入：． 将 代入得， ∴． 又由（2）知， ∴，为等腰三角形． 设． ∴， 在中，． 过作，交直线于． 在直角中，， ∴为等腰直角三角形，，且， ∴． 在直角中，，， ∵， ∴． 因在直线上，， ∴， 而， ∴． ∴． 过作于点．在直角中，，斜边， 故． ∴． 化简得． 由已知，得，，故（半径取正值）． 22．如图，是的直径，点为上一点（不与，重合），点为的延长线上一点，连接并延长至点，且平分． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与相切于点，，，求的值． 【答案】(1)证明： 平分， ， 是的直径， ， ，， ； (2)证明：如下图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ， ，即， ， ； (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，，再根据等角的余角相等可证结论成立； （2）连接，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； （3）根据切线的性质可证，设，，则有，，根据可得关于的方程，解方程可以求出，，，，利用勾股定理即可求出，根据正切的定义即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：与相切于点， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， 解得：（不符合题意，舍去），， ，， ，， 在中，， ． 23．如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． (1)如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； (2)如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． (3)如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． (2)证明：①连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理推论得：， ∴． ②如图，过点作于点，连接， ∴， 由圆周角定理推论得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3)①仍成立；② 【分析】（1）先得出，，则可得，再得出，进而可得，然后得出，由此即可得； （2）①连接，先得出，再得出，由此即可得证； ②过点作于点，连接，分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证； （3）①仍成立；②；证明过程：过点作于点，连接，得出即可得；分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：①仍成立；②． 如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 24．我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)【问题初探】若线段，则线段AB的最小覆盖圆的直径是___________． (2)【问题再探】如图1，在中，，，，则的最小覆盖圆的直径是多少？ 小鹿：能覆盖最长边斜边的最小覆盖圆是以为直径的，恰好点C在上，所以的最小覆盖圆的直径是10． 受小鹿思路启发，小鸣对钝角三角形和锐角三角形最小覆盖圆进行了探究， 如图2，在钝角中，，，，，则的最小覆盖圆的直径是__________；如图3，在锐角中，是最长边，操作发现：以为直径的圆不能覆盖，探究后发现：锐角的最小覆盖圆是它的外接圆． (3)【问题解决】利用上述结论，解决下面问题 如图4，四边形，，连接，，，，，则过点A，B且能覆盖四边形的最小圆的直径是__________． (4)如图  在锐角中，，，，如图6，五边形纸片是由直角梯形剪去直角得到的，，，，，，请利用图6的五边形纸片剪出一个半圆和一个整圆去完全覆盖．（半圆的半径比整圆半径大） （Ⅰ）在图6中画出裁剪方案，标注必要的数据； （Ⅱ）简要说明裁剪的理由． 【答案】(1)9 (2)10 (3) (4)（Ⅰ） （Ⅱ）裁剪理由： 作于Q，则， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点S，过点G，S作于R，于T， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的直径为， ∴， ∴是的最小覆盖圆． 过点作，垂足为U，H， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点U在上． 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴点H在上， ∴是的最小覆盖圆． 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义，覆盖线段的最小圆，直径等于线段长度，直接对应求解． （2）对于钝角三角形，若最长边为，验证以为直径的圆可覆盖所有顶点，所以最小覆盖圆直径为最长边长度；锐角三角形最小覆盖圆是外接圆，结合对应边长即可求解． （3）先根据角度条件判断四边形四个顶点与的位置关系，确定所有顶点都在以为直径的圆内或圆上，因此直径为长度． （4）（Ⅰ）裁剪方案：在上取点，使，以的长为半径画半圆交于点J，过点M作，交于点P，和的平分线交于点，过作于点I，以的长为半径画，作的垂直平分线交于点，L，以的长为半径画半圆交于点K，连接，作的垂直平分线，在其上取点，以为圆心，的长为半径画圆，使在内．（Ⅱ）裁剪理由：根据等腰直角三角形性质，用勾股定理计算，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，判定是的最小覆盖圆．半是的最小覆盖圆． 【详解】（1）解：要覆盖线段，最小的圆就是以本身为直径的圆， 若直径小于9，线段的两个端点就无法同时落在圆内/圆上， ∴线段的最小覆盖圆直径等于的长度9． （2）解：根据题中提示的规律：钝角三角形的最长边所对的角是钝角， 以最长边为直径作圆时，钝角顶点C会落在圆内部， 此时这个圆就能完全覆盖整个钝角三角形，且不存在直径更小的覆盖圆． ∵钝角的最长边， ∴最小覆盖圆直径是10． （3）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 过点B作，使，连接，设的中点为O，连接，则， ∴，， ∴的外接圆的直径为． ∵， ∴点C在的外接圆上． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆内， ∴过点A，B且能覆盖四边形的最小圆的直径是． （4）解：（Ⅰ）裁剪方案： 以点E为圆心，的长为半径画弧交于点， 以为圆心，的长为半径画半圆交于点J， 过点M作，交于点P， 作和的平分线，交于点， 过作于点I， 以为圆心，的长为半径画， 作的垂直平分线交于点，L， 以为圆心，的长为半径画半圆交于点K， 连接，作的垂直平分线，在其上取点， 以为圆心，的长为半径画， 调节点位置，使在内． （Ⅱ）略． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章圆（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.如图，AB是OO的直径，点C在圆上，若∠CAB=35°，则∠ABC的度数为() B A.45° B.55 C.65° D.35 2.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若OA=4,则这个正六边形的边长为() A.24 B.6 C.4 D.35 3.如图所示，在4×4的网格中，A,B,C,D,O均在格点上，则点O是() B D A.△ACD的外心 B.△ACD的内心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 4.如图，MB是o0的直径，D=8C,∠B0C=30°，则∠40D 度数是() 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.60° D.120° 5.如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AD∥B0,∠ABO=60°，AB=8 过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是() A D E 4r-85 64π 64π-8V5 32π-85 A. B.3 C.3 D. 6.二十四节气是我国上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律 所形成的知识体系.如图①是故宫博物院收藏的紫檀北极恒星图时辰节气钟，表盘内侧为星象图，外侧为 一道铜圈，进行24等分，镌刻着二十四节气名.如图②是节气圈的示意图，已知内圈半径0A为13cm,外 圈半径OB为15cm,则指针从“谷雨”开始到“芒种”结束，扫过的节气圈（阴影部分）的面积为() B 图① 图② 75 169 35 28 A.2 xem B. -ncm2 C.cm D. ,ncm2 7.1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面 直角坐标系中，若1B与x轴垂直，顶点A的坐标为2，-3 ,则顶点C的坐标为() 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2-23,3 B.(0,1+23) c.(2-5,3) D.(2-23,2+5) 8.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了 “筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面 上方，且当圆被水面截得的弦AB为12m时，水面下盛水筒的最大深度为2m.(即水面下方部分圆上一点 距离水面的最大距离)则该圆的半径为()· 水面 A.5m B.8m c.10m D.20m 9.如图，以AB为直径作⊙O,点C在⊙O上，D是劣弧BC上一点，AD与BC相交于点E. ∠CAD=45° 16△CDE 的面积为，则 的面积为() D B A.4 B.8 C.12 D.16 I0.如图，点A是⊙0上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB,分别将线段AO、AB绕点A顺 时针旋转60°到AA,AB,连接OA,BB,AB,OB',下列结论正确的有() 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①点在00上：②A01B2△B:@∠B1-0:③当0B=20M时，AB与00相. B B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.如图，四边形ABCD与⊙O分别相切于点E,F,G,H,其中，四边形ABCD的周长为44， AD=12,则BC长度为 E 12.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为10米.小明为了计算圆弧所在圆的半 径，他在左侧水面C处测得桥洞高CD=AC=2.5米，则圆弧所在圆的半径的长度为米. D 8 13.如图，AB.CD是⊙0的弦，且AB=CD,若∠BOD=84°，则∠AC0的度数为 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 14.金砖国家(BRICS)是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国.如图①是金砖 国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度数为 BRICS B D 图① 图② 15.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿BC翻折，点O的对应点O恰好落在 C上，点4的对应点为D,过点C的切线与BD交于点五。若B=4,则图中阴影部分的面积为 D B 16。如图，在平面直角坐标系0，中，已知0为坐标原点，点M是反比例函数y一（x>0)图象上的一个 动点，若以点M为西心，4为竿径的图与直线=相交，交点为P,。当弦P巴的K为5时，点M 的坐标为 1 6 y=x ○ x 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) I7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，CD为⊙O的切线，连接OD交弦于E,∠BOD=∠BCD B (1)求证：AC∥OD (②若in∠CAB=3 ,AB=10,求CD的长. 18.如图，AB是OO的一条弦，OD⊥AB于点C,交O0于点D,点E在⊙0上，AB与DE交于点F. B D (①若MB=DE,求证：点B是DE DP的中点： (2)若OA=5,AB=8,∠D=45°，求OF的长 19.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格 图中进行下列操作（以下结果保留根号）： 4 (I)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为一； (2)连接ADCD,⊙D的半径为一，∠ADC的度数为 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，己知⊙0的半径为l0,A,B是⊙0上两点，将扇形AOB绕点O逆时针旋转α得到扇形COD, AB交OC于点G,CD分别交OB,AB于点E,F. D E G> C (1)求证：△AOG≌△D0E: (2)当AD为⊙O的直径时，OB⊥CD,求x的值及优弧AB的长. 21.已知△ADC内接于⊙0，AB为⊙0的弦，∠BAC+∠ADC=90°， B A B A D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB为O0的直径； ②如图2，∠4DC=45°，求证： AD+BD=2CD (3)如图3，在(2)的条件下，点E在CD上，连接AE、BE、OE、BC,∠CAE=∠ABE,AE=V2OE, △BCE的面积为4，求O0的半径长. 22.如图，DE是⊙O的直径，点A为⊙O上一点（不与D,E重合），点B为ED的延长线上一点，连接 BA并延长至点M,且AD平分∠BAC」 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 4 (I)求证：∠CAE=∠MAE. (2)求证：OE2=OB.0C; (3)若BM与⊙0相切于点A,BD=5,CD:OC=2:3,求an∠AED的值. 23.如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的⊙M交x轴于A、B两点，交y 轴于C、D两点.直线I过点C,AP⊥I,垂足为点P. D B O M B O M A D 图1 图2 图3 (1)如图1，当CA平分∠OCP时，试说明：直线1与⊙M相切： (2)如图2，当直线I与⊙M相交时，且另一个交点E在弧AC上时，连接AE、DE与AC ①求证：∠AEP=∠AED; ②连接ED,证明：2EP+EC=ED, (3)如图3，当直线I与OM相交，且另一个交点E在弧CD上时，连接AE、DE与AC.(2)中的两个结 论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果。 24.我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖 圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆， 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 G 图4 图5 图6 (1)【问题初探】若线段AB=9,，则线段AB的最小覆盖圆的直径是 (②)【问题再探】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC的最小覆盖圆的直径是 多少？ 小鹿：能覆盖最长边斜边AB的最小覆盖圆是以AB为直径的⊙O,恰好点C在⊙O上，所以Rt△ABC的最 小覆盖圆的直径是10： 受小鹿思路启发，小鸣对钝角三角形和锐角三角形最小覆盖圆进行了探究， 如图2，在钝角△ABC中，∠C>90°，AC=5,BC=7,AB=10,则△ABC的最小覆盖圆的直径是 一；如图3，在锐角△ABC中，AB是最长边，操作发现：以AB为直径的圆不能覆盖△ABC,探 究后发现：锐角△ABC的最小覆盖圆是它的外接圆. (3)【问题解决】利用上述结论，解决下面问题 如图4，四边形ABCD,AB=10,连接AC,BD,∠CAD=38°，∠BAC=46°，∠ABD=36°， ∠CBD=53°，则过点A,B且能覆盖四边形ABCD的最小圆的直径是一 ④如图在锐角△1C中，∠1C=45°，4C=85,BC=165,如图6，五边形 DEFGH 纸片是由直角 梯形DEFG剪去直角△FMN得到的，∠E=∠F=90°，DE=25,GF=15,FM-EM=12,NF=9,请利 用图6约元边元D8GH纸行写出一个学回9和-个起侧O0去完全复六1C。(半周的羊径比整圆半径 大) (I)在图6中画出裁剪方案，标注必要的数据； (Ⅱ)简要说明裁剪的理由， 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10