精品解析：甘肃省白银市靖远县部分校联考2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 高三数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正切可求的值. 【详解】, 故选：A． 【点睛】本题考查两角差的正切，此类问题，利用公式直接计算即可，本题属于基础题． 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，求出的取值范围即可比较大小. 【详解】因，，， 故. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案. 【详解】 . 故选：C. 4. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题可转化为，进而可得出答案. 【详解】因为“，”是真命题， 所以， ，所以. 5. 已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出曲线所过定点，即可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】对于，令，即，则， 即曲线（且）过定点，即， 故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故选：C 6. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求出，进而确定函数在上的单调性并比较大小. 【详解】由函数的定义域均为R，且为偶函数，得， 求导得，则，由是R上的减函数， 得当时，，因此函数在上单调递减， 所以. 7. 下列图像中，不可能是的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质判断即可． 【详解】解：为奇函数， 的图像关于原点对称， 当时，如A所示，故A不符合题意； 当时，为“对勾函数”，如D所示，故D不符合题意； 当时，在或上递减，故B符合题意，C不符合． 故选：B． 8. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在每一段递减，且在分段处函数值的大小关系符合单调递减列出不等式求解. 【详解】在上单调递减， 所以 ， 解得 ，即， 所以则a的取值范围为， 故选： . 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0从而列方程验算即可；对于B，由向量平行的充要条件列方程即可；对于C，由数量积大于0且不共线即可说明C正确；对于D，由条件求得，再举反例说明D错误即可. 【详解】若，则，解得，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 当时，，由B知此时与不共线，所以与的夹角为锐角，故C正确； 若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；由根式以及二次函数的性质，结合充分不必要条件可得D正确. 【详解】对于A选项，不等式等价于， 解得或，即不等式解集为，故A错误； 对于B选项，由题意可得，，解得且， 函数的定义域为，故B正确； 对于C选项，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D选项，因为函数的定义域为，则恒成立， 对于一元二次方程，则，解得， 因为是的真子集， 故“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图象关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项求导分析单调性即得，B选项利用对称性的性质，计算得到判断，C选项，注意到，判断两者和的包含关系，D选项利用三次函数有三个零点，极大值极小值异号即可. 【详解】由题知，， 则，在上单调递减， ，在上单调递增， 故是的极小值点，A选项错误； 由对称性的定义，若的图象关于对称，则， 即，即，即，B选项正确； 由A的分析可知，的极大值为， 而在上的最大值为，则， 则，解得， 但令，即， 整理得，即， 由于的区间长度小于区间长度， 若，则，只可能，即， 综上，C选项错误； 三次函数有三个零点，等价于极大值和极小值异号， 由A可知，极大值为，极小值为， 即，解得，D选项正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数，则的极大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，进而即得. 【详解】∵ 函数， ∴， 由得或，由得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴所以当时，函数有极大值，极大值为. 故答案为：. 13. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：先计算周期，则，函数， 又图象过点，则， ∴ 由于，则. 考点：依据图象求函数的解析式； 14. 在中，若，，的内角平分线交边于点，若，，则外接圆的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，从而得，利用三角形面积公式可得，再利用，结合数量积的运算可得，从而可得，利用余弦定理得，最后应用正弦定理即可得外接圆的直径. 【详解】 又，所以， 因为，所以，则 又，所以， 则，整理得：①， 又，所以， 则，整理得②， 联立①②可得：，解得或（舍） 在中，由余弦定理可得，所以， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得 所以外接圆的直径为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对定义域分别是，的函数，，规定：函数 （1）若，，写出的解析式； （2）若，，求的值域； （3）若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明． 【答案】（1）； （2）； （3），取. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用给定定义求出的解析式. （2）求出函数的解析式，再结合基本不等式分段求出值域. （3）写出函数及，再利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦公式计算得证. 【小问1详解】 （1）由条件知，，， 则当，时，， 当，时，， 所以. 【小问2详解】 由条件知，，， 则， 当时，，当且仅当时恨等号； 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 令，取， 证明如下： ，而， 则， 所以，取. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及两角和的正弦公式，利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合三角方程和角的范围即可求解； （2）将不等式恒成立转化为函数的最值问题，根据（1）的结论及正弦定理的边化角，利用诱导公式及二倍角公式，结合三角函数的性质及对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， ， 因为，， 所以（舍），或， 所以． 【小问2详解】 要使不等式恒成立，只需要即可， 由（1）可知，， ∴由正弦定理得， ， 因为， 所以A，B都为锐角， 又因为， 所以． 所以时， 由对勾函数的性质知，在上单调递减， 当时，取得最小值为， 由，得即． 所以的最大值为2． 17. 已知． （1）若，且在处取得极值，求，的值； （2）当时，若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导根据和解方程即可求出，的值，注意检验，的值,函数是否在处取得极值即可得出结论； （2）原题等价于在时恒成立，利用二次函数性质计算即可得出结果. 【小问1详解】 由，得，即，解得或. 求导，因是极值点，故，即，化简为. 当时，，解得, 此时，恒成立，无极值点，舍. 当时，，解得， 此时，，在处取得极值， 综上， 【小问2详解】 当时，，, 因在单调递增，故在恒成立. 开口向上，对称轴, 若（即），在最小值为，解得​； 若（即），在处取最小值，解得，与无交集. 综上，的取值范围是. 18. 已知函数的图象关于原点对称. （1）求的值，并判断的单调性（无需证明）； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），在R上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，判断出在R上单调递增，并用定义法进行证明； （2）根据函数的奇偶性和单调性，得到对任意恒成立，求出函数的最小值为1，从而得到，求出； （3）在有零点，转化为在有解，换元后得到，得到，求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意，为R上的奇函数， ，解得：， ，经检验，满足为奇函数， 易知，在R上单调递增. 理由如下：任取，且， 则 ， 当时，， 故， 故，所以在R上单调递增； 【小问2详解】 ， 因为为R上的奇函数，所以原式等价于， 又因为为R上的增函数，所以原式等价于， 即需对任意恒成立. 又易知函数在上单调递增， ，即需，解得：，即为所求. 【小问3详解】 在有零点， 即方程在有解， 即方程在有解，令， 则需方程在有解. 又知当时，， 故，解得： 故当时满足题意. 19. 已知函数． （1）证明：当时，恒成立； （2）若且，证明：，． 【答案】（1）证明：由已知，当时，， 函数的定义域为，且， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以恒成立； （2）证明：因为，， 所以，其定义域为 所以， 令，可得或， 又，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因为，， 所以，由(1)知，， 因为，所以， 所以， 要证明，只需证明， 只需证明， 只需证明， 令， 则， 设， 则， 所以函数单调递增，即函数单调递增， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以，当且仅当时等号成立， 但，故， 所以. 【解析】 【分析】(1)由条件可得，利用导数求其最小值，由此可证明结论， (2)利用导数求函数的单调性，由条件证明，分析可得要证明， 只需证明，利用导数研究函数的单调性，利用单调性完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数证明不等式，关键点在于找到变量间的关系，将二元问题转化为一元问题，考查转化思想和逻辑推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 高三数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 6. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列图像中，不可能是的图像的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图象关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数，则的极大值为_________． 13. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为 ． 14. 在中，若，，的内角平分线交边于点，若，，则外接圆的直径为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对定义域分别是，的函数，，规定：函数 （1）若，，写出的解析式； （2）若，，求的值域； （3）若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 17. 已知． （1）若，且在处取得极值，求，的值； （2）当时，若在上单调递增，求的取值范围． 18. 已知函数的图象关于原点对称. （1）求的值，并判断的单调性（无需证明）； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在有零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）证明：当时，恒成立； （2）若且，证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $