九师联盟（甘肃、黑龙江、吉林、内蒙古）2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 (满分150分，考试时间120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.D解析：集合{2026,2027}含2个元素，其子集个数为22=4。 2.B解析：r=V3+6=3,故sinlpha=兰= 3 3.C解析：x2>64当且仅当x>4,故x>4是x>64的充要条件。 4.D解析：设AB→=eca,AD→=ecb,则E=号ecb,F=eca+ecb,故EF→=2eca+ ecb,即x=号y=子x+3y=+=2。 5.A解析：a=n3>1,b=log32e(0,1),c=log2<0,故a>b>c。 6.B解析：将coslpha-coseta=号与sinlpha+sineta=乙分别平方相加，得2- 2 cos(pha+-eta)-名故cos(pha+eta)- 7.A解析：x>0时fx)=x(1-x)值域为(-o,fac14];由奇函数，x<0时fx)=x(1+ x)值域为[-frac14,+o)。作水平线y=m,当me(-frac14,frac14)时fx=m恰有3个 解，故gx)有3个零点。 8.C 解析：设切点横坐标为t,由切线斜率得m=-te,代入切点得二=t-1+子( t>0),其在t=1时取得最小值1。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9AD解析：(k列=-是，(a=o故A、D正确：B、C的符号均错误。 10.ACD 解 析 A 中 $\leftx+dfirac{1)x) ight ge2$成立；C中令t=2x>0,22x-2+2=t2-2t≥-1；D中由柯西不等式 $(a{2}+b(2)1 eft(\dfiac{1}{a{2}+dfac{4}{b2} ight)ge9S;B中令u=√x2+2≥V2,u+取不到最小值2。 11.ABD解析：由fx+frac12)-frac12为奇函数知fx)图象关于点$1eft(fiac{1}{2), fiac{1}{2} ight)$对称，A正确：g(x)+g(1-x)=1,B中1013对求和得1013；D中f)+f1-)= 1且g回+g1-)=1,求和得2027imes2=4054;C中交点成对且含中心点，∑x+ y)=7eq14,C错误。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12号解析：函数的最小正周期为T=行。 13.3解析：由/eca+ecbP=1得2 eca-ecb=-1,故/eca-ecb2=2-2 ecaecb=3,即 |eca-ecbl=V3。 14.(-oo,-1]解析：真数2x-m-2>0对orallx E[1,9]恒成立，得m<0。取0<a<1 时不等式化为x≤2x-m-2},令k(x)=(2x-m-2)-x在[1,9恒非负，其最小值在 x=1处，由k(1)=m2-1≥0及m<0得m≤-1；取a>1时无解。故me(-o,-1]。 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15.(本小题满分13分) 解：由f(0=-1得-m+1=-1,即m=2,故$fx)2sqrt{3八sin xcos x- 2\cos{2)x+1=sqrt{3)\sin 2x-\cos 2x-2\sin left(2x-\dfrac{pi)(6) ight)$。(3分) ( 1 ) f(pha)=0 即 $sin left(21pha-\dfrac{pi)(6) ight)-0s，得2pha-g=km， lpha= 。又$lphainVefi((0,\dfrac{pi{2y ight)S,取k=0,故pha=。(5分) （2）将f:的图象向左平移个单位得$g(x)-f\lefi((x+\dfiac{pi){10) ight)-2\sin left(2xHdfrac{pi){30) gS。令-+2km≤2x+品≤号+2km,解得-誓+km≤x≤+km(kEZ)。故gy的 单调递增区间为$lef[-dfac{4pi{15}+kpi,\dfrac{7pi{30}+kpi ight]$,keZ。(5分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)设Pxy),由PP→=3PP2→得x+1,y-2)=33-x,4-y, 即x+1=9-3x,y-2=12-3y，解得x=2，y=子，故$PVeft((2,1dfac(7}{2) ight)$。（7分) （2)由0(0,0)，P(-1,2)，P23,4,三角形面积S=子ky2-x2yzl=1(-1)imes4 3imes2/=号imes10=5。(8分) 17.（本小题满分15分) 解：(1)定义域为0，+，f☒=1+号-兴=-巴。(2分) ①当a=1时，fy)=少≥0，f在0+∞上单调递增； ②当0<a<1时，fx在(0，a上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： ③当a>1时，fx)在(0,1)上单调递增，在(1，a上单调递减，在(a,+∞)上单调递增。(6 分) (2)f1)=1-a。当a=1时fx)在(0，+∞上递增且f1)=0,恰有1个零点；当0<a< 1时，f1)=1-a>0,fx在0，a上从-∞递增，故(0，a)上至多1个零点，其余区间 fx)>0无零点；当a>1时，f1)=1-a<0,fx)在(a,+∞上递增且xo+o时 fx0+o,故(a+∞)上至多1个零点。综上，fx)至多有1个零点。(7分) 18.（本小题满分17分) 解：（1)π=3；sin10°-cos10°oprox-0.811<0,故[sin10°-cos10]=-1。(4分) (2)[sinx∈f-1,0,1}。若[sinx=-1,则[x=9.5非整数，不合；若[sinx=1,则 six=1,x=5+2km,在[8,9)内无解；故[smy=0,d=9,即x∈9,10)且simx∈0,1， 得xE9,3π]。故方程的解集为x∈9,3π]。(7分) (3)因1+是+京+…+是收敛于Pprox1645,且各项和≥1，故对任意nm均有1≤ S<2, $Vleft[1+\dfrac(1)(2(2))+dfrac{1)(3(2))+\cdotsHdfrac{1)(n(2)) ght]=1$。(6分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)f1)=Q+b=0,f(x=mx+1+2ax+b,f)=1+2a+b=0,联立解得 a=-1,b=1。(3分) (2）此时f'(=lnx-2x+2，极小值点$x0 inVeft(0,dfac{1}{2) ight)$且满足f'xa)=0,即xo=2xo-2。gxy=f(xo+x)+f(xo-x)=n(x6-x2)-4xo+ 4。因x号-x2<x品，故n(后-x2)<4x0-4,从而g(x)s0,即gx)在(0，x上单调递减。 (7分) (3)记Fx)=fm+x)+fm-x)-2fm)。由泰勒展开Fx)=f"m)x2+0(x)。要对 orallx E(0,m有Fx)>0，须fm≥0，即是-2≥0，得m≤子。当m=子时， $f prime prime}lleft(dfrac{1){2) ight)-O$ 而 Sf((4))left(dfrac{1){2) ght)16>0$,此时F()=兰x4+…>0,满足题意。故m的最大值为。（7分) 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占左右），导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合的子集个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则 A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在平行四边形中，，分别是，的中点，若，则 A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．设，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知直线与曲线相切，则的最小值为 A．e B．2 C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是 A． B． C． D． 10．下列命题正确的是 A．若，则 B．函数的最小值为2 C．函数的最小值为-1 D．若实数，满足，，则 11．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则下列结论正确的是 A．函数的图象关于点对称 B． C．若的图象和的图象交于，，，，，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最小正周期为__________． 13．已知平面向量，满足，则__________． 14．已知函数，（，，），若存在，对，，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，且． （1）若，，求的值； （2）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的单调递增区间． 16．（本小题满分15分） 在直角坐标系中，，． （1）若点满足，求点的坐标； （2）已知为原点，求的面积． 17．（本小题满分15分） 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：函数至多有1个零点． 18．（本小题满分17分） 设，表示不超过的最大整数，例如：，，． （1）求和的值； （2）解方程：； （3）设，求的值． 19．（本小题满分17分） 设函数（，），且． （1）求，的值； （2）若的极小值点为，求证：在上单调递减； （3）已知，若对，，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $