精品解析：山东烟台经济技术开发区第二初级中学等校2026-2027学年度第一学期九年级期中数学试卷

山东烟台开发区2026-2027学年度第一学期九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题 1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C． 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 5. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形，  ∴，，  ∴， ∵，， ∴. 在和中，，  ， ∴， ∵，， ∴点在射线上， ∴， 在中，.  ∴， ∴ ∴ 按键顺序为． 6. 兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 7. 如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质，取格点，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，由网格的特征可得，得到，由即可得出结果． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，且， 由网格的特征得， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 9. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可． 【详解】解：由题意可得如图所示： 该拱形的顶点为，与x轴的交点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当y=1.5时，则有：，解得：， ∴此时水面宽为：m； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定，，的符号及数量关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， 其顶点坐标为， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故错误； 抛物线过点， ， 将代入得，即，故正确； 当时，，且对称轴为， 点关于对称轴的对称点为， ， 当时，或，故正确； ， ， ， 顶点坐标为， ， ， ， ，故错误； 若，对任意实数恒成立，则恒成立，即， 整理得， ， 需满足， ，解得，故错误； 综上所述，正确的结论有，共个． 二、填空题 11. 已知，求自变量取值范围______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负． 12. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，则其向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握抛物线的平移及解析式的变化规律是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，则山高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坡比，仰俯角解直角三角形的运用，掌握勾股定理，解直角三角形的计算方法是解题的关键． 根据坡比设米，米，可得米，米，由题意可知，四边形为矩形，运用特殊角的三角函数可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵斜坡的坡度为，设米， ∴米， 由勾股定理得：， 解得：， ∴米，米，由题意可知，四边形为矩形， ∴米，， 在中，，则， 在中，，且，， ∴， 解得：， ∴山高（米）． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝26t－t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6 s滑行的路程___________m 【答案】18 【解析】 【分析】将S＝26t－t2,化为顶点式,即可求得s的最大值,从而可以解答本题. 【详解】S＝26t－t2= ,  则当t=26时,s取得最大值,此时s=338,  故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为:338m. 所以t的取值范围是0≤t≤26;即当t=20时，y=320, 所以338-320=18m.故答案为18. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能把二次函数解析式配成顶点式. 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的轴对称性可知 ，从而将 的最小值问题转化为 的最小值问题，根据两点之间线段最短，连接 与对称轴的交点即为所求点 ，求出直线 的解析式即可求解． 【详解】解：令，得， ，令，得， 整理得， 解得，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，最小，即最小． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的混合运算； （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，负整数指数幂，再计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】体积为：，表面积为： 【解析】 【分析】本题主要考查根据三视图求立体几何图形的体积，表面积，理解三视图中的数量关系，根据体积，表面积的计算公式即可求解，掌握三视图的特点，立体图形体积，表面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为， 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体， ∴图示模型的体积为， ∴体积为：； 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则； 左视图中：； 俯视图中：； ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：． 19. 如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程是多少米？ 【答案】小方行走的路程是米 【解析】 【分析】结合题意，根据相似三角形的性质，推导得，再通过计算即可得到答案． 【详解】如下图，根据题意，得，，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴经检验: ∵， ∴m， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴小方行走的路程AC是米． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； （3）若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求抛物线与轴的交点坐标，根据的长度列不等式求解的范围． （3）先求得对称轴为直线，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或． 【小问3详解】 解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）20m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 【答案】河宽约为． 【解析】 【分析】延长交于点H，则．，解直角三角形得出，，以及，由平行线的性质得出，解，得出，最后由求解即可． 【详解】解：延长交于点H，则． 在中，， ∵， ， ∴， ． ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， 答：河宽约为． 23. 如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． （1）请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； （2）请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； 【小问2详解】 解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 24. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东烟台开发区2026-2027学年度第一学期九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题 1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 9. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 已知，求自变量取值范围______________． 12. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，则山高为______米． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝26t－t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6 s滑行的路程___________m 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 19. 如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程是多少米？ 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； （3）若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 23. 如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． （1）请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； （2）请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 24. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $