专项38 三角形的内心与外心-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项38 三角形的内心与外心 考点1 三角形的内心 （1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆； （2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形 的三个内角平分线交点； 【解题技巧】 （3）见到三角形的内心就想以下两点： ①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角. 如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO， 必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ②等距：内心到三角形三边的距离必定相等. 如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线， 必有OD=OE=OF. 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。B O A D （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C 考点2 三角形的外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫作三角形的外接圆； （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 的 三条边的垂直平分线交点； 【解题技巧】 （3）见到三角形的外心就想以下两点： ①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边. 如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC， 必有AD=CD，BE=CE. ②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等. 如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC， 必有PA=PB=PC. （4）与三角形外心有关的角度问题： ①外心在三角形的内部 三角形为锐角三角形 三个角都小于90° ②外心在三角形的边上 三角形为直角三角形 有一个角为90°； ③外心在三角形的外部 三角形为钝角三角形 有一个角大于90°. 【考点1 三角形的内心】 【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 　　． 【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 　　． 【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（　　） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 　 　． 【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为