精品解析：上海市奉贤区2026-2027学年第一学期九年级期中数学试卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 完卷时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知，则___． 7. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长是___． 8. 如图，与相交于点，，且，，则的长为___． 9. 如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是___． 10. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向左平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为直线___． 11. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 如图是杠杆示意图，支点为，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力___N． 13. 某次踢球，足球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为___米． 14. 如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点，当时，则___． 15. 在等腰三角形中，，是边上的高，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为___． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知，，是的三边长，且，，求周长． 17. 如图，在中，点、分别在边、上，，且． （1）如果，求的长； （2）如果的面积为8，求四边形的面积． 18. 已知二次函数的图象与轴只有一个交点， （1）求的值； （2）把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图象上，求此时二次函数的解析式． 19. 2026年，世界摩托车越野锦标赛再次登陆上海奉贤．这已经是奉贤第四次举办这一顶级赛事，官方推出了一款“疾风”吉祥物（骑摩托车造型）．某官方特许零售店销售该款“疾风”套装，已知其进价为每套60元．经市场调研发现，该款套装的日销售量（套）与销售单价（元）满足一次函数关系：当销售单价定为100元时，平均每天可售出80套；当销售单价定为120元时，平均每天可售出60套． （1）请求出该款“疾风”套装的日销售量（套）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）若该店销售这款套装每天的总利润为（元），请写出与的函数表达式，并求出当销售单价定为多少元时，该店每天能获得最大总利润？最大利润是多少元？ 20. 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点，，均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出以点为位似中心，且与位似比为的位似三角形； （2）在图2的上，找到一点，使； （3）在图3中，画出的高线． 21. 如图，线段、相交于点，点是线段的中点，连接、、，分别延长、交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 22. 在平面直角坐标系中，如果抛物线与直线相交于点和点，那么我们把叫做抛物线在直线上的“水平跨距”． （1）求抛物线在直线上的“水平跨距”； （2）已知抛物线：，顶点为点，当取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线：上． ①请用含的式子表达抛物线的顶点的坐标，并求直线的解析式； ②试探究抛物线在直线：上的“水平跨距”是否会随值的变化而变化，并说明理由； ③将直线：向上平移个单位得到直线，设直线与抛物线交于点、，求的面积． 23. 在中，，，，点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点． （1）如图1所示，求证：； （2）设，，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 完卷时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据二次函数定义，核心判断二次项系数是否恒不为0. 【详解】解：A选项：最高次为1次，不是二次函数； B选项：，当时，不是二次函数； C选项：，当时，不是二次函数； D选项：∵，∴，二次项系数恒不为0，故一定是二次函数. 2. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为. 3. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到， ∴点的坐标为，即. 4. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知，则___． 【答案】 【解析】 【分析】将待求分式拆分为含的形式，整体代入已知比例值计算即可． 【详解】解：∵， 又， 将代入上式， 得． 7. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长是___． 【答案】 【解析】 【分析】五线谱由五根等距离的平行线组成，根据平行线分线段成比例定理，截得的线段  与  的长度比等于它们之间平行线间隔数的比. 观察图形可知  之间占1个间隔， 之间占3个间隔，据此列式计算即可． 【详解】 ∵ 五线谱的五根横线是等距离的平行线 ， ∴  两点间跨越1个间隔， 两点间跨越3个间隔 ． ∴ ． ∵  ， ∴  ． 8. 如图，与相交于点，，且，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：， ， 与是对顶角， ， ， ， ， ， . 9. 如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线在对称轴左侧部分下降说明其开口向上，据此可列关于的不等式求解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴的左侧部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴二次项系数大于0， 即， 解得． 10. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向左平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为直线___． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点的对称性求出原抛物线对称轴，再结合平移规则得到平移后的对称轴 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线向左平移2个单位时，对称轴随图形同步向左平移2个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线． 11. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有，然后解方程即可求解，掌握黄金分割点是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 12. 如图是杠杆示意图，支点为，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力___N． 【答案】 【解析】 【分析】先证，可得，即．由，可得． 【详解】解： 动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直         ，即  ， 13. 某次踢球，足球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为___米． 【答案】8 【解析】 【分析】足球离地、落地时飞行高度均为0，求解函数对应的两个水平距离的差值，即可得到从离地到落地的水平距离． 【详解】解：对于， 令，代入得， 因式分解得， 解得：，， ∴足球从离地到落地的水平距离为（米）． 14. 如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点，当时，则___． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理，先由为中点得出为中点，再结合已知比例关系求解． 【详解】解：过点作交于点 ∴， 为边上的中点， ∴， ∴ 在中， ． 15. 在等腰三角形中，，是边上的高，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，由等腰三角形三线合一得、；设、把、都用表示，再由中以为对应角确定比例，求出，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：∵是边上的高， ∴是直角三角形． 由旋转的性质可知(如图)． ∵， 设，则， ∴． ∵，且， ∴点与点对应，． ∴， ∴． 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴． ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知，，是的三边长，且，，求周长． 【答案】 的周长为 【解析】 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴，解得； ∴，，， ∴的周长为. 17. 如图，在中，点、分别在边、上，，且． （1）如果，求的长； （2）如果的面积为8，求四边形的面积． 【答案】（1）4 （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为18， ∴四边形的面积为． 18. 已知二次函数的图象与轴只有一个交点， （1）求的值； （2）把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图象上，求此时二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数定义得，结合图象与轴只有一个交点即判别式为0，列方程求解的值即可； （2）上下平移时二次函数顶点横坐标不变，先确定原顶点横坐标，代入正比例函数得新顶点纵坐标，结合二次项系数不变得出解析式.  【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数图象与轴只有一个交点， ∴， 解得或， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ， ∴原函数顶点坐标为， ∵二次函数图象上下平移， ∴平移后顶点横坐标为， ∵平移后顶点在的图象上， ∴当时，， 即平移后顶点坐标为， ∴平移后二次函数解析式为，即. 19. 2026年，世界摩托车越野锦标赛再次登陆上海奉贤．这已经是奉贤第四次举办这一顶级赛事，官方推出了一款“疾风”吉祥物（骑摩托车造型）．某官方特许零售店销售该款“疾风”套装，已知其进价为每套60元．经市场调研发现，该款套装的日销售量（套）与销售单价（元）满足一次函数关系：当销售单价定为100元时，平均每天可售出80套；当销售单价定为120元时，平均每天可售出60套． （1）请求出该款“疾风”套装的日销售量（套）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）若该店销售这款套装每天的总利润为（元），请写出与的函数表达式，并求出当销售单价定为多少元时，该店每天能获得最大总利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2），当销售单价定为120元时，该店每天能获得最大总利润3600元. 【解析】 【分析】（1）设出函数关系式，待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单套利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：设， 由题意，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为3600； 故当销售单价定为120元时，该店每天能获得最大总利润3600元. 20. 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点，，均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出以点为位似中心，且与位似比为的位似三角形； （2）在图2的上，找到一点，使； （3）在图3中，画出的高线． 【答案】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可； （2）根据平行线分线段成比例定理可得为的中点，根据三角形的中线平分面积即可解决问题； （3）取格点上方第四个格点，连接交于点，易得，得到，得到，进而得到，即可得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，线段、相交于点，点是线段的中点，连接、、，分别延长、交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵线段、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴射线与射线重合， ∴， ∴，即 ∵、、三点共线， ∴ 在中为斜边的中点， ∴， ∵在线段上， ∴， 在中，∵， ∴ ∴； （2）证明：∵平分在线段上， ∴， 由（1）知， ∴， ∵、、三点共线，点在射线上， ∴， ∴， ∵在的延长线上， ∴、、三点共线， ∴， ∵在线段上，射线在内部，且， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， 在中 ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴，即， ∵为的中点，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由对顶角相等及判定，得，再结合得，利用直角三角形斜边上的中线得到，从而； （2）由（1）知结合平分得，再通过角的和差证得，从而，由对应边成比例并用得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，如果抛物线与直线相交于点和点，那么我们把叫做抛物线在直线上的“水平跨距”． （1）求抛物线在直线上的“水平跨距”； （2）已知抛物线：，顶点为点，当取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线：上． ①请用含的式子表达抛物线的顶点的坐标，并求直线的解析式； ②试探究抛物线在直线：上的“水平跨距”是否会随值的变化而变化，并说明理由； ③将直线：向上平移个单位得到直线，设直线与抛物线交于点、，求的面积． 【答案】（1） （2）①顶点坐标为，直线的解析式为 ②抛物线在直线上的“水平跨距”不会随值的变化而变化，恒为． 联立与，消去得 因式分解得 解得， ∴ 故水平跨距为定值，与无关． ③ 【解析】 【分析】（1）联立两解析式求出两个交点的横坐标，再按“水平跨距”的定义作差； （2）①用配方法写出顶点坐标，把顶点坐标代入求； ②联立抛物线与直线，因式分解求出两交点的横坐标，判断差是否为定值； ③先写出平移后的直线解析式，再用根与系数的关系求两交点横坐标之差，最后用铅垂高求的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：联立 ∴， 整理得， 解得． ∴抛物线在直线上的“水平跨距”为． 【小问2详解】 解：①将解析式配方，得， ∴顶点的坐标为． ∵顶点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ②联立 ∴， 整理得， 因式分解得， 解得， ∴． ∴水平跨距恒为，不随值的变化而变化． ③直线向上平移个单位， ∴平移后的直线解析式为． 联立 ∴， 整理得． 设点、的横坐标分别为、， ∴． ∴． ∴． 过点作轴的平行线，交直线于点(如图)， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． ∴． 23. 在中，，，，点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点． （1）如图1所示，求证：； （2）设，，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2），； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，以及角的和差关系推出，再根据，即可得证； （2）勾股定理求出的长，证明，得到，进而得到，，根据，得到，推出，得到，即可得出函数关系式，根据点的位置，以及线段的长为正数，列出不等式求出自变量的范围即可； （3）根据，求出，分两种情况，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的一个动点，且， ∴，， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ∵， ∴， ∴， 当点在的延长线上时，则， ∴，解得； 当点在上时，则， ∴，解得； 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $